物体平衡中的特殊问题

物体平衡中的特殊问题徐国华一、知识要点1、临界状态临界状态是一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一个物理过程转入到另一个物理过程的转折状态。

临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。

平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态。

涉及临界状态的问题称为临界问题。

解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。

2、极值问题极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或最小值。

中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件极值问题，区分的依据就是是否受附加条件限制。

若受附加条件限制，则为条件极值。

例1、如右图所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是()A．增大 B．先减小，后增大C．减小D．先增大，后减小【解析】方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如右图所示．由图可看出，FBC先减小后增大．方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如右图所示，将F AB、F BC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出：F AB cos 60°＝F BC sinθ，F AB sin 60°＋F BC cosθ＝F B，联立解得F BC sin(30°＋θ)＝F B/2，显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大．故选B.例2、完全相同的直角三角形滑块A 、B ，按如图所示叠放，设A 、B 接触的斜面光滑，A 于桌面的动摩擦因数为μ，现在B 上作用一水平推力F ，恰好使A 、B 一起在桌面上匀速运动，且A 、B 保持相对静止。

则A 与桌面的动摩擦因数μ跟斜面倾角θ的关系为（ B ）A ．μ=tanθB ．μ=tanθ/2C ．μ=2tanθD ．μ与θ无关解析：根据题意有：对B 分析得tan F mg θ,=整体分析得2F mg μ=。

即可求得。

二、 思维拓展1、研究平衡物体的临界问题的基本思维方法一般采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。

2、研究平衡问题的极值问题的两种方法（1）解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时运用数学知识求极值。

通常用到的数学知识有二次函数、均分定理、讨论分式、三角函数以及几何法求极值等。

（2）图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。

此法简便、直观。

3、研究中学物理极值问题和临界问题的基本观点（1）物理分析：通过对物理过程分析，抓住临界条件（或极值条件）进行求解。

（2）数学讨论：通过对物理问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系，用数学方法求解极值。

但一定要依据物理理论对解的合理性及物理意义进行讨论或说明。

4、几何极值原理三角形中一条边a 的大小和方向都确定，另一条边b 只能确定其方向（即a 、b 间的夹角θ确定），欲求第三边c 的最小值，则必有c 垂直于b ，且c=asin θ，如图所示。

例3、一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图所示，现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆AO 间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( )A ．F N 先减小，后增大B ．F N 始终不变C ．F 先减小，后增大D ．F 始终不变【解析】 取BO 杆的B 端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F )、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G )的作用，将F N 与G 合成，其合力与F 等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此力的三角形与几何三角形OBA 相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．如图所示，力的三角形与几何三角形OBA 相似，设AO 高为H ，BO 长为L ，绳长AB 为l ，则由对应边成比例可得：,,N N F G F L l F G F G H L l H H== = = 式中G 、H 、L 均不变，l 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小．【答案】 B例4、如图所示，用AO 、BO 两细线悬挂一重物。

若保持AO 线与水平方向间夹角α不变，当BO 线从水平位置缓缓转向接近竖直位置的过程中，AO 、BO 两线中的拉力F1、F2变化情况（ D ）A ．都变大B ．都变小C ．F1减小，F2增大D ．F1减小，F2先减小，后增大解析：以物体为研究对象，它受到三个力作用：重力G 、绳AO 、BO 的拉力F1、F2.设某位置时BO 与水平方向夹角为β，则物体的受力情况如图所示。

当BO 线缓缓转动时，每一瞬间物体都可以看成处于平衡状态。

作用在物体上的三个力一定可以构成一个封闭三角形，如图所示。

由图可知，当转动BO 线、β增大至90o 的过程中，AO 线中的拉力F1不断减小，BO 线中的拉力F2先减小，至β=90o －α时达最小值，然后再增大。

所以答案为D 。

例5、如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻细绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60o 的拉力F ，若要使绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。

解析：设AB 的张力为F1，AC 的张力为F2，对A 受力分析如图所示。

根据力的平衡条件得 1212sin 60sin 30sin 30,cos60cos30cos30o o o o o o F F mg F F F F +=+ =+ . ①②当F 较小时，绳AC 张力F2=0. ③F 和F1的合力与重力mg 平衡。

联立①②③解得：F = 当F 较大时，绳AB 张力F1=0. ④F 和F2的合力与重力mg平衡。

联立①②④解得：F =故拉力F的范围为N F ≤≤。

例题6．如图所示，重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F 1、F 2各如何变化？解析：由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。

应用三角形定则，G 、F 1、F 2三个矢量应组成封闭三角形，其中G 的大小、方向始终保持不变；F 1的方向不变；F 2的起点在G 的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90°过程，F 2矢量也逆时针转动90°，因此F 1逐渐变小，F 2先变小后变大。

（当F 2⊥F 1，即挡板与斜面垂直时，F 2最小）反思：这类平衡问题是一个物体受到三个力（或可等效为三个力）而平衡，这三个力的特点：其中一个力的大小和方向是确定的，另一个力方向始终不改变，第三个力的大小和方向都可改变。

运用图解法处理问题，显得直观、简捷，思路明了，有助于提高思维能力，简化解题过程。

三、综合创新斜面与螺旋间关系如图所示，把质量为m 的物体放在斜面上，慢慢增大斜面的倾角θ，当倾角增大到一定程度时，物体开始从A 处慢慢滑下。

物体开始滑下时，静摩擦力最大。

根据平衡条件有sin cos ,tan mg mg θμθμθ== 由此可知arctan θμ=，人们称此时的角θ为摩擦角。

显然，当斜面倾角小于θ时，在斜面上无论放多重的物体，由于下滑力始终与静摩擦力平衡，并且小于最大静摩擦力，物体不会滑动。

这就是斜面自锁现象。

螺丝钉就是利用斜面自锁原理制造的。

顶上的螺纹相当于斜面，并且螺纹斜面倾角小于摩擦角。

这样，当用它紧固机件时，螺帽尽管受到很大压力，仍然不会移动。

例7、在机械设计中常用到下面的力学原理，如图所示，只要使连杆AB 与滑块m 所在平面间的夹角θ大于某个值，那么，无论连杆AB 对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB 对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称这为“自锁”现象。

为使滑块能“自锁”θ应满足什么条件？（设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ）解析：滑块m 的受力如图所示，建立直角坐标系，将力F 正交分解，由物体平衡条件可知：在竖直方向上：F N ＝mg ＋F sin θ在水平方向上：F cos θ=F f ≤μF N由以上两式解得：F cos θ≤μmg+μF sin θ因为力F 很大，所以上式可以写成：F cos θ≤μF sin θ故应满足的条件为θ≥arccot μ答案：θ≥arccot μ点拨：解决平衡物体中的临界问题常用的方法是假设法，其解题步骤是一是明确研究对象，二是画出研究对象的受力图，三是假设可发生的临界条件，四是列出满足所发生的临界现象的平衡方程。

例8、如图所示，A 、B 两球用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，B 球用长为L 的细绳悬于O 点，A 球固定在O 点正下方，且点O 、A 之间的距离恰为L ，系统平衡时绳子所受的拉力为F 1.现把A 、B 间的弹簧换成原长相等、劲度系数为k 2(k 2>k 1)的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F 2，则F 1与F 2之间的大小关系为( ) A ．F 1>F 2B ．F 1＝F 2C ．F 1<F 2D ．无法确定【解析】 两球间放劲度系数为k 1的弹簧静止时，小球B 受力如图所示，弹簧的弹力F N与小球的重力G 的合力与绳的拉力F 1等大反向，根据力的三角形与几何三角形相似得1F G OA OB=，由于OA 、OB 均恒为L ，因此F 1大小恒定，与弹簧的劲度系数无关，因此换用劲度系数为k 2的弹簧后绳的拉力F 2＝F 1，【答案】 B例9、如图，一根弹性细绳原长为l ，劲度系数为k ，将其一端穿过一个光滑小孔O (其在 水平地面上的投影点为O ′)，系在一个质量为m 的滑块A 上，A 放在水平地面上．小孔O 离绳固定端的竖直距离为l ，离水平地面高度为h (h <mg /k )，滑块A 与水平地面间的最大静摩擦力为正压力的μ倍．问：(1)当滑块与O ′点距离为r 时，弹性细绳对滑块A 的拉力为多大？(2)滑块处于怎样的区域内时可以保持静止状态？【解析】(1) 当滑块与O ′点的距离为r 时，弹性细绳的伸长量为：x ∆=由胡克定律知，弹性绳的拉力：F k x ∆==(2)设OA 与水平面的夹角为α，分析物体受力如图所示，由平衡条件得：F N ＋F sin α＝mg ，F cos α＝F f . 而sin h F k α= ，fm N F F μ= 所以有：cos (sin )()sin f fm h kF F mg F mg kh αμαμα.=≤=-=- 其中cos ,sin h r αα.= 故得：()mg kh r k μ-≤例10、如图所示，两个质量均为m 的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l 的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M 的木块上，两个小环之间的距离也为l ，小环保持静止．试求：(1)小环对杆的压力；(2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？【解析】 (1)整体法分析有：2F N ＝(M ＋2m )g ，即12N F Mg mg =+ 由牛顿第三定律得：小环对杆的压力12NF Mg mg '=+ (2)研究M 得2F T cos 30°＝Mg 临界状态，此时小环受到的静摩擦力达到最大值，则有F T sin 30°＝μF ′N解得：动摩擦因数至少为3(2)M m μ=+。