数据结构chapter5数组和广义表
数据结构第五章 数组与广义表
压缩存储方法：只需要存储下三角 （含对角线）上的元素。可节省一 半空间。
可以使用一维数组Sa[n(n+1)/2]作为n阶对称矩阵A的存 储结构，且约定以行序为主序存储各个元素，则在Sa[k]和矩
阵元素aij之间存在一一对应关系： （下标变换公式）
i(i+1)/2 + j 当i≥j k = j(j+1)/2 + i 当i<j
q = cpot[col];
T.data[q].i = M.data[p].j; T.data[q].j = M.data[p].i; T.data[q].e = M.data[p].e; ++cpot[col]; }
分析算法FastTransposeSMatrix的时间 复杂度：
for (col=1; col<=M.nu; ++col) … … for (t=1; t<=M.tu; ++t) … … for (col=2; col<=M.nu; ++col) … … for (p=1; p<=M.tu; ++p) … …
//对当前行中每一个非零元
处
brow=M.data[p].j;
理
if (brow < N.nu ) t = N.rpos[brow+1];
M
else { t = N.tu+1 }
的
for (q=N.rpos[brow]; q< t; ++q) { ccol = N.data[q].j; // 乘积元素在Q中列号
一、三元组顺序表
对于稀疏矩阵，非零元可以用三元组表示， 整个稀疏矩阵可以表示为所有非零元的三元组所 构成的线性表。例如：
数据结构第五章数组和广义表
typedef elemtype Array1[n]; typedef Array1 Array2[m]; 同理，可以用 n-1 维数组的数据类型来定义 n 维数组。
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第8页
5．2 数组的顺序存贮结构
一、数组的顺序表示和实现
(1) 类型特点 ① 只有引用型操作，一般不作插入或删除操作； ② 数组是多维的结构，而存储空间是一个一维的结构。
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(2) 压缩存储的有关概念 ① 压缩存储：为多个值相同的元素分配一个存储空间，对零 元不分配空间。 ② 特殊矩阵：值相同的元素或零元素在矩阵中的分布有一定 规律。 ③ 稀疏矩阵：值相同的元素或者零元素在矩阵中的分布无规 律。
第 18 页
(3) 特殊矩阵
① 概念：若n阶矩阵 A 中的元满足：aij=aji 1≤i,j≤n，则 称为n 阶对称矩阵。
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第五章 数组和广义表
5. 1 数组的定义 5.2 数组的顺序存储结构 5. 3 矩阵的压缩存储 5. 4 广义表的定义 5.5 广义表的存储结构
第2页
第五章 数组和广义表
前4章介绍的数据结构共同特点： ▲ 都属于线性数据结构； ▲ 每种数据结构中的数据元素，都作为原子数据， 不再进行分解； 本章讨论的两种数据结构：数组和广义表，其共 同特点是： ▲ 从逻辑结构上看它们，可看成是线性结构的一 种扩展； ▲ 数据元素本身也是一个数据结构；
4
第4页
(2) 二维数组的解释
二维数组中的每个元素都受两个 线性关系的约束，即行关系和列关系， 在每个关系中，每个元素aij都有且仅 有一个直接前趋，都有且仅有一个直 接后继。
aa … 00 01
《数据结构与算法》第五章-数组和广义表学习指导材料
《数据结构与算法》第五章数组和广义表本章介绍的数组与广义表可视为线性表的推广，其特点是数据元素仍然是一个表。
本章讨论多维数组的逻辑结构和存储结构、特殊矩阵、矩阵的压缩存储、广义表的逻辑结构和存储结构等。
5.1 多维数组5.1.1 数组的逻辑结构数组是我们很熟悉的一种数据结构，它可以看作线性表的推广。
数组作为一种数据结构其特点是结构中的元素本身可以是具有某种结构的数据，但属于同一数据类型，比如：一维数组可以看作一个线性表，二维数组可以看作“数据元素是一维数组”的一维数组，三维数组可以看作“数据元素是二维数组”的一维数组，依此类推。
图5.1是一个m行n列的二维数组。
5.1.2 数组的内存映象现在来讨论数组在计算机中的存储表示。
通常，数组在内存被映象为向量，即用向量作为数组的一种存储结构，这是因为内存的地址空间是一维的，数组的行列固定后，通过一个映象函数，则可根据数组元素的下标得到它的存储地址。
对于一维数组按下标顺序分配即可。
对多维数组分配时，要把它的元素映象存储在一维存储器中，一般有两种存储方式：一是以行为主序（或先行后列）的顺序存放，如BASIC、PASCAL、COBOL、C等程序设计语言中用的是以行为主的顺序分配，即一行分配完了接着分配下一行。
另一种是以列为主序（先列后行）的顺序存放，如FORTRAN语言中，用的是以列为主序的分配顺序，即一列一列地分配。
以行为主序的分配规律是：最右边的下标先变化，即最右下标从小到大，循环一遍后，右边第二个下标再变，…，从右向左，最后是左下标。
以列为主序分配的规律恰好相反：最左边的下标先变化，即最左下标从小到大，循环一遍后，左边第二个下标再变，…，从左向右，最后是右下标。
例如一个2×3二维数组，逻辑结构可以用图5.2表示。
以行为主序的内存映象如图5.3（a）所示。
分配顺序为：a11 ，a12 ，a13 ，a21 ，a22，a23 ; 以列为主序的分配顺序为：a11 ，a21 ，a12 ，a22，a13 ，a23 ; 它的内存映象如图5.3（b）所示。
《数据结构——用C语言描述(第二版)》第5章 数组和广义表
第五章 数组和广义表
在压缩存储时，矩阵中值相同的元素C可共享一个存储空间，元素 为零则可不必分配空间，而其余的元素有 n(n+1)/2个，因此三角矩阵 可用一维数组M[n×(n+1)/2+1]来存储，其中常数C放在数组的最后一 个下标变量中。
假设A和B矩阵分别用matrix型指针变量a和b表示，矩阵的转置可以 按以下进行：由于Ｂ的行是Ａ的列，所以可按照b->data三元组表的次序在 a->data中找到相应的三元组进行转置，即可按a->data的列序转置，所得 到的转置矩阵Ｂ的三元组表b->data必定是按行优先存放的。因此，可以对 三元组表a->data从第一行起扫描，找到Ａ的每一列中所有的非零元素，就 可以实现转置。
LOC ( aij ) =LOC ( a00) +(i×n+j) × c 同理可推导出以列为主序优先存储时数据元素a i j 的存储地址，其计算公式 为：
LOC( a i j ) =LOC( a00 ) +( j × n +i ) × c 对于三维数组Am×n×p而言，若以行为主序优先存储时，则其数据元 素aijk的存储地址可为： LOC ( a i j k) =LOC ( a000) +[ i × m×p +j ×p +k] × c 对于一般的二维数组A[c1…d1，c2…d2]而言，此处c1，c2的值不一定是 0，a i j 的地址为： LOC ( a i j ) =LOC ( a c 1 c 2 ) +[ ( i – c 1 )* ( d 2 – c 2 +1) +j – c 2 ] * c
数据结构第5章
第5章：数组和广义表 1. 了解数组的定义；填空题：1、假设有二维数组A 6×8，每个元素用相邻的6个字节存储，存储器按字节编址。
已知A 的起始存储位置（基地址）为1000，则数组A 的体积（存储量）为 288 B ；末尾元素A 57的第一个字节地址为 1282 。
2、三元素组表中的每个结点对应于稀疏矩阵的一个非零元素，它包含有三个数据项，分别表示该元素的 行下标 、 列下标 和 元素值 。
2. 理解数组的顺序表示方法会计算数组元素顺序存储的地址；填空题：1、已知A 的起始存储位置（基地址）为1000，若按行存储时，元素A 14的第一个字节地址为 (8+4)×6+1000=1072 ；若按列存储时，元素A 47的第一个字节地址为 (6×7＋4)×6＋1000）＝1276 。
(注：数组是从0行0列还是从1行1列计算起呢？由末单元为A 57可知，是从0行0列开始！) 2、设数组a[1…60, 1…70]的基地址为2048，每个元素占2个存储单元，若以列序为主序顺序存储，则元素a[32,58]的存储地址为 8950 。
答：不考虑0行0列，利用列优先公式： LOC(a ij )=LOC(a c 1，c 2)+[(j-c 2)*(d 1-c 1+1)+i-c 1)]*L 得：LOC(a 32,58)=2048+[(58-1)*(60-1+1)+32-1]]*2＝8950选择题：（ A ）1、假设有60行70列的二维数组a[1…60, 1…70]以列序为主序顺序存储，其基地址为10000，每个元素占2个存储单元，那么第32行第58列的元素a[32,58]的存储地址为 。
（无第0行第0列元素）A ．16902B ．16904C ．14454D ．答案A, B, C 均不对 答：此题（57列×60行＋31行）×2字节＋10000=16902( B )2、设矩阵A 是一个对称矩阵，为了节省存储，将其下三角部分（如下图所示）按行序存放在一维数组B[ 1, n(n-1)/2 ]中，对下三角部分中任一元素a i,j (i ≤j), 在一维数组B 中下标k 的值是：A ．i(i-1)/2+j-1B ．i(i-1)/2+jC ．i(i+1)/2+j-1D ．i(i+1)/2+j3、从供选择的答案中，选出应填入下面叙述 ？ 内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。
数组和广义表 数据结构
3.建立广义表的存储结构 假定广义表中的元素类型ElemType为chai类型，每个原子的值被限 定为英文字母。并假定广义表是一个表达式，其格式为：元素之间用一 个逗号分隔，表元素的起止符号分别为左、右圆括号，空表在其圆括号 内不包含任何字符。例如“(a，(b, c, d))”就是一个符合上述规定的广 义表格式。 建立广义表存储结构的算法同样是一个递归算法。该算法使用一个 具有广义表格式的字符串参数s,返回由它生成的广义表存储结构的头结 点指针h。在算法的执行过程中，需要从头到尾扫描s的每一个字符。当 碰到左括号时，表明它是一个表元素的开始，则应建立一个由h指向的表 结点，并用它的sublist域作为子表的表头指针进行递归调用，来建立子 表的存储结构；当碰到一个英文字母时，表明它是一个原子，则应建立 一个由h指向的原子结点；当碰到一个“）”字符时，表明它是一个空表， 则应置h为空。当建立了一个由h指向的结点后，接着碰到逗号字符时， 表明存在后继结点，需要建立当前结点(即由h指向的结点）的后继表； 当碰到右括号或分号字符时，表明当前所处理的表已结束，应该置当前 结点的link域为空。 4.输出广义表 5.广义表的复制
广义表的转换过程
为了使子表和原子两类结点既能在形式上保持一致，又能进
行区别，可采用如下结构形式：
其中，tag域为标志字段，用于区分两类结点。sublist或data
域由tag决定。若tag=0，表示该结点为原子结点，则第二个 域为data，存放相应原子元素的信息；若tag=l，表示该结点 为表结点，则第二个域为sublist，存放相应子表第一个元素 对应结点的地址。link域存放与本元素同一层的下一个元素所 在结点的地址，当本元素是所在层的最后一个元素时，link域 为NULL。 例：前面的广义表C的存储结构如下图所示(很多《数据结构 公教科书上称之为带表头结点的广义表的链表存储结构
数据结构课件PPT数组和广义表
{ q=1; for (col=1;col<=T.mu;++col) for(p=1;p<=M.tu;++p) if ( M.data[p].j==col ) { T.data[q].i=M.data[p].j; T.data[q].j=M.data[p].i; T.data[q].e=M.data[p].e; ++q; } }
(row) (col) (value)
[0] 1 4 22
[0] 1 5 91
[1] 1 7 15
[1] 2 2 11
[2] 2 2 11
[2] 3 6 28
[3] 2 [4] 3来自6 17 4 -6[3] 4 [4] 4
1 22 3 -6
[5] 4 6 39
[5] 6 2 17
[6] 5 1 91
[6] 6 4 39
cpot[1]=1 cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]
稀疏矩阵的快速转置(算法5.2)
Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M,TSMatrix &T) { T.mu=M.nu; T.nu=M.mu; T.tu=M.tu;
if (T.tu) { for (col=1;col<=M.nu;++col) num[col]=0; for (t=1;t<=M.tu;++t) ++num[M.data[t].j]; cpot[1]=1; for ( col=2;col<=M.nu;++col) cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]; for (p=1;p<=M.Tu;++p) { col=M.data[p].j; q=cpot[col]; T.data[q].i=M.data[p].j; T.data[q].j=M.data[p].i; T.data[q].e=M.data[p].e; ++cpot[col]; } }
大学数据结构课件--第5章 数组和广义表
a 32 a 33 a 34 0 0
a 43 a 44 a 45 0
a 54 a 55 a 56 a 65 a 66
5.3.2 稀疏矩阵
稀疏矩阵的存储：如何表示非零元素的位置信息 1. 三元组表：每个元素用一个三元组（i，j，v）来表示。 i j v
0 1 6 1 1 6 2 3 8 12 9
2
3 4 5 6 7 8
2
5.2 数组的顺序表示和实现
a00 a00 a10 a01 存储单元是一维结构，而数组是个多维结构 , …… …… 则用一组连续存储单元存放数组的数据元素就有 am-1,0 a0,n-1 个次序约定问题。 a01 a10
a11
……
a11
……
二维数组可有两种存储方式： am-1,1 a1,n-1
……
K=
i*n-i(i-1)/2+j-i n(n+1)/2
当 i≤j 当i>j
0 a11 ... a1n-1 ... ... ... ... 0 0 0 an-1n-1
当i ≤ j时,a[i][j]是非零元素, a[i][j]前面有i行,共有n+(n-1)+(n-2)+…(n-(i-1))
=i(n+[n-(i-1)])/2=i*n-i(i-1)/2个元素，a[i][j]前面有j列，共j-i个非零元素，
A m× n
( a10 a11 … a1,n-1 )
=
注：
( … … …… ) ( am-1,0 am-1,2 … am-1,n-1 ) ( ( ( (
① 数组中的元素都具有统一的类型; ② 数组元素的下标一般都具有固定的上界和下界，即数组一旦 被定义，它的维数和维界就不再发生改变； ③ 数组的基本操作简单：初始化、销毁、存取元素和修改元素值
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结
aj1j2…jn∈ElementSet}
构
数据关系：R={R1,R2,…,Rn}
Ri={<aj1…ji…jn, aj1…ji+1…jn >| 1≤jk≤bk, 1≤k≤n,
且k≠i, 1≤ji≤bi-1, aj1…ji…jn, aj1…ji+1…jn ∈D,
基本操作： i=1,…,n }
1.InitArray(A,n,bond1,…,bondn) 3.GetValue(A,e,index1,…,indexn) 4.SetValue(A,e,可in编d辑epxp1t ,…,indexn)
a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3
L
二维数组Amxn中任一元素ai,j 的存储位置
LOC(i,j)=LOC(1,1) + (n×(i-1)＋(j-1))× L
称为基地址或基址。
可编辑ppt
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第 5 章 数组和广义表
5.2 数组的顺序存储和实现
以列序为主序 例如：
数 据
a1,1 a1,2 a1,3
… … ………
a n1 a n2 a n3 … a nn
LOC(i,j)=LOC(1,1) + 前i-1行非零元素个数＋第i行中aij前非零元素的个数
=LOC(1,1) + i(i-1)/2+j-1
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第 5 章 数组和广义表
5.3 特殊矩阵的压缩存储
特殊矩阵：①三角矩阵
上三角矩阵
数
a 11 a 12 a 13 ... a 1n
LOC(j1,j2,j3)=LOC(c1,c2,c3) + ((j1-c1)×(d2-c2+1)× (d3-c3+1) ＋(j2-c2)× (d3-c3+1) +(j3-c3))×size
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第 5 章 数组和广义表 5.2 数组的顺序存储和实现
推广到一般情况，可得到 n 维数 组数据元素存储位置的映象关系：
个字节，第一个元素A1,1的存储地址为100，
数 据
则按行优先顺序存储时元素A6,6的存储地址为? 若按列优先顺序存储时元素A6,6的存储地址为?
结
按行优先
构
A 6,6=100+[(6-1)*20+(6-1)]*2=310
按列优先
A 6,6=100+[((6-1)*10+(6-1)]*2=210
可编辑ppt
据
0 a 22 a 23 ... a 2n
结 构
c c a 33 ... a 3n
... ... ... ... ...
c c c ... ann
LOC(i,j)=LOC(1,1) + 前i-1行非零元素个数＋第i行中aij前非零元素的个数
=LOC(1,1) + (i-1)(2n-i+2)/2+j-i
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第 5 章 数组和广义表 5.3 特殊矩阵的压缩存储
①三角矩阵
特殊矩阵
数
②带状矩阵
据
结 构
①三元组顺序表 稀疏矩阵
②十字链表
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第 5 章 数组和广义表
5.3 特殊矩阵的压缩存储
特殊矩阵：①三角矩阵
下三角矩阵
数
a 11 c
c cc
据 结
a 21 a 22 c c c
构
a 31 a 32 a 33 c c
结
a2,1 a2,2 a2,3
构
a1,1 a2,1 a1,2 a2,2 a1,3 a2,3
L
二维数组Amxn中任一元素ai,j 的存储位置
LOC(i,j)=LOC(1,1) + (m×(j-1)＋(i-1))× L
称为基地址或基址。
可编辑ppt
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第 5 章 数组和广义表 5.2 数组的顺序存储和实现
三维数组A r × m×n中任一元素ai,j,k 的存储位置
数 LOC(i,j,k)=LOC(1,1,1) + ((i-1)×m×n ＋(j-1)×n+(k-1))×L
据
结 构
j1,j2,j3代替数组下标i,j,k，并且j1,j2,j3的下限分别为c1,c2,c3，上
限为d1,d2,d3,每个元素占size个存储单元。则a j1,j2,j3的存储位置
数
n
∑ 据 Loc(A[j1][j2]…[jn]=Loc(A[c1][c2]…[cn])+ αi×(ji-ci), 1≤i≤n
结
i=1
构
n
其中： αi=size×k∏=i+1(dk-ck+1),1≤i≤n)
可编辑ppt
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第 5 章 数组和广义表
5.2 数组的顺序存储和实现
例如：设有二维数组A[10][20]，其每个元素占2
}ADT Array
2.Destroy(A)
3
第 5 章 数组和广义表 5.2 数组的顺序存储和实现
类型特点:
数 据
1）不考虑插入和删除操作；
结
构
2）数组是多维的结构，而存
储空间是一个一维的结构。
可编辑ppt
4
第 5 章 数组和广义表
5.1 数组的定义和运算
运算 获得特定位置的元素值；
修改特定位置的元素值。
看 成 是 n
个
am1 am2 .... amn
m×n
列 向
量
也可以看成是m个行向量
可看成是一种特殊的线性表，其特殊在
于表中的数据元素可本编辑身ppt也是一个线性表。
2
第 5 章 数组和广义表
5.1 数组的定义和运算
抽象数据类型定义
ADT Array{
数 据
数据对象：D={aj1j2…jn|n>0,称为数组的维数，ji是数组的 第i维下标，1≤ji≤bi,bi为数组第i维的长度，
第 5 章 数组和广义表
5.1 数组的定义和运算
数
5.2 数组的顺序存储和实现
据
结
5.3 特殊矩阵的压缩存储
构
5.4 广义表
可编辑ppt
1
第 5 章 数组和广义表
5.1 数组的定义和运算 定义 数组是一组有固定个数的元素的集合。
可
数
a11 a12 .... a1n
以
据 结 构
Am×n =
a21 a22 .... a2n .... .... .... ....
可编辑ppt
13
第 5 章 数组和广义表
5.3 特殊矩阵的压缩存储 特殊矩阵：②带状矩阵
a11 a12
数
a 21 a 22 a 23
据 结
a 32 a 33 a 34
构
a 43 a 44 a 45
... ... ...
... ... ... n×n
数 据
主要操作是数据元素的定位，即给定元素
结
的下标，得到该元素在计算机中的存放位置。
构
其本质是地址计算问题。
有两种顺序映象的方式:
以行序为主序；
以列序为主序。
可编辑ppt
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第 5 章 数组和广义表
5.2 数组的顺序存储和实现
以行序为主序
例如：
数 据
a1,1 a1,2 a1,3
结 构
a2,1 a2,2 a2,3