2019年高考秘籍-破解导数压轴题策略：7.导数不等式的证明-凸凹性法(1)
导数中的不等式证明
【考点点睛】
放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。即使如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理使用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。
命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
命题角度5 函数凹凸性的应用
【考法点拨】不等式恒成立问题中，很多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.
【知识拓展】一般地，对于函数)(x f 的定义域内某个区间D 上的不同的任意两个自变量的值21,x x ，
①总有1212()()
(
)22
x x f x f x f ++≥（当且仅当12x x =时，取等号），则函数)(x f 在D 上是凸函数，其几何意义：函数)(x f 的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.()0f x ''<，则()f x '单调递减，)(x f 在D 上为凸函数；
②总有1212()()
(
)22
x x f x f x f ++≤（当且仅当12x x =时，取等号），则函数)(x f 在D 上是凹函数，其几何意义：函数)(x f 的图象上的任意
两点所连的线段都不落在图象的下方.()0f x ''>，则()f x '单调递增，)(x f 在D 上为凹函数.
【典例11】（安徽省太和中学2019届5月质检）已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．
（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；
（2）求证：()()2*2
ln 2ln 2ln 723...2,1632
n n n n n -++++>≥∈-N ． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1
ln x f x x x
+'=+
， 又()12f '=，()10f =，所以该切线方程为()21y x =-．
……﹝因为()2
1
0x f x x -''=
>，所以()f x 为凹函数，必有()()1ln 21x x x +>-﹞ 设()()()1ln 221F x x x x x =+-+>，则()1
ln 1F x x x
'=+-，
令()()g x F x '=，则()22111
x g x x x x
-'=-=，
当1x >时，()0g x '>，所以()()g x F x '=在()1,+∞上单调递增，
又()10g =，所以()()0g x F x '=>，即()F x 在()1,+∞上单调递增，
所以()()10F x F >=，故1x >时，()f x ax b >+；
（2）由（1）知：当1x >时，()()1ln 21x x x +>-. ……﹝利用切线法放缩的途径﹞
令()2212,x n n n N =->≥∈，则()()()
2221ln 223n n n -->-， 所以
()()()222ln 222113
11111
n n n n n n n ->
==----+-+， 所以
()222
ln 211111111
1111 (3)
3243546211n
k k k n n n n =-????????????>-+-+-+-++-+- ? ? ? ? ? ?---+????????????
∑
， 化简可得
()222
ln 21113213
212n
k k k n n n
=->+-->--+∑
，得证.
【方法归纳】本题()()()1ln 1f x x x x =+>，其()1ln x f x x x +'=+
，()21
0x f x x
-''=>，说明函数()()()1ln 1f x x x x =+>为凹函数，所以有()()1ln 21x x x +>-.此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，表现“层层递进”的特点.
【典例12】（成都市2019届高中毕业班二诊文科）已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈. （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当()1,x ∈+∞时，证明：
()
21ln x
e x x x x e
-<<-. 【解析】（1）由()0f x ≥，得1
ln a x x
-≤+
恒成立， 令()1ln u x x x =+，则()22111
x u x x x x
-'=-=，
所以()u x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()u x 的最小值为()()min 11u x u ==，
所以1a -≤，即1a ≥-，故a 的取值范围是[)1,-+∞； （2）有（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-，
……﹝直线1y x =-是函数ln y x x =的切线，因为1
0y x
''=
>，则ln 1x x x ≥-﹞ 所以1
ln x x x
-≥
. ……﹝向待证式的结构靠拢寻求放缩的途径﹞ ①要证
()1ln x e x x e -<，可证()()11
1x
e x x x e x
--<>，只需证1x e x -≥， ………﹝1x e x ≥+也是应用函数的凸凹性实行切线放缩的重要途径﹞
易证1x e x ≥+（证明略），所以1
x e
x -≥；
②要证2
ln x x x <-，可证ln 1x x <-， ……﹝ln 1x x <-往往是含有ln x 的不等式放缩的途径﹞
易证ln 1x x ≤-（证明略），因为1,10x x >->，所以()2
11x x x x x -<-=-，
所以2
ln x x x <-，
综上所述，当()1,x ∈+∞时，证明：
()2
1ln x
e x x x x e
-<<-. 【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往使用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系实行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性实行切线放缩法.
【典例13】（咸阳市2019届三模）已知函数()ln f x x x =，()()22
a x x g x -=
.
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
导数证明不等式
利用导数证明不等式的两种通法 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0,)2x π ∈，求证：sin tan x x x << 证明这个变式题可采用两种方法： 第一种证法：运用本例完全相同的方法证明每个不等式以后再放缩或放大，即证明不等式 sin x x <以后，根据sin 1sin x x x -<<来证明不等式sin 1x x -<； 第二种证法：直接构造辅助函数()sin 1f x x x =--和()tan 1g x x x =--，其中(0, )2x π∈ 然后证明各自的单调性后再放缩或放大（如：()sin 1(0)10f x x x f =--<=-<） 例2 求证：ln(1)x x +< 技巧 一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点。 二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 1、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时， 恒有x x x ≤+≤+- )1ln(1 11
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
(完整word版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
导数不等式证明
1.函数2ln 2)(x x x f -=，求函数)(x f y =在]2,2 [上的最大值 2.. 已知f(x)=e x -ax- （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 3. 已知函数f(x)=x 2e -ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 4.已知x ＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x 的一个极值点． (1)求a 的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y ＝b 与函数y ＝f(x)的图象有3个交点，求b 的取值范围． 5. (2010年全国)已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求 f(x)的单调区间； (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 不等式的证明： 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 ()()f x g x >（()()f x g x <） 的问题转化为证明 ()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小 值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。 一、利用题目所给函数证明 【例1】 已知函数 x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 【绿色通道】1 111)(+- =-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(m a x ==f x f ，因此，当1->x 时， 0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证） ， 现证左令11 1 )1ln()(-+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1 )1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1 ,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、直接作差构造函数证明 【例2】已知函数 .ln 2 1)(2 x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数3 3 2)(x x g = 的图象的下方； 【绿色通道】设)()() (x f x g x F -=，即x x x x F ln 2 132)(2 3--= ，
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.360docs.net/doc/696310907.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.360docs.net/doc/696310907.html,) 原文地址： https://www.360docs.net/doc/696310907.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
利用导数证明不等式的两种通法
利用导数证明不等式的两种通法 吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植 岳海学 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问 题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最 大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0, )2 x π ∈，求证：sin tan x x x << 分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上 单调递减即可。 证明： 令()sin f x x x =- ，其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈?
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证 明及其应用 Prepared on 22 November 2020
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： 三角形式 三角形式的证明： 向量形式 向量形式的证明： 一般形式 一般形式的证明： 2 2 2 111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
证明： 推广形式(卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 或者： 或者 推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22 222 121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++ ++++ ++++ + ()0f x ∴≥恒成立 即()()()2 22 2211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b ++ +≤++ +++ + 当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即 12 12 n n a a a b b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
【高考数学】构造函数法证明导数不等式的八种方法
第 1 页 共 6 页 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22) 1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方；
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |=
4 基本不等式的证明(1)
4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???
例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3
用导数证明不等式
用导数证明不等式 最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了! 1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1) 设函数f(x)=x-ln(x+1) 求导，f(x)\'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0 所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数 f(x)>f(1)=1-ln2>o 所以x>ln(x+1 2..证明：a-a^2>0 其中0 F(a)=a-a^2 F\'(a)=1-2a 当00;当1/2 因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0 即有当00 3.x>0,证明：不等式x-x^3/6 先证明sinx 因为当x=0时，sinx-x=0 如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0， 求导数有sinx-x的导数是cosx-1 因为cosx-1≤0 所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0， 知sinx 再证x-x3/6
对于函数x-x3/6-sinx 当x=0时，它的值为0 对它求导数得 1-x2/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。 要证x2/2+cosx-1>0 x>0 再次用到函数关系，令x=0时，x2/2+cosx-1值为0 再次对它求导数得x-sinx 根据刚才证明的当x>0 sinx x2/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0 x2/2-cosx-1<0 x>0 所以x-x3/6-sinx是减函数，在0点有最大值0 得x-x3/6 利用函数导数单调性证明不等式X-X2>0，X∈(0,1)成立 令f(x)=x-x2 x∈[0,1] 则f\'(x)=1-2x 当x∈[0,1/2]时,f\'(x)>0,f(x)单调递增 当x∈[1/2,1]时,f\'(x)<0,f(x)单调递减 故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得 f(0)=0,f(1)=0 故f(x)的最小值为零 故当x∈(0,1)f(x)=x-x2>0。 i、m、n为正整数，且1 求证(1+m)^n > (1+n)^m 方法一：利用均值不等式 对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即
不等式的证明方法习题精选精讲
不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。
【高中数学】利用导数证明不等式
第四节利用导数证明不等式 考点1作差法构造函数证明不等式 (1)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x＞a)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x＞a)，设h(x)＝f(x)－g(x)，即证h(x)＞0(x＞a)．若h(a)＝0，h(x)＞h(a)(x＞a)．接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可． (2)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x∈I，I是区间)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x∈I)． 设h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证h(x)＞0(x∈I)，也即证h(x)min＞0(x∈I)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决． 已知函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x＞1时，求证：f(x)＞3(x－1)． [解](1)因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ax＋x ln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1， 因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值， 所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0， 所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2. 当f′(x)＞0时，x＞e－2；当f′(x)＜0时，0＜x＜e－2， 所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋x ln x. 令g(x)＝f(x)－3(x－1)， 即g(x)＝x ln x－2x＋3(x＞0)． g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e. 由g′(x)＞0，得x＞e；由g′(x)＜0，得0＜x＜e. 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，