高中数学选修2-2-2-3知识点
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高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用 知识点:
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000
()()
lim x f x x f x x
∆→+∆-∆,
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y =', 即0()f x '=000
()()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆
2.导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时,直线PT 与曲线相切。容易知道,割
线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-,当点n P 趋近于P 时,函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的
斜率k ,即000
()()
lim
()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-
3. 导函数:当x 变化时,()f x '便是x 的一个函数,我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',
即0
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
考点:无 知识点:
二.导数的计算
1)基本初等函数的导数公式:
1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=; 2 若()f x x α
=,则1
()f x x
αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x
f x a =,则()ln x
f x a a '=
6 若()x f x e =,则()x
f x e '=
7 若()log x
a f x =,则1()ln f x x a
'=
8 若()ln f x x =,则1()f x x
'= 2)导数的运算法则
1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•
3. 2
()()()()()
[
]()[()]
f x f x
g x f x g x g x g x ''•-•'= 3)复合函数求导
()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•
考点:导数的求导及运算
★1、已知
()22sin f x x x π=+-,则()'0f =
★2、若()sin x f x e x =,则()'f x =
★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ,
4)1(=-'f ,则a=( )
3
19.3
16
.3
13.3
10.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )4
1,21(的切线的倾斜角是() A.30° B.45° C.60° D.90°
★★5.如果曲线2
932
y x =
+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直,则0x =
三.导数在研究函数中的应用
知识点:
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:
在某个区间(,)a b ,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:
(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;
(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数()y f x =在(,)a b 的极值;
(2) 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
考点:1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用
4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一:导数在切线方程中的运用
★1.曲线3
x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3,则P 点为( ) A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1)
C.(2,8)
D.(-21
,-81)
★2.曲线53
12
3+-=x x y ,过其上横坐标为1的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为( )
A.6π
B.4π
C.3π
D.π
43
二、题型二:导数在单调性中的运用
★1.(05卷)函数
32
()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)
★2.关于函数
762)(23+-=x x x f ,下列说法不正确的是( ) A .在区间(∞-,0),)(x f 为增函数 B .在区间(0,2),)(x f 为减函数
C .在区间(2,∞+),)(x f 为增函数
D .在区间(∞-,0)
),2(+∞⋃,)(x f 为增函数
★★3.(05)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数),下面四个图象中()y f x =的
图象大致是( )
★★★4、(2010年21)(本小题满分12分)
已知函数).(111)(R a x
a
ax nx x f ∈--+-= (Ⅰ)当处的切线方程;在点时,求曲线))2(,2()(1f x f y a
=-=
(Ⅱ)当1
2
a ≤
时,讨论()f x 的单调性. 三、导数在最值、极值中的运用:
★1.(05全国卷Ⅰ)函数
93)(2
3-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( ) A .2
B. 3
C. 4
D.5
★2.函数512322
3
+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.(根据04年天津卷文21改编)已知函数)
0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数,当1=x 时)(x f 取
得极值-2.
(1)试求a 、c 、d 的值;(2)求)(x f 的单调区间和极大值;
★★★4.(根据2008年文21改编)设函数2
312)(bx ax e x x f x ++=-,已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
(1)求b a ,的值; (2)讨论)(x f 的单调性;
第二章 推理与证明 知识点:
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤:
•通过观察个别情况发现某些相同的性质;
•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想);