20150318数值分析学生版作业
数值分析作业及参考答案
数值分析第一次作业及参考答案1. 设212S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：2**22211()0.122()0.10.2()1122,(),().r r e S S S gt gt gt e S gt e S t gt gt t e S e S =-=-====∴↑↑↓2. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证2''1max ()()max ().8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-解：由112,0),(,0)()()0()00.a b L x l x l x =⨯+⨯=（两点线性插值 插值余项为"111()()()()()()[,]2R x f x L x f x a x b a b ξξ=-=--∈ [,].x a b ∴∀∈有12211()()"()()()max "()[()()]221()()1max "()[]()max "().228a x ba xb a x b f x R x f x a x b f x x a b x x a b x f x b a f x ξ≤≤≤≤≤≤==--≤---+-≤=-21max ()()max "()8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤∴≤-3. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。
（2）构造差商表。
（3）用Newton 插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+ 故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑（2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+4. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!.(4,4).6f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t t h --+±<< 在点 得5. 求2()f x x =在［a,b ］上的分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。
数值分析习题含答案
第一章 绪论** 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比拟选择、误差和误差限的计算。
1假设误差限为5105.0-⨯,则近似数0.003400有几位有效数字.〔有效数字的计算〕 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少.〔有效数字的计算〕 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取〔3.14109 , 3.14209〕之间的任意数，都具有4位有效数字。
32031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字.〔有效数字的计算〕 解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差.〔误差的计算〕 解：δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln x x x x x则相对误差为 ******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得*圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
〔误差限的计算〕解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
数值分析第三版课本习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.27.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A fh --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x fx -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4.用辛普森公式求积分1xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7.用复化梯形公式求积分()b af x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析习题含答案
x1 )
f (x0)
(x
x 0 )( x x0 x1
x1 )
f ' ( x0 )
(x ( x1
x0)
2 2
x0 )
f ( x1 )
R ( x)
其中 R(x) 由以下计算得到： 构造辅助函数：
(t ) f (t ) N 2 (t ) (t (x x0 ) (t x0 ) ( x
2 2
x1 ) x1 )
f [ 2 ,2 ] =-2089 ，
0 1 2 7
0 1 7
f (x)
M ,
x
[ a , b ] ，证明：在任意相邻两节点间
R1 ( x )
1 8
Mh
2
。
x xi x xi M
1
f ( ) R1 i ( x ) 2 M 8 h 2,
h ,
2
x
8 ,n
[ xi , xi
1
]
R1 ( x )
max R1 i ( x )
1 2
s
2
[( x
xi
1
))( x
x
i
1 2
)( x
x i )]
e
4
h
3
[ s( s
1)( s
1)] 24
3 9
e h
4
3
10
6
3!
8
h
1 . 317
则用二次插值的步长应：
h
0 .6585
10
2
2-6 对区间 [a,b] 作步长为 h 的剖分，且 做线性插值，其误差限为 证明：区间上的误差限： 误差限： 2-7 设 f ( x ) 解： 自变量 1 2
数值分析习题（含答案）
数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析作业题(1)
第一章 误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____，___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。
3. 0.2499作为1/4的近似值，有几位有效数字？00.24990.249910,0m =⨯=即，031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即223.1428751...,7=作为圆周率的近似值，误差和误差限分别是多少，有几位有效数字？2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系 4. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误！未找到引用源。
, 建立稳定的数值算法。
1111111110011,n 2,...,9n x n x n x n x n n I x e dx x dex en x e dx nI ------===-=-=⎰⎰⎰该算法是不稳定的。
因为：11()()...(1)!()nn n I n I n I εεε-=-==- 111n n I I n n-=-， 10110I =5. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.6. 时间复杂度是指：.算法需耗费时间的度量， 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 3n ,则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为3()O n .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式，并写出误差估计式，以及验证插值多项式的唯一性。
x 0 1 4 f(x) 1 9 3 Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应i x 的标准基函数)(x l i 为：1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------1()...l x =2()...l x =因此，所求插值多项式为：220()()()....i i i P x f x l x ===∑(3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=---Newton:构造出插商表：xi f(xi ) 一 二 三 0 1 1 9 8 4 3 -2 -5/2 所以, 所求插值多项式为：2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项：2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3. 过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式，使得满足插值条件：f (0)=1, f ’(0)=0 , f (1) =2, f ’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则，，写出插商表：xi f(xi) 一 二 三 0 1 0 1 0 1 a 1 1 1 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为：222000000100011012232()()[,]()[,,]()[,,,]()()10(0)1(0)1(0)(1)21P x f x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+--=+-+----=-++插值余项：222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4. 求f (x)=sin x 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式，并写出误差估计式。
数值分析大作业
数值分析大作业数值分析大作业姓名：黄晨晨学号：S1*******学院：储运与建筑工程学院学院班级：储建研17-2实验3.1 Gauss消去法的数值稳定性实验实验目的：理解高斯消元过程中出现小主元即很小时引起方程组解数值不定性实验内容：求解方程组Ax=b，其中（1）A1=0.3×10?1559.14315.291?6.130?1211.29521211，b1=59.1746.7812;（2）A2=10?7013 2.099999999999625?15?10102，b2=85.90000000000151;实验要求：(1)计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的(2)用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4(3)用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4(4)观察小主元并分析对计算结果的影响（1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的代码：format longeformat compactA1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1] b1=[59.17;46.78;1;2]n=4C1=cond(A1,1) %C1为A1矩阵1范数下的条件数C2=cond(A1,2) %C2为A1矩阵2范数下的条件数C3=cond(A1,inf) %C3为1矩阵谱范数下的条件数结果：C1 =1.362944708720448e+02C2 =6.842955771253409e+01C3 =8.431146*********e+01显然A1矩阵为病态矩阵将矩阵A2，b2输入上述代码中求得A2矩阵的条件数为：C1 =1.928316831682894e+01C2 =8.993938090170119e+00C3 =1.835643564356072e+01显然A2矩阵也为病态矩阵(2)用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4代码：for k=1:n-1a=max(abs(A1(k:n,k)))if a==0returnendfor i=k:nif abs(A1(i,k))==ay=A1(i,:)A1(i,:)=A1(k,:)A1(k,:)=yx=b1(i,:)b1(i,:)=b1(k,:)b1(k,:)=xbreakendendif A1(k,k)~=0A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k)A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n) elsebreakendendL=tril(A1,0);for i=1:nL(i,i)=1;endLU=triu(A1,0)y1=L\b1x1=U\y1得到如下结果：x1 =3.845714853511634e+001.609517394778522e+00-1.547605454206655e+011.041130489899787e+01将A2=[10,-7,0,1;-3,2.0999********,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2]b2=[8;5.900000000001;5;1]代入上述代码求得结果如下：X2 =4.440892098500626e-16-9.999999999999993e-019.999999999999997e-011.000000000000000e+00(3)用不选主元的高斯消去法求得L和U及解向量x1,x2∈R4代码：format longeformat compactA1=[0.3*10^-15,59.14,3,1;5.291,-6.130,-1,2;11.2,9,5,2;1,2,1,1] b1=[59.17;46.78;1;2][L,U]=lu(A1)y1=L\b1x1=U\y1求得如下结果：x1=3.845714853511634e+001.609517394778522e+00-1.547605454206655e+011.041130489899787e+01将A2=[10,-7,0,1;-3,2.0999********,6,2;5,-1,5,-1;0,1,0,2] b2=[8;5.900000000001;5;1]代入上述代码，求得结果如下：x 2 =4.440892098500626e-16 -9.999999999999993e-01 9.999999999999997e-01 9.999999999999999e-01（2）（3）求得结果相同，可验证结果正确。
数值分析作业
数值分析课后作业：习题一1.在字长为3的十进制计算机上计算f （3.33）和g （3.33），其中f(x)=x 4-x 3+3x 2+x-2,g(x)=(((x-1)x+3)x+1)x-2解： m=3; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 121 ans =121 2.下列各近似值的绝对误差限都是1021⨯-3，试指出它们各有几位有效数字：x=1.00052， y=0.05， z=0.00052.解：当 x=1.00052时， 由丨X*—X 丨 ≤0.5×10-3 得 x=1.00052 有四位有效数字； 同理 y=0052 有两位有效数字 Z=0.00052有零位有效数字 3,计算圆的面积，要使其相对误差限为1%，问测量半径r 允许的相对误差限是多少？ 解：设圆的面积为S ， 由题意有|e(S)|≤1%。
又S=πr 2 dS=2πr dr 所以 dS/S=(2πrdr)/(πr 2)=2(dr/r)∴|e(r)|≈21|e(S)|≤0.5×1%=0.5% 11.数组与矩阵是Matlab 编程的基础，试学习Matlab 的数组与矩阵的表示方法，并举例介绍数组、矩阵的常见运算. 解：>> syms a b c d; >> a=[1 2 3];>> b=[4 5 6];>> a+bans =5 7 9>> b-aans =3 3 3>> a.*bans =4 10 18 >> a.^2 ans = 1 4 9>> c=[1 2 3;1 2 3;1 2 3];>> d=[4 5 6;4 5 6;4 5 6];>> cc = 1 2 3 1 2 3 1 2 3d = 4 5 6 4 5 6 4 5 6 >> c+dans =5 7 9 5 7 9 5 7 9>> d-cans = 3 3 33 3 33 3 3 12.学习使用Matlab 命令help 和doc 学习自己感兴趣的Matlab 的运算、函数或命令的用法，并对于任意给定的实数a,b,c,编写Matlab 程序求方程ax 2+bx+c=0的根. 解：x 1=a ac b b b 24)sgn(2---, x 2=1ax c1 x>0 其中 sgn = 0 x=0 -1 x<0 disp('Please input the coefficients of');disp('quadratic equation ax^2+bx+c=0, respectively') a=input('a='); b=input('b='); c=input('c=');m=3; if abs(a)<eps & abs(b)<eps error End if abs(a)<eps disp('Since a=0, quadrtic equation degen erates into a linear equation.') disp('The only solution of the linear equtio n is')x=digit(-c/b,m) return Enddelta=b^2-4*a*c; temp=sqrt(delta); x 1=(-b+temp)/(2*a) ; x 2=(-b-temp)/(2*a) ;err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c) ; err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c) ; if b>0x 1=(-b-temp)/(2*a) End if b<0x 1=(-b+temp)/(2*a) End if b=0x 1=temp/(2*a) Endx 2=c/(a*x 1)err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c) err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c) if abs(a)<epsdisp('Since a=0, quadrtic equation degen erates into a linear equation.')disp('The only solution of the linear equtio n is')x=digit(-c/b,m) return Enddelta=digit(digit(b^2,m)-digit(4*digit(a*c,m),m),m);temp=digit(sqrt(delta),m);x 1=digit(digit(-b+temp,m)/digit(2*a,m),m); x 2=digit(digit(-b-temp,m)/digit(2*a,m),m); err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c); err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c); if b>0x 1=digit(digit(-b-temp,m)/digit(2*a,m),m) ; End if b<0x 1=digit(digit(-b+temp,m)/digit(2*a,m),m); End if b=0x 1=digit(temp/digit(2*a,m),m); Endx 2=digit(digit(c/a,m)/x1,m) ; err1=abs(a*x 1^2+b*x 1+c) ; err2=abs(a*x 2^2+b*x 2+c) ; 14分别利用ln (1+x)=11,)1(11≤<--+∞=∑x nx nn n 和ln11...),12...53(2111253<<-++++++=-++x n x x x x x x n ，给出计算ln2的近似方法，编写相应的Matlab 程序，并比较算法运行情况. 解：方法一： x=1; s=0;for k=1:100s=s+(-1)^(k+1)*(x^k)/k; end sq=log(2)err=abs(t-q) ans= t =0.6882 q =0.6931 err = 0.0050方法二x=1/3; s=0;for k=1:2:100 s=s+(x^k)/k; end t=2*s q=log(2)err=abs(t-q) Ans= t =0.6931 q =0.6931 err =2.2204e-16所以方法二较方法一好。
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2014-2015(2)计算机与信息工程学院数值分析作业计科专业_______级_____班 姓名:___________学号:____________第一章 绪论 一、单项选择题1.用3.1415作为π 的近似值时具有（ ）位有效数字。
（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）62.已知数x 1=721 x 2=0.721 x 3=0.700 x 4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为( )。
(A) 3，3，3，1 ( B) 3，3，3，3 (C) 3，3，1，1 ( D) 3，3，3，2 二、填空题1.在一些数值计算中,对数据只能取有限位表示,如2 1.414≈ ,这时所产生的误差称为_______误差.（填误差的类型）2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为_________以保证计算结果比较精确.3.在数值计算中，通常取e 2.71= ，此时产生的误差为_________误差（填误差的类型）.4.设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有_________位有效数字。
三、计算题1、（本题5分）试确定722作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。
第二章 插值法 一、单项选择题1. 通过点0011(x ,y ),(x ,y ) 的拉格朗日插值基函数01l (x),l (x)满足 ( ). (A ) 0011l (x )0,l (x )0== ( B) 0011l (x )1,l (x )1== (C )0011l (x )1,l (x )0== (D) 0011l (x )0,l (x )1==2.是给定的互异节点，是以它们为插值节点的插值多项式，则是一个( ).(A) n +1次多项式 (B) n 次多项式(C) 次数小于n 的多项式 (D) 次数不超过n 的多项式 二、填空题1. 设有节点012x ,x ,x ，其对应的函数=y f (x) 的值分别为012y ,y ,y ， 则二次拉格朗日插值基函数0l (x)___________= .2.已知2()1,=+f x x 则[1,2,3]____=f .2. 已知f (1)1,f (2)3,== 那么y f (x)=以1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为_________.3. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是 .4. 设2f (x)x = ，则f (x)关于节点012x 0,x 1,x 3=== 的二阶向前差分为___________.5. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 _____，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 ___；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 ___.6. 设20)2(,10)1(,0)0(===f f f ,则[]___,,=10f []___,2,1,0=f )(x f 的二次牛顿插值多项式为___________________________.7. 设)(x L n 为)(x f 的n 次拉格朗日插值多项式，则其插值余项为_________________.8. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---=_____. 9. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商123[,,,]___n n n n f x x x x +++=.10. 设()(0,1,2)j l x j n =是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则()j i l x =____________(,0,1,2)i j n =；0()nj j l x ==∑ 。
三、计算题 1（1）写出f (x) 的3次Lagrange 插值多项式3L (x) ； （2）写出f (x) 的3次Newton 插值多项式3N (x) .2. 已知-12 4 5-2 4 5 7 (1) 用拉格朗日插值法求的三次插值多项式；(2) 求x ， 使=0。
3. 给定数据,)(,)(,)(,)(143521100====y y y y 求三次拉格朗日插值多项式)(x L 3.4.已知函数()y f x =在如下节点处的函数值x-1 0 1 2 y143（1） 建立以上数据的差分表；（2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ，并计算(1.1)y 的近似值；5.已知y=x ，0x =4，1x =9，用线性插值求7的近似值。
6.已知x1 2 3 4 F(x) 021512计算三阶差商f ［1,3,4,7］。
7.已知i x1 3 4 7 f(i x ) 021512求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
8.设)(x f 为k 次多项式，n x x x x ,,,210为1+n 个互异点，)(x L n 为)(x f 的n 次插值多项式。
若n k <，试证)()(x f x L n ≡。
第三章 函数逼近于计算 一、填空题1.用二次多项式2012(x)a a x a x ,ϕ=++ 其中012a ,a ,a 是待定参数，拟合点1122n n (x ,y ),(x ,y ),,(x ,y ) ，那么参数012a ,a ,a 是使误差平方和____________________取最小值的解。
2.已知数据对=k k (x ,y )(k 1,2,,n) ,用直线y a bx =+拟合这n 个点,则参数a,b 满足的法方程组是__________________. 二、计算题1.已知一组实验数据如下i x 1 23 4 5 i f (x )44.5688.5求它的拟合曲线（直线）.2、已知一组试验数据如下i x 20 40 60 80 100 i f4.35 7.55 10.40 13.80 16.80求它的拟合曲线（直线）。
3．求32f (x)x =在[0,1]上求关于{}span 1,x φ=的一次最佳平方逼近多项式.4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。
x -1 0 1 2 y125()[]{}245.,111,f x x span x x ϕ=-=在，上求关于的最佳平方逼近。
6. 求x x f =)(在区间[1/4,1]上的关于权函数1=)(x ρ的一次最佳平方逼近多项式.7. 求353323-++=x x x x f )(在区间],[11-上的最佳二次逼近多项式. 8. 已知-2 -1 0 1 2 42135求的形如的二次拟合曲线，并求的近似值。
9.已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i x y i n =，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。
10.用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 11.求3x f(x )=在[0，1]上的一次平方逼近多项式。
第四章 数值积分与数值微分 一、单项选择题1.已知求积公式21121f (x)dx f (1)Af ()f (2)636≈++⎰ ，则A =（ ）.16(A) 13(B) 12(C) 23(D)2.已知n 4= 时牛顿-科特斯求积公式，科特斯系数(4)(4)01716C ,C ,9045== (4)22C 15= ，那么(4)3C =（ ）. (A) 790 (B) 1645 (C) 215 (D) (4)3716239C 190451590=---=3. 已知节点k k (x ,y ),(k 0,1,2,,n),= 插值型两点求导公式是（ ）.1011y (x x )h '≈--(A) 1101y (x x )h '≈--(B) 1011y (y y )h '≈--(C) 1011y (y y )h'≈-(D) 4.求积分公式11f (x)dx f (1)f (1)-≈-+⎰ 是( )次代数精度.( A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空题1.求积分公式10211123f (x)dx f ()f ()f ()343234≈-+⎰ 具有_____次代数精度.2.设求积公式nbk k ak 0f (x)dx A f (x )=≈∑⎰ ，若对_______________的多项式积分公式精确成立，而至少有一个m 1+ 次多项式不成立，则称该求积公式具有m 次代数精度.3.已知n 3= 时，科特斯系数(3)(3)(3)01213C ,C C 88=== ，那么(3)3C _____= . 4. 求初值问题00y f (x,y)y(x )y '=⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是k 1y +≈___________.5. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次，n 个求积节点的高斯求积公式的代数精度为 .6. 5个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是 .7.1+n 个节点的Gauss 型求积公式具有______次的代数精度.8.为使求积公式1123133()()(0)()33f x dx A f A f A f -≈-++⎰的代数精度尽量高，应使1A =，2A =，3A =，此时公式具有 次的代数精度。
9.数值微分公式)(a f '≈hh a f h a f 2)()(--+的代数精度为_______.三、计算题1. 试用n 1,2,4=的牛顿-科特斯求积公式计算定积分101I dx 1x=+⎰ . 2.已知012113,,,424===x x x(1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰；(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算120⎰x dx .3. 试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。
4.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.5.已知)(x f 的函数值如下：x1.82.0 2.2 2.4 2.6 )(x f 3.14.46.08.01.00用复合梯形公式和复合辛普森公式求dx x f ⎰6.28.1)(的近似值.6.已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.第五章 常微分方程数值解法一、单项选择题1.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是k 1p c 1y (y y )2+=+,那么p c y ,y 分别为( ).p k k k c k k 1p y y hf (x ,y )y y hf (x ,y )+=+⎧⎨=+⎩(A) p k k k c k k 1k y y hf (x ,y )y y hf (x ,y )+=+⎧⎨=+⎩(B)p k k 1k c k k p y y hf (x ,y )y y hf (x ,y )+=+⎧⎨=+⎩(C) p k k k c k k p y y f (x ,y )y y f (x ,y )=+⎧⎨=+⎩(D)2. 求解常微分方程的二阶R-K 方法的局部截断误差为( ). 1O(h )(A) 2O(h )(B) 3O(h )(C) 4O(h )(D).3.解微分方程初值问题的方法，（ ）的局部截断误差为)(3h O . (A) 欧拉法 (B) 改进欧拉法(C) 三阶龙格—库塔法 (D) 四阶龙格—库塔法 二、计算题1. 写出四阶经典龙格-库塔法求解初值问题y 83yy(0)2'=-⎧⎨=⎩的计算公式,并取步长h 0.2= ,计算y(0.4) 的近似值,小数点后至少保留4位.2.用Euler 方法求解初值问题'(0)0⎧=-⎨=⎩y x yy ，取0.1=h 在区间[0,0.3]计算,结果保留到小数点后4位.3.初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y 有精确bx ax x y +=221)(，试证明： 用Euler法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε 4.写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需计算）⎩⎨⎧=+=1)0(')1y y x y ,10<<x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)0(13')2y x y y ,10<<x5.用改进欧拉法求解⎩⎨⎧=+=1)0('y yx y )10(≤≤x ，2.0=h ，取两位小数。