基本不等式 第二课时(新教材配套课件)
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2.2基本不等式(两个课时)课件(人教版)
的性质可得出结论.
【详解】 x
0 ，y 0 ，z 0 ，
由基本不等式可得 x y 2 xy ，y z 2 yz ，z x 2 zx ，
由不等式的性质可得 x y y z z x 2 xy 2 yz 2 zx 8xyz ，
条件：“一正二定三相等”，属于基础题.
章节：
第二章一元二次函数、方程和不等式
标题：2.2基本不等式
第2课时
1.基本不等式的应用
课堂例题
例3 (1)用篱笆围一个面积为1002 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多
少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少
析问题解决问题的能力.
2.通过创设具体情景，启动观察、分析、归纳、总结、抽
象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念
的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动
探索基本不等式性质，体验成功的乐趣.
3.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，
培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，
天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.
项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，
其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”
转化为“和式”的功能.
基本不等式：
+
∀ > 0, > 0， ≤
2
当且仅当＝时，等号成立.
课本P46 练习
ab
1.已知 a 、 bR ，求证： ab
1 2 ( x 1)
【详解】 x
0 ，y 0 ，z 0 ，
由基本不等式可得 x y 2 xy ，y z 2 yz ，z x 2 zx ，
由不等式的性质可得 x y y z z x 2 xy 2 yz 2 zx 8xyz ，
条件：“一正二定三相等”，属于基础题.
章节：
第二章一元二次函数、方程和不等式
标题：2.2基本不等式
第2课时
1.基本不等式的应用
课堂例题
例3 (1)用篱笆围一个面积为1002 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多
少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少
析问题解决问题的能力.
2.通过创设具体情景，启动观察、分析、归纳、总结、抽
象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念
的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动
探索基本不等式性质，体验成功的乐趣.
3.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，
培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，
天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.
项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，
其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”
转化为“和式”的功能.
基本不等式：
+
∀ > 0, > 0， ≤
2
当且仅当＝时，等号成立.
课本P46 练习
ab
1.已知 a 、 bR ，求证： ab
1 2 ( x 1)
基本不等式第二课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
xy·yx＝8.
即 x＝y＝4 时取等号，x＋y 的最小值为 8.
5
利用“1”的代换，转 化成适当的形式，然 后用基本不等式求最 值.
课堂精讲
利用基本不等式求最值的策略
6
课堂精讲
【训练 1】 (1)若 x<0，求1x2＋3x 的最大值；
(2)设 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy，求 x＋y 的最小值.
21
可以将两个变量中 的一个用另一个表 示，带入要求的式 子，利用基本不等 式求解.
课堂精讲
角度 1 “1”的代换、消元、构造定值法求最值 【例 3－1】 已知 x>0，y>0 且1x＋9y＝1，则 x＋y 的最小 值为________.
解析 所以(y－9)＋y－9 9≥2 (y－9)·y－9 9＝6. 当且仅当 y－9＝y－9 9，
18
课堂精讲
角度 1 “1”的代换、消元、构造定值法求最值 【例 3－1】 已知 x>0，y>0 且1x＋9y＝1，则 x＋y 的最小 值为________.
将含有“1”的式子 代入后再利用基本 不等式求最值.
解析 法一(1的代换) 因为1x＋9y＝1， 所以 x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋xy＋9yx.
当且仅当8y＝2x，即 xy
x＝2y＝12
时等号成立.
∴x＋y 的最小值是 18.
10
也可以先根据已知条 件变形，利用“1”的 代换，转化成适当的 形式，然后用基本不 等式求最值.
2.2基本不等式课件 第二课时
题型二 基本不等式的实际应用
数学
11
知识梳理
基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用， 是解决最大(小)值问题的有力工具.
基本不等式2课件高一上学期数学人教A版
第二章 一元二次函数、方程与不等式
2.2 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 4.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性
在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图) 抽象出了一类重要不等式： a2+b2≥2ab ① 不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立.
【答案】-2
巩固练习
4.若函数
y
x
25 (x x 1
1)的最小值，并求出y
取得最小值时x的值。
9;4
x 5.已知x、y>0，且满足3
y 4
1
，则xy的最大值
是多少？xy取最大值时x、y的值为多少？
3; 3 ;2
2
巩固练习
6.已知x、y>0，且
1 x
9 y
1，则4x+y的最小值是多
少？4x+y取最小值时x、y的值为多少？
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.
• 新课讲授
• 新课讲授
基本不等式的几何意义
D
A
C
B
E
例题精讲
例题精讲
总结归纳
基本不等式的使用条件
一正(两个数均为正数) 二定(两个数的积为定值或者和为定值) 三相等(检验等号是否成立)
总结归纳
最值定理
两个正数的积为定值时,它们的和有最小值； 两个正数的和为定值时,它们的积有最大值.
巩固练习
1.若x>-1，则 y x 1 9 的最小值，并求出y 取得最小值时x的值。 x 1
【答案】6；2
巩固练习
2.2 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 4.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性
在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图) 抽象出了一类重要不等式： a2+b2≥2ab ① 不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立.
【答案】-2
巩固练习
4.若函数
y
x
25 (x x 1
1)的最小值，并求出y
取得最小值时x的值。
9;4
x 5.已知x、y>0，且满足3
y 4
1
，则xy的最大值
是多少？xy取最大值时x、y的值为多少？
3; 3 ;2
2
巩固练习
6.已知x、y>0，且
1 x
9 y
1，则4x+y的最小值是多
少？4x+y取最小值时x、y的值为多少？
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.
• 新课讲授
• 新课讲授
基本不等式的几何意义
D
A
C
B
E
例题精讲
例题精讲
总结归纳
基本不等式的使用条件
一正(两个数均为正数) 二定(两个数的积为定值或者和为定值) 三相等(检验等号是否成立)
总结归纳
最值定理
两个正数的积为定值时,它们的和有最小值； 两个正数的和为定值时,它们的积有最大值.
巩固练习
1.若x>-1，则 y x 1 9 的最小值，并求出y 取得最小值时x的值。 x 1
【答案】6；2
巩固练习
数学必修Ⅴ人教新课标A版3-4-2基本不等式的应用课件(37张)
1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题. （重点） 2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式.（重点）
3.会求给定条件的最值问题.
探究点1 基本不等式在求最值中的应用 例1 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短.最短的篱笆是多少？ 【解题关键】设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值.
【规律总结】
当xy的值是常数 P 时，当且仅当x=y时，
x+y有最小值 2 P. 结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.
例1 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面 积最大.最大面积是多少？
【解题关键】设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xy m2.即求xy的最大值.
当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，
xy有最大值
1 4
S
2
.
结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.
最值定理
结论1 两个正数积为定值，则和有最小值. 结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.
注意：①各项皆为正数； ②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正”， 二“定”， 三“等”.
【解析】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
因为 x y xy， 所以x y 2 100 20. 2
则2(x y) 40.
当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所 用篱笆最短，最短篱笆是40 m.
2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x 3
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:
x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1，当且仅当 =
，即 m = ， n = 时，等号成立，
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题：常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > ， > ， > ，且 + + = ，
∴ +
=+
+
=+
=
++
+
++
+ + + +
高中数学 基本不等式二 新人教A版必修优秀PPT
本不等式，同时要注意等号成立的条件，否则容易出错． 等式．
题型2 利用基本不等式与题设条件求最值问题
1.进一步掌握基本不等式ab≤a＋2b.
栏2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一 些目简单的实际问题． 链 接3．会用基本不等式的变式如a2＋2b2≥a＋2b2(a，b∈R＋)证明不
等式．
题型3 利用基本不等式求解应用题
解析：方法一 (1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件知 4x＋6y＝36，
即 2x＋3y＝18，设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy， 由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227，即 S≤227. 当且仅当 2x＝3y 时等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18，解得xy＝ ＝43..5，
2，y＝
2－1 时，
x 1＋1 y取最小值 3＋2
2.
1.进一步掌握基本不等式ab≤a＋2b.
栏2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一 些目简单的实际问题． 链 接3．会用基本不等式的变式如a2＋2b2≥a＋2b2(a，b∈R＋)证明不
等式．
点评：使用基本不等式求最值时，各项必须为正数，方可利用基 1.进一步掌握基本不等式ab≤a＋2b. 栏2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一 些目简单的实际问题． 链 接3．会用基本不等式的变式如a2＋2b2≥a＋2b2(a，b∈R＋)证明不
等式．
题型1 用基本不等式与不等式的性质证明不等式
点评：利用不等式a＋b≥2ab和a＋b≥2 ab(a＞0，b＞0)时， 2 2
1.进一步掌握基本不等式ab≤a＋2b.
栏2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一
题型2 利用基本不等式与题设条件求最值问题
1.进一步掌握基本不等式ab≤a＋2b.
栏2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一 些目简单的实际问题． 链 接3．会用基本不等式的变式如a2＋2b2≥a＋2b2(a，b∈R＋)证明不
等式．
题型3 利用基本不等式求解应用题
解析：方法一 (1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件知 4x＋6y＝36，
即 2x＋3y＝18，设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy， 由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227，即 S≤227. 当且仅当 2x＝3y 时等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18，解得xy＝ ＝43..5，
2，y＝
2－1 时，
x 1＋1 y取最小值 3＋2
2.
1.进一步掌握基本不等式ab≤a＋2b.
栏2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一 些目简单的实际问题． 链 接3．会用基本不等式的变式如a2＋2b2≥a＋2b2(a，b∈R＋)证明不
等式．
点评：使用基本不等式求最值时，各项必须为正数，方可利用基 1.进一步掌握基本不等式ab≤a＋2b. 栏2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一 些目简单的实际问题． 链 接3．会用基本不等式的变式如a2＋2b2≥a＋2b2(a，b∈R＋)证明不
等式．
题型1 用基本不等式与不等式的性质证明不等式
点评：利用不等式a＋b≥2ab和a＋b≥2 ab(a＞0，b＞0)时， 2 2
1.进一步掌握基本不等式ab≤a＋2b.
栏2．会用基本不等式求某些函数的最大值、最小值，能够解决一
5.1.2不等式的基本性质(2) 课件 (人教A版选修4-5)
A、A<B<C<D; C、D<B<A<C;
B、D<A<B<C; D、B<D<A<C
【解题回顾】本题采用了赋值法，使问题得以简化、明
朗．赋值法是解选择题、开放题等常用的方
法．它将复杂的问题简单化，是我们常用的 数学方法．
作业
• P10 1 、 3 、 4
不等式的基本性质
（ ）a b b a(对称性）； 1 单向性 （2）a b, b c a （传递性） c ; 双向性 （3）a b a c b （可加性） c ; a b,c d a c b d ; （4）a b,c 0 ac bc;a b,c 0 ac bc; a b 0,c d 0 ac bd ; n b n ; （5）a b 0,nN ,n 1 a （6）a b 0, n N , n 1 n a n b .
例1已知a b 0，c d 0,求证 a d b . c
e e 例2、已知a求证： a c bd
【解题回顾】在证明不等式时要依据不等式的性质进行，不能
自己“制造”性质来进行．
例3:在三角形ABC中,求A-B的取值范围.
1 2 例4、已知 x ，求下列式子的取值范围。 3 3
不等式的基本性质
(第二课时)
【知识回顾】
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法:
(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下
结论． 大多用于比较幂指式的大小．
探究！
类比等式的基本性质，不等 式有哪些基本性质呢？
第1讲1第2课时基本不等式课件人教新课标
当且仅当a＝b＝c时取等号.
证明
反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应第一根据不等式两边式子 的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合 理地选择基本不等式进行证明.
跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd； 证明 ∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2 abcd，ac＋bd≥2 acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号.
B.若 x＞0，则 cos x＋co1s x≥2
cos
1 x·cos
x＝2
C.若 x＜0，则 x＋4x≤2 x·4x＝4
√D.若 a，b∈R，且 ab＜0，则ba＋ab＝－－ba＋－ba≤－2 －ba－ab＝－2
12345
解析 答案
4.当 x＞1 时，函数 y＝x＋x－1 1的最小值是___3___. 解析 因为 x＞1， 所以 y＝x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 x－1·x－1 1＋1＝3， 当且仅当 x－1＝x－1 1， 且x＞1，即x＝2时等号成立.故函数的最小值为3.
解答
达标检测
1.下列不等式中，正确的个数是 ①若 a，b∈R，则a＋2 b≥ ab； ②若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2＞2；
③若 x∈R，则 x2＋1＋x2＋1 1≥2；
a＋ b ④若 a，b∈R＋，则 2 ≥ ab.
A.0
√ B.1 C.2 D.3
12345
解析 答案
2.已知 a＞0，b＞0，a，b 的等差中项是12，且 α＝a＋1a，β＝b＋1b，则 α
12345
解析 答案
5.已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1.求证：a2＋b2≥12. 证明 ∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1， ∴a2＋b2≥12， 当且仅当 a＝b＝12时，等号成立.
证明
反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应第一根据不等式两边式子 的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合 理地选择基本不等式进行证明.
跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd； 证明 ∵a，b，c，d，∈R＋， ∴ab＋cd≥2 abcd，ac＋bd≥2 acbd， ∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝d且b＝c时取等号.
B.若 x＞0，则 cos x＋co1s x≥2
cos
1 x·cos
x＝2
C.若 x＜0，则 x＋4x≤2 x·4x＝4
√D.若 a，b∈R，且 ab＜0，则ba＋ab＝－－ba＋－ba≤－2 －ba－ab＝－2
12345
解析 答案
4.当 x＞1 时，函数 y＝x＋x－1 1的最小值是___3___. 解析 因为 x＞1， 所以 y＝x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 x－1·x－1 1＋1＝3， 当且仅当 x－1＝x－1 1， 且x＞1，即x＝2时等号成立.故函数的最小值为3.
解答
达标检测
1.下列不等式中，正确的个数是 ①若 a，b∈R，则a＋2 b≥ ab； ②若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2＞2；
③若 x∈R，则 x2＋1＋x2＋1 1≥2；
a＋ b ④若 a，b∈R＋，则 2 ≥ ab.
A.0
√ B.1 C.2 D.3
12345
解析 答案
2.已知 a＞0，b＞0，a，b 的等差中项是12，且 α＝a＋1a，β＝b＋1b，则 α
12345
解析 答案
5.已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1.求证：a2＋b2≥12. 证明 ∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1， ∴a2＋b2≥12， 当且仅当 a＝b＝12时，等号成立.
基本不等式第二课时课件
则篱笆长为
100 （ x + 2 ) x
B
x
C
若x、y皆为正数， 2 x ⋅ 100 皆为正数， 、 100 ) ≥ 2 × 2( x + 皆为正数 =40 x x 则当xy的值是常数 的值是常数P时 则当 的值是常数 时， 100 此时x=10. 此时 当且仅当 x = 时， 等号成 时，等号成 当且仅当x=y时 当且仅当 x 立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 因此，这个矩形的长、宽都为 时 x+y有最小值 2 P 有最小值_______. 有最小值 最短，最短的篱笆是40m. 最短，最短的篱笆是
利用基本不等式求最值时， 利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； 各项皆为正数； 正数 和或积为定值 即积定和最小； 定值； ②和或积为定值；即积定和最小；和定积最大 注意等号成立的条件. 等号成立的条件 ③注意等号成立的条件 一“正” 二“定” 相等” 三“相等”
练习1 1 已知函数 y = x + ， 求证（1）当x>0时，函数的最小值； x （2）当x<0时，函数的最大值.
x + y≥2 xy = 2 P
如图， 例1：(2)如图，用一段长为 ： 如图 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形 的篱笆围成一个矩形 菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时， 菜园 ， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 ， 菜园的面 积最大，最大面积是多少？ 积最大，最大面积是多少？ A D 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 如图， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18
2. 若 0<x< 1 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值 - 的最大值. 2 分析: =1为 常数. 分析 2 x+(1-2x) 不是 常数 为 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ·2x·(1-2x) 1 ·[2x+(1-2x) ]2 1 = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 号 1 ∴当 x = 1 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 8 . 4
基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
当且仅当6x＝ x ，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.
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2. 2基本不等式
第二课时 基本不等式的应用
【学习目标】
1.会用基本不等式求最值.
2.能应用不等式解决实际问题.
【自主学习】 一．设计问题，创设情境
问题
1
若
x
3，x
x
4
3
的最小值是 8
吗？
问题 2 已知 a 0,b 0, 且 1 16 1, a b 的最小值是16 吗？
ab
问题
1
若
x
例 2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4800m3, 深为 3m.如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价 为 120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多 少？
例 3 已知 x 0，求 x2 1 的最小值. 2x
解：
x 0, x2 1 x2 1 x 1
1 a
16 b
1,
解得
a b
5, 20.
故当a 5,b 20 时，a b 取得最小值25.
多次使用基 本不等式， 等号成立的 条件不同致 错
二、学生探索、尝试解决
问题 3 若把不等式 ab a b 两边平方，能获得什么不等式？
2
ab
a
2
b
2
问题 4 若把不等式 ab a b 中的 a、b 分别替换成 a2、b2，能获得什么不等 2
3. 用一段长为 30m 的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长 18m。当这个
矩形的边长为多少时，菜园面积最大，最大面积是多少？ 225 15 7.5
4. 已知 x 0 ，求 x2 5x 4 的最小值. x
2 92
5.已知0 x 2 ，求 （x 2-3x）的最大值． 3
11 33
【分层作业】 邹平一中 2020 级高一数学导学案 009 主备人：
x3
x3
x3
当且仅当
x 3 4 ，即 x 5
x3
时，等号成立；x 4
x3
的最小值为7.
问题 2 已知 a 0,b 0, 且 1 16 1, a b 的最小值是16 吗？
ab
解： a 0,b 0,
1 16 2 16 8 1 ,
ab
ab
ab
错解 8 1 1, 1 1 ,ab 64.
必做 P177 T1 14 选做 P177 T15
审核人： 日期：
问题 2 求函数 f (x) x 1 x2 的最大值.
忽略变量 的取值范
解：f (x) x
1 x2 =
x2 1 x2
x2+ 1 x2
=1
围致错
错解 2
2
当且仅当 x2 =1 x2，即 x
2
1
时，等号成立，则所求的最大值为 2 .
则 f (x) x
1 x2 <0 的最大值是
1 2
.
ab
ab 64
a b 2 ab 16,a b 的最小值是16.
正解： a 0,b 0, 1 16 1,
ab
a
b
1 a
16 b
a
b116Fra bibliotekb a
16a b
b 16a 17 2 17 2 4 25.
ab
当且仅当 b 16a ，即 b2 16a2时，等号成立.
ab
由
b2 16a2 ,
3，
x
x
4
3
的最小值是
8
吗？
忽略定值 的条件致
错
解： x 3 4 0, x 4 2 x 4 .
错解x 3
x3
x3
当且仅当
x 4 , ，即 x 4,
x3
时， x 4
x3
取最小值 2 x 4 8 .
x3
正解：
x 3 x 3 0, 4 0, x3
x 4 x 3 4 3 2 x 3 4 3 7,
2
正解：由1 x2 0 知 -1 x 1
当 0 x 1 时，f (x) x
1 x2 =
x2 1 x2
x2+ 1 x2
=1
2
2
当且仅当 x2 =1 x2 ，即
x
2 2
时，等号成立；
当x 0或x 1 时，f (x) x 1 x2 =0
当 -1 x 0 时，f (x) x 1 x2 <0.
2x 2x 2x 2 2x
2 x 1 1 2 2x
当且仅当 x 1 ，即 2x2 2, x 1时，等号成立，所求最小值为1.
2 2x
五．信息交流，教学相长
问题 5 运用基本不等式解决问题有哪些技巧与方法？
【当堂检测】
1. 求 x(10 x) 的最大值.
25 5
2．用 20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 5 5 25
式？
a2 b2 ab
2
三、运用规律，解决问题
例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少 时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (2)一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大.最大面积是多少？
四、变练演练，深化提高
第二课时 基本不等式的应用
【学习目标】
1.会用基本不等式求最值.
2.能应用不等式解决实际问题.
【自主学习】 一．设计问题，创设情境
问题
1
若
x
3，x
x
4
3
的最小值是 8
吗？
问题 2 已知 a 0,b 0, 且 1 16 1, a b 的最小值是16 吗？
ab
问题
1
若
x
例 2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4800m3, 深为 3m.如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价 为 120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多 少？
例 3 已知 x 0，求 x2 1 的最小值. 2x
解：
x 0, x2 1 x2 1 x 1
1 a
16 b
1,
解得
a b
5, 20.
故当a 5,b 20 时，a b 取得最小值25.
多次使用基 本不等式， 等号成立的 条件不同致 错
二、学生探索、尝试解决
问题 3 若把不等式 ab a b 两边平方，能获得什么不等式？
2
ab
a
2
b
2
问题 4 若把不等式 ab a b 中的 a、b 分别替换成 a2、b2，能获得什么不等 2
3. 用一段长为 30m 的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长 18m。当这个
矩形的边长为多少时，菜园面积最大，最大面积是多少？ 225 15 7.5
4. 已知 x 0 ，求 x2 5x 4 的最小值. x
2 92
5.已知0 x 2 ，求 （x 2-3x）的最大值． 3
11 33
【分层作业】 邹平一中 2020 级高一数学导学案 009 主备人：
x3
x3
x3
当且仅当
x 3 4 ，即 x 5
x3
时，等号成立；x 4
x3
的最小值为7.
问题 2 已知 a 0,b 0, 且 1 16 1, a b 的最小值是16 吗？
ab
解： a 0,b 0,
1 16 2 16 8 1 ,
ab
ab
ab
错解 8 1 1, 1 1 ,ab 64.
必做 P177 T1 14 选做 P177 T15
审核人： 日期：
问题 2 求函数 f (x) x 1 x2 的最大值.
忽略变量 的取值范
解：f (x) x
1 x2 =
x2 1 x2
x2+ 1 x2
=1
围致错
错解 2
2
当且仅当 x2 =1 x2，即 x
2
1
时，等号成立，则所求的最大值为 2 .
则 f (x) x
1 x2 <0 的最大值是
1 2
.
ab
ab 64
a b 2 ab 16,a b 的最小值是16.
正解： a 0,b 0, 1 16 1,
ab
a
b
1 a
16 b
a
b116Fra bibliotekb a
16a b
b 16a 17 2 17 2 4 25.
ab
当且仅当 b 16a ，即 b2 16a2时，等号成立.
ab
由
b2 16a2 ,
3，
x
x
4
3
的最小值是
8
吗？
忽略定值 的条件致
错
解： x 3 4 0, x 4 2 x 4 .
错解x 3
x3
x3
当且仅当
x 4 , ，即 x 4,
x3
时， x 4
x3
取最小值 2 x 4 8 .
x3
正解：
x 3 x 3 0, 4 0, x3
x 4 x 3 4 3 2 x 3 4 3 7,
2
正解：由1 x2 0 知 -1 x 1
当 0 x 1 时，f (x) x
1 x2 =
x2 1 x2
x2+ 1 x2
=1
2
2
当且仅当 x2 =1 x2 ，即
x
2 2
时，等号成立；
当x 0或x 1 时，f (x) x 1 x2 =0
当 -1 x 0 时，f (x) x 1 x2 <0.
2x 2x 2x 2 2x
2 x 1 1 2 2x
当且仅当 x 1 ，即 2x2 2, x 1时，等号成立，所求最小值为1.
2 2x
五．信息交流，教学相长
问题 5 运用基本不等式解决问题有哪些技巧与方法？
【当堂检测】
1. 求 x(10 x) 的最大值.
25 5
2．用 20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 5 5 25
式？
a2 b2 ab
2
三、运用规律，解决问题
例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少 时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (2)一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大.最大面积是多少？
四、变练演练，深化提高