初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-圆
初中数学竞赛辅导讲义---圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC 交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则： (1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ； (4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．学力训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． (2003年上海市中考题)3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ；(2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A ．2B ．221+C ．231+D ．231+6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( )A ．5B ．52C ．52+D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切9．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O l于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；(2)求证：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．10．如图，已知⊙O l和⊙O2外切于A，BC是⊙O l和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙O l于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙O l的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D．1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案。
圆竞赛知识点总结
圆竞赛知识点总结圆是我们在数学中常见的一个几何形状，它在数学的各个分支中都有着重要的地位。
在数学竞赛中，圆的知识是必不可少的，它涉及了很多基础的几何知识和运算技巧。
本文将对圆的相关知识进行总结，希望可以对参加数学竞赛的同学有所帮助。
1. 圆的基本概念圆是平面上到一个定点距离等于一个定长的点的全体。
这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径。
而圆的直径是穿过圆心的两个点，并且圆的任何一条直径都被分成两个半圆。
2. 圆的基本性质（1）圆的面积和周长圆的面积公式是S=πr^2，其中r是圆的半径。
而圆的周长（也就是圆的边长）公式是C=2πr。
（2）圆的内接四边形和外接四边形圆的内接四边形是指在圆内部的四边形，而外接四边形是指在圆外部的四边形。
圆的内接四边形和外接四边形在数学竞赛中常常需要应用一些性质来进行相关的计算。
3. 圆的相关定理（1）切线与圆的交点圆的切线与圆的交点的性质是数学竞赛中经常考察的问题。
具体来说，如果一个线段与圆只有一个交点，那么这个线段就可以称为是圆的切线。
切线与圆的交点有着很多相关的性质，如切线与切线的交点、切线与半径的交点等。
（2）弦的性质圆上的弦是在圆内部连接两点的线段。
圆的弦有着很多性质，如弦与切线的交点、弦长的计算等。
在数学竞赛中，考察弦的性质是一个很常见的问题。
（3）圆心角和弧度圆心角是指以圆心为顶点的角。
圆心角的角度是以角的顺时针旋转所在的弧长来度量的。
而弧度是用角度的弧长来度量的。
圆心角和弧度在数学竞赛中是比较常见的计算题目。
（4）圆的判定定理圆的判定定理是指给定几个点的时候如何确定一个圆。
这个问题在数学竞赛中也是比较常见的题目。
4. 圆与其他图形的关系（1）圆与三角形的关系圆和三角形有着很多关系，比如三角形内外接圆的性质、三角形内外接圆的圆心位置等。
圆和三角形的关系是数学竞赛中经常考察的内容。
（2）圆与四边形的关系圆和四边形的关系也是数学竞赛的常见题目。
比如四边形内外接圆的性质、四边形内接圆和外接圆的圆心位置等。
九年级数学竞赛讲座圆的基本性质附答案
【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ． 作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．2 B ．25C ．45D ．16175思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数； (2)求证：△FDM ∽△COM ；(3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论． 思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．⌒ ⌒⌒⌒注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3． (1)求证：AF ＝DF ； (2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积． 思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小弦AB= ． 2．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a．是轴对称图形但不是中心对称图形．b．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为( ) A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25 C ．3 D ．3166．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（ ）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数． 9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ． (1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ， 则∠CAB= ．11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形． ①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系⌒⌒是 ．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根． (1)求线段OA 、OB 的长；(2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒ ⌒参考答案。
初中竞赛圆知识点
圆的基本性质：
1、圆是定点的距离等于定长的点的集合
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
4、同圆或等圆的半径相等
5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线
16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
△ABC的外接圆的直径，则BC＝AE.其中正确的是
A． B． C． D.
4.（1）如图1，在⊙O中，C是 的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE.请证明此结论；
（2）从圆上任一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦.如图２，PA,PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧 的中点，直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB. 请证明此结论；
21、①直线L和⊙O相交 d﹤r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d﹥r
22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆）
《圆的基本性质》奥数复习题
《圆的基本性质》复习题姓名 学号一、填空题1.如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 .2.在Rt ΔABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆直径是3.在等边三角形ABC 外有一点D ，满足AD=AC ，则∠BDC= 。
4.在四边形ABCD 中，AB=BC=AC=AD ，AH ⊥CD 于H ，CP ⊥BC 交AH 于P ，若AP=l ，则BD=5.如图，点A 、B 、Q 、D 、C 在圆上，BQ 与QD 分别是42°和38°， 则∠P+∠Q= . 6．（1998年全国初中数学竞赛试题）已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为 cm 。
7.如图，扇形MON 中,∠MON=90°,过线段MN 的中点A 作AB ∥ON ，交MN 于B ，∠BON= 8.（2008年蚌埠二中自主招生考试数学素质测试题）已知⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则BAC ∠的度数是 。
9.（2006年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛初赛试题）半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连结OP ，若OP ＝1，则AB ²＋CD ²的值为 。
10.如图，在△ABC 中，∠A= 70°，⊙O 截△ABC 的三边所截得的弦长都相等，则∠BOC= .11.如图，△ABC 内接于直径为d 的圆．设BC=a ，AC=b ，那么△ABC 的高 CD= .12.（北京市竞赛题）如图所示，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989 cm ²，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 。
13.如图，在直径为20cm 的半圆0上P 、Q 两点，PC ⊥ AB 于C,QD ⊥AB 于D,QE ⊥ PO 于 E,AC=4cm ，则DE= cm.14.已知P 是正方形ABCD 内的一点，O 为正方形的中心，AP⊥BP ，OP=，PA=6，则正方形ABCD 的边长为 。
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-辅助圆
初中数学竞赛辅导讲义---辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1．利用圆的定义添补辅助圆；2．作三角形的外接圆；3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．(3)若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆．(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．【例题求解】【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( )A．6 B．7 C．12 D．16思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．思路点拨先作出△ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等．【例4】 如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CD PC PD PB ．思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．【例5】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．学力训练1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 ．2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100），则10021m m m +++Λ= ．3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个4．如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( )A ．k 21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k1 5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( )A ．3B ．31C ． 32D ．43 7．如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，DE ，EF ，求证：H 是△DEF 的内心．8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ．求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)CECH BD BH =9．如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180-ο．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，10．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．11．如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：)11(211PBPA PC +=参考答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆
第二十三讲圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有文档设计者：设计时间：文档类型：文库精品文档，欢迎下载使用。
Word精品文档，可以编辑修改，放心下载如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC 交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则： (1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ； (4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．学力训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． (2003年上海市中考题)3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ；(2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A ．2B ．221+C ．231+D ．231+ 6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( )A ．5B ．52C ．52+D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切9．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O l于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；(2)求证：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．10．如图，已知⊙O l和⊙O2外切于A，BC是⊙O l和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙O l于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙O l的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D．1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案温馨提示After writing the test paper, you must remember to check Oh, I wish you all can achieve good results!可以编辑的试卷（可以删除）。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第18讲 圆的基本性质
第十八讲圆的基本性质形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：
三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结
(3)如图乙，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、
ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否有△FDM∽△COM? 证明你的结论．
形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3．
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(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x的值．
圆相关问题的关键．
形A被这些圆所覆盖．
轴对称和中心对称性．
要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm，问：一张这种晶圆片能否切
中，不写推理过程)；
最小值为．
换叫作反演变换，点P与点P′叫做互为反演点．
的周长．
根．
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(试卷)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---第八章相交两圆的性质及应用
第八章相交两圆的性质及应用【基础知识】两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地，由此我们也可获得相交两圆的一系列有趣性质．性质1相交两圆的连心线垂直平分公共弦．性质2以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线为对边的三角形称为两相交圆的内接三角形，相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值． 推论1在相交两圆中，内接三角形都相似．如图81-，ACD △，AGH △，BEF △均相似．推论2在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一边垂直，则另两边必分别为两圆直径，反之亦真．如图81-中，AC ，AD 分别为1O e ，2O e 的直径AB CD ⇔⊥．推论3在相交两圆中，两内接三角形的割线段边相等的充要条件是公共弦与这两边成相等的角．推论4在相交两圆中，内接三角形的交点（两圆交点）顶点，两非交点顶点以及两非交点顶点处的两切线交点，此四点共圆，或两非交点顶点处的两切线交点在内接三角形的外接圆上． 性质3两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段．性质4以相交两圆的两交点分别为视点，对同一外公切线线段的张角的和为180︒． 性质5两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立：（1）公共弦对两圆的张角相等；（2）过同一交点的两条割线交两圆所得两弦相等；（3）内接三角形以相交两圆交点为顶点的两边相等（即为等腰三角形）． 事实上，如图82-，1O e 与下2O e 相交于A ，B ．（1）令ACB α∠=，ADB β∠=，1O e 与2O e 为等圆()(),0,πsin sin AB ABαβαβαβ⇔=⇔=∈．图8-1EC图8-2（2）1O e 与2O e 为等圆sin sin EG FHGE HF GBE HBF⇔=⇔=∠∠．（3）由正弦定理即证．性质6过相交两圆的两交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行． 事实上，如图83-所示，即可证得CE DF ∥ （证略）．性质71O e 与2O e 相交于A 、B ，EF 是过B 的一条割线段，E 在1O e 上，F 在2e 上，N 为12O O 的中点，则M 为EF 的中点的充要条件是MN NB =．事实上，如图83- （a ），设1M ，K ，2M 分别为1O 、N 、2O 在EF 上的射影，由垂径定理，知1M 、2M 分别为EB 、BF 的中点，由梯形中位线定理知K 为12M M 的中点，不妨设EB BF ≥，则121122244M M EB EB EB BF EB BFKB M B M K +-=-=-=-=由M 为EF 的中点2EB BFEM MF +⇔== 4EB BFMK MF KB BF -⇔=--=MK KB NM NB ⇔=⇔=．（注意NK MB ⊥） 注 特别地，当M 与B 重合时，有NB EF ⊥． 【典型例题与基本方法】例1如图84-，四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ．设三角形ABP ，BCP ，CDP和DAP 的外接圆圆心分别是1O ，2O ，3O ，4O ．求证：OP ，13O O ，24O O 三直线共点．（1990年全国高中联赛题）EAFCDB EAF CDB图8-3(c)(a)(b)图8-4证明连2PQ 并两方延长交2O e 于Q ，交AD 于R 在PRD △和PBQ △中，PDR BDA BCA BCP BQP ∠=∠=∠=∠=∠，DPR QPB ∠=∠，以而90PRD PBQ ∠=∠=︒，即2PO AD ⊥． 利用相交两圆的性质1，知O e 与4O e 的连心线4OO ⊥公共弦AD ，故24PO OO ∥． 同理，42PO OO ∥．从而24PO OO 为平行四边形，24O O 交OP 于其中点G ． 同理，13O O 也交OP 于其中点G ． 所以，OP ，13O O ，24O O 三直线共点．例2如图85-，证明：若凸五边形ABCDE 中， ABC ADE ∠=∠，AEC ADB ∠=∠，则BAC DAE ∠=∠． （第21届全俄中学生（10年级）奥林匹克题）证明设对角线BD 与CE 相交于F ．由AEC AEF ADB ADF ∠=∠=∠=∠，知A ，E ，D ，F 共圆．因此，AFE ADE ABC ∠=∠=∠，即180ABC AFC ∠+∠=︒，故A ，B ，C ，F 共圆． 此时，两圆ABCF e 与AFDE e 相交于点F ，A ，从而由相交两圆性质2的推论1，知ADB AEC △∽△，即BAD CAE ∠=∠，故BAC DAE ∠=∠．例3如图86-，两圆1O e ，2O e 相交于A ，B ，1O e 的弦BC 交2O e 于E ，2O e 的弦BD 交1O e 于F ．证明：（Ⅰ）若DBA CBA ∠=∠，则DF CE =；（Ⅱ）若DF CE =，则DBA CBA ∠=∠．（1979年全国高中联赛题）证明（Ⅰ）对图86- （a ），因A ，B ，E ，D 四点共圆，有ABD AED ∠=∠，且ABC ADE ∠=∠，而么ABD ABC ∠=∠，故AED ADE ∠=∠，于是AD AE =． 又由相交两圆性质2的推论1，知ADF AEC △∽△．注意到AD AE =，则ADF AEC △△≌，故DF EC =． 对图86- （b ），由A ，E ，B ，D 及A ，C ，B ，F 分别四点共圆，有AEC ADF ∠=∠，ACE AFD ∠=∠又由 CBA ABD ∠=∠，知AC AF =，AE AD =，有AEC ADF △△≌，故DF CE =．EAFC DB图8-5CEC(a)(b)图8-6（Ⅱ）由DF CE =及（Ⅰ）中证明，可得ADF AEC △△≌，由此，可推证得DBA CBA ∠=∠．注此例的第（Ⅰ）部分，1988年又作为第13届全俄中学生数学竞赛题：两圆相交于点M ，N ．过点M 引直线1l ，2l ，使它们分别与弦MN 所构成的角相等．除点M 外，1l 与两圆的交点分别为A ，B ，2l 与两圆的交点分别为C ，D ．证明：AB CD =．例4如图87-，已知1O e 与2O e 相交于A ，B ，直线MN 垂直于AB 且分别与1O e ，2O e 交于M ，N ，P 为线段MN 的中点，1Q ，2Q 分别是1O e ，2O e 上的点，1122AO Q AO Q ∠=∠．求证：12PQ PQ =． （1985年广州、武汉、福州联合初中竞赛题）证明连MB ，BN ，因BA MN ⊥，则由相交两圆性质2的推论2，知1O 在MB 上，2O 在BN 上．连12O O ，1O P ，则四边形12O O NP 为平行四边形，即122O P O N O A ==．于是，知12O O AP 为等腰梯形，从而 12AO P AO P ∠=∠，2111PO AO O Q ==．又1122AO Q AO Q ∠=∠，注意1222O P O N O Q ==，便有1122O Q P O PQ △△≌． 故12PQ PQ =．注此例实际上是由IMO 21-第3题改编而来：平面上两圆相交，其中一交点为A ，两边点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后同时返回到A 点．求证：平面上有一定点P ，它不论在何时皆和两动点等距离．例5如图88-，平面上两圆1O e 与2O e 相交，其中一交点为A ．两动点1Q ，2Q 各以匀速自A 点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后可同时返回到A 点．求证：过A 的任一割线交两圆的两交点M ，N 分别与对应的移动中的1Q ，2Q 的连线互相平行．（IMO 21-试题改编）Q 图8-7证明设两动点1Q ，2Q 出发后，经某一时段后分别到达1O e 和2O e 上的如图88-所示位置．不妨设两动点是按逆时针方向移动，因移动一周的时间相同，故1122AO Q AO Q ∠=∠．设B 为1O e 与2O e 的另一交点，连1Q B ，2Q B ．因圆周角等于所对的同弧上的圆心角的一半，故11112ABQ AO Q ∠=∠，222211801802ABQ ANQ AO Q ∠=︒-∠=︒-∠，即1211221118018022ABQ ABQ AO Q AO Q ∠+∠=∠+︒-∠=︒，从而1Q ，B ，2Q 三点共线．于是由性质6，知12MQ NQ ∥． 【解题思维策略分析】1．发掘题给条件中的两圆性质例6如图89-，1O e 与2O e 的半径均为r ，1O e 过ABCD Y 的两顶点A ，B ，2O e 过顶点B ，C ，M 是1O e ，2O e 的另一个交点，求证：AMD △的外接圆半径也是r ．证明作ABMN Y ，连ND ，MC ，则四边形DCMN 也是平行四边形．记BAM α∠=，BCM β∠=，由于1O e 与2O e 是等圆，由相交两圆的性质5（1），αβ=．注意到AD BC ∥，ND MC ∥，AB NM ∥，则知ADN BCM BAM AMN βα∠=∠===∠=∠，由此，有A ，D ，M ，N 四点共圆，于是，AMD AND ∠=∠． 又注意到AN BM ∥，DN CM ∥，有AND BMC ∠=∠，于是AMD BMC ∠=∠． 设AMD △的外接圆半径为R ，则由正弦定理有图8-8图8-922sin sin AD BCR r AMD BMC===∠∠．故R r =．这说明AMD △的外接圆半径也是r ． 例7如图810-，已知A 为平面上两个半径不等的1O e 与2O e 的一个交点，两圆的两条外公切线分别为12P P 和12Q Q ，切点分别为1P ，2P ，1Q ，2Q ，1M 和2M 分别为11PQ ，22P Q 的中点．求证：1212O AO M AM ∠=∠．（IMO -24试题）证明延长1AO 交1O e 于E ，延长2AO 交2O e 于F ，由性质2的推论2，知E ，B ，F 三点共线． 由于两圆半径不等，设直线21P P 与21Q Q 相交于O ，则O 点在21O O 所在直线上．连OB 并延长交1O e 于K ，交2O e 于L ，连1M K ，1M B ，2M L ．延长BA 交12P P 于N ，则由性质3知12PN NP =，所以线段12M M 与弦AB 互相垂直平分．于是， 2112121180AM M M M L BM M BM O ∠+∠=∠+∠=︒，即A ，2M ，L 三点共线．同理，A ，1M ，K 三点共线．故由性质2的推论1，知AKL AEF △∽△，即有1212O AO M AM ∠=∠．例8如图811-，圆1Γ和圆2Γ相交于点M 和N ．设l 是圆1Γ和圆2Γ的两条公切线中距离M 较近的公切线，l 与1Γ切于点A ，与2Γ切于点B ．设过M 且与l 平行的直线与圆1Γ还相交于点C ，与圆2Γ还相交于点D ．直线CA 和DB 交于点E ，直线AN ，BN 分别交直线CD 于点P 和Q ．求证：EP EQ =． （IMO -41试题）图8-10O证明连NM 并延长交AB 于G ，则由相交两圆的性质3，知G 为AB 的中点．在NAB △中，由PQ AB ∥又可得M 为PQ 的中点．由AB CM ∥及AB 为1Γ的切线，连AM ，则推知AC AM =，从而知MAG CAT GAE ∠=∠=∠ （T 在GA 延长线上），故AB 平分EAM ∠． 同理，连BM ，知AB 平分EBM ∠．此时，即知E ，M 关于直线AB 对称，故EM AB ⊥． 于是，在EPQ △中，有EM PQ ⊥，从而EP EQ =．2．根据题设条件构作相交圆例9如图812-，自ABC △的外接圆O e 上任一点P ，引三边或其延长线的垂线PL ，PM ，PN ，分别交BC 于L ，交AB 于M ，交CA 于N ，交O e 分别于A '，B '，C '．求证：A A B B C C '''∥∥． 证明注意到西姆松定理，知L ，M ，N 三点共线．由P ，B ，L ，M 四点共圆，且此圆与ABC △的外接圆O e 相交于P ，B 两点，BC ，PC '是过这两相交圆交点的两条割线，根据相交两圆性质5，知LM CC '∥，同样，PA '，BA 也是过这两相交圆交点的两条割线，由性质6有LM A A '∥．故A A C C ''∥． 又由P ，M ，A ，N 四点共圆，此时PN ，AB 是分别过PMAN e 与PABC e 的交点P ，A 的两条割线，由性质6知BB NL '∥，故A A B B C C '''∥∥． 例10如图813-，等腰ABC △中，AB AC =，D 是AB 延长线上一点，E 是AC 上一点，且CE BD =，DE 交BC 于F ，经过B ，D ，F 的圆交ABC △的外接圆于G ．求证：GF DE ⊥．图8-11NQMPGA CB T Γ2Γ1lE DCC 'A'B L OM N AB'P图8-12证明由题设，知B ，D ，G ，F 及A ，B ，G ，C 分别四点共圆，连BG ，DG ，AG ，有FDG FBG CBG GAC GAE ∠=∠=∠=∠=∠，从而知A ，D ，G ，E 四点共圆．此时，连EG ，FG ，则GEC ADG BDG CFG ∠=∠=∠=∠，所以G ，C ，E ，F 四点共圆．于是，DE ，BC 是过两相交圆BDGF e 与GCEF e 的交点F 的两条割线． 由于CE BD =， CFE BFD ∠=∠，由两相交圆性质5（2），知BDGF e 与GCEF e 是等圆．又由A ，B ，G ，C 共圆，有DBG ECG ∠=∠．再注意到性质5（2），知DG GE =． 因B ，D ，G ，F 共圆，有ABC ABF FGD ∠=∠=∠．而ECF ACB ABC ∠=∠=∠，故FGD ECF ∠=∠，即有DF EF =．此时，推知DGF EGF △△≌，有DFG EFG ∠=∠，故GF DE ⊥．例11已知在凸四边形ABCD 中，直线CD 与以AB 为直径的圆相切．求证：直线AB 与以CD 为直径的圆相切的充分必要条件是BC AD ∥． （IMO - 25试题） 证明必要性：如图814-，将AB ，CD 的中点分别记为O ，O '，O e 切CD 于E ，O 'e 切AB 于F ．连O F '，DF ，AE ，OE ，则O DF '△，OEA △均为等腰三角形．由O '，F ，O ，E 四点共圆，有DO F FOE AOE '∠=∠=∠，从而两等腰三角形的底角相等，即么EDF EAO EAF ∠=∠=∠，由此有D ，A ，F ，E 四点共圆．同理，E ，F ，B ，C 四点共圆．此两圆相交于E ，F ．而CD ，AB 是分别过这两交点的割线，故由性质6，知BC AD ∥．充分性：如图8-15，设O ，O '分别为AB ，CD 的中点，作O F AB '⊥于F ．以AB 为直径的圆切CD 于E ，连OE ，则OE CD ⊥于E ．连OO '，设BC 与O e 交于G ，连AG ，过C 作CH GA ∥交DA 于H ． 因BC AD ∥，故O O AD '∥．由AG BC ⊥，则O O AG '⊥，OO HC '⊥．图8-13CD图8-14而O '，F ，O ，E 四点共圆，有*O FE O OE O CH '''∠=∠===∠ [其中()*是由O OE '∠与O CH '∠的两对应边互相垂直推得]．设CH 与O F '的交点为M ，则M ，F ，C ，E 四点共圆．又因90MFB BCM ∠=︒=∠，知M ，F ，B ，C 四点共圆，此时，有M ，F ，B ，C ，E 五点共圆．同理，A ，F ，E ，D 四点共圆，且此圆与FBCE e 的公共弦为EF ．连AE ，BE ，则90AEB ∠=︒． 连DF ，FC ，则由相交两圆的性质2的推论1，知90DFC ∠=︒，故以CD 为直径的圆过F 点且AB 切于点F ．3．仔细找出相交两圆的内接三角形例12凸四边形ABCD 的对角线交于O 点，OAD △、OBC △的外接圆交于O 、M 两点，直线OM 分别交OAB △、OCD △的外接圆于S 、T 两点．求证：M 是线段TS 的中点．（2006年全国女子奥林匹克题）证法1如图816-，联结BT 、BM 、AM 、CS ，则由推论1，有BTM BAC △∽△，CMS CBD △∽△，从而TM BM AC BC =,MS CMBD BC=．上述两式相除，得TM BM ACMS CM BD=⋅． 又由MDB MAC △△∽，有BM BDCM CA=． 于是，将上式代入前一式，得1TMMS=，即证．DC图8-15图8-16证法2如图816-，设OAB △、OBC △、OCD △， O DA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ，则由性质1知12O O BO ⊥，43O O OD ⊥，从而1243O O O O ∥．同理1423O O O O ∥．即知1234O O O O 为平行四边形，设13O O 与24O O 交于点N ，则N 为12O O 的中点，且由24O O 垂直平分OM 知NO NM =．于是，由性质7知M 为TS 的中点．例13两圆1Γ、2Γ交于点A 、B ，过点B 的一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点C 、D ，过点B 的另一条直线分别交圆1Γ、2Γ于点E 、F ，直线CF 分别交圆1Γ、2Γ于点P 、Q 设M ，N 分别是弧»PB、»QB 的中点，若CD EF =，求证：C 、F 、M 、N 四点共圆．（2010年CMO 试题）证明如图817-，由推论3，知AB 平分CBF ∠ （注意ACD AEF △△≌）． 又CM 平分FCB ∠，FN 平分CFB ∠．于是，AB ，CM ，FN 三线共点于CBF △的内心I ．从而，由相交弦定理，有CI IM AI IB NI IF ⋅=⋅=⋅．故由相交弦定理的逆定理，知C 、F 、M 、N 四点共圆．例14如图818-，在圆内接ABC △中，A ∠为最大角，不含点A 的弧»BC 上两点D 、E 分别为弧¼ABC 、¼ACB 的中点．记过A ．B 且与AC 相切的圆为1O e ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O e ．1O e 与2O e 相交于A 、P ．证明：AP 平分BAC ∠．（2012年CMO 试题）证明联结BP ，则由题设知ABP PAC ∠=∠．于是，只需证PAB △为等腰三角形，即PA PB =即可．FA IN CQ BP Γ2Γ1图8-17E DM图8-18联结AE 、DE ，延长AD 至Y ，延长AC 交2O e 于点F ，联结EF ． 由于点D 为弧¼ABC 的中点，有DAC DCA DEA ∠=∠=∠．又AY 是2O e 的切线，从而180AED AEF DAC EAY ∠+∠=∠+∠=︒，所以，D 、E 、F 三点共线． 延长BA 交2O e 于点G ，联结PG 、PF 、AE ，EG ．由推论1，知 ADF EDA △△∽，EBG ADF △∽△．注意到AE BE = （E 为弧¼ACB 的中点），有AE EA BE BG DF DA AD DF===． 从而AF BG =．又由推论1，有PAF PBG △∽△，于是PAF PBG △△≌． 故PA PB =．即知AP 平分BAC ∠． 【模拟实战】习题A1．两圆1O e 与2O e 相交于点A 和B ，过点B 作两直线与两圆的交点分别为P ，Q ；C ，D （P ，C 在1O e 上），且CD AB ⊥．求证：PC QD ∶为定值．2．两等圆相交于A ，B ，过A 作直线与两圆分别交于C ，D ．若E 为CD 的中点，求证：BE CD ⊥． 3．两圆相交于A ，B ，过A 任作直线被两圆所截得的线段为PQ ，又过A 作AB 的垂线，被两圆所截得的线段为CD ．求证：PQ CD ≤．4．1O e 与2O e 相交于A ，B 两点，割线CE ，FD 都过B 点（F ，C 在1O e 上）．若ABC ABD ∠=∠，求证：CE FD =．习题B1．梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD >，K ，M 分别是腰AD ，CB 上的点， DAM CBK ∠=∠． 求证： DMA CKB ∠=∠． 2．定长弦PQ （长度小于直径）的两端在半圆弧»AB 上滑动．试证：不论PQ 在什么位置，从P ，Q 分别向弦AB 作垂线，其垂足P '，Q '与PQ 中点N 所成三角形都相似．（1981年福州市竞赛题）3．三圆两两相交，并过公共点M ，而另一交点分别为P ，Q ，R ．过其中一圆的»PQ上（不含M 点）任取两点A 与A '（P ，Q ，M 点除外），引直线AP ，AQ ，A P '，A Q '，与其他两圆依次相交于B ，C ，B '，C '．求证：ABC A B C '''△△∽．4．给定正ABC △，D 是BC 边上任意一点，ABD △的外心、内心分别为1O ，1I ，ADC △的外心、内心分别为2O ，2I ，直线11O I 与22O I 相交于P ．求证：点D 为12O O P △的外心．（2001年国家集训队选拔考试题改编） 5．点D 是锐角ABC △的外心，过A ，B ，D 作圆分别交AC ，BC 于M ，N ．证明：ABD △和MNC △的外接圆相等．（第25届全俄奥林匹克题） 6．圆1S 和2S 交于点1A ，4A ，圆2S 和3S 交于点2A ，5A ，圆3S 和1S 交于点3A ，6A ．折线1234567M M M M M M M 使得每条直线1k k M M +含有点k A ．而k M 和1k M +，在相交于点k A 的两圆周上，而且点1k M +，异于点1k A +．证明：点1M 与点7M 重合．（第17届全俄奥林匹克题）。
全国初中数学竞赛《圆》历届真题
初中数学竞赛《圆》历届考题1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB的值.解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD APAP AB =，所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以3==ADAPPD PB . …………………………（15分）2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=mm r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2B 1C 1 （第3题图）＋QO 2，即22222m r mm r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又P A 是⊙O所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以 KPKE KA KP =， 即 KA KE KP ⋅=2． 由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2所以 KB KP =． …………………………10分因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是AC KP CE PE = 故 ACKBCE PE =， 即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠． 于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC的外心．故选（B ）．6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段（第4题）C（第3题答案图）CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB为,EF ，则CE ∥DF ．因为AB是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=和Rt △ABD中，由射影定理得22PA AC AE AB==⋅，22PB BD BF AB ==⋅． ……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠， 所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PDBC PC=． ………………10分 （2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠，所以A P B D P ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ， 内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则C（第8题）11()22a ABC ah S a b c r ∆==++，所以a r a h a b c=++， 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此,a a h r DEh BC-= 所以DE ＝()(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c-+⋅=-=-=++++ 故 DE ＝8(79)168796⨯+=++。
初中数学重点梳理：圆的基本性质
圆的基本性质知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。
圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O读作“圆O”。
（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3、垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．4、圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。