研究生《数理统计》完整课件讲义共164页文档
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概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
(1P) (|A )0.
(2设 )B 1,B 2,,B n两两互 ,则 不相
n
n
P ( Bi |A) P(iB|A.)
30
i1
i1
(3P )B (|A )1P (B |A ).
(4P ) (C B |A P ) |( A B P ) |( A C ) -P(|A B)C .
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） (2) P(S)=1;（规范性) (3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质： 性1质 . P()0.
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
(1P) (|A )0.
(2设 )B 1,B 2,,B n两两互 ,则 不相
n
n
P ( Bi |A) P(iB|A.)
30
i1
i1
(3P )B (|A )1P (B |A ).
(4P ) (C B |A P ) |( A B P ) |( A C ) -P(|A B)C .
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） (2) P(S)=1;（规范性) (3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质： 性1质 . P()0.
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
数理统计的基本概念课件
离散程度
通过方差、标准差等指标 来描述数据的离散程度， 反映数据的变化程度。
数据的中位数、均值和众数
中位数
将数据按照大小顺序排列，处于 中间位置的数值即为中位数。中 位数可以反映数据的集中趋势和
离散程度。
均值
将所有数据相加后除以数据个数 ，得到的数值即为均值。均值可 以反映数据的集中趋势和离散程
度。
拟合优度
决定于所选择的非线性函数形式，常 用的有R²和SSPE（残差平方和）。
显著性检验
一般采用基于参数的假设检验和似然 比检验。
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05
假设检验
假设检验的基本思想
统计假设
假设检验的核心是对提出的问题（即假设）进行统计推断，先假设所要考察的 总体参数按某种规律或分布（即统计模型）分布，然后根据样本信息对原假设 进行检验。
假设检验的基本步骤
首先提出假设，然后收集样本数据，接着根据样本数据对原假设进行检验，最 后根据检验结果做出结论。
多元线性回归分析
• β0: 截距 • β1, β2, ...: 斜率
• ε: 误差项
多元线性回归分析
拟合优度
R²，表示模型解释因变量的方差的比例 。
VS
显著性检验
整体显著性检验（F检验）和单个变量的 显著性检验（t检验）。
非线性回归分析
定义
非线性回归分析是研究非线性关系的 统计方法。
模型
Y = f(X) （其中 f 是非线性函数）
• β0: 截距
一元线性回归分析
01
• β1: 斜率
02
• ε: 误差项
03
04
拟合优度：R²，表示模型解 释因变量的方差的比例。
数理统计讲义
《数理统计》教案第一章统计量及其抽样分布第一节总体与样本教学目的：要求学生理解数理统计的两个基本概念:总体和样本，以及与这两个基本概念相关的统计基本思想和样本分布。
教学重点: 掌握数理统计的基本概念和基本思想.教学难点：掌握数理统计的基本概念和基本思想.一、总体与个体在一个统计问题中，我们把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体。
对多数实际问题。
总体中的个体是一些实在的人或物。
比如，我们要研究某大学的学生身高情况，则该大学的全体学生构成问题的总体，而每一个学生即是一个个体。
事实上，每个学生有许多特征：性别、年龄、身高、体重、民族、籍贯等。
而在该问题中，我们关心的只是该校学生的身高如何，对其他的特征暂不予以考虑。
这样，每个学生（个体）所具有的数量指标值——身高就是个体，而将所有身高全体看成总体。
这样一来，若抛开实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现的机会多，有的出现的机会少，因此用一个概率分布去描述和归纳总体是恰当的。
从这个意义上看，总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。
以后说“从总体中抽样”与“从某分布中抽样”是同一个意思。
例1.考察某厂的产品质量，将其产品只分为合格品与不合格品，并以0记合格品，以1记不合格品，则总体＝｛该厂生产的全部合格品与不合格品｝＝｛由0或1组成的一堆数｝。
若以p表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该总体可由一个二点分布表示：不同的p反映了总体间的差异。
例如，两个生产同类产品的工厂的产品总体分布为：我们可以看到，第一个工厂的产品质量优于第二个工厂。
实际中，分布中的不合格品率是未知的，如何对之进行估计是统计学要研究的问题。
二、样本为了了解总体的分布，我们从总体中随机地抽取n个个体，记其指标值为x1，x2，…，x n，则x1，x2，…，x n称为总体的一个样本，n称为样本容量，或简称样本量，样本中的个体称为样品。
我们首先指出，样本具有所谓的二重性：一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机变量，用大写字母X1，X2，…，X n表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的观测值，因此，样本又是一组数值。
概率论与数理统计课件完整版.ppt
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包
含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事件数 k
P( A) S中的基本事件总数 n
15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包
含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事件数 k
P( A) S中的基本事件总数 n
15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
研究生《数理统计》完整课件讲义
解. 由题意，X (t) 可表示为
X (t) a cos(t ), t
其中随机变量 的分布律为
0
P
23 13
所以
mX (t) EX (t) Ea cos(t )
a cost 2 (a cost) 1
3
3
a cost, 3
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
2
F
(x;
2
)
0, x 1, x
0 0
（2）X (0) A, X ( ) A ,二维随机变量
32
( A, A 2) 的分布律为
(A, A 2)
P
(1,1 2) (2,1) (3, 3 2)
13
13
13
x2
D4
D2
D3
D1
o
O
x1
二维分布函数为
F (x1,
x2 ;0,
3
)
P{A
x1 ,
A 2
例2. 西安地区从2012年开始，第n年的 降雨量Xn，n∈T={1,2,3,…}。
例3. 某超市在时段[t1,t] 内到来的顾 客人数X(t)，t∈T=[t1,t2]。
例4. 某电路中，一电子元件 t 时刻的 热噪声电压X(t)，t∈T=[0,+∞)。
在上述几个例子中，X(t)（或Xn）具有以下 两个特征：
正态过程是二阶矩过程，它在工程技
术中有重要的应用。正态过程 {X (t),t T} 的 n 维分布密度为
f
1
n
(2 ) 2
C
1 2
exp{
1 2
(
x
m
X
)
硕士研究生数理统计课件
ξ2、……、ξn ）来自于总体F(x)。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理：若（ ξ1、ξ2、……、ξn ）来自于F(x)(或P(x))， 则（ ξ1、ξ2、……、ξn ）的联合分布密度函数
n
n
∏ F(xi) 或∏ P(xi)
i=1
i=1
例一： ξ～N(0,1),（ξ1、ξ2、ξ3）是一个样本，
§2.1数理统计的几个基本概念 一、总体与样本
有限总体 总体 研究对象的全体
无限总体 个体 每个研究对象 关心 与它们的性能相联 系的某个数量指标 实验前不知结果 是一个随机变量（有 一个分布）。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
总体 个体
一个具有确定概率分布的随机变量 随机变量可能取的数值
数理统计是统计？ 统计的内涵：
1.统计工作 2.统计资料 3.统计学
专业统计 大统计
数理统计
统计既是一种理论，也是许多方法的总称。
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绪论
二、统计的题材 统计的题材包括范围极广——设计生成数据
的试验，数据的收集、分析、描述和解释。
n
X的性质：(1)(Xi X ) 0 i 1
(2)若Yi aXi b，则Y aX b
(3)EX EX
(4)DX DX n
S2的性质：(1)E(S 2 ) n 1 DX E(S*2) DX n
n
n
(2)x R,有 (Xi -X)2 (Xi -x)2
合格率大于等于90%，信不信？ 3.温度与压力有无关系？有什么样的关系？ 4.一天所加工的零件的误差是否服从正态分布？ 5.几个地区人的血液中胆固醇的含量的平均值
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
定理：若（ ξ1、ξ2、……、ξn ）来自于F(x)(或P(x))， 则（ ξ1、ξ2、……、ξn ）的联合分布密度函数
n
n
∏ F(xi) 或∏ P(xi)
i=1
i=1
例一： ξ～N(0,1),（ξ1、ξ2、ξ3）是一个样本，
§2.1数理统计的几个基本概念 一、总体与样本
有限总体 总体 研究对象的全体
无限总体 个体 每个研究对象 关心 与它们的性能相联 系的某个数量指标 实验前不知结果 是一个随机变量（有 一个分布）。
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第二章 数理统计的基本概念与抽样分布
总体 个体
一个具有确定概率分布的随机变量 随机变量可能取的数值
数理统计是统计？ 统计的内涵：
1.统计工作 2.统计资料 3.统计学
专业统计 大统计
数理统计
统计既是一种理论，也是许多方法的总称。
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绪论
二、统计的题材 统计的题材包括范围极广——设计生成数据
的试验，数据的收集、分析、描述和解释。
n
X的性质：(1)(Xi X ) 0 i 1
(2)若Yi aXi b，则Y aX b
(3)EX EX
(4)DX DX n
S2的性质：(1)E(S 2 ) n 1 DX E(S*2) DX n
n
n
(2)x R,有 (Xi -X)2 (Xi -x)2
合格率大于等于90%，信不信？ 3.温度与压力有无关系？有什么样的关系？ 4.一天所加工的零件的误差是否服从正态分布？ 5.几个地区人的血液中胆固醇的含量的平均值
第五章数理统计的基本概念和抽样分布精品PPT课件
n
pn(x1,x2, ,xn)
p(xi)
n
xi
en
i1
,
xi 0
i1
0,
其它
Байду номын сангаас
例2 设总 X服 体从两B(点 1,p)分 其 , 0 布 中 p1, (X1,X2, ,Xn)是来自总 ,求 体样 的 (X1本 ,X 样 2, 本 ,Xn)的分.布律
解 总体X的分布律为 P {X i} p i(1 p )1 i (i0,1)
设 x1,x2, ,xn是 相 应X于 1,X2,样 ,Xn 本 的 样,则 本称 f值 (x1,x2, ,xn)是f(X1,X2, ,Xn) 的 观.察 值
例1 设X1,X2,X3是来自N 总 (体 ,2)的一个 样本 ,其中 为已,知 2为未,判 知断下列各式
些是统,计 哪量 些不 ? 是
T1X1,
函数F(x)称为一个总体.
定义5.2
设X是 具 有 分F布 (x)函 的数 随 机,若 变X量 , X,, Xn是 具 有 同 一 F 分(x)布 、函 相数 互 独 立 的 随 机 变 ,则量称 X, X,, Xn为 从 总 X(或 体总 体
F(x))中 抽 取 的n容 的量 简为 单 随,机 简样 称 样本本 .
其 x 1 ,x 中 2 , ,x n 在{ 0 集 ,1 }中 合 .取值
三、统计量
由样本推断总体特征,需要对样本进行 “加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的 函 数1,它. 统把计样量本的中定所义含5的.3 信息集中起来.
设X1,X2,,Xn是来自X 总的体一个,样本 f(X1,X2,,Xn)是X1,X2,,Xn的函,若 数f中 不含未知, 则 参称 数 f(X1,X2,,Xn)是一个统 计量 .