数理统计题目

1.已知维尼纶纤维在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048，从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44，问这一天纤度的总体标准差 否（是/否）正常。

解：这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原选择和备择假设分别为

048

.02

2

0H =σ： VS

048

.02

21H ≠σ：

此处n=5，若取显著性水平α=0.05，查表知2025.0χ（4）=0.4844,2975.0χ（4）=11.1433，故拒绝域为W={1433.1104844.022≥≤χχ或}，由样本数据可计算得到

2

χ

1433.115069.13048

.003112

.0)12

202>==-=σs n （ 因此拒绝0Ｈ，认为这一天纤度的总体标准差不正常。 2.设总体X~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则

Y=()

2

15

2122112

10

2

22

12X X X X X X ++++++ΛΛ 服从 分布,参数为 . 【解】

~(0,1),i

X N σ

i =1,2,…,15. 那么

122

2

10

15

2

222

111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

∑∑ 且1

2χ与2

2χ相互独立,

所以

222110122

211152/10

~(10,5)2()/5

X X X Y F X X X ++==++L L 所以Y~F 分布，参数为（10,5）

3.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np=X

所以p 的矩估计量 ˆX

p

n

= 4.设^θ(X1,X2,…,Xn)是θ的估计量，若_________，则称^θ为θ的无偏估计量，否则称为θ的有偏估计量。 【解】 对一切θ∈Θ，E(^θ)=θ

5.设总体为均匀分布U (0, θ )，X1 , …, X n 是样本，考虑检验问题 H0：θ ≥ 3 vs H1：θ < 3， 拒绝域取为W = { x (n)≤ 2.5}，若要使得该最大值α不超过 0.05，n 至少应取____. 答案为17

6． 从一批电子元件中抽取 8 个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）：

1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计． 解：平均寿命μ 的矩估计μˆ = x =1143.75；标准差σ 的矩估计μˆ = s* = 89.8523． 7.设随机变量X 的概率密度为：

⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他θθx x x f 0,

0,2)(2

，其中未知

参数0>θ，n X X ,,1Λ是来自X 的样本，求θ的矩估计； 解：

θθ

θ32

2)()(0

2

2

===⎰⎰∞

+∞-x d x

x d x f x X E ， 令θ3

2)ˆ(==X X

E ，得X 2

3ˆ=θ为参数θ的矩估计量。 8.

设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x Λ

是样本观察值，样本方差22=s ，

求2σ的置信水平为0.95的置信区间；

解：2

σ的置信水平为0.95

的置信区间为⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛)9(18,)9(182

975.02025.0χχ，即为（0.9462，6.6667）； 9.设

4

321,,,X X X X 为取自总体

)

4,(~2μN X 的样本，对假设检验问题

5:,5:10≠=μμH H ，在显著性水平

0.05下求拒绝域

解： 拒绝域为96.12

5

4

/45025.0=≥-=

-=z x x z

10.设12,,,n x x x L 是来自正态分布2

(,)μσN 的样本，在μ已知时给

出2σ的一个充分统计量；

解：在μ已知时，样本联合密度函数为

22/22

122

1

1(,,,;)(2)exp{()}2σπσμσ-==-

-∑L n

n n i p x x x x 令21()μ==-∑n

i i T x ，取

22/2

2

g(;)(2)

exp{},()1,2σπσσ

-=-

=n t t h x 由因子分解

定理，2

1

()μ==-∑n

i T x 为2σ的充分统计量。

11.设总体),0(~2σN X ，且1021,x x x Λ是样本观察值，样本方差22=s ，已

知

)

1(~22

2

χσX Y =

，求

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛32σX D 的置信水平为0.95的置信区间；

（70.2)9(2975.0=χ，023.19)9(2025.0=χ）。

解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32σX D =22

2

2222)]1([11σχσσσ==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛D X D ；

由于2

322

σσ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛X D 是2σ的单调减少函数，置信区间为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛222,2

σσ， 即为（0.3000，2.1137）。

12.以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数

149 156 160 138 149 153 153 169 156 156