江苏省高考数学二轮复习专题十四附加题22题苏教版

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江苏省数学高考附加题强化练习10套带答案

江苏省数学高考附加题强化试题1班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线与曲线C 的交点P 的直角坐标.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P 2，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P 2的取值范围．江苏省数学高考附加题强化试题2班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．23．已知抛物线和抛物线在交点处的两条切线互相垂直，求实数a 的值．江苏省数学高考附加题强化试题3班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），求直线被曲线C 截得的线段长度.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分. 22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示． (Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．如图，已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A （x 1，y 1）（y 1＞0），B （x 2，y 2）两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．（1）若，求直线l 的斜率；（2）求∠ATF 的最大值．江苏省数学高考附加题强化试题4班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数，且A B ≠∅ ，求实数m 的取值范围．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ． ⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．（本小题满分10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级姓名得分AP B CD M第22题图21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．（选修4—2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）求圆心为36C π⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.【必做题】第22题，23题，每题10分，共20分；解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，AC =BC = 4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，122BD AE ==,O M CE AB 、分别为、的中点，求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值．23,已知数列{a n }满足，且a 1=3．（1）计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；A MBCO DE（2）求证：当n≥2时，．江苏省数学高考附加题强化试题6班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 三小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．选修4—2：矩阵与变换求关于直线y=3x 的对称的反射变换对应的矩阵A ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中,过曲线)0(cos 2sin :2>=a a L θθρ外的一点),52(θπ+A (其中,2tan =θθ为锐角)作平行于)(4R ∈=ρπθ的直线与曲线分别交于C B ,.（1）写出曲线L 和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建直角坐标系)；（2）若|||,||,|AC BC AB 成等比数列,求a 的值.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1=2。

专题14 导数一条飘带横跨阴阳两界(教案)【解题新方法系列】2023届高考数学二轮专题复习

（十四）导数·一条飘带横跨阴阳两界【例题】已知函数1()ln 2f x x x x=++．（1）求()f x 的极值；（2）（2）若2()()3g x xf x x =-+，且1ab >，证明：()()0g a g b +>． 1)2x g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭0<a <1g(b)>g(a)1a b <知，)1+而2x -所以()0x <，即函数x 是单调减函数()x ϕ<故111()ln 0g g b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-+> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()0g a g b +>综上，当1ab >时，()()0g a g b +>.【分析利弊】传统方法优点在于思路清晰，但是缺点是学生很难想到对条件进行因式分解然后单独构造函数求正负（1）2(21)(1)()(0)x x f x x x -+'=>1()02f x x '>⇒>；1()002f x x <⇒<<'即函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递，所以()f x 的极小值为13ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值. （2）221()ln 1,()ln 21,()x g x x x x g x x x g x x -'''=-+-=-+-=，1()02g x x ''>⇒>；1()002g x x ''<⇒<<即函数()g x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，即1()ln 202g x g ⎛⎫''=> ⎪⎝⎭所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增故只需证明0)1()(>+b g b g 即可，即2)1(ln )1()1()()(22-++-=+=xx x x xx g x g x h ，因为根据飘带函数得x x x 1ln -≥，所以02)1()1)(1()(22=-++--≥xx x x x x x h ，证毕补充证明：设1()ln ,(1)x x x x x ϕ=-+>，则()222111()1x x x x x xϕ--+'=--=而22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'<，即函数1()ln ,(1)x x x x x ϕ=-+>是单调减函数()(1)0,(1)x g x ϕ<=>【分析利弊】此方法巧妙将对数函数放缩，化简导数形式，十分巧妙！但是技巧性较强，需要后期多次训练！【飘带函数】何为飘带？古代有坤秋帽，是旗人女性所戴的一种秋帽。

江苏高三数学20套数学附加题

实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换) 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； (2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。

苏教版高考数学附加题综合训练.doc

(2)设bk = n_上ak+i (kuN, kCn—1), S,…—b0+bi+k)2 b”(m€N,mWn—1),求 |S,的附加题综合训练1.设= (1 + x)" ,HG N f.(1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项；(2)ne N*,化简C,：4"“ + C*4心 + C；4心+L + Cf14° + C"4“ ；(3)求证：C； + 2C； + 3C； +L "C： = "X2”T .2.在平面直角坐标系xOy中，点P{x0,必)在曲线y=#(x>0)上.已知J(0,—1), Pg,昭,"WN*.记直线力2的斜率为(1)若血=2,求A的坐标；(2)若血为偶数，求证：血为偶数.3.----------------------------------------- 设(l — x)" = a°+aix + a2X? a”x", “WN*, “22.(1)设77=11,求|直| + | aj +丨念| +丨越| +丨凤。

| +丨的丨的值;4.设集合M={l,2,3,--,n}(n>3),记M的含有三个元素的子集个数为S”，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为町.(1)求三，么，II, N的值；S3 s4 S5 s6(2)猜想纭的表达式，并证明之.S”5.记y(/i) = (3" + 2)(C； + Cj + C：+…+ C；)("〉2,"W N*).⑴ 求/(2),/(3),/(4)的值；(2)当H >2,HE N*时，试猜想所有/(“)的最大公约数，并证明.因为yo=xo\ 所以k…=^xVX2…n+1k n = (p + ^/p2—1 )" +(p + y/p'—l )" + (p—附加题综合训练1.解：（1）展开式中系数最大的项是第四项为C>3=20%3； (3)分（2） C°4门 + C：4"-2 + C；4"_ +L + Cf14° + C"4“1 1=_ 4n + C* 4B_1 + Cl 4B_2 +L +C^14+q] = -(4 + l)n =—；(3)因为kC； = nC壮,所以C； + 2C；+3C；+L +HC：=n(Cl1 + Ct1 + Ct+L C：：11) = nx2"-1 . (10)分2.： (1)因为血=2,所以也=丘土1=2,解得Ao=l,必=1,所以R的坐标为(1,1)・............................................................................................................................. • • • 2 分2(2)设ki = 2p(p£N*),即yo+l = xo + l = 2p,X o X o所以^ — 2px0 +1 = 0,所以x0=p±\lp2—l.所以当Xo=p+1时,同理，当x（）= p—pp‘一1时,k”= （p+心一1）" +（p—寸产二I）".0-z•vOS ..出 •緊S 痕債 &辰<I Jdrn wZH 三s J-s .......................... -7 T一書I—UD sJ -•7 TgE <(IE—)I H^o 0(I—)—I + I — H「yoy(I—) — I-lryo 1(1—)〕M+I — Hb・feI—EW0WI 汕IIUJIIUJ二 J s a08 .......................... -7 fn 一 t 一.sum 汕................... .1 上o=(I——)——III'JP 1(1——) =HoE(I——)+ IT&+Q——)H(L+艺)―JLo—lq .?——uv/yv/I 汕@g ..................1分5. 4. : (1)三=2, 3 = 3, £ = 3,处=?.......... 4 分S 3 S4 2 S 5 S 6 2(2)猜想2 =吐1. .................. 5分S” 2下用数学归纳法证明之.证明：①当n = 3时，由(1)知猜想成立； ②假设当2心＞3)时，猜想成立，即N = 而S c[,所以得S R 2T 严罟C ：.……6分则当"* + 1时，易知Sk+i = C ；+i ，而当集合M 从｛1,2,3,…，紆变为｛l,2,3,---,k,k + l ｝时，兀+1在兀的基础上增加了 1个2, 2个3, 3个4,和伙—1)个k,.................8分所以 T R +I = T R + 2xl+3x2+4x3 + - —k(^k — 1) ¥c ； + 2[C ； + C*+…+ C ；]= ¥C ； + 2[C ； + G + C ：+…+ C ；]=竽 C ；"2C ；+严字 C ；+| 伙+ 1) + 1 …2 k+l '即圾+i =伙+ 1)+ 1 S*+i _ 2 • 所以当n = k + l 时，猜想也成立.综上所述，猜想成立.••…(1)因为/X") = (3/? + 2)(C ； + C] + C ： + …+ C ；) = (3/7 + 2)C ；+j , 所以 /(2) = & /(3) = 44, /■⑷= 140. …(2)由(1)中结论可猜想所有/(")的最大公约数为4. 下面用数学归纳法证明所有的y (")都能被4整除即可.(i) 当n = 2时，/⑵=8能被4整除，结论成立； ...5分(ii) 假设n = k 时，结论成立，即/伙) = (3k + 2)C ；+i 能被4整除, 则当n^k+1 时，/■伙+ l) = (3k + 5)C ；+2 = (3£ + 2)C ；+2+3C ；+2 =(3丘+ 2)(略+略)+伙+ 2)略=(3k + 2)C ；+, + (3k + 2)C ；+1 +(k + 2)C ；H= (3k + 2)C ；+i+4(k + l)C ：+i ，此式也能被4整除，即n^k+1时结论也成立. 综上所述，所有/(")的最大公约数为4. ........... 10分。

高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：3个附加题专项强化练(一)选修4系列(理科)Word版含解析

3 个附带题专项加强练 (一)选修 4 系列 (理科 )A 组1．此题包含 A 、 B 、 C 、 D 四个小题，请任选二个作答A ． [选修 4－ 1：几何证明选讲 ]如图，已知圆 O 的直径 AB ＝ 4， C 为 AO 的中点，弦DE 过点 C 且知足 CE ＝ 2CD ，求△ OCE 的面积．解：设 CD ＝ x ，则 CE ＝ 2x.由于 CA ＝ 1， CB ＝ 3，由订交弦定理，得CA ·CB ＝ CD ·CE ，26所以 1× 3＝ 2x ，解得 x ＝ 2 . 取 DE 的中点 H ，连接 OH ，则 OH ⊥DE.由于 EH ＝3CD ＝36，24所以 OH 2＝OE 2－ EH 2＝ 22－3 62＝5，所以 OH ＝ 10484.又由于 CE ＝ 2x ＝ 6，所以△ OCE 的面积 S ＝ 1OH ·CE ＝ 1×10× 6＝15.2244B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]已知 a ， b 是实数，假如矩阵A ＝ 3 a所对应的变换 T 把点 (2,3)变为点 (3,4)．b － 2(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a 2 3 解： (1)由题意，得－ 2＝，b 346＋3a ＝ 3， a ＝－ 1，即解得b ＝5.2b － 6＝ 4.3 － 1 (2)由 (1)，得 A ＝.5 － 2－ 2 1－ 1－ 12 － 1 由矩阵的逆矩阵公式得B ＝＝5 .－ 5 3 － 3－ 1－ 12 － 1 2 － 1 － 1 1所以 B 2＝－ 35 － 3＝4.5 － 5 C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ]2π已知圆 O 1 和圆 O 2 的极坐标方程分别为 ρ＝ 2， ρ－ 2 2ρcos θ－ 4 ＝ 2.(1) 把圆 O 1 和圆 O 2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．222x ＝ ρcos θ，得圆 O 1 的直角坐标方程为2 2 ＝ 4，解： (1)由 ρ＝ x＋ y ，且x ＋yy ＝ ρsin θ，2π由 ρ－ 2 2ρcos θ－ 4 ＝ 2，2得 ρ－ 2ρ(cos θ＋ sin θ)＝ 2，22x ＋ y － 2(x ＋ y)＝ 2，故圆 O 2 的直角坐标方程为 x 2＋ y 2－ 2x － 2y － 2＝ 0.x 2＋ y 2－ 4＝ 0，x ＋ y(2) 联立方程 x 两式相减，得经过两圆交点的直线方程为2＋ y 2－ 2x － 2y － 2＝ 0，－1＝0，该直线的极坐标方程为ρcos θ＋ ρsin θ－ 1＝ 0.D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]解不等式： |x － 2|＋ x|x ＋ 2|＞ 2.解：当 x ≤ － 2 时，不等式化为 (2－x)＋ x(－ x － 2)＞ 2，即－ x 2－ 3x>0，解得－ 3＜ x ≤ －2；当－ 2＜ x ＜ 2 时，不等式化为 (2－ x)＋ x(x ＋ 2)＞ 2，2即 x ＋ x>0，解得－ 2＜ x ＜－ 1 或 0＜ x ＜ 2；当 x ≥ 2 时，不等式化为 (x － 2)＋ x(x ＋ 2)＞ 2，即 x 2＋ 3x － 4>0，解得 x ≥ 2.所以原不等式的解集为{ x|－ 3＜ x ＜－ 1 或 x ＞ 0}．2．此题包含 A 、 B 、 C 、 D 四个小题，请任选二个作答A ． [选修 4－ 1：几何证明选讲 ]如图，圆 O 是△ ABC 的外接圆，点 D 是劣弧 BC 的中点，连接 AD并延伸，与以 C 为切点的切线交于点P ，求证：PC PA ＝ BDAC .证明：连接 CD ，由于 CP 为圆 O 的切线，所以∠ PCD ＝∠ PAC ，又∠ P 是公共角，所以△ PCD ∽△ PAC ，所以PC＝CD，PA AC由于点 D 是劣弧 BC 的中点，所以 CD ＝BD ，即PCPA＝BDAC.B． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]已知矩阵 A＝a3，若 A182d＝，求矩阵 A 的特点值．241＝a31a＋ 68，解：由于 A2d ＝＝4222＋ 2da＋ 6＝ 8，a＝ 2， 2 3所以＋＝，解得＝1.所以A＝2 1.2 2d4d所以矩阵 A 的特点多项式为λ－ 2－ 32 f(λ)＝＝(λ－ 2)(λ－ 1)－ 6＝λ－ 3λ－ 4，－ 2λ－ 1令 f( λ)＝ 0，解得矩阵 A 的特点值为λ＝－11，λ＝24. C． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l：x＝ t＋ 1x＝ acos θ(θy＝7－ 2t(t 为参数 )与椭圆 C：y＝ 3sin θ为参数， a＞ 0)的一条准线的交点位于y 轴上，务实数 a 的值．解：由题意，直线l 的一般方程为2x＋ y＝9，22椭圆 C 的一般方程为y ＋ x29a＝ 1(0＜ a＜ 3)，椭圆 C 的准线方程为y＝±99－a2，9故9－a2＝9，解得a＝22(负值舍去 )．D． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]求函数 y＝ 3sin x＋ 22＋2cos 2x的最大值．解： y＝ 3sin x＋ 22＋2cos 2x＝ 3sin x＋ 4cos2x，由柯西不等式得y2＝ (3sin x＋ 4 cos2x)2≤ (32＋ 42)(sin2x＋ cos2x)＝ 25，当且仅当4sin x＝3|cos x|，即3sinx＝5，4|cosx|＝5时等号成立，所以y max＝ 5.所以函数y＝ 3sin x＋ 2 2＋ 2cos 2x的最大值为 5. 3．此题包含 A 、 B、 C、 D 四个小题，请任选二个作答A． [选修 4－ 1：几何证明选讲]如图，△ ABC 的极点 A ， C 在圆 O 上， B 在圆外，线段AB 与圆 O 交于点 M .(1) 若 BC 是圆 O 的切线，且 AB ＝ 8， BC ＝ 4，求线段 AM 的长度；(2) 若线段 BC 与圆 O 交于另一点 N ，且 AB ＝ 2AC ，求证： BN ＝ 2MN .解： (1)设 AM ＝ t ，则 BM ＝ 8－ t(0<t<8) ，由切割线定理可得BC 2＝ BM ·BA.∴ 16＝ 8(8－ t)，解得 t ＝ 6，即线段 AM 的长度为 6.(2) 证明：由题意，∠ A ＝∠ MNB ，∠ B ＝∠ B ，∴△ BMN ∽△ BCA ，∴BN BA ＝MN CA ，∵ AB ＝ 2AC ，∴ BN ＝ 2MN .B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)， (5,0)分别变换成 (2，－ 1)， (－ 1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .ab ，解：设 M ＝cdab 352 － 1 由题意得，－ 4＝－ 1，cd 0213a － 4b ＝ 2，a ＝－ 5，13， 5a ＝－ 1，b ＝－ 20∴＝－，解得2－3c 4d 1c ＝5 ，5c ＝ 2，d ＝ 2011，－1 －135 20即M ＝.2 11 5 20C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ]π在极坐标系中，求直线θ＝ 4(ρ∈ R) 被曲线 ρ＝ 4sin θ所截得的弦长．ππ解：法一：在 ρ＝ 4sin θ中，令 θ＝ 4，得 ρ＝ 4sin4 ＝ 2 2，即所求弦长为2 2.法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴成立平面直角坐标系．π直线θ＝4(ρ∈ R)的直角坐标方程为y＝ x，①曲线ρ＝ 4sin θ的直角坐标方程为x2＋ y2－ 4y＝ 0，②x＝ 0，x＝2，由①②得或y＝ 0y＝2，π(0,0)， (2,2)，故直线θ＝(ρ∈R) 被曲线ρ＝ 4sin θ所截弦长的端点坐标分别为4所以直线θ＝π22＋ 22＝ 2 2. 4(ρ∈ R) 被曲线ρ＝ 4sin θ所截得的弦长为D． [选修 4－5：不等式选讲 ]已知 a≠ b，求证： a4＋ 6a2b2＋ b4＞ 4ab(a2＋b2)．证明： a4＋ 6a2b2＋ b4－ 4ab(a2＋ b2)＝a4＋ 6a2b2＋ b4－ 4a3b－ 4b3a432234＝ a－ 4a b＋ 6a b－ 4b a＋b＝ (a－ b)4，∵a≠ b，∴ a4＋ 6a2b2＋ b4－ 4ab(a2＋b2)>0 ，∴ a4＋ 6a2b2＋ b4>4ab(a2＋ b2)．4．此题包含 A 、 B、 C、 D 四个小题，请任选二个作答A． [选修 4－ 1：几何证明选讲]如图， AB 是圆 O 的直径，弦 CA， BD 的延伸线订交于点 E ， EF 垂直BA 的延伸线于点 F ，连接 FD .求证：∠ DEA ＝∠ DFA .证明：连接 AD，∵ AB 是圆 O 的直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ ADE ＝ 90°，又 EF ⊥FB，∴∠ AFE ＝ 90°，∴A， F， E， D 四点共圆，∴∠ DEA ＝∠ DFA .B． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]1a1已知矩阵 M ＝3 b的一个特点值λ＝－ 1 及对应的特点向量e＝－1，求矩阵 M 的逆矩阵．1a11－a1－ 1－＝－1，1 a解：由题知，3b－ 1＝3－ b＝－ 1·－1＝1，即3－ b＝ 1，a ＝ 2， 1 2解得M ＝ 3 2.b ＝ 2，1 2∴ det(M )＝＝ 1× 2－ 2× 3＝－ 4，3 2－11－1＝22 .∴M3－144C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程]x ＝ 1＋ t已知直线 l 的参数方程为2 (t 为参数 )，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 3cos θ，试y ＝ t判断直线 l 与曲线 C 的地点关系．解：由题意知，直线l 的一般方程为 2x －y － 2＝ 0，222x ＝ ρcos θ，得曲线 C 的直角坐标方程为－ 3 229，它表示圆．由 ρ＝ x ＋ y ，且2＋ y ＝y ＝ ρsin θ，x4由圆心3， 0 到直线l 的距离＝ 1＝ 5＜3，得直线l 与曲线C订交．2d5 5 2D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]设 x ， y ， z 均为正实数，且 xyz ＝ 1，求证： 13 ＋ 13 ＋ 13 ≥ xy ＋ yz ＋ zx.x y y z z x证明：∵ x ， y ， z 均为正实数，且 xyz ＝ 1，∴111zxy3 ＋3 ＋3 ＝222x y y z z x x ＋ y ＋ z ，∴由柯西不等式可得z x y(xy ＋ yz ＋ zx)≥xyzxyzxyz 2＝x 2＋ y 2＋ z 2 x ＋y ＋zxyz ＋ xyz ＋ xyz 2＝ (xy ＋ yz ＋ zx)2.xy z111∴ x 3y ＋ y 3z ＋ z 3 x ≥xy ＋ yz ＋ zx.B 组1．此题包含 A 、 B 、 C 、 D 四个小题，请任选二个作答A ． [选修 4－ 1：几何证明选讲 ]如图，已知△ ABC 内接于⊙ O ，连接 AO 并延伸交⊙ O 于点 D ，∠ ACB＝∠ ADC .求证： AD ·BC ＝ 2AC ·CD .证明： ∵∠ ACB ＝∠ ADC ， AD 是⊙ O 的直径，∴ AD 垂直均分 BC ，设垂足为 E ，∵∠ ACB ＝∠ EDC ，∠ ACD ＝∠ CED ，∴△ ACD ∽△ CED ，∴AD ＝ AC ，CD CE1∴ AD ·2BC ＝ AC ·CD ， ∴ AD ·BC ＝ 2AC ·CD.B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]－ 1 0在平面直角坐标系 xOy 中，设点 A(－ 1,2)在矩阵 M ＝对应的变换作用下获得0 1点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转 90°获得点 B ′，求点 B ′的坐标．解：设B ′ (x ， y)，依题意，由－ 1 0 － 110 1 ＝，得 A ′ (1,2)．2 2――→ ――→ 则 A ′ B ＝ (2,2)， A ′ B ′ ＝ (x － 1， y － 2)．记旋转矩阵 N ＝ 0 － 11 ，0 0－12 x － 1 － 2x － 1 ，则＝，即2＝10 2y －2y － 2x ＝－ 1，得y ＝ 4.所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程]x ＝－ 8＋ t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为t (t 为参数 )，曲线 Cy ＝ 22的参数方程为x ＝ 2s ， (s 为参数 )．设 P 为曲线 C 上的动点，求点P 到直线 l 的距离的最y ＝ 2 2s小值．解：直线 l 的一般方程为 x － 2y ＋ 8＝ 0.由于点 P 在曲线 C 上，设 P(2s 2,2 2s)，进而点 P 到直线 l 的距离|2s 2－ 4 2s ＋ 8| 2 s － 2 2＋ 4d ＝＝ 5.12＋－2 24 5当 s ＝ 2时， d min ＝ 5 .所以当点 P 的坐标为 (4,4)时，曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值4 55.D． [选修 4－ 5：不等式选讲]已知 a， b， c∈ R,4a2＋ b2＋ 2c2＝ 4，求 2a＋ b＋ c 的最大值．解：由柯西不等式，得[(2a)222c)222122.＋ b ＋ (] ·1＋ 1＋2≥ (2a＋ b＋ c)2222由于 4a ＋ b ＋ 2c ＝ 4，所以 (2a＋ b＋ c) ≤ 10.所以 2a＋ b＋ c 的最大值为 10，当且仅当 a＝10， b＝210， c＝10时等号成立．5552．此题包含 A 、 B、 C、 D 四个小题，请任选二个作答A． [选修 4－ 1：几何证明选讲 ]如图， AB 是圆 O 的直径，弦 BD ，CA 的延伸线订交于点E，过 E作BA 的延伸线的垂线，垂足为 F .2证明：如图，连接AD ，由于 AB 为圆 O 的直径，所以AD⊥ BD.又 EF ⊥ AB，则 A， D， E， F 四点共圆，所以 BD ·BE ＝ BA·BF .连接 BC，则∠ AFE ＝∠ ACB，∠ BAC＝∠ EAF ，得△ABC∽△ AEF ，所以AB＝AC，AE AF即 AB·AF ＝ AE·AC，所以 BE ·BD － AE·AC＝ BA·BF － AB·AF ＝ AB·(BF － AF ) ＝ AB2. B． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]M 有特点值λ＝ 8 及对应的一个特点向量e1＝1已知二阶矩阵，而且矩阵 M 对应的变1换将点 (－ 1,2)变换成 (－ 2,4)．(1) 求矩阵 M ；(2) 求矩阵 M 的另一个特点值．解： (1)设 M ＝ab，cd1a＋ b1，由题意， M＝＝ 81＋1c d－ 1－ a＋ 2b－ 2M＝＝，2－ c＋ 2d4a ＋b ＝ 8，a ＝ 6，c ＋d ＝ 8，b ＝ 2，6 2∴解得即 M ＝.－ a ＋ 2b ＝－ 2，＝， 44c 4－ c ＋ 2d ＝ 4，d ＝ 4，λ－ 6 － 2＝ (λ－ 6) ·(λ－ 4)－ 8＝ 0，(2) 令特点多项式 f(λ)＝－ 4λ－ 4解得 λ＝ 8， λ＝ 2.矩阵 M 的另一个特点值为2.12C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ]在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 πx 轴的正θ＝(ρ∈ R) ，以极点为原点，极轴为3半轴成立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为x ＝ 2sin α，(α为参数 )．求直线 l 与曲y ＝ 1－ cos 2α线 C 的交点 P 的直角坐标．解：由题意得，直线 l 的直角坐标方程为 y ＝ 3x ，①曲线 C 的一般方程为y ＝ 1x 2(x ∈ [－ 2,2])，②2x ＝ 0，＝ 2 ，联立①②解方程组得或 x 3(舍去 )．y ＝ 0＝6y故 P 点的直角坐标为 (0,0)．D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]b 2c 2 a 2已知 a ， b ， c 为正实数，求证： a ＋ b ＋ c ≥ a ＋b ＋ c.证明：法一： (基本不等式 )2 2 2∵ a ＋ b ≥ 2b ， b ＋ c ≥ 2c ， c ＋ a≥ 2a ，abc22＋ c ＋a2∴ a ＋b＋ b ＋c ≥ 2a ＋ 2b ＋ 2c ，ab c2 22∴ b ＋ c ＋ a ≥ a ＋ b ＋c. a b c法二： (柯西不等式 )222bca222≥ (b ＋c ＋ a)2，∴ b＋ c＋ a≥ a ＋ b ＋ c.a b c3．此题包含 A 、 B 、 C 、 D 四个小题，请任选二个作答A ． [选修 4－ 1：几何证明选讲 ]如图，已知 AB 为圆 O 的一条弦，点P 为弧 AB 的中点，过点 P 任作两条弦 PC ， PD 分别交 AB 于点 E ， F.求证： PE ·PC ＝ PF ·PD .证明：连接 PA ， PB ， CD ， BC.由于点 P 为弧 AB 的中点，所以∠ PAB ＝∠ PBA.又由于∠ PAB ＝∠ PCB ，所以∠ PCB ＝∠ PBA.又∠ DCB ＝∠ DPB ，所以∠ PFE ＝∠ PBA ＋∠ DPB ＝∠ PCB ＋∠ DCB ＝∠ PCD ，所以 E ， F ，D ， C 四点共圆．所以 PE ·PC ＝ PF ·PD.B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]1 2T 把曲线 C 变换成曲线已知曲线 C ： x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解：设曲线 C 上的随意一点P(x ， y)，点 P 在矩阵 A ＝所对应的变换 T 作用下得1 0到点 Q(x ′， y ′ )．1 2 x x ′x ＋2y ＝ x ′ ，x ＝y ′ ，则 1 0 y ＝′，即x ＝ ′ ，所以y ＝ x ′ － y ′ ，yy2222x ′ － y ′x ′ － y ′ 2＝ 22代入 x ＋ 2xy ＋2y ＝ 1，得 y ′ ＋2y ′ ·2＋ 21，即 x ′ ＋ y ′ ＝ 2，2所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ]在极坐标系中，已知点 A ， π，点 B 在直线 l ： ρcos θ＋ρsin θ＝ 0(0≤ θ<2π)上．当线2 2段 AB 最短时，求点B 的极坐标．解：以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，成立平面直角坐标系，则点 A 2， π的直角坐标为 (0,2) ，直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ y ＝ 0.2 AB 最短时，点 B 为直线 x － y ＋ 2＝ 0 与直线 l 的交点，x －y ＋ 2＝ 0， x ＝－ 1，所以点 B 的直角坐标为 (－ 1， 1).解得y ＝ 1.x ＋y ＝ 0，所以点 B 的极坐标为3π2，4 .D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]求函数 f(x)＝ 5 x ＋8－2x 的最大值．解：易知函数 f( x)的定义域为 [0,4]，且 f(x)≥ 0.由柯西不等式得 [52＋ ( 2)2][( x)2＋ ( 4－ x)2]≥ (5 ·x ＋ 2· 4－ x)2，即 27× 4≥ (5 ·x ＋ 2· 4－ x)2，所以 5 x ＋ 8－ 2x ≤ 6 3.当且仅当2× x ＝ 5 4－ x ，即 x ＝10027时取等号．所以函数 f(x)＝ 5 x ＋ 8－ 2x 的最大值为 6 3.4．此题包含 A 、 B 、 C 、 D 四个小题，请任选二个作答A ． [选修 4－ 1：几何证明选讲 ]如图， AB 是圆 O 的直径， C ， D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点．证明：∠ OCB ＝∠ D.证明：由于 B ， C 是圆 O 上的两点，所以 OB ＝OC .故∠ OCB ＝∠ B.又由于 C ， D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，故∠ B ，∠ D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠ B ＝∠ D.所以∠ OCB ＝∠ D.B ． [选修 4－ 2：矩阵与变换 ]2 －2 ，设曲线 C ：(x － y)2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A 对应的变换下获得曲线 C ′，已知矩阵 A ＝10 求 C ′的方程．解：设 P(x 0， y 0)为曲线 C 上随意一点，点P 在矩阵 A 对应的变换下获得点Q(x ， y)，x 2 － 2 x 0x ＝ 2x 0－ 2y 0，则＝，即，y0 1y 0＝y y 0解得 x 0＝ x＋ y ，2y 0＝ y ，又 (x 0－ y 0)2＋ y 20＝ 1，2∴ x ＋ y － y 2＋ y 2＝ 1，即 x＋ y 2＝ 1，242∴曲线 C ′ 的方程为x4 ＋ y 2＝ 1.C ． [选修 4－ 4：坐标系与参数方程 ]1x ＝ 3＋ 2t ，在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为3(t 为参数 )，以原点 Oy ＝ 2t为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为 ρ＝ 2 3sin θ.设 P 为直线l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．解：由 ρ＝ 223sin θ，得 ρ＝ 2 3ρsin θ，进而有 x 2＋ y 2＝ 2 3y ，所以 x 2＋ (y － 3)2＝ 3.设P 3＋ 1 t ， 33)，2 2t ，又 C(0，1232 2则 PC ＝ 3＋ 2t＋ 2 t － 3 ＝t ＋ 12，故当 t ＝ 0 时， PC 获得最小值，此时点 P 的直角坐标为 (3,0)．D ． [选修 4－ 5：不等式选讲 ]已知 a ， b ， c ， d 是正实数，且 abcd ＝ 1，求证： a 5 ＋b 5＋ c 5＋d 5≥ a ＋ b ＋ c ＋ d.证明：由于 a ， b ， c ， d 是正实数，且 abcd ＝ 1,所以 a 5＋ b ＋ c ＋ d ≥ 4 4a 5bcd ＝ 4a.① 同理b 5＋c ＋d ＋ a ≥ 4b ，②c 5＋d ＋ a ＋ b ≥4c ，③d 5＋ a ＋ b ＋ c ≥4d ，④将①②③④式相加并整理，得 a 5＋ b 5＋ c 5＋ d 5≥ a ＋ b ＋ c ＋ d.当且仅当 “a ＝ b ＝ c ＝ d ＝ 1” 时等号成立．。

江苏高考数学附加题卷例题及答案(2021年整理)

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B ．附加题部分三、附加题部分（本大题共6小题,其中第21~24题为选做题，请考生在第21～24题中任选2个小题作答,如果多做，则按所选做的前两题记分;第25和第26题为必做题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21．(本小题为选做题，满分10分）如图，AB 是O 的直径，M 为圆上一点，ME AB ⊥，垂足为E ，点C 为O 上任一点，,AC EM 交于点D ，BC 交DE 于点F ．求证：（1)AE ED FE EB =::；（2）2EM ED EF =⋅．22．（本小题为选做题，满分10分)已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点．（1）求2x y +的取值范围;（2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．23．(本小题为选做题，满分10分）求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M ．24．（本小题为选做题，满分10分）已知(0,)2x π∈,求函数2sin y x =的最小值以及取最小值时所对应的x 值．25．(本小题为必做题，满分10分)如图，直三棱柱111A B C ABC -中, 12C C CB CA ===，AC CB ⊥。

D E 、分别为棱111C C B C 、的中点.（1）求点E 到平面ADB 的距离;（2）求二面角1E A D B --的平面角的余弦值；（3）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面1A DB ？若存在，确定其位置;若不存在，说明理由。

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练全套含解析

2018年高考数学江苏专版二轮专题复习附加题高分练1．矩阵与变换1．(2017²常州期末)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，列向量X ＝⎣⎡⎦⎤x y ，B ＝⎣⎡⎦⎤47，若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X . 解由A ＝⎣⎡⎦⎤2 13 2，得到A －1＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2.由AX ＝B ，得到X ＝A －1B ＝⎣⎡⎦⎤ 2 －1－3 2⎣⎡⎦⎤47＝⎣⎡⎦⎤12.也可由AX ＝B 得到⎣⎡⎦⎤2 13 2⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤47，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，3x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以X ＝⎣⎡⎦⎤12.2．(2017²江苏淮阴中学调研)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎡⎦⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎡⎦⎤11可得，⎣⎡⎦⎤33cd ⎣⎡⎦⎤11＝6⎣⎡⎦⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎡⎦⎤ 3－2，可得⎣⎡⎦⎤3 3c d ⎣⎡⎦⎤ 3－2＝⎣⎡⎦⎤3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎡⎦⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 123．(2017²江苏建湖中学月考)曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求M 的逆矩阵M －1.解 (1)设P(x ，y)为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎡⎦⎤1 a b 1⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′，代入x 2－2y 2＝1得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b)x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1，及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M ＝⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1≠0，故M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 －210111＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1. 4．已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P(x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x.又点P(x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y. 2．坐标系与参数方程1．(2017²南通一模)在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解方法一在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即弦长为2 2.方法二以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为(2－0)2＋(2－0)2＝2 2.2．(2017²江苏六市联考)平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解直线的普通方程为2x －2y ＋3＝0，曲线的普通方程为y 2＝8x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋3＝0，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，6，得AB ＝4 2.3．(2017²江苏滨海中学质检)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，(其中θ为参数)．(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值．解 (1)极点为直角坐标原点O ，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M(0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4．(2017²常州期末)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．解圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx(x ≥0，k ＞0)．圆心(1，3)到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k 2. 根据题意，得24－(k －3)21＋k 2＝23，解得k ＝33. 即tan θ0＝33，又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6.3．曲线与方程、抛物线1．(2017²江苏南通天星湖中学质检)已知点A(1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上．(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．解 (1)由点A(1,2)在抛物线F 上，得p ＝2，∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.2．(2017²江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px. ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ³1，得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)．∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB ，由A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在抛物线上，得 y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)， ∴y 1＋y 2＝－4，由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)．3．(2017²江苏常州中学质检)已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P 满足AP →²AF →＝2||FP →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N.问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设P(x ，y)，则AP →＝(x ＋1，y)，FP →＝(x －1，y)，AF →＝(2,0)，由AP →²AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x. 故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.(2)直线l 方程为y ＝2(x ＋1)，设Q(x 0，y 0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．设过点M 的切线方程为x －x 1＝m(y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0，由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x ＋x 1)，同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x)，又MN ∥l ，所以2y 0＝2，得y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 4．(2017²江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A(x 1，y 1)(y 1＞0)，B(x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →²TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 焦点为F(1,0)，T(－1,0)．当l ⊥x 轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA →²TB →＝0，与TA →²TB →＝1矛盾，所以设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，①所以y 21y 22＝16x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－4，② 因为TA →²TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1，将①②代入并整理得，k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1＞0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时，取等号，所以∠ATF ≤π4，所以∠ATF 的最大值为π4.4．空间向量与立体几何1．(2017²苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13.(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值．解 (1)设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P －ABCD 中，OP ⊥平面ABCD ，又PA ＝AB ＝2，所以OP ＝ 2.以O 为坐标原点，DA →，AB →，OP →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图．则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，2)，AP →＝(－1,1，2)．故OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13，223，ON →＝13OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，－223，PC →＝(－1,1，－2)，所以cos 〈MN →，PC →〉＝MN →²PC →|MN →||PC →|＝32，所以异面直线MN 与PC 所成角的大小为π6.(2)由(1)知PC →＝(－1,1，－2)，CB →＝(2,0,0)，NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23，0.设m ＝(x ，y ，z)是平面PCB 的法向量，则m ²PC →＝0，m ²CB →＝0，可得⎩⎨⎧－x ＋y －2z ＝0，x ＝0，令y ＝2，则z ＝1，即m ＝(0，2，1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCN 的法向量，则n ²PC →＝0，n ²CN →＝0，可得⎩⎨⎧－x 1＋y 1－2z 1＝0，－2x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝4，z 1＝2，即n ＝(2,4，2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m²n |m||n|＝523³22＝53333，则二面角N －PC －B 的余弦值为53333.2．(2017²常州期末)如图，以正四棱锥V －ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O －xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1)求ha的值；(2)求二面角B －VC －D 的余弦值．解 (1)根据条件，可得B(a ，a,0)，C(－a ，a,0)，D(－a ，－a,0)，V(0,0，h)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，h 2，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，h 2，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，h 2，故cos 〈BE →，DE →〉＝h 2－6a 2h 2＋10a2.又cos 〈BE →，DE →〉＝－1549，则h 2－6a 2h 2＋10a 2＝－1549，解得h a ＝32.(2)由h a ＝32，得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，34a ，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，34a ，且容易得到，CB →＝(2a,0,0)，DC →＝(0,2a,0)．设平面BVC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²BE →＝0，n 1²CB →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－32ax 1－a 2y 1＋34az 1＝0，2ax 1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＝3z 1，取y 1＝3，z 1＝2，则n 1＝(0,3,2)．同理可得平面DVC 的一个法向量为n 2＝(－3,0,2)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2|n 1||n 2|＝0³(－3)＋3³0＋2³213³13＝413，结合图形，可以知道二面角B －VC －D 的余弦值为－413.3．(2017²南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是线段PC 的中点．(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2)若点F 在线段PB 上，且使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB的值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz.因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)．因为E 是PC 的中点，所以E(0,1,1)，所以AP →＝(－2,0,2)，BE →＝(－2，－1,1)，所以cos 〈AP →，BE →〉＝AP →²BE →|AP →||BE →|＝32，从而〈AP →，BE →〉＝π6.因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(2)由(1)可知，DE →＝(0,1,1)，DB →＝(2,2,0)，PB →＝(2,2，－2)．设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ²DF →＝0，m ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1.故m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量，设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n ²DB →＝0，n ²DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n ＝(1，－1,1)为平面BDE 的一个法向量．因为二面角F －DE －B 的余弦值的绝对值为63，即|cos 〈m ，n 〉|＝|m²n ||m||n|＝|4λ－1|3²(2λ－1)2＋2λ2＝63，化简得4λ2＝1.因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即PF PB ＝12.4.(2017²苏北四市一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点． (1)求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2)点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．解 (1)因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)．又因为M 为PC 的中点，所以M(1,1,2)．所以BM →＝(－1,1,2)，AP →＝(0,0,4)，所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →²BM →|AP →||BM →|＝0³(－1)＋0³1＋4³24³6＝63，所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63. (2)因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0,2,0)，PB →＝(2,0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ²BC →＝0，m ²PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2,0,1)是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →²m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋(λ－1)2²5＝45，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1.5．离散型随机变量的概率分布1．(2017²南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E(X)．解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33³3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，P(X ＝k)＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k²⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望为E(X)＝5³13＝53.2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．解 (1)该网民恰好购买2种商品的概率为P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝34³23³12＋34³13³12＋14³23³12＝1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P(ABC)＝34³23³12＝14，所以P ＝1124＋14＝1724.故该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，由(1)知，P(η＝2)＝1124，P(η＝3)＝14，而P(η＝0)＝P(A B C )＝14³13³12＝124，所以P(η＝1)＝1－P(η＝0)－P(η＝2)－P(η＝3)＝14.随机变量η的概率分布为所以随机变量η的数学期望E(η)＝0³124＋1³14＋2³1124＋3³14＝2312.3．(2017²南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望．解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥．甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P(A 1)＝25，P(A 2)＝35³13³25＝225，P(A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³25＝2125.所以P(A 1＋A 2＋A 3)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P(X ＝1)＝25＋35³23＝45，P(X ＝2)＝225＋35³13³35³23＝425，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352³⎝ ⎛⎭⎪⎫132³1＝125.即X 的概率分布为所以数学期望E(X)＝1³45＋2³425＋3³125＝3125.4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X 的概率分布和数学期望E(X)．解 (1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有43＝64种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M ，事件M 共包含A 34＝24个基本事件，则P(M)＝2464＝38，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为38.(2)方法一 X 可能的取值为0,1,2,3. P(X ＝0)＝3343＝2764，P(X ＝1)＝C 13³3243＝2764，P(X ＝2)＝C 23³343＝964，P(X ＝3)＝C 3343＝164.所以X 的概率分布为所以E(X)＝0³2764＋1³2764＋2³964＋3³164＝34.方法二甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X 为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3，所以X 的概率分布为所以X 的数学期望E(X)＝3³14＝34.6．计数原理、二项式定理和数学归纳法1．已知等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n.(1)求(1＋x)2n －1的展开式中含x n的项的系数，并化简：C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ；(2)证明：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1. (1)解 (1＋x)2n －1的展开式中含x n 的项的系数为C n2n －1，由(1＋x)n －1(1＋x)n＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋…＋C n －1n －1xn －1)(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n )可知，(1＋x)n －1(1＋x)n的展开式中含x n的项的系数为C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n . 所以C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1. (2)证明当k ∈N *时，kC kn ＝k²n ！k ！(n －k )！＝n ！(k －1)！(n －k )！＝n²(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝nC k －1n －1，所以(C 1n)2＋2(C 2n)2＋…＋n(C n n)2＝∑k ＝1n[k(C k n )2]＝k ＝1n (kC k n C kn )＝k ＝1n (nC k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C k －1n －1C kn )＝n k ＝1n (C n －k n －1C kn )．由(1)知C 0n －1C n n ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ＝C n2n －1，即k ＝1n (C n －k n －1C k n )＝C n2n －1，所以(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1.2．(2017²江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知点A(0，－1)，P n (x n0，y n0)，n ∈N *.记直线AP n 的斜率为k n . (1)若k 1＝2，求P 1的坐标； (2)若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． (1)解因为k 1＝2，所以y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2，解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1,1)．(2)证明方法一设k 1＝2p(p ∈N *)，即y 0＋1x 0＝x 20＋1x 0＝2p.所以x 20－2px 0＋1＝0，所以x 0＝p±p 2－1. 因为y 0＝x 2，所以k n ＝y n0＋1x n 0＝x 2n0＋1x n 0＝x n 0＋1x n 0，所以当x 0＝p ＋p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋p 2－1n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n. 同理，当x 0＝p －p 2－1时，k n ＝(p ＋p 2－1)n ＋(p －p 2－1)n.①当n ＝2m(m ∈N *)时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．②当n ＝2m ＋1(m ∈N )时，k n ＝2∑k ＝0mC 2k n pn －2k(p 2－1)k，所以k n 为偶数．综上，k n 为偶数．方法二因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋10＋1x n ＋10＝x n ＋20＋1x n ＋20＋x n0＋1x n 0，所以k n ＋2＝k 1k n ＋1－k n .k 2＝x 20＋1x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 02－2＝k 21－2.设命题p(n)：k n ，k n ＋1均为偶数．以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”．①因为k 1是偶数，所以k 2＝k 21－2也是偶数．当n ＝1时，p(n)是真命题；②假设当n ＝m(m ∈N *)时，p(n)是真命题，即k m ，k m ＋1均为偶数，则k m ＋2＝k 1k m ＋1－k m 也是偶数，即当n ＝m ＋1时，p(n)也是真命题．由①②可知，对n ∈N *，p(n)均是真命题，从而k n 是偶数．3．(2017²江苏扬州中学模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3³2(n ∈N *)(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n²n！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论．解 (1)a n ＝cos π3³2n －2＝cos 2π3³2n －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ3³2n －12－1， ∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1＞0， ∴a n ＋1＝a n ＋12. (2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3＜b 3，猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k ＜b k 成立，即a k ＜1－2k²k！，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＜2－2k²k！2＝1－1k²k！， b k ＋1＝1－2(k ＋1)²(k ＋1)！，要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k²k！2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1－1k²k！＜1－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2，即证明1k²k！－4(k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，即证明(k －1)2k (k ＋1)²(k ＋1)！＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2(k ＋1)²(k ＋1)！2＞0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＜b n .4．已知f n (x)＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k)n ＋…＋(－1)n C n n (x －n)n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1)试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；(2)试猜测f n (x)关于n 的表达式，并证明你的结论．解 (1)f 1(x)＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x)＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x)＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6. (2)猜测f n (x)＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明．①当n ＝1时，f 1(x)＝1，等式成立． ②假设当n ＝m 时，等式成立，即 f m (x)＝k ＝0m (－1)k C k m (x －k)m＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1²(x－k)m ＋1.因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，kC k m ＋1＝(m ＋1)²C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ，且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C mm ，所以f m ＋1(x)＝k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m ＋1＝x k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k)m －k ＝0m ＋1(－1)k kC km ＋1(x －k)m＝x k ＝0m (－1)k C k m(x －k)m＋x ∑k ＝1m ＋1²(－1)k Ck －1m(x －k)m－(m ＋1)∑k ＝1m ＋1²(－1)k C k －1m (x －k)m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)k ＝0m (－1)k C km ²[(x－1)－k]m＝x²m！＋(－x ＋m ＋1)²m!＝(m＋1)²m！＝(m＋1)！.即n＝m＋1时，等式也成立．由①②可知，对n∈N*，均有f n(x)＝n！.。

2021年江苏卷高考附加题(含答案)

⎢2 2⎥ 3 2 4数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A、B、C三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）已知矩阵 A = ⎡3 1 ⎤⎣ ⎦（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点 A ⎛3,π ⎫, B ⎛ 2, π ⎫ ，直线l 的方程为ρsin ⎛θ+ π ⎫= 3.4 ⎪ 2 ⎪ 4 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设 x ∈ R ，解不等式|x |+|2 x -1|>2 .【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分 10 分）设 (1+ x )n = a + a x + a x 2 + + a x n , n 4, n ∈ N *. 已知12na 2= 2a a .（1）求n 的值；（2）设(1+ 3)n = a + b ，其中 a , b ∈ N * ，求 a 2 - 3b 2 的值.23（. 本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集 A n = {(0, 0), (1, 0), (2, 0),⋯, (n , 0)} ， B = {(0,1), (n ,1)}, C = {(0, 2), (1, 2) , (2, 2), , (n , 2)}, n ∈ N *.nn令 M n = A n B n C n .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.35 ⎢2 2⎥ ⎢2 2⎥ ⎢2 2⎥ 数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为 A = ⎡3 1 ⎤ ，⎣ ⎦所以 A 2= ⎡3 1 ⎤ ⎡3 1 ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡3⨯ 3 +1⨯ 23⨯1+1⨯ 2 ⎤ ⎡11 5⎤ = ⎢2 ⨯ 3 + 2 ⨯ 2 2 ⨯1+ 2 ⨯ 2⎥ = ⎢10 6⎥ ．⎣ ⎦ ⎣ ⎦（2）矩阵A 的特征多项式为λ- 3f (λ) =-2-1λ- 2= λ2 - 5λ+ 4 .令 f (λ) = 0 ，解得A 的特征值λ1 = 1,λ2 = 4. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．π 解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，），B （ 4由余弦定理，得AB = π ，），2= .（2）因为直线l 的方程为ρsin(θ+ π) = 3 ，4则直线l 过又 B ( 2, ) = 2.C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．2 32 + ( 2)2 - 2⨯ 3⨯ 2 ⨯ cos( π - π) 2 4点(3 2, π ) ，倾斜角为3π ．π 2 4) ，所以点B 到直线l 的距离为(3 2 - 2) ⨯ sin(3π - π2 4 23 3 n n n n 3 245 5 5 5 5 5 解：当x <0时，原不等式可化为- x + 1 - 2 x > 2 ，解得x <- 1；31 当0≤x ≤ 2时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；1 当x > 2时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1.综上，原不等式的解集为{x | x < - 1或x > 1}.322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为(1+ x )n = C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + + C n x n，n ≥ 4 ，所以 a = C 2 = n (n -1) , a = C 3 = n (n -1)(n - 2) ，2 n 23 n6a = C 4 = n (n -1)(n - 2)(n - 3) ． 4 n24因为 a 2= 2a a ，所以[n (n -1)(n - 2) ]2 = 2 ⨯ n (n -1) ⨯ n (n -1)(n - 2)(n - 3) ，6 2 24解得 n = 5．（2）由（1）知， n = 5．(1+ 3)n = (1+ 3)5= C 0 + C 1 + C 2 ( 3)2 + C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3)4 + C 5 ( 3)55 5 5 5 5 5= a + b 3 ．解法一：因为 a , b ∈ N * ，所以 a = C 0 + 3C 2 + 9C 4 = 76, b = C 1 + 3C 3 + 9C 5= 44 ，从而 a 2 - 3b 2 = 762 - 3⨯ 442 = -32 ．解法二：(1- 3)5 = C 0 + C 1 (- 3) + C 2 (- 3)2 + C 3 (- 3)3 + C 4 (- 3)4 + C 5 (-3)5555555= C 0 - C 1 + C 2 ( 3)2 - C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3)4 - C 5 ( 3)5 ． 5 5 5 5 5 53 n 2 +1 n 2 +4 n 2 +1 n 2 +1 n 2 + 4 因为 a , b ∈ N *，所以(1- 3)5 = a - b ．因此 a 2 - 3b 2 = (a + b 3)(a - b 3) = (1+ 3)5 ⨯ (1- 3)5 = (-2)5 = -32 ．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当 n = 1时， X 的所有可能取值是1， 2 ，2 ， 5 ．X 的概率分布为 P ( X = 1) = 7= 7 , P ( X =2) = 4 = 4 ， C 2 15C 2 1566P ( X = 2) = 2 = 2, P ( X = 5) = 2 = 2 ． C 2 15C 2 1566（2）设A (a ，b ) 和B (c ，d ) 是从 M n 中取出的两个点．因为 P ( X ≤ n ) = 1- P ( X > n ) ，所以仅需考虑 X > n 的情况． ①若b = d ，则 AB ≤ n ，不存在 X > n 的取法；② 若 b = 0 ，d = 1 ，则 AB = ≤ ，所以 X > n 当且仅当AB = ，此时 a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法；③ 若 b = 0 ，d = 2 ，则 AB = ≤ ，因为当 n ≥ 3 时，≤ n ，所以 X > n 当且仅当a = n ，c = 0 ，有 2 种取法；AB = ，此时 a = 0 ，c = n 或④ 若 b = 1，d = 2 ，则 AB = ≤ ，所以 X > n 当且仅当AB = ，此时 a = 0 ，c = n 或 a = n ，c = 0 ，有 2 种取法．综上，当 X > n 时， X 的所有可能取值是和，且P ( X = n 2 +1) = 4C 2 , P ( X = n 2 + 4) = 2 ．C 2 2n +42n +4P ( X ≤ n ) = 1- P ( X =n 2+1) - P ( X =n 2+ 4) = 1-62．2n +4(a - c )2 +1 n 2 +1 (a - c )2 + 4 (n -1)2 + 4 n 2 + 4 (a - c )2 +1 n 2 +1 C。

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回顾2009～2012年的考题，离散型随机变量的概率分布与数学期望是考查的重点，但考查难度不大，考查的重点是根据题意分析写出随机变量的分布列.求解过程往往和排列、组合和概率相结合.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在数学证明中有着广泛的应用.[典例1](2012·江苏高考)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．[解] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱．因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 P (ξ)411611111则其数学期望E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.本题考查概率分布、数学期望等基础知识．解题的关键是确定ξ的取值． [演练1](2012·扬州期末)口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X .(1)若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；(2)若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．解：(1)∵P (X ＝1)＝37，P (X ＝2)＝3×472＝1249，∴P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝3349.(2)∵X 可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝A 13A 17＝37，P (X ＝2)＝A 14A 13A 27＝27，P (X ＝3)＝A 24A 13A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 13A 47＝335，P (X ＝5)＝A 44A 13A 57＝135.∴X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 5 P3727635335135∴E (X )＝1×37＋2×27＋3×635＋4×335＋5×135＝2.即X 的数学期望是2. [典例2]已知△ABC 的三边长为有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． [证明] (1)由AB ，BC ，AC 为有理数及余弦定理知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数． ①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A·sin A＝1－cos2A也是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，sin A·sin(k＋1)A＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．[演练2](2012·常州)已知正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝1＋a n1＋a n(n∈N*)．用数学归纳法证明：a n<a n＋1(n∈N*)．证明：当n＝1时，a2＝1＋a11＋a1＝32，a1<a2，所以n＝1时，不等式成立；假设当n＝k(k∈N*)时，a k<a k＋1成立，显然a k>0. 则当n＝k＋1时，a k＋2－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a k1＋a k＝a k＋1－a k1＋a k1＋a k＋1>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式a n<a n＋1(n∈N*)成立．[典例3](2012·盐城二模)某班级共派出n＋1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．(1)试求E n和F n；(2)判断ln E n和F n的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明．[解] (1)由题意知E n＝A n n·A n n＝(n！)2，F n ＝C 1n ＋1·C 1n ＝n (n ＋1)．(2)因为ln E n ＝2ln n ！，F n ＝n (n ＋1)，所以ln E 1＝0<F 1＝2，ln E 2＝ln 4<F 2＝6，ln E 3＝ln 36<F 3＝12，…，因此猜想；当n ∈N *时都有ln E n <F n ，即2ln n ！<n (n ＋1)．下面用数学归纳法证明2ln n ！<n (n ＋1)(n ∈N *)． ①当n ＝1时，该不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即2ln k ！<k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，2ln(k ＋1)！＝2ln(k ＋1)＋2ln k ！<2ln(k ＋1)＋k (k ＋1)，要证当n ＝k ＋1时不等式成立，只要证2ln(k ＋1)＋k (k ＋1)≤(k ＋1)(k ＋2)，即只要证ln(k ＋1)≤k ＋1.令f (x )＝ln x －x ，x ∈(1，＋∞)，因为f ′(x )＝1－x x<0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递减，从而f (x )<f (1)＝－1<0，而k ＋1∈(1，＋∞)，所以ln(k ＋1)≤k ＋1成立，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合①②，当n ∈N *时，都有ln E n <F n .本题考查排列组合等基础知识，考查数学归纳法的应用以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．这类问题以排列组合为主线，利用数学归纳法进行推理．利用导数研究函数的单调性证明ln(k ＋1)<k ＋1是关键．[演练3](2012·扬州期末)已知p (p ≥2)是给定的某个正整数，数列{a n }满足：a 1＝1，(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，其中k ＝1，2,3，…，p －1.(1)设p ＝4，求a 2，a 3，a 4； (2)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a p . 解：(1)由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，得a k ＋1a k ＝p ×k －pk ＋1，k ＝1,2,3，…，p －1，即a 2a 1＝－4×4－12＝－6，a 2＝－6a 1＝－6； a 3a 2＝－4×4－23＝－83，a 3＝16； a 4a 3＝－4×4－34＝－1，a 4＝－16. (2)由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，得a k ＋1a k ＝p ×k －pk ＋1，k ＝1,2,3，…，p －1，即a2a1＝－p×p－12，a3a2＝－p×p－23，…，a ka k－1＝－p×p－k－1k，以上各式相乘得a ka1＝(－p)k－1×p－1p－2p－3…p－k＋1k！，∴a k＝(－p)k－1×p－1p－2p－3…p－k＋1k！＝(－p)k－1×p－1！k！p－k！＝－p k－1p×p！k！p－k！＝－(－p)k－2×C k p＝－1p2C k p(－p)k，k＝1,2,3，…，p.∴a1＋a2＋a3＋…＋a p＝－1p2[C1p(－p)1＋C2p(－p)2＋C3p(－p)3＋…＋C p p(－p)p]＝－1p2[(1－p)p－1]．[专题技法归纳]离散型随机变量的概率分布与数学期望是建立在传统的概率问题的基础之上的内容，高考新课程对这一内容的考查是B级要求，常以实际应用题的形式出现，与数学建模能力的考查结合在一起，考查学生的数学应用意识以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．解决这一类问题，一定要注意认真审题，不仅要能在弄清题意的基础上，迅速地寻找出正确的解题思路，还要能够规范地表述解题的过程．这些，需要在复习中引起足够的重视，注意做好针对性的训练，力求做到求解这一类问题时能够得心应手、准确无误．1．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.第一排明文字符 A B C D密码字符11121314第明文字符 E F G H二排密码字符 21 22 23 24第三排明文字符 MNPQ密码字符1234设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数． (1)求P (ξ＝2)；(2)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望．解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码．∴P (ξ＝2)＝2343＝18.(2)由题意可知，ξ的取值为2,3,4三种情形．若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4.∴P (ξ＝3)＝222A 132C 23＋143＝1932. P (ξ＝4)＝A 13＋A 22＋A 23A 2243＝932. ∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 P181932932∴E (ξ)＝2×18＋3×1932＋4×32＝32.A BED2.同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)．解：(1)设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图，当区域A 、D 同色时，共有5×4×3×1×3＝180种；当区域A 、D 不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种；因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种．又因为A 、D 为红色时，共有4×3×3＝36种；B 、E 为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，事件M 包含的基本事件有：36＋36＝72种．所以P (M )＝72420＝635.(2)随机变量ξ的分布列为：所以E (ξ)＝0×635＋1×2335＋2×35＝1.3．(2012·南通二模)某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)若射击4次，每次击中目标的概率为13且相互独立．设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(2)若射击2次均击中目标，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A 发生的概率．解：(1)依题意知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，ξ的分布列：数学期望E (ξ)＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.(2)法一：设A i 表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2,3.B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2,3.依题意，知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1，P (A 2)＝P (B 2)＝0.3，A ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2，所求的概率为 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28. 即事件A 发生的概率为0.28.法二：记“第一部分至少击中一次”为事件C ，“第二部分被击中二次”为事件D ，则P (C )＝C 120.1×0.9＋0.1×0.1＝0.19，P (D )＝0.3×0.3＝0.09. P (A )＝P (C )＋P (D )＝0.28.即事件A 发生的概率为0.28.4.(2012·南通二模)已知函数f (x )＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x (a >0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取极值，求a 的值；(2)如图，设直线x ＝－12，y ＝－x 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界)，若函数y ＝f (x )的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；(3)比较32×43×54×…×2 0122 011与23×34×45×…×2 0112 012的大小，并说明理由．解： (1)f (x )＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x (a >0)，f ′(x )＝2ln(2x ＋1)－4a (2x ＋1)＋1.∵f (x )在x ＝0处取极值， ∴f ′(0)＝－4a ＋1＝0. ∴a ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫经检验a ＝14符合题意. (2)因为函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，且当x ＝0时，f (0)＝－a <0. 又直线y ＝－x 恰好通过原点，所以函数y ＝f (x )的图象应位于区域Ⅳ内，于是可得f (x )<－x ，即(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x <－x . ∵2x ＋1>0，∴a >ln2x ＋12x ＋1.令h (x )＝ln2x ＋12x ＋1，∴h ′(x )＝2－2ln 2x ＋12x ＋12. 令h ′(x )＝0，得x ＝e －12.∵x >－12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，e －12时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞时，h ′(x )<0，h (x )单调递减．∴h max (x )＝h ⎝⎛⎭⎪⎫e －12＝1e.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. (3)由(2)知，函数h (x )＝ln2x ＋12x ＋1在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞时单调递减，函数p (x )＝ln x x在x ∈(e ，＋∞)时单调递减． ∴lnx ＋1x ＋1<ln xx，∴x ln(x ＋1)<(x ＋1)ln x . ∴ln(x ＋1)x<ln x(x ＋1)，即(x ＋1)x <x(x ＋1)．∴令x ＝3,4，…，2011，则43<34,54<45，…，2 0122 011<2 0112 012，又32×43<23×34，所以32×43×54…×2 0122 011<23×34×45…×2 0112 012.5．(2012·通州期末)求证：对于任意的正整数n ，(2＋3)n必可表示成 s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.证明：由二项式定理可知， (2＋3)n＝C 0n 2n(3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝x ＋3y ＝x 2＋3y 2，而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *，则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *，∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n＝1， ∴令a ＝s ，s ∈N *，则必有b ＝s －1.∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.6．若(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n ，其中n ∈N *. (1)求a 0及S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；(2)试比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，并说明理由．解：(1)取x ＝1，则a 0＝2n；取x ＝2，则a 0＋a 1＋…＋a n ＝3n， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n. (2)要比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，即比较3n 与(n －1)2n ＋2n 2的大小，当n ＝1时，3n >(n －1)2n ＋2n 2；当n ＝2,3时，3n <(n －1)2n ＋2n 2；当n ＝4,5时，3n>(n －1)2n＋2n 2，猜想：当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2.下面用数学归纳法证明：①由上述过程可知，n＝4时结论成立，②假设当n＝k，(k≥4)时结论成立，即3k>(k－1)2k＋2k2，两边同乘以3得3k＋1>3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]，而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6>0，所以3k＋1>()k＋1－12k＋1＋2(k＋1)2，即n＝k＋1时结论也成立．由①②知当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2成立．综上所述，当n＝1时，S n＞(n－2)2n＋2n2；当n＝2,3时，S n＜(n－2)2n＋2n2；当n≥4时，S n＞(n－2)2n＋2n2.7．设二项展开式C n＝(3＋1)2n－1(n∈N*)的整数部分为A n，小数部分为B n.试用二项式定理推导A n和B n.解：因为C n＝(3＋1)2n－1＝C02n－1(3)2n－1＋C12n－1(3)2n－2＋…＋C2n－22n－13＋C2n－12n－1，①而(3－1)2n－1＝C02n－1(3)2n－1－C12n－1(3)2n－2＋…＋C2n－22n－13－C2n－12n－1，②①—②得：(3＋1)2n－1－(3－1)2n－1＝2(C12n－1·(3)2n－2＋C32n－1(3)2n－4＋…＋C2n－12n－1)∈N*. 而0<(3－1)2n－1<1，所以A n＝(3＋1)2n－1－(3－1)2n－1，B n＝(3－1)2n－1. 8．(2012·苏北四市一模)已知a n＝(1＋2)n(n∈N*)．(1)若a n＝a＋b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；(2)求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.证明：(1)由二项式定理，得a n＝C0n＋C1n2＋C2n(2)2＋C3n(2)3＋…＋C n n(2)n，所以a＝C0n＋C2n(2)2＋C4n(2)4＋…＝1＋2C2n＋22C4n＋…，因为2C2n＋22C4n＋…为偶数，所以a是奇数．(2)由(1)设a n＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，则(1－2)n＝a－b2，所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n.当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k＋k－1，当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k－1＋k，综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.- 11 -。