第9章 曲线拟合与数据分析.
数据处理与曲线拟合的技巧与方法
数据处理与曲线拟合的技巧与方法在科学研究和工程应用中，数据处理和曲线拟合是非常重要的一环。
正确地处理数据并通过曲线拟合方法得到准确的拟合曲线，对于研究和预测数据的规律具有重要意义。
本文将介绍数据处理和曲线拟合的一些技巧与方法，以帮助读者更好地应用于实践中。
一、数据处理技巧1. 数据的清洗和去噪在进行数据处理之前，首先需要对原始数据进行清洗和去噪操作。
这包括去除异常值、缺失值以及噪声干扰。
可以使用各种统计方法和数据处理算法进行清洗和去噪，如平均值滤波、中值滤波、小波滤波等。
2. 数据的归一化对于不同量纲的数据，为了消除量纲差异对分析结果造成的影响，需要对数据进行归一化处理。
常用的归一化方法包括最小-最大归一化和Z-score归一化。
最小-最大归一化将数据线性映射到[0, 1]的范围内，Z-score归一化则将数据映射到均值为0，标准差为1的正态分布。
3. 数据的平滑和滤波对于采样数据，由于受到采样精度和测量噪声的影响，数据可能会出现抖动或者波动现象。
为了提高数据的光滑性，可以使用数据平滑和滤波技术，如移动平均滤波、加权移动平均滤波、卡尔曼滤波等。
二、曲线拟合方法1. 最小二乘法最小二乘法是一种经典的曲线拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合曲线之间的误差平方和来确定拟合曲线的参数。
最小二乘法适用于线性拟合问题，可以通过求解正规方程或者使用矩阵运算的方法得到拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法对于非线性拟合问题，可以使用非线性最小二乘法进行曲线拟合。
非线性最小二乘法通过迭代优化的方式，逐步调整拟合曲线的参数，使得实际观测值与拟合曲线之间的误差平方和最小化。
常用的非线性最小二乘法包括高斯-牛顿法和Levenberg-Marquardt算法。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段多项式的曲线拟合方法。
它通过构造分段多项式曲线，使得曲线在各个插值节点处满足一定的条件，如连续性、光滑性等。
样条插值适用于数据点较密集、曲线变化较剧烈的情况。
实验数据与曲线拟合
实验数据与曲线拟合一、引言实验数据与曲线拟合是科学研究和工程应用中常见的任务之一。
通过对实验数据进行曲线拟合，可以找到数据背后的规律和趋势，从而进行预测、优化和决策。
本文将介绍实验数据与曲线拟合的基本概念、方法和应用。
二、实验数据的收集与处理1. 实验数据的收集实验数据的收集是实验研究的基础，可以通过传感器、仪器设备或人工记录等方式进行。
在收集实验数据时，应注意数据的准确性和可靠性，避免误差和干扰的影响。
2. 实验数据的处理在进行曲线拟合之前，需要对实验数据进行处理，以提高数据的可靠性和可用性。
常见的数据处理方法包括数据清洗、异常值处理、数据平滑和数据归一化等。
三、曲线拟合的基本概念1. 曲线拟合的定义曲线拟合是通过数学模型来描述和预测实验数据的一种方法。
通过找到最佳拟合曲线，可以近似地表示实验数据的规律和趋势。
2. 曲线拟合的目标曲线拟合的目标是找到最佳拟合曲线，使得拟合曲线与实验数据之间的误差最小化。
常见的误差度量方法包括最小二乘法、最大似然估计和最小绝对值法等。
3. 曲线拟合的模型曲线拟合的模型可以是线性模型、非线性模型或混合模型等。
选择合适的模型需要根据实验数据的特点和目标需求进行。
四、曲线拟合的方法1. 线性回归线性回归是一种常见的曲线拟合方法，适用于线性关系较为明显的实验数据。
通过最小化实验数据与拟合曲线之间的误差，可以得到最佳拟合直线。
2. 非线性回归非线性回归适用于实验数据存在非线性关系的情况。
常见的非线性回归方法包括多项式回归、指数回归和对数回归等。
通过选择合适的函数形式和参数，可以得到最佳拟合曲线。
3. 插值法插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
通过插值方法可以得到平滑的曲线拟合结果。
4. 最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化实验数据与拟合曲线之间的误差来求解模型参数的方法。
通过最小二乘法可以得到最佳拟合曲线的参数估计值，并评估拟合曲线的拟合程度。
常用数值分析方法3插值法与曲线拟合
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值
数据处理与曲线拟合的技巧与方法
数据处理与曲线拟合的技巧与方法在科学研究和工程应用中，数据的处理和曲线的拟合是非常常见且重要的任务。
数据处理是指对已有数据进行清洗、分析和提取有用信息的过程，而曲线拟合则是通过数学模型来描述和预测实际数据中的趋势和规律。
本文将介绍一些数据处理和曲线拟合的技巧和方法，帮助读者更好地应用于实际问题中。
一、数据处理技巧1. 数据清洗数据清洗是数据处理的第一步，用于处理数据中的噪声、异常值和缺失值等。
常见的数据清洗方法包括去除重复值、替换缺失值、剔除异常值、平滑处理等。
在进行数据清洗时，需根据具体问题和数据特点选择合适的方法，以确保数据的准确性和可靠性。
2. 数据分析数据分析是数据处理的关键环节，通过对数据的统计分析、图表展示和规律挖掘，可以获取数据的潜在信息和规律。
常用的数据分析方法包括描述性统计、频率分析、相关性分析、聚类分析等。
在进行数据分析时，需根据问题的需求和数据的特点选择合适的方法，以获得对问题的深入理解和洞察。
3. 特征提取特征提取是将原始数据转化为有用特征的过程，常见的特征提取方法包括主成分分析、小波变换、傅里叶变换等。
通过特征提取，可以降低数据的维度、减少冗余信息，并提高后续任务的效果和效率。
二、曲线拟合方法1. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化实际观测值与拟合值之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法可用于线性回归、多项式拟合和非线性拟合等问题。
在拟合过程中，需选择适当的拟合函数和模型，以获得对实际数据最优的拟合效果。
2. 插值法插值法是通过已知数据点来估计其他位置数据的方法。
常见的插值法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
插值法常用于数据的填充、曲线的平滑和数据点的补充等场景，通过插值得到的曲线可以更好地反映数据的特征和变化趋势。
3. 曲线拟合评估在进行曲线拟合时，需对拟合结果进行评估和验证。
常用的评估指标包括均方根误差（RMSE）、确定系数（R-squared）和相关系数等。
曲线拟合
经验公式：y=0.239x-0.0418
>> plot(x,y,'*',x,polyval(p,x))
曲线拟合的三种功能： 1 估算数据 2 预测趋势 3 总结规律
5.5 曲线拟合
引例-人口预测问题 曲线拟合的原理 曲线拟合的实现方法 实际应用
专题五 数据分析与多项式计算
引例-人口预测问题
人口增长是当今世界上都关注的问题，对人口增长趋势进行预测 是 各国普遍的做法。已知某国1790年到2010年间历次人口普查数 据如 下表所示，请预测该国2020年的人口数。
x x1 x2 … xk … xn y y1 y2 … yk … yn
y=f(x)
y=g(x)
构造函数g(x)去逼近未知函数f(x)，使得误差 δi= g(xi)-f(xi)(i=1,2,3,…,n)
在某种意义下达到最小。
两个问题： （1）用什么类型的函数做逼近函数？ （2）误差最小到底怎么计算？
MATLAB中的多项式拟合函数为polyfit()，其功能为求得最小二乘拟合多项式系 数，其调用格式为： （1）P=polyfit(X,Y,m) （2）[P,S]=polyfit(X,Y,m) （3）[P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)：根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P 及 其 在 采 样 点 误 差 数 据 S， mu是 一 个 二 元 向 量 ， mu(1) 是 mean(X) ， 而 mu(2) 是 std(X)。
105.7,122.8,131.7,150.7,179.3,203.2,226.5,248.7,281.4,308.7];
plot(x,y,'*');
数值分析中的最小二乘法与曲线拟合
数值分析中的最小二乘法与曲线拟合数值分析是现代理论与实践密切结合的一门交叉学科，其中最小二乘法和曲线拟合是其中两个非常重要的概念。
最小二乘法是一种数学运算方法，用于求解一组方程组的未知参数，使得每个方程的误差平方和最小。
在实际应用中，最小二乘法广泛应用于数据拟合、信号处理、回归分析等领域。
在数据拟合中，最小二乘法是一种常见的方法，它可以用于拟合曲线和函数。
它通过延伸曲线以获得局部数据之间的交点，并通过在它们上进行平均化的方法来尝试匹配数据。
最小二乘法的概念为我们提供了一个理论基础，以便在一定程度上预测新的数据中对象的行为或趋势。
但是，即使在相对简单的问题中，最小二乘法可能并不是最佳选择。
曲线拟合是对一系列数据进行插值的过程，以便获得与原始数据点更准确相匹配的曲线或函数。
曲线拟合可以通过在相邻数据点之间进行插值来完成。
在曲线拟合中，只有在数据有很好的统计关系或在相邻数据点
有很好的相关性时，才会产生准确的结果。
否则，结果可能并不
准确，因为这些结果取决于数据点的数量和分布。
需要注意的是，曲线拟合和最小二乘法并不是一个可以代替另
一个的工具。
它们的适用范围不同。
曲线拟合适用于对离散数据
点进行联合分析，而最小二乘法适用于求解连续数据的线性模型。
总之，数值分析中的最小二乘法和曲线拟合是非常实用的概念，可以应用于各种领域。
它们作为现代数据分析的主要工具之一，
不断吸引着越来越多的学者和工程师投入到其中，将继续发挥重
要作用。
拟合曲线数据
拟合曲线数据是通过对离散的数据点进行插值、逼近，绘制出一条光滑的曲线的过程。
曲线拟合的方法可以根据具体情况选择不同的曲线类型，常用的函数包括指数函数、对数函数等。
在拟合曲线时，通常需要先收集数据，并对数据进行清洗和预处理，然后选择适合的曲线类型进行拟合。
常用的拟合方法包括最小二乘法和多项式拟合等。
最小二乘法是一种常用的数学优化技术，通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
多项式拟合则是通过多项式函数来逼近离散数据点，常用的多项式函数包括线性函数、二次函数、三次函数等。
在拟合曲线时，需要注意一些关键点。
首先，要选择合适的曲线类型，确保曲线的形态能够反映数据的内在规律；其次，要选择合适的多项式阶数，以避免过拟合或欠拟合的情况；最后，要注意处理异常值和缺失值，避免其对拟合结果的影响。
拟合曲线数据在许多领域都有应用，如工程设计、科学实验、社会活动等。
通过拟合曲线数据，可以更好地理解数据的内在规律和关系，为后续的数据分析和决策提供支持。
曲线拟合的实用方法与原理
曲线拟合的实用方法与原理曲线拟合是一种常用的数据分析方法，它可以通过寻找最佳拟合曲线来描述一组数据的趋势和关系。
在科学研究、工程技术、金融分析等领域中，曲线拟合被广泛应用于数据模型的建立、预测和优化等方面。
本文将介绍曲线拟合的实用方法和原理，帮助读者更好地理解和运用这一分析工具。
一、曲线拟合的基本概念曲线拟合是指通过一组已知数据点，寻找一条函数曲线来逼近这些数据点的过程。
拟合曲线的选择通常基于拟合误差最小化的原则，即找到一条曲线，使得它与实际数据点之间的误差最小。
二、常见的曲线拟合方法1. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的曲线拟合方法，它通过最小化拟合曲线与实际数据点之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法在实际应用中较为简单和灵活，能够拟合各种类型的曲线，如线性曲线、多项式曲线、指数曲线等。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来拟合数据点的方法。
它可以通过最小二乘法来确定多项式的系数，从而得到最佳拟合曲线。
多项式拟合可以适用于不同阶数的多项式，阶数越高，拟合曲线越复杂，能够更好地逼近实际数据。
3. 曲线拟合工具除了最小二乘法和多项式拟合外，还有一些专门的曲线拟合工具可供使用。
例如，MATLAB和Python中的Scipy库提供了丰富的曲线拟合函数，可以根据实际需求选择合适的拟合方法和工具。
三、曲线拟合的实际应用曲线拟合在各个领域都有广泛的应用。
以下是几个典型的实际应用案例：1. 经济数据分析曲线拟合可以用于分析经济数据的趋势和关系。
例如，通过对历史GDP数据进行曲线拟合，可以预测未来的经济增长趋势，为政策制定和投资决策提供参考。
2. 工程建模在工程领域，曲线拟合可以用于建立物理模型和优化设计。
例如，通过对实验数据进行曲线拟合，可以得到物质的力学性质曲线，从而优化材料的设计和使用。
3. 股票价格预测曲线拟合可以用于股票价格的预测和交易策略的制定。
通过对历史股票价格数据进行曲线拟合，可以找到潜在的趋势和周期性，从而为投资者提供决策依据。
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9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 8）Find Specific X/Y 设置是否产生一个表格，显示在Y列或X列中寻找另一列对应的数 据。（输出位置在Output Result 中设置） 9）Residual Plots 用于输出各残差分析图。
9.1曲线拟合
线性拟合
关于分析报表 分析报表（Analysis Report Sheets）较之旧版本，是新版 本中的一个重要改进。新版本重新设计了全新的电子表格模块， 支持复杂的格式输出。另外在新版本中，新版本分析报表并不仅 仅是用来显示分析结果的“静态”报表，而更像一种分析模板， 也即是“动态”报表。 新分析报表的特点：按树形结构组织，可根据需要进行收缩 或展开；每个节点的输出内容可以是表格、图形、统计和说明； 报表以电子表格（Workbook）形式呈现，分析报表附带的数据会 生成新的电子表格。
第9章 曲线拟合与数据分析
任课老师：程道建 副教授
E-mail: chengdj@
第9章 曲线拟合与数据分析
9.2数据管理与数学运算
9.3统计分析及其他应用
9.1曲线拟合
回归分析概述
所谓回归（regression）分析，就是一种处理变量与变量之 间相互关系的数理统计方法。用这种数学方法可以从大量观测 的散点数据中寻找到能反映事物内部的一些统计规律，并可以 按数学模型形式表达出来。 回归分析方法是处理变量之间相关关系的有效工具，它不仅 提供建立变量间关系的数学表达式——经验公式，而且可对其 进行拟合程度评价和显著性检验，从而检验经验公式的正确性。 回归（regression）分析也可以称为拟合（fitting），回 归是要找到一个有效的关系，拟合则要找到一个最佳的匹配方 程，两ear Fit对话框设置 7）Fitted Curves Plot 设置拟合图形选项 Plot on Original Graph：在原图上 作拟合曲线。 Update Legend on Original Graph： 更新原图上的图例。 X Data Type：设置X列数据类型。 Confidence Bands：显示置信区间。 Prediction Bands：显示预计区间。 Confidence Level for Curves：设 置置信度。
9.1曲线拟合
拟合结果分析报表 1）Notes： 记录用户、使用时间和拟合方程等信 息。 2）Input： 显示数据的来源。 3）Parameters： 显示斜率、截距和标准差。
9.1曲线拟合
拟合结果分析报表 4）Statistics 主要显示统计点个数，相关系数RSquare。 5）Summary 摘要信息显示，整合了斜率、截距和 相关系数等主要信息。 6）ANOVA 显示方差分析的结果。
9.1曲线拟合
线性拟合
线性拟合是数据分析中最简单又很重要的分析方法。Origin 按以下方法把曲线拟合为直线：对X（自变量）和Y（因变量）， 线性回归方程为：Y=A+BX，参数A(截距)和B（斜率）由最小二 乘法求算。 线性拟合实例 1）导入数据，通过【File】→【Import】命令打开安装目 录中的D:\OriginLab\Origin8\Samples\Curve Fitting\ Linear Fit.dat文件。 2）选中A、B列数据，生成散点图。 3）通过【Analysis】→【Fitting】→【Fit Linear】命令 打开Linear Fit对话框。
9.1曲线拟合
线性拟合
4）选择默认设置，单击OK按钮生成拟合曲线及分析报表。
拟合曲线
分析报表
9.1曲线拟合
线性拟合
Linear Fit对话框设置 拟合参数设置对话框中，包含 以下几项设置。 1）Recalculate 在这一项中，可以设置输入数 据与输出数据的关系，包括Auto （当源数据数据变化后，自动更 新）、Manual（手动更新）和 None。
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 2）Input Data 该项下面的选项用于设置输入数据 区域以及误差数据区域。 3）Fit Options Errors as Weight：误差权重。 Fix Intercept（at）：截距限制。 Fix Slope（at）：斜率限制。 Use Reduced Chi-Sqr：这个数据也 能显示误差。 Apparent Fit：使用log坐标对指数 衰减进行直线拟合。
9.1曲线拟合
回归分析的过程
1）确定变量。包括自变量和因变量。 2）确定数学模型。即自变量和因变量之间的关系。确定数学 模型要注意两点：一是能否通过数据变换找到尽可能的模块。 3）交由计算机软件进行反复逼近，必要时进行人为干预。 4）根据运算结果，特别是相关系数进行检验。 5）如果结果不满意，则重新修改模型参数再进行运算。
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 5）Quantities to Compute Fit Parameters：拟合参数项。 Fit Statistics：拟合统计项。 Fit Summary：拟合摘要项。 ANOVA：是否进行方差分析。 Covariance matrix：是否产生协方差Matrix。 Correlation matrix：是否显示相关性Matrix。
9.1曲线拟合
Linear Fit对话框设置 5）Residual Analysis 该项设置几种残差分析的类型。 6）Output Result 该项用来定制分析报表 Paste Result Tables to Graph：是 否在拟合的图形上显示结果表格。 Output Fitted Values To：报表输 出位置。 Output Find Specific X/Y Tables： 输出时包含一表格。自动计算X对应的 Y值或Y对应的X值。 （后面Find specific X/Y选中才出现此项 ）