【名师导学】数学(江苏理,提高版)大一轮复习练习：7.6数列的综合应用(含答案解析)

第40课 数列的综合应用【自主学习】(本课时对应学生用书第103~105页)自主学习 回归教材1. (必修5P38练习4改编)已知一个直角三角形的三边的长组成等差数列，其中最小边长为3，那么该直角三角形的斜边长为 . 【答案】5【解析】设另一直角边长为b ，斜边长为c ，则3+c=2b ，又32+b 2=c 2，解得c=5.2. (必修5P39习题8改编)已知x>0，y>0，x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，那么21212()a a b b +的最小值是 .【答案】4【解析】因为a 1+a 2=x+y ，b 1b 2=xy ，所以21212()a a b b +=2()x y xy +=222x y xy xy ++=22x y xy ++2≥2+2=4，当且仅当x=y 时取“=”.3. (必修5P48习题13改编)如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n 行(n≥2)第2个数是.(第3题)【答案】2-22n n +【解析】设第n行的第2个数为a n，不难得出规律，a3-a2=2，a4-a3=3，…，a n-a n-1=n-1，累加得a n=2-22n n+.4.(必修5P44例4改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有个座位.【答案】8205.(必修5P55例5改编)某人为了购买商品房，从2001年起，每年1月1日到银行存入a元一年期定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2009年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取人民币为元.【答案】8(1)[(1)-1]a p pp++【解析】由题知，到2009年1月1日可取回钱总数为a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)=8(1)[(1)-1]a p pp++.1. 数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活地运用等差、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键.2. 解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步：(1)根据题意建立数列模型；(2)运用数列知识求解数列模型；(3)检验结果是否符合题意，给出问题的答案.【要点导学】要点导学 各个击破子数列问题例1 已知在等差数列{a n }中，a 2=5，前10项和S 10=120，若从数列{a n }中依次取出第2项、第4项、第8项、…、第2n 项，按原顺序组成新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .【解答】设{a n }的公差为d ，则115109101202a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，⇒132a d =⎧⎨=⎩，，所以a n =3+(n-1)·2=2n+1， b n =2na =2·2n +1，所以T n =n+2(21+22+…+2n )=n+2·2(1-2)1-2n =2n+2+n-4.变式 已知{a n }为等差数列，公差d≠0，{a n }中的部分项组成的数列12k k a a ，，…，n k a，…恰为等比数列，其中k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k n .【解答】由题设知123k k k a a a ，，，…，即为a 1，a 5，a 17，…成等比数列，则(a 1+4d)2=a 1(a 1+16d)， 因为d≠0，所以a 1=2d ，公比q=51a a =114a da +=3，所以nk a =a 1·q n-1=a 1·3n-1.又n k a=a 1+(k n -1)·d=a 1+(k n -1)·12a ，所以a 1+(k n -1)·12a =a 1·3n-1.因为a 1≠0，所以k n =2×3n-1-1.数列与函数、不等式等综合问题例2 设不等式组00-3x y y nx n >⎧⎪>⎨⎪≤+⎩，，所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(n ∈N *).(1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式.(2)设S n 为数列{b n }的前n 项的和，其中b n =2f(n)，是否存在正整数n ，t ，使得11--n nn n S tb S tb ++<116成立?若存在，求出正整数n ，t ；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1)直接把n=1，2代入即可求出f(1)，f(2)的值；再把x=1，x=2代入综合求出f(n)的解析式.(2)先利用b n =2f(n)求出数列{b n }的通项公式，进而求出S n ；把S n 代入11--n nn n S tb S tb ++<116，化简得88-8-7781-8-77n n t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭<12，再分t=1以及t>1求出其对应的n 即可说明结论. 【解答】(1)f(1)=3，f(2)=6.当x=1时，y 取值为1，2，3，…，2n ，共有2n 个格点； 当x=2时，y 取值为1，2，3，…，n ，共有n 个格点. 所以f(n)=n+2n=3n. (2)因为b n =2f(n)=23n =8n ，所以S n =8(1-8)1-8n =87(8n -1).将S n代入11--n n n n S tb S tb ++<116，化简得88-8-7781-8-77n n t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭<12. ① 若t=1，88-7781-77nn<12，即87n <157，显然n=1； 若t>1，①式化简为8-7t ⎛⎫ ⎪⎝⎭8n>157，不可能成立. 综上，存在正整数n=1，t=1使得11--n nn n S tb S tb ++<116成立.【精要点评】本题综合考查了数列、不等式表示的平面区域、不等式恒成立问题等知识.在解题时，要时刻注意n 的整数特征.变式 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=14，a n +b n =1，b n+1=21-nn b a .(1)求b 1，b 2，b 3，b 4； (2)求数列{b n }的通项公式；(3)设S n =a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+…+a n a n+1，求当4aS n <b n 恒成立时实数a 的取值范围.【解答】(1)由题设得b n+1=(1-)(1)n n n b a a +=(2-)n n n b b b =12-n b ，因为a 1=14，b 1=34，所以b 2=45，b 3=56，b 4=67.(2)因为b n+1-1=12-n b -1，所以11-1n b +=2--1n n b b =-1+1-1n b ，所以数列1-1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-4为首项、-1为公差的等差数列，所以1-1n b =-4-(n-1)=-n-3，所以b n =1-13n +=23n n ++.(3)a n =1-b n =13n +，所以S n =a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=145⨯+156⨯+…+1(3)(4)n n ++=14-14n +=4(4)n n +，所以4aS n -b n =4an n +-23n n ++=2(-1)(3-6)-8(3)(4)a n a n n n +++. 当(a-1)n 2+3(a-2)n-8<0恒成立即可满足题意， 设f(n)=(a-1)n 2+3(a-2)n-8. 当a=1时，f(n)=-3n-8<0恒成立；当a>1时，由二次函数的性质知不可能恒成立；当a<1时，对称轴方程为-32·-2-1a a =-3112-1a ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦<0. 因为f(n)在[1，+∞)上为单调减函数， f(1)=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15<0，所以a<154，所以a<1时，4aS n <b n 恒成立.综上，实数a 的取值范围为{a|a≤1}.数列的实际应用问题例3 一位幼儿园老师给班上k(k≥3)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a 0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的12分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的13分给第二个小朋友……以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的11n +分给第n(n=1，2，3，…，k)个小朋友，分给第n 个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为a n .(1)当k=3，a 0=12时，分别求a 1，a 2，a 3的值.(2)请用a n-1表示a n，令b n=(n+1)a n，求数列{b n}的通项公式.(3)是否存在正整数k(k≥3)和非负整数a0，使得数列{a n}(n≤k)成等差数列?如果存在，请求出所有的k和a0；如果不存在，请说明理由.【解答】(1)当k=3，a0=12时，a1=(a0+2)-12(a+2)=7，a2=(a1+2)-13(a1+2)=6，a3=(a2+2)-14(a2+2)=6.(2)由题意知a n=(a n-1+2)-11n+·(an-1+2)=1nn+(an-1+2)，即(n+1)a n=n(a n-1+2)=na n-1+2n.因为b n=(n+1)a n，所以b n-b n-1=2n，所以b n-b n-1=2n，b n-1-b n-2=2n-2，…b1-b0=2，叠加得b n-b0=(22)2n+n=n(n+1).又b0=a0，所以b n=n(n+1)+a0.(3)由b n=n(n+1)+a0，得a n=n+1 an+.若存在正整数k(k≥3)和非负整数a0，使得数列{a n}(n≤k)成等差数列，则a1+a3=2a2，即1+12a+3+4a=223a⎛⎫+⎪⎝⎭⇒a=0，当a0=0时，a n=n对任意正整数k(k≥3)，有{a n}(n≤k)成等差数列.【精要点评】数列的应用题多侧重于数列知识的考查.在实际应用中，会出现一些与平常数列知识不一样的概念，如会有a0，n有上限等.变式某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元；从第7年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值a n的表达式；(2)设A n=12…na a an+++，若A n大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年年初对M进行更新，求证：需在第9年年初对M进行更新.【解答】(1)当n≤6时，数列{a n}是首项为120、公差为-10的等差数列，所以a n=120-10(n-1)=130-10n.当n≥6时，数列{a n}是以a6为首项、公比为34为等比数列，又a6=70，所以a n=70·6 34n-⎛⎫⎪⎝⎭.因此，第n年年初M的价值a n的表达式为a n=-6130-1063707.4nn nn≤⎧⎪⎨⎛⎫⋅≥⎪⎪⎝⎭⎩，，，(2)设S n表示数列{a n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得，当1≤n≤6时，S n=120n-5n(n-1)，A n=120-5(n-1)=125-5n；当n≥7时，S n=S6+(a7+a8+…+a n)=570+70×34×4×-631-4n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=780-210×634n-⎛⎫⎪⎝⎭，A n=-63780-2104nn⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.因为{a n}是递减数列，所以{A n}是递减数列.又A8=8-63780-21048⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=824764>80，A9=9-63780-21049⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=767996<80，所以需在第9年年初对设备M进行更新.1. 已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2-5x+4=0的两个根，则S6=.【答案】632.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-1，那么数据a1，a2，a3，a4，a5的方差为.【答案】8【解析】由等差数列的性质可得a1，a2，a3，a4，a5这五个数的等差中项为a3，设公差为d，由通项公式可得d=2，所以s2=15(4d2+d2+0+d2+4d2)=2d2=8.3.已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，=4a1，则1m+4n的最小值为.【答案】3 2【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a7=a6+2a5，得q2-q-2=0，所以q=2(舍去-1).由=4a1，平方得a m a n=1621a，即a12m-1·a12n-1=1621a，化简得m+n=6，1 m+4n=1146m n⎛⎫+⎪⎝⎭(m+n)=1645n mm n⎛⎫++⎪⎝⎭≥32，当且仅当n=4，m=2时取等号.4.某厂去年的产值记为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为.(保留一位小数，取1.15≈1.6)【答案】6.6【解析】由条件得总产值为1.1+1.12+1.13+1.14+1.15=51.1(1-1.1)1-1.1⨯≈11×0.6=6.6.5. (2016·苏北四市期中)已知数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2+k(n∈N*，k∈R)，且a1=2，a3+a5=-4.(1)若k=0，求数列{a n}的前n项和S n；(2)若a4=-1，求数列{a n}的通项公式. 【解答】(1)当k=0时，2a n+1=a n+a n+2，即a n+2-a n+1=a n+1-a n，所以数列{a n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d，则11226-4aa d=⎧⎨+=⎩，，解得124-3ad=⎧⎪⎨=⎪⎩，，所以S n=na1+(-1)2n nd=2n+(-1)2n n×4-3⎛⎫⎪⎝⎭=-23n2+83n.(2)由题意知，2a4=a3+a5+k，即-2=-4+k，所以k=2.又a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6，所以a2=3，由2a n+1=a n+a n+2+2，得(a n+2-a n+1)-(a n+1-a n)=-2，所以数列{a n+1-a n}是以a2-a1=1为首项、-2为公差的等差数列，所以a n+1-a n=-2n+3.当n≥2时，a n-a n-1=-2(n-1)+3，a n-1-a n-2=-2(n-2)+3，a n-2-a n-3=-2(n-3)+3，…a3-a2=-2×2+3，a2-a1=-2×1+3，累加得a n-a1=-2[1+2+…+(n-1)]+3(n-1)(n≥2)，所以a n=-2×(-1)2n n+3(n-1)+2=-n2+4n-1(n≥2).又当n=1时，a1=2也适合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n=-n2+4n-1，n∈N*.【融会贯通】融会贯通 能力提升(2014·苏州期末)设数列{a n }满足a n+1=2a n +n 2-4n+1.(1)若a 1=3，求证：存在f(n)=an 2+bn+c(a ，b ，c 为常数)，使得数列{a n +f(n)}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式.【思维引导】【规范解答】(1)设a n+1+a(n+1)2+b(n+1)+c=2(a n +an 2+bn+c)，.............................2分即a n+1=2a n +an 2+(b-2a)n+c-a-b.........................................................4分因为a n+1=2a n +n 2-4n+1，所以1-2-4--1a b a c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，所以a=1，b=-2，c=0，..............................................................6分 所以a n +f(n)=a n +n 2-2n. 因为首项a 1+1-2=2，所以存在f(n)=n 2-2n ，使得数列{a n +n 2-2n}是首项为2、公比为2的等比数列，.................8分所以a n +n 2-2n=2·2n-1=2n ，则a n =2n -n 2+2n......................................................................10分 (2)因为a n+1=2a n +n 2-4n+1，即a n+1+(n+1)2-2(n+1)=2(a n+n2-2n)，所以a n+n2-2n=(a1-1)2n-1，即a n=(a1-1)2n-1-n2+2n ，.................................12分所以b n=1-211(-1)2-23 2.na na n n=⎧⎨+≥⎩，，，.....................................................14分因为{b n}是等差数列，所以a1=1，b n=-2n+3............................................16分【精要点评】(1)本题是构造辅助数列的试题，基本方法是待定系数法.(2)注意等差数列前n项和的特征.(3)注意等差、等比数列的判断方法.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第79~80页.【检测与评估】第40课数列的综合应用一、填空题1．(2015·广东卷)在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=.2．设f1(x)=21x+，fn+1(x)=f1(f n(x))，且a n=(0)-1(0)2nnff+，其中n∈N*，则a2 014=.3．下列是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题：①数列{a n}是递增数列；②数列{na n}是递增数列；③数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；④数列{a n +3nd}是递增数列. 其中真命题为 .(填序号)4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB =a 1OA +a 200OC ，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O)，则S 200= .5．(2014·江苏模拟)将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k 行有k 个奇数)，其中第i 行第j 个数表示为a ij (i ，j ∈N *)，例如a 42=15．若a ij =2 017，则i-j= .1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …… (第5题)6．若数列{a n }满足a 1=2，a n =-111-n a (n=2，3，4，…)，且有一个形如a nωn+φ)+12的通项公式，其中ω，φ均为实数，且ω>0，|φ|<π2，则ω= ，φ= .7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是 .8．已知数列{a n }的通项公式为a n =7n+2，数列{b n }的通项公式为b n =n 2．若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值为 .二、 解答题9．(2014·南京、盐城一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=2，S 6=22． (1)求S n ；(2)若从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{nk a }，其中k 1=1，且k 1<k 2<…<k n <…，k n ∈N *，当q 取最小值时，求{k n }的通项公式.10．(2014·江西九校联考)已知数列{a n }满足a 1=2，对一切正整数n ，都有a n+1+a n =3×2n . (1)探讨数列{a n }是否为等比数列，并说明理由；(2)设b n=1-1n n a a +，求证：b 1+b 2+…+b n<n+4．11．(2015·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=1，a 2=32，a 3=54，且当n≥2时，4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1． (1)求a 4的值；(2)求证：数列11-2n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列. (3)求数列{a n }的通项公式.三、 选做题12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且点(S n ，a n+1)在直线y=2x+1上. (1)证明数列{a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n =log 3a n+1，T n 是数列11n n b b+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，求T 2 016的值.【检测与评估答案】第40课数列的综合应用1．10【解析】因为数列{a n}是等差数列，所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25，即a5=5，所以a2+a8=2a5=10．2．20151-2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为an+1=11(0)-1(0)2nnff+++=2-11(0)221(0)nnff+++=1-(0)2(2(0))nnff+=-12an，所以{a n}是公比为-12的等比数列，a1=11(0)-1(0)2ff+=14，所以a2 014=20151-2⎛⎫⎪⎝⎭.3．①④【解析】①因为d>0，显然{a n}为递增数列，故①正确；②因为(n+1)a n+1-na n=a1+2nd 不一定大于0，所以②错误；③同②知③错误；④因为数列{3nd}也是递增数列，故{a n+3nd}是递增数列，所以④正确.4．100【解析】依题意知a1+a200=1，S200=12002a a+·200=100.5．26【解析】前k行共有奇数1+2+3+…+k=(1)2k k+个，所以第k行的最后一个数为2·(1) 2k k+-1=k2+k-1，第k+1行的第一个数为k(k+1)+1．当k+1=45时，k(k+1)+1=44×45+1=1981，即第45行的第一个数为1 981．因为2017-19812=18，所以2 017是第45行的第19个数，即i=45，j=19，所以i-j=45-19=26．6．2π3 0 【解析】由题意得a 2=-1，a 3=12，a 4=2=a 1，所以数列{a n }是周期为3的周期数列.又因为a n=ωn+φ)+12是该数列的一个通项公式，所以T=2πω=3⇒ω=2π3.当n=1时，a 1sin 2π3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+12=2⇒sin 2π3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.又|φ|<π2，所以φ=0或φ=-π3.当φ=-π3时，a 22ππ2-33⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+12=12≠-1，不符合题意，舍去；当φ=0时，满足题意.综上，ω=2π3，φ=0.7．982⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】设等比数列{a n }的公比为q.由a 2=a 1q≤2，得q≤12a ，由a 3=a 1q 2≥3，得q≥1213a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1213a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤q≤12a ，所以1213a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤12a ，解得a 1≤43，故1≤a 1≤43，所以a 4=a 1q 3≤a 1312a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=218a ≤8，且a 4=a 1q 3≥a 13213a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=92，所以a 4的取值范围是982⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.8．961 【解析】令a n =b m ，则7n+2=m 2，即7(n-1)=(m-3)(m+3)，易知m+3或m-3是7的整数倍，所以当m=3，4，10，11，17，18，24，25，31，32…时满足等式，故c 9=312=961．9．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S 6=6a 1+12×6×5d=22， 解得d=23，所以S n =(5)3n n +. (2)由(1)得a n =23(n+2).因为数列{a n }是正项递增的等差数列， 所以数列{nk a }的公比q>1．若k 2=2，则由a 2=83，得q=21a a =43，此时3k a =2×243⎛⎫ ⎪⎝⎭=329，由329=23(n+2)，解得n=103∉N *，所以k 2>2． 同理，k 2>3．若k 2=4，则由a 4=4，得q=2，此时nk a =2·2n-1，因为nk a=23(k n +2)，所以23(k n +2)=2n ，即k n =3·2n-1-2．所以最小的公比q=2，此时k n =3·2n-1-2．10．(1)假设{a n }是等比数列，由a 1+a 2=6，得a 2=4，所以a n =2n .此时a n+1+a n =2n+1+2n =3×2n ，满足题意.所以{a n }可以为等比数列.(2)由(1)知b n=1-1n n a a +=212-1n n +=1+22-1n .因为12-1n =112-1(2-1)(2-1)n n n ++<112(2-1)(2-1)n n n ++=212-1n ⎛ ⎝-112-1n +⎫⎪⎭，所以b n <1+412-1n ⎛ ⎝-112-1n +⎫⎪⎭，所以b 1+b 2+…+b n <n+41111-2-12-1n +⎛⎫ ⎪⎝⎭=n+4-142-1n +<n+4．11．(1)当n=2时，4S 4+5S 2=8S 3+S 1，即4435124a ⎛⎫+++⎪⎝⎭+5312⎛⎫+ ⎪⎝⎭=835124⎛⎫++ ⎪⎝⎭+1，解得a 4=78. (2)因为4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1(n≥2)，所以4S n+2-4S n+1+S n -S n-1=4S n+1-4S n (n≥2)，即4a n+2+a n =4a n+1(n≥2).因为4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2，所以4a n+2+a n =4a n+1．因为2111-21-2n n n na a a a +++=2114-24-2n n n n a a a a +++=1114--24-2n n n n n a a a a a +++=112-2(2-)n n n n a a a a ++=12， 所以数列11-2n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 2-12a 1=1为首项、12为公比的等比数列. (3)由(2)知数列11-2n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项、12为公比的等比数列，所以a n+1-12a n =-112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1112n n a ++⎛⎫⎪⎝⎭-12nna ⎛⎫ ⎪⎝⎭=4，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以112a =2为首项、4为公差的等差数列，所以12nna ⎛⎫⎪⎝⎭=2+(n-1)·4=4n-2，即a n =(4n-2)·12n⎛⎫ ⎪⎝⎭=(2n-1)·-112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以数列{a n }的通项公式为a n =(2n-1)·-112n ⎛⎫⎪⎝⎭.12． (1)由题意得a n+1=2S n +1， 所以a n =2S n-1+1(n≥2)， 两式相减得a n+1-a n =2a n ， 即a n+1=3a n (n≥2).因为a 1=1，所以a 2=2S 1+1=3，则21a a =3，故当n=1时，满足上式.所以当n≥1时，数列{a n }是首项为1、公比为3的等比数列，所以a n =1·3n-1=3n-1．(2)由(1)知a n =3n-1，b n =log 3a n+1=n ，所以11·n n b b +=1(1)n n +=1n -11n +，所以T 2 016=121b b +231b b +…+201620171b b =11-2⎛⎫ ⎪⎝⎭+11-23⎛⎫⎪⎝⎭+…+1120162017⎛⎫- ⎪⎝⎭=20162017.。