高等数学同济大学第七版第一章函数与极限课后答案
高等数学第一章课后习题答案
高等数学（本）第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级 姓名 学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
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x0
x0
1 cos x2
lim
x0
sin2 x
lim x0
1 2
x2
2
x2
0
所以当 x→0 时，（1－cosx）2 是比 sin2x 高阶的无穷小。
3．当 x→1 时，无穷小 1－x 和（1）1－x3，（2）（1－x2）/2 是否同阶，是否等价？
x0 x
x0 x
（3）
lim
x0
sin sin
2x 5x
；（4）
lim
x0
x
cot
x
；
（5） lim 1 cos 2x x0 x sin x
；（6） lim 2n n
sin
x 2n
（x
为不等于零的常数）。
解：（1）当ω≠0
时， lim x0
sin x x
lim
x0
sin x
x
lim
x0
sin x x
2 5
lim
x0
sin 2x 2x
lim
x0
5x sin 5x
2 5
（4）
lim
x0
x
cot
x
lim
x0
x sin
x
cos
x
lim
x0
x sin
x
lim x0
cos
x
1
（5） lim 1 cos 2x lim 2sin 2 x 2 lim sin x 2
x0 x sin x x0 x sin x
（4） lim n 1 x 1 x0
（5）
lim
x0
x
1 x
1
证：（1）因1
高数高等数学同济版第七版习题答案1-4
习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有 εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y , 所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104.4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20. 解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .。
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解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
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（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
高等数学教材的详细答案
高等数学教材的详细答案第一章：函数与极限1. 函数与映射1.1 函数的定义及性质1.2 映射的分类与性质1.3 复合函数与反函数2. 无穷极限与极限2.1 函数极限的定义2.2 无穷大与无穷小2.3 两个重要极限定理3. 数列极限3.1 数列极限的定义3.2 收敛数列与发散数列3.3 重要数列极限4. 极限的运算4.1 极限运算法则4.2 夹逼准则4.3 极限存在的条件第二章：导数与微分1. 导数的概念1.1 导数的定义1.2 几何意义与物理意义1.3 函数连续与可导的关系2. 基本导函数与基本导数公式2.1 幂函数与初等函数的导函数2.2 导数的四则运算2.3 高阶导数与高阶导数公式3. 隐函数与参数方程的导数3.1 隐函数的导数3.2 参数方程的导数3.3 高阶导数的计算4. 微分与微分近似4.1 微分的定义与性质4.2 微分近似计算4.3 微分中值定理第三章：微分中值定理与导数的应用1. 罗尔定理与拉格朗日中值定理1.1 罗尔定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 函数的单调性与曲线的凹凸性2.1 函数单调性的判定2.2 曲线凹凸性的判定2.3 函数特性的应用3. 泰勒公式与函数的展开3.1 泰勒公式的推导3.2 泰勒公式的应用3.3 麦克劳林公式与函数展开4. 不定积分与定积分4.1 不定积分的定义与性质4.2 基本积分公式4.3 定积分的定义与性质第四章：一元函数积分学1. 牛顿-莱布尼茨公式与基本积分法1.1 牛顿-莱布尼茨公式的推导1.2 基本积分法及应用1.3 函数定积分的计算2. 反函数与换元积分法2.1 反函数的导数与积分2.2 第一类换元法2.3 第二类换元法与分部积分法3. 定积分的应用3.1 面积与曲线长度的计算3.2 物理应用：质量、重心与转动惯量3.3 统计应用：平均与期望值的计算4. 微分方程的基本概念4.1 微分方程的定义与解法4.2 一阶线性微分方程4.3 可降阶的高阶微分方程总结：高等数学教材中的详细答案涵盖了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、一元函数积分学等各个章节。
高等数学同济第七版上册课后答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案L 求下列函数的自然定义域： ⑴ y = J3K +2; ⑶ y =—Vi- x 2；X (5) y=sin(7)y = arcsin(x-3); (9)jV = ln(x + l);解：(1)3AI + 2>0=>X >-23(2)1 -厂工 0 = JCH ±1, 即定义域为(-8, -1) U (-1/)D (1, +8) (3)/ = 0且1一/之0=4工0且产仔1 即定义域为[-1R)D(0,1](2)y = 1 - JC (4);y -1 , A /4-JT (6)y = tan(x +1); (8)J=V3-x + arctanJL; x(10)y = e e\,即定义域为「一 2,+0?(4)4-犬＞。
二＞卜|＜2即定义域为(—2,2)(5)x2 0,即定义域为［0, +oc)71(6)x +1 / kjr + 一 (% £Z), \ 2 1即定义域为x xe R^x^(k+ )兀一1k eZ(7)|x-3|< 1= 2 WxW 4,即定义域为[2,4](8)3—冗2 0且4工0,即定义域为(一8,0) u(0,3](9)x + 1 >0=>x> -1 即定义域为(-1,+8) (10)工工0,即定义域为(一双0) u (0, +oo)2,下列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)/U) = 1g g(x) =21gx(2)/U) = x, g(x)=岳(3)/(%) = #(f-丁), g(x) =(4)/(x) = l,g(x) =sec'x — tarrx解；(1)不同，因为定义域不同((2)不同，因为对应法则不同，g(M= 1—= x.x>0< 0(3)相同，因为定义域，对应法则均相同(4)不同，因为定义域不同匹斗|斗＜3 .设a“)=\ 兀3州花一11 3求0(二),夕(巴)，旗一土),0(-2),并指出函数y = Q(x)的图形6 4 41 /乃、, 7T yfl二？，以 4)= sin 耳=~^,0(_Z)= sin(--)l = =0,44 | 2(l)y=(2)y = x + In x,(0, +oo)证明：,匹、 .匹%)=sm%解:4 .试证下列函数在指定区间内的单调X \-xx 1⑴尸/W = ---- -- = T+ -- --- ,(一00』)1-x 1-x设X] <工2 < 1，因为/%)—/区)=“七方 ,〉0 (—Xi) >U1 2所以/(X2 )> /(&),即/(X)在(一8,1)内单调增加(2) y - /(x) = x + In x,(0, +8)设0<»<彳2，因为 /U） -/u） = X - x+ In 当二。
1.1映射与函数 同济大学高数(第七版)上册
f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
o
x
x
2 （两边对折重合）,如 y x
偶函数图形关于y轴对称
奇函数的图形关于原点对称
3 y x （一边旋转180度得到另一边），如
函数的奇偶性质：
（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的； （2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数； （3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数； （4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数； （5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数， （6）任一定义在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
二、函数的概念及其几种特性
1.函数的概念
X 和Y , 若 x X , 按照某种对应法则 f , 对应 定义 设给定两个非空实数集 唯一确定的一个实数 y Y , 则称 f 是定义在X上的函数, 简记为y f ( x), 其中x为自变量, y为因变量.
X 称为函数f 的定义域, 记为D f , 数x对应的数f ( x)称为x的函数值, 函数值的集合称为函数 f 的值域, 记为R f .
x (, 1) (1, )
x [1,4) (4, )
例2 判断下列函数是否相同
(1) f ( x) x,
x (,)； (2) f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x, g ( x) x 2 , x (,)
(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同 . (2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同 .
函数的单调性
同济教材高等数学答案
同济教材高等数学答案首先，为了更好地帮助同学们学习高等数学，我将按照教材内容的顺序，为大家提供一份同济教材高等数学的答案。
希望通过这份答案，能够帮助到同学们更好地理解和掌握高等数学的知识。
一、微积分1. 函数与极限1.1 函数的基本概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 极限的运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则2. 导数与微分2.1 导数的定义与几何意义2.2 基本导数公式2.3 高阶导数与隐函数导数2.4 微分与微分近似计算2.5 函数的增减与极值3. 微分中值定理与导数应用3.1 拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理3.3 海涅中值定理3.4 泰勒公式与函数的Taylor展开式二、积分学1. 不定积分1.1 不定积分的概念与性质1.2 基本积分表1.3 积分方法与换元积分法1.4 分部积分法与差商法1.5 罗尔中值定理与积分中值定理2. 定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 反常积分的概念与判定2.3 定积分的几何应用2.4 定积分的物理应用2.5 平面曲线的弧长与曲率3. 微积分基本定理与积分应用3.1 微积分基本定理3.2 牛顿-莱布尼茨公式3.3 积分换元法与分式分解法 3.4 参数方程与极坐标下的积分3.5 广义积分与宗量函数三、微分方程1. 常微分方程基本理论1.1 微分方程的基本概念与分类 1.2 微分方程的解集与通解1.3 初等解与初值问题1.4 一阶线性齐次方程1.5 可降阶的高阶线性方程2. 高阶线性常微分方程2.1 高阶线性方程的解法2.2 非齐次方程与常数变易法 2.3 欧拉方程与常系数线性方程2.4 变参数法与常微分方程组2.5 指数函数型特解与待定系数法3. 线性方程组与二阶方程3.1 线性方程组的解法3.2 线性方程组与矩阵的关系3.3 二阶常系数齐次线性方程3.4 二阶常系数非齐次线性方程3.5 常系数线性方程组与驻点分析四、多元函数微分学1. 二元函数微分学1.1 偏导数与全微分1.2 隐函数的偏导数与微分1.3 多元复合函数的偏导数1.4 方向导数与梯度向量1.5 多元函数的极值与条件极值2. 多元函数的积分学2.1 二重积分的概念与计算2.2 三重积分的概念与计算2.3 二重积分的应用2.4 三重积分的应用2.5 曲线与曲面的面积3. 曲线积分与曲面积分3.1 第一类曲线积分3.2 第二类曲线积分3.3 第一类曲面积分3.4 第二类曲面积分3.5 牛顿-莱布尼茨公式的推广五、无穷级数与函数级数1. 数项级数1.1 数项级数的概念与性质1.2 正项级数的收敛判别法1.3 交错级数与条件收敛1.4 绝对收敛与Riemann定理 1.5 无穷级数的运算与逐项积分2. 幂级数与函数展开2.1 幂级数的概念与性质2.2 幂级数的收敛半径与收敛域2.3 幂级数的运算与展开2.4 幂级数的逐项微分与积分2.5 Fourier级数与函数展开通过以上的答案整理，同学们可以在学习高等数学过程中，根据实际的学习需要查阅对应章节的答案，在解题过程中更加高效地掌握和理解数学知识。
高等数学同济第七版上册课后习题答案
习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。