缓和曲线任意点坐标的公式
缓和曲线)计算公式
高速公路的线路(缓和曲线)计算公式一、缓和曲线上的点坐标计算：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，那么：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反x Z，y Z为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：x Z，y Z计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，那么：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反x Z，y Z为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度〔或缓曲上任意点到缓曲起点的长度〕l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算：①第一坡度：i1(上坡为“＋〞，下坡为“－〞)②第二坡度：i2(上坡为“＋〞，下坡为“－〞)③变坡点桩号：S Z④变坡点高程：H Z⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程五、超高缓和过渡段的横坡计算：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点〔过渡段终点〕的间隔：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－〞，右转为“＋〞)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－〞，右转为“＋〞)求：①线路匝道上点的坐标：x,y ②待求点的切线方位角：αT计算过程：。
道路曲线高程计算公式
高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：。
铁路、公路线路测量公式
4）、圆曲线上任意点法线方向上任意点的大地坐标（X法,Y法），法线方位角α法，
如果转向角左偏取α法=α-3*β-3.1415/2，若α法<0，则计算结ห้องสมุดไป่ตู้加上2倍的圆周率即α法=α-3*β-l/R-3.1415/2+2*3.1415；
即α法=α-3(20Rls/(40R^2-ls^2)) -l/R-3.1415/2+2*3.1415
如果转向角右偏取
α法=α+3(20Rls/(40R^2-ls^2)) +l/R +3.1415/2；
若α法>360，
则α法=α+3(20Rls/(40R^2-ls^2)) +l/R +3.1415/2-2*3.1415；
如果转向角左偏取α法=α-3*β-3.1415/2，若α法<0，则计算结果加上2倍的圆周率即α法=α-3*β-3.1415/2+2*3.1415；
如果转向角右偏取α法=α+3*β+3.1415/2；若α法>360，则计算结果加上2倍的圆周率即α法=α+3*β+3.1415/2-2*3.1415；
法线上任意一点到切点的距离为D法，
X=l-l5/(40*R2*ls2)
Y= l3/(6*R*ls)
αi为直缓点到待求点直线的方位角（弧度）；
如果转向角左偏取αi=（α-β）=(α-20R lsl2/3(40R2ls2- l4))
若（α-β）<0，则αi=（α-β）+2*3.1415，但在计算坐标中可不考虑；
如果转向角右偏取αi=（α+β）=(α+20R lsl2/3(40R2ls2- l4))
圆曲线和缓和曲线坐标推算公式附带例题
、直线上的坐标推算a c ――直线段起点M 到JD1的方位角二、圆曲线上任一点的坐标推算旳 180”①、圆曲线上任一点i 相对应的圆心角：「一二了兀R式中：Li ――圆曲线上任一点i 离开ZY 或YZ 点的弧长 ‘X 一Rsin^j Y i 一 R例题:已知一段圆曲线,R=3500m , Ls = 553.1m ，交点里程 K50+154.734 , ZY点到JD 方向方位角为 A=129 °3 ‘18.3 〃，右偏9 ° ‘15.8 〃，ZY 点里程 K49+877.607 , YZ 点里程 K50+430.707 ，起点坐标为 x = 389823.196 , y = 507787.251，求K50+200处中点坐标及左右各偏 12.5m 的坐标。
解：K50+200 处的曲线长度为 Li = 322.393m180 180圆曲线和缓和曲线坐标推算公式式中：Xm 、Ym ------- 直线段起点 M 坐标Li ---- 直线段上任意点i到线路起点M 的距离L i②、圆曲线上任一点i 的直角坐标: （1-COS 、）（可不计算）.③、圆曲线 ZY 或YZ 点到任一点 的偏角:L i④、圆曲线 ZY 或YZ 点到任一点 的弦长: 4C i = 2Rsin(~^) = 2Rsin( J ⑤、圆曲线 ZY 或YZ 点到任一点 的弦长的方位角：ai 一 azy >jd 或yz 》jd - i⑥、所以圆曲线上任意点i 的坐标为:X j = X ZY 或 YZ C j COsqY j =YZY 或 YZC i sina iK50+200 相对应的方位角：a一二R L i- 一3500 322.393-5 16 39.52典 90°90°K50+200 相对应的偏角： 十-=L尸 322.393=2 38j9.76，2 nR八 3500K50+200 到 zy 点的弦长：G =2Rsin =2 3500 sin2 38 19.76 = 322.279m zy 点到K50+200中桩的方位角：K50+200 左、右偏12.5m 的方位角： 所以K50+200处的坐标为： K50+200左偏12.5m 的坐标为: K50+200右偏12.5m 的坐标为:三、缓和曲线上任一点的坐标推算切线角「尸去180X --------------兀缓和曲线上任意点i 的偏角: 二=丄3 6RL s180 缓和曲线ZH 或HZ 点到任意点i 的方位角为:ai=a ZH >jd 或HZrjd一 i缓和曲线上任意点i 的坐标为:( L 5 Xi = Li一 40R 2L ；i = _LL“ 6RL s缓和曲线ZH 或HZ 点到任意点所以缓和曲线上任意点i 的坐标为: i 的弦长：x 2y 2X i = X ZH 或HZ + C i cosqY j = Y ZH 或 HZ C i sina i例题:已知一段缓和曲线，ZH 点到JD 方向方位角为A=183 °7'08.9 〃，线路左 偏 43 °「02 〃，ZH 点里程为 K52+001.615 , ZH 点坐标 x = 388071.927 ,y = 508789.089 , R = 960m , Ls = 120m ，求 K52+100 处的中点坐标及左右各偏12.5m 的坐标。
道路曲线高程计算公式
高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：。
高速公路的一些线路坐标、高程计算公式
高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
缓和曲线的坐标公式及推导
缓和曲线的坐标公式及推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第一章缓和曲线的坐标公式如图1-1所示,其坐标系是以缓和曲线起点ZH为原点O，以切线为x轴，以过原点的曲线半径为 y轴。
若原点O至P点的缓和曲线长度为，过P点切线与x轴的交角为β（即半径由∞变至的中心角）。
若P有微小变化至P′时，则增长，（x,y）增长（）,则有以下关系，图 1-1得，（2-1）由公式(常数)得知，故有则将上式代入（1-1）式中，得即（2-2）以及的关系代入上式得即以代入上式得（2-3）上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y）的计算公式。
缓和曲线上任一点P的切线与x轴的交角，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。
其计算可由前面公式得（弧度）（2-4）若将代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果：（2-5）上式即为缓和曲线终点HZ（ZH）的坐标及螺旋角的计算公式。
第二章圆曲线要素及计算公式如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其图 2-1连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ 点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ和曲中点QZ为圆曲线三主要点。
我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。
只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。
现将圆曲线的元素列下：：转向角（实地测出）R：曲率半径（设计给出）T：切线长（计算得出）L：曲线长（计算得出）D：切曲差（计算得出）偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：第三章偏角法测设介绍偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。
如图3-1所示，1，2…，，…，n为设计之详测点，邻点间距均为c，弦长c所对应的圆心角为。
缓和曲线坐标计算公式
缓和曲线坐标计算公式你说的坐标应该是在整条公路上的坐标不是支距法算出来的坐标吧支距法现在都不怎么用了给你个偏角法的计算公式吧ZH至i点的偏角A=30xL的平方除以派除以R 除以LsZH至i点的弦长C=L（ZH至i点的长）-L的5次方除以90 除以R的平方除以Ls的平方具体是这样的：建立以ZH或（HZ）为原点，过ZH的切线及半径分别X轴与Y轴的坐标系统后，就可以用曲线上各点在这个坐标系统中的x，y测设曲线。
坐标计算如下：缓和曲线：xi=li- li^5／40R^2li^2yi=li／6Rl0-li^7／336R^3li^3圆曲线：xi=R×sinαi+myi=R(1-cosαi)+pα=180°∕πR（li- l0）+β0li是曲线上与测设点距ZH点的弧长，l0缓和曲线长度，m，p，β0是缓和曲线参数缓和曲线计算偏角公式L2（平方）/（2RLs）L:缓和曲线上任一点到ZH点距离R：圆半径Ls：缓和曲线长当L=Ls时，公式就是L/(2R)卵形曲线坐标计算方法简介：在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。
关键字：卵形曲线坐标计算一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：主点桩号坐标（m）切线方位角（θ）X Y ° ’ ”ZHAK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2HY1AK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6YH1AK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6HY2AK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5YH2AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2HZAK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 001、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1= =59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2= =84.999A3= =67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ“点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ“的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ“桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ“的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ“-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ“点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH“或HZ“的弧长HZ“：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ“-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
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缓和曲线任意点坐标的公式.txt生活是过出来的，不是想出来的。
放得下的是曾经，放不下的是记忆。
无论我在哪里，我离你都只有一转身的距离。
随着交通运输事业的发展，高等级公路、城市立交桥建设的需要，曲线桥梁在中国
发展起来。
曲线桥梁的理论分析计算方面，中国不少院校、科研单位进行了一些理论研
究与探索。
但目前很少看到有关曲线桥梁的几何设计计算资料，这给桥梁设计者及施工
技术人员在设计、施工中带来许多困难。
曲线桥梁常用的曲线形状，有圆曲线和缓和曲线。
对于圆曲线，桥梁中线以及桥梁
内外边缘线均为一同心圆曲线，几何设计计算较为简单，而对于缓和曲线段，桥梁中线
为缓和曲线，但对边缘线、栏杆轴线及主梁边腹板曲线等是随中线曲率变化的1条渐变曲率曲线，而不再是缓和曲线。
在过去的设计中，对缓和段上述特征曲线的计算，是近似
按缓和曲线来计算，这对于曲率大、曲线段较长的情况，误差会很大，特别是对有加宽
、超高的缓和段，误差更不可忽视。
以往设计主梁钢筋骨架时，按缓和曲线计算，则骨
架出现过长或过短的情况。
本文以缓和曲线长度作为参数，提出了弯桥缓和段特征曲线
的几何计算式及超高计算式。
1 缓和段特征曲线几何设计计算
1.1 缓和曲线的坐标、切线角
对缓和曲线(桥中线)上任一点M(x,y)，如图1所示，相应的坐标、切线角β为
(1)
式中：l为任意点M至原点0(即ZH点)的曲线长；R为缓和曲线终点的曲率半径；ls为缓和曲线全长。
图1 缓和曲线
1.2 平行于内(外)边缘线曲线的参数方程
对于一般加宽，可在缓和曲线范围内完成。
设自ZH点开始，桥梁内、外侧沿缓和曲
线长按线性加宽。
平行于内侧边缘线的曲线A1B1上任一点M1(x1,y1)在缓和曲线上点M(x ,y)处的曲率半径上，且设M1N1=d1，如图2所示。
由几何关系可得
(2)
式中：b1(l)为M、N1之间的距离，即点M处桥内侧宽度，可按下式计算
式中：b1(0)、b1(ls)分别为缓和段起点和终点桥中线至内侧边缘宽度；其它符号意义同前。
图2 平行于内、外边缘线曲线参数方程计算图式
将式(2)中sinβ、cosβ分别以级数表示，即
将上式及式(1)代入式(2)并略去高阶项后得曲线A1B1的参数方程
(3)
同理，可得平行于外侧边缘线曲线A2B2参数方程
(4)
式中：d2为曲线A2B2与外边缘线间的距离；b2(l)为缓和曲线长l处外侧桥宽，计算式为
(5)
式中：b2(0)、b2(ls)分别为缓和段起点和终点中线至外侧边缘宽度；其它符号意义同前。
从式(3)、(4)可以看到：当di=0(i=1,2)，方程则为内、外边缘线参数方程；当bi( l)=ci(常数，i=1,2)，式(3)、(4)则为未加宽平行于边缘线(或桥中线)曲线的参数方程。
当bi(l)=ci，且di=0,式(3)、(4)即为文献［1］、［2］导出的计算机处理的边缘线曲
线拟合方法，仅是本计算方法的1个特例。
1.3 平行内(外)边缘线曲线的弧长计算
以曲线A1B1上任意一段弧长为例，将式(3)中2个方程等式2边分别对l求导得
则所求弧长S为
经积分变换，利用Gauss-legerdre求积公式可得
(6)
式中：ti为legerdre n+1次多项式pn+1(t)的零点；Ai为求积系数；
同理，可推导出曲线A2B2上任一段弧长的计算式，这里不再赘述。
2 缓和段超高计算
如图3所示，A、C分别是缓和段起点和终点，A点处桥面路拱与直线段路拱一致，即为双坡横断面，坡度为i(0)。
设自A点开始，路拱双坡外侧逐渐提高，到达B点时与内侧成通坡，其坡度为i(lt)。
自B点起，逐渐提高桥面单坡坡度，一直到缓和曲线终点c时提高到i(ls)。
图中lt为缓和段起点到通坡断面间的距离，即为曲线AB的长度。
图3 缓和曲线段起高计算图式
2.1 超高段拱坡坡度计算
缓和段上的超高值与缓和段起点的距离成正比变化，因此，缓和段的超高计算式如
下
i(l)=i(0)内侧
(7)
式中：i(t)=i(0)；lt计算式为
(8)
2.2 超高计算
对于超高缓和段的形成过程常用绕桥面内侧边缘旋转的形式，如图3所示。
现以此形式推导加宽缓和段超高计算式。
超高计算图式如图4所示。
图4中横轴为缓和曲线的法向，其正半轴一方的区域为外侧，负半轴一方区域为内侧。
图4 超高计算图式
令b(0)=min［b1(0),b2(0)］
于是，缓和曲线长l处的法向断面上任一点k处的超高Δh(l)计算式如下内侧超高Δh(l)计算式为
(9)
外侧超高计算式为
(10)
若fk=0，则式(9)、(10)中的超高即为缓和曲线(桥中线)的超高计算式
3 算例与结论
某桥位于缓和曲线路段上，缓和曲线全长ls=100 m，圆曲线半径R=200 m，路基宽B =11 m，半幅宽5.5 m，桥梁起点位于缓和曲线长25.15 m处，终点位于缓和曲线长70.15 m处，路基加宽值为0.8 m(内侧加宽)。
求桥内外侧边缘线的长度。
用本文计算方法及用
文献［2］方法计算的结果列入表1中。
表1 内、外侧边缘线的计算长度表
边缘线
部位
弧长／m 注
本文方法
计算结果文献［2］计算结果
N=10 N=100
内侧 44.577 89 44.577 7 44.577 9 用本文方法计算，
求积公式n取2
外侧 45.799 92 45.799 6 45.799 8
比较上表结果，用本文方法，当n=2时计算结果与文献［2］将所求弧段分为100段时算出的结果接近。
显然，用本文方法计算弧长不仅公式简洁、方便，而且精度高。
本文所述曲线桥梁缓和段的几何设计计算方法具有很高的实用价值。
既无图解法的近似估算，又无以弦代弧的高次迭代缺点。
它具有明确的几何概
念，公式简洁，方法简便。
可广泛应用在曲桥设计过程中的构造尺寸计算、纵横坡度计算、有限元结点划分、钢筋(骨架)长度计算以及结构体积计算等。
在施工方面，方便模
板放样及测量数据分析计算等。
在无计算机的情况下，本方法无疑为首选方法。
作者已
根据本文所阐述的方法编制了通用设计程序，设计了多座弯桥并经施工证明了本方法的
可靠，取得了很好的效果。