小学六年级奥数-裂项第一讲

小学六年级奥数裂项第一讲

一、教学目标：1.掌握分数裂项的基本原理。

2 •掌握裂差和裂和的联系与区别

二、重点难点：裂项的技巧去分数运算

三、教学内容：知识梳理

1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。

2、分数裂项的技巧

分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。

第一类：“裂差”型运算。

当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行

b — a b a 1 1

----------------------- ———

a x

b a x b a x b a b

两项的裂差非常重要，一定要掌握第二类：“裂和”型运算

当分母是两数相乘形式，分子可表示分母上两数的和（基本型）项

，则可以进行裂和。

b + a b a11 --------- 二+ ——+ -a x b a x b a x b a b

四、归纳总结

1、裂差型基本形式：

b —日b 3 11

- ——a x b a x b a x b a b

1 111

—()x — n(n + d) n n + d y d

a 1 1

— ------- -=(---------------- )x a n(n + 1) n n + 1

2、裂项和基本形式:

b + a b a11

--------- 二+ ——+ -

a x

b a x b a x b a b

3、裂项的实质和意义

裂项的实质：实质是异分母分数的逆运算，关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系；

裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算

五、课堂检测

\z

例1仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律?

11323-21 "T"' 2 x 3 '2x3'"2x3"_ 2 x 3

1 3 _

1 4 _

1 1

—— 7 8

1

1

3

7 _

1 ^+9 =

分析：先通分（把分母都变成各分母之积），分母相同后，再相加或者相减，把两 项整理成一项，注意步骤的完整

例2仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？

1 5-4

5 4 11 --------- 二 -------------- 二 -------------- — ------------- 二———

4x5

4x5

4x5

4x5

4

5

1 1 -+ —3 7

1

1

7 +

8 -

1115 1 1

O

+

6()

在此处键入公式。

6()()

分母拆分为两个数字的乘积，分子拆分为两个数字的差或和，分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。

把一个分数拆分成两个分数的和或差，最后再把这两各数分别约分化简

例3阅读下列巧算方法，

111 1 1

I --------- 1 --------- ---- ------------- 1---------

1 x

2 2 x

3 3 x

4 8 x 9 9 x 10

b -a 1 1

^=O~O

在此处键入公式。

1

=1 ———

10

解决问题：

1 1 1 1 1

----- 1 ------ 1 ----- …------------- 1 --------

1 x

2 2 x

3 3 x

4 18x 19 19 x 20

1 1 1 1 1

11x12 12 x 13 13x 14 20x21 21x22

2

2 2 2

~!

计 ----

+ --- + H --------------- 卜

3 3 X5 5 x 7 97x99 99 X 101

111 1 1

⑷ ...

2 4 4 6 6 8

96 98 98 100

分析：分析拆分为两个数字的乘积，分子拆分为这两个数字的差（如果分子不是 这两个数的差，那么就先变成差，相应的也要让此分数再乘上一个数使得结果和 原分数相等），分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。把一个分数拆分 成两个分数的和或差。 六：课后作业

1111

+ 一 H ----- 1 卜—

3 6 10 15

12 + 23 22 + 3a 32 + 42 2002a +2003a ------------- 1 ------------- 1 -------------- ----- ---------------------------- 1 7 1 x 2 2 x 3 3 x 4 2002 x2003

(1)1 H ------ 1 ----

21 23

224262142 1丿1x 3 3 x5 5 x 7 13 x 15