二次函数与几何图形结合题及答案

1.如图，已知抛物线21y x 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标; （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点

P ，求四边形ACBP 的面积; 解：（1）令0y

，得210x 解得1x 令0x ，得1y

∴A (1,0)B (1,0)

C (0,1)……………………3分（2）∵O A =O B =O C =1

∴BAC =AC O=BC O=45∵A P ∥CB ，

∴P AB =45过点P 作P E x 轴于E ，则

A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1

a ∴P (,1)a a ∵点P 在抛物线21y

x 上∴211a a 解得12a ，21a （不合题意，舍去）

∴P E =3……………………………………………………………………………5分

∴四边形ACB P 的面积S =1

2AB ?O C +1

2AB ?P E =1

1

2123422………………………………

6分2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC

=4，抛物线2y x bx c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为

D ．（1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形

ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在

一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1）由已知得：A （-1，0）

B （4，5）…………………1分∵二次函数2y

x bx c 的图像经过点A （-1，0）B(4,5)∴10

1645b c b c …………………………………………………2分

解得：b=-2 c=-3

…………………………………………………3分

（2）如２６题图：∵直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5) ∴直线AB 的解析式为：y=x+1……………………………………4分∵二次函数223

y x x

∴设点E(t ，t+1),则F （t ，223t t ）………………………5分∴EF= 2(1)(23)t

t t ………………………………………6分=2325()24t

∴当3

2t 时，EF 的最大值=25

4

∴点E 的坐标为（3

2，5

2）………………………………7分