概率论及数理统计课件15条件概率

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概率论与数理统计课件1.5

有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
?
1红4白
12 3
某人从任一箱中任意摸出一球，
?
发现是红球，求该球是取自1号
箱的概率.
1红4白
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}

S( AB) S( ) S( A) S( )

P( AB) . P( A)
在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型中总有
P(B A) P( AB) . P( A)
条件概率的定义
设A、B是某随机试验中的两个事件，且 P A 0
称 P (B | A ) = —P —(A—B )
解记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
即 B= A1B+A2B+A3B，
且 A1B、A2B、A3B 两两互斥
运用加法公式得到
对求和中的每一项运用乘法公式得
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
多个事件的乘法公式
设 A1， A2，， An 为n个随机事件，且
PA1 A2 An1 0
则有
PA1 A2 An PA1 PA2 A1 PA3 A1 A2 P An A1 A2 An1
这就是n个事件的乘法公式．
例 3 乘法公式应用举例（波里亚罐子模型）
AB Ω

概率论与数理统计课件-条件概率

則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
《概率统计》
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结束
例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}．於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．

概率论与数理统计课件ppt

简化数据结构，解释变量间的关系。
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构，用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果。
随机变量可以取到任何实数值，且取每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果，且取每个结果的概率为一个确定的数。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行假设，然后根据检验结果判断假设是否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种基于蒙特卡洛模拟的统计推断方法，通过构造一个马尔科夫链来到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多领域都有应用，如物理学、化学、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间

1.5条件概率---------概率论与数理统计

– (3) 可列可加性：设 B1 , B2 ,, Bn , 事件两两互不相容，则 – –
P ( Bi | A) P ( Bi A)
i 1 i 1
所以,条件概率P(· | A)也满足概率的所有其他性质．
例如:
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B);
–【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品
中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率． – 解：设A = "任取的一件是合格品"，B = "任取的一件是一等品"． –因为 P ( A) 1 P ( A ) 96%, P ( B A) 75% –且B A –所以 P ( B) P ( AB) P ( A) P ( B A)
解
设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四
等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构
成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含
有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：
P(B)
4 PBiblioteka Ai 1i) P( B A i )
＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05
–则事件B的表达式为
B A1 A1 A2 A1 A2 A3 –利用概率的加法公式和乘法公式
–P ( B)
P ( A1 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
–当AB = 时，有

《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)

fA概率论与数理统计课件

A出现的次数m 试验总次数n
2、稳定性
在不同的试验序列中，当试验的次数充分大时，事件的频率常在一个确定的数值p附近摆动，这就是频率的稳定性。
3、性质
(1)非负性：0≤ Fn(A)≤1
(2)规范性： Fn( S )=1， Fn()=0
(3)可加性:若AB= ,则 Fn ( A B) Fn ( A) Fn (B)
P( A) C7235 47
736 47
例4 袋中有a只红签,b只白签,i个人依次在袋中
取一签,求第k人取到红签的概率.解法1 设
P( A ) P(A ) Ak=“第k个人抽到红签“
解2：
Caab1 1
k a
k
Caa b
ab
aAakb11 Aakb
a ab
解3：
P( A ) Ca1
实际推断原理。
三古典概型
1、古典概型的定义
若一次试验中只包含n(有限数)个基本
事件，且所有基本事件出现的可能性相
等，而A包含的基本事件数有m个，则
P( A)
m n
将用上述公式来讨论事件的概率的模型称为古典概型。
2、古典概型的特征
（1）有限性（2）等可能性
只要有一特征不具备，就不能用上述公式计算。
5概率统计的研究对象：随机现象的统计规律性。
1）概率论的研究方法：
是根据问题提出相应的数学模型，然后去研究它们的性质、特征和规律性；
如大家马上要学习的古典概型、几何概型（蒲丰试验， 1777 年， 2212/704=3.142,1901 年 , 拉查里尼投针 3408次,得到3.14159）。
4 事件的集合论定义
(1) 必然事件：S (2) 不可能事件：φ (3) 事件的个数：2n,n为样本点的个数。 (4) 事件A发生试验中出现的

《条件概率》课件

答案2
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，这可以表示为在事件B发生的条件下，事件A发生的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如，在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设

概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT

例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,
概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的
概率是多少?
解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上
求P(A|B) AB
P( A | B) P( AB) P(B)
P( A | B) P( A) 0.4 0.5 P(B) 0.8
解分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘
根据题意有 P(A) 0.01, P(B) 0.01, P(C) 0.00001
则所求概率为 P(ABC) 0.000000001
即十亿分之一。
例三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？
若A1 A2 P(A1 | B) P(A2 | B)
单调性
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B)
加法公式
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B)
P(• B) 是连续的.
半可加性
例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大? (假设生男,生女是等可能的)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面
四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
两事件相互独立的性质
性质1. A, B独立 A, B 独立
A, B 独立 A, B 独立.
试证其一 A, B 独立 A, B 独立
注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.

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．
第一章第五节条件概率
12
例4
n 个人排成一排，已知甲总排在乙的前面，求乙恰
好紧跟在甲的后面的概率．
解：
设 A 甲排在乙的前面， B 乙紧跟在甲的后面．
则所求概率为 PB A． n 个人排成一排，“甲排在乙的
前面”与“乙排在甲的前面”是“等可能”的，因此，
PA
1 2
．
第一章第五节条件概率
1 3
1 6
7 12
3
第一章第五节条件概率
18
例6
袋中有 1 只白球与 1 只黑球，现每次从中取出一球，
若取出的是白球，则除了把白球放回外再加进一个白
球，直至取出黑球为止．求取了 n 次都未取到黑球的
概率．
解：
设 B 取了 n 次都未取到黑球
Ak 第 k 次取到白球
则 B A1A2 An ．
PAB PA
8 7
6
7．
8
第一章第五节条件概率
10
说明
⑴ 在本题中，一些同学认为其样本空间为
“ 三个男孩”，“一男两女”，“一女两男”，“三个女孩”
这是不对的，因为其中的 4 个基本事件不是“等可能”的． ⑵ 一些比较简单的条件概率，可以直接计算出来，而不必
拘泥于条件概率的计算公式．
第一章第五节条件概率
13
例 4（续）
n 个人排成一排，共有不同的排法 n! 种，这是样本点
总数．由于事件 AB 表示“甲排在乙的前面，并且乙紧跟在
甲的后面”，所以事件 AB 中含有 n 1!个样本点．因此， PAB n 1! 1
n! n
所以，
PB
A
P AB PA
1 1
n 2
2 n
．
第一章第五节条件概率
14
§1.5 条件概率
第一章第五节条件概率
1
一. 条件概率的概念与计算
第一章第五节条件概率
2
例1
袋中有 4 个外形相同的球，编号分别为 1、2、3、4 号，每次从袋中取出一个球，有放回地取两次．则该试验的样
本空间为：
1, 1 1, 2 1, 3 1, 4
2, 3,
1 1
2, 3,
2 2
2, 3,
PA 0 ，
则
PB
A
P AB PA
．
第一章第五节条件概率
8
条件概率的性质
条件概率具有如下性质：
⑴ 非负性：对任意的事件 B ，有 PB A 0 ； ⑵ 规范性： P A 1；
⑶ 可列可加性：如果随机事件
B1, B2, , Bn ,
两两互不相容，则
P Bn n1
A
n1
P
Bn
第一章第五节条件概率
16
多个事件的乘法公式
两个事件交事件的乘法公式可以推广到有限多个随机事件交事件的概率上来．
设 A1, A2, , An 是 n 个随机事件，
且 PA1A2 An1 0 ，则
PA1A2 An PA1P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
3 3
2, 3,
4 4
4, 1 4, 2 4, 3 4, 4
其中 i, j 表示第一次取出 i 号球，第二次取出 j 号球．
第一章第五节条件概率
3
例 1（续）
设 A 第一次取出的球的标号为 2，
B 取出的两个球的标号之和为 4，
则 B 1, 3, 2, 2, 3, 1
因此事件
B
的概率为，
PB
3 16
．
现在我们考虑在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，
我们记此概率为 PB A．
由于已知事件 A 已经发生，则该试验的所有可能结果为
2,章第五节条件概率
4
例 1（续）
这时，要求的是事件 B 是在事件 A 已经发生的条件下
的概率，从上面的分析中，此概率为
k 1, 2, , n
第一章第五节条件概率
19
例 6（续）
由概率的乘法公式，得
PB PA1A2 An
P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P An A1A2 An1
11
例3
袋中有 4 只白球，5 只黑球，每次从中取出一球，不放回地取两次．已知第一次取出的是白球，求第二次取出的
也是白球的概率．
解：
设 A 第一次取出白球， B 第二次取出白球．
则所求概率为 PB A．当已知第一次取出的是白球时，袋
中还有 8 只球，其中 3 只是白球，因此，
PB
A
3 8
A
．
简言之，条件概率是概率．
第一章第五节条件概率
9
例2
已知某家庭有 3 个小孩，而且至少有一个是女孩，求该家
庭至少有一个是男孩的概率．
解：
所求概率是 PB A．
设 A 3个小孩中至少有一个为女孩，
B 3个小孩中至少有一个为男孩．
则
PA
1
PA
1
1 8
7 8
，
PAB
6 8
，
6
所以，
PB
A
PB A．
第一章第五节条件概率
6
条件概率计算公式
在例 1 中，我们已经求得
PB
3 16
，
PB
A
1 4
．
我们还可以求得
PA
4 16
，
PAB
1 16
．
显然，上述结果满足下面的公式：
PB
A
P AB PA ．
第一章第五节条件概率
7
条件概率计算公式
上面的公式具有一般性，我们有：
设 A 、 B 是某一随机试验中的两个随机事件，且
PB
A
1 4
．
注意：1．由此例可以看出，事件 B 在“事件 A 已经
发生”这个附加条件下的概率与没有附加这个条件的
概率是不同的．
2．由于两个概率不一样，我们有必要引入下面的概
念．
第一章第五节条件概率
5
条件概率的定义
设 A 、 B 是某一随机试验中的两个随机事件，且
PA 0 ，
则称事件 B 在“事件 A 已经发生”这一附加条件下的概率为“在事件 A 已经发生的条件下，事件 B 发生的条件概率”，简称为事件 B 在事件 A 发生的条件下的条件概率，记为
二.概率的乘法公式
第一章第五节条件概率
15
两个事件的乘法公式
概率的乘法公式是计算两个事件交事件概率的公
式．
设 A 、B 是两个随机事件，且 PA 0 ，则由“在 A 事
件发生的条件下，B 事件发生的条件概率”的计算公式
PB
A
P AB PA
得
PAB PAPB A
我们称上面的公式为两个事件的乘法公式．
我们称上面的公式为 n 个随机事件的乘法公式．
第一章第五节条件概率
17
例5
设随机事件 A 与 B 满足：
试求 PA B ．
P
A
PB
1 3
，
PB
A
1 6
，
解：
PA
B
PAB PB
PA B
PB
1 PA B 1 PB
1
PA PB 1 PB
PAB
1
PA
PB PAPB
1 PB
A
1
11 33
1 1