函数的概念课件
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3.1.1函数的概念 课件(共23张PPT)
3
十 八 世 纪
伯努利称其为变量与常量的组合 欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化
4
十 九 世 纪
柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们 初中学习到的函数的定义
5
一.知识回顾
初中学习的函数概念是什么？
设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应， 则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。
22
例题六：已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求该函数的定义域 (2)求当x=-3时该函数的值
答案：1.{x|x≥-3且x≠-2}
2.f (-3)= -1
23
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
值域也就随之确定了.如果两个函数的 这两个
完全相同就称
15
例题三：判断下列各组中两个函数是否为同一个函数
(1) f ( x) x 与g(x)= x 2;
(2)f ( x) x与g( x) 3 x3 ; (3) f ( x) x 1 x 1与g( x) x2 1; (4) f ( x) x2 2 x 1与g(t) t 2 2t 1.
十 八 世 纪
伯努利称其为变量与常量的组合 欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化
4
十 九 世 纪
柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们 初中学习到的函数的定义
5
一.知识回顾
初中学习的函数概念是什么？
设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应， 则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。
22
例题六：已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求该函数的定义域 (2)求当x=-3时该函数的值
答案：1.{x|x≥-3且x≠-2}
2.f (-3)= -1
23
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
值域也就随之确定了.如果两个函数的 这两个
完全相同就称
15
例题三：判断下列各组中两个函数是否为同一个函数
(1) f ( x) x 与g(x)= x 2;
(2)f ( x) x与g( x) 3 x3 ; (3) f ( x) x 1 x 1与g( x) x2 1; (4) f ( x) x2 2 x 1与g(t) t 2 2t 1.
3.1.1函数的概念(第1课时)课件(人教版)
f x） x 3
1
．
x2
2
f 3）， （
（2）求 （
f ）的值．
3
2
解：
（2）将3 与 代入解析式，有
2
解：
（2）将33 与 代入解析式，有
3
2
1
f (解：
3) （2）将3
3 + 3 与 3 代入解析式，有
1 1 ；
f (3) 3 +33+ 2
1 ；
3 + 2
1
2f (3) 2 3 + 31
11 31 ；3
33
．33
（
f ）2 + 32
1
11
3
3
．
f ）
+23 3 + 23 8 8 3
3（
3
3
3 + 22
3 8 8
3
2
2 3
1+ 2 11 3 3
33
．
（
f ）
+3 3
2
3
3
3 8 8
2.初中对函数是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个
确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，
y是x的函数.
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行
半小时. 这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行
时间 t（单位：h）的关系可以表示为
函数的概念：
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，
1
．
x2
2
f 3）， （
（2）求 （
f ）的值．
3
2
解：
（2）将3 与 代入解析式，有
2
解：
（2）将33 与 代入解析式，有
3
2
1
f (解：
3) （2）将3
3 + 3 与 3 代入解析式，有
1 1 ；
f (3) 3 +33+ 2
1 ；
3 + 2
1
2f (3) 2 3 + 31
11 31 ；3
33
．33
（
f ）2 + 32
1
11
3
3
．
f ）
+23 3 + 23 8 8 3
3（
3
3
3 + 22
3 8 8
3
2
2 3
1+ 2 11 3 3
33
．
（
f ）
+3 3
2
3
3
3 8 8
2.初中对函数是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个
确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，
y是x的函数.
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行
半小时. 这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行
时间 t（单位：h）的关系可以表示为
函数的概念：
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，
3.1.1函数的概念课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
即时训练 1-1:函数 y=
+
-
-
的定义域为
解析:要使函数解析式有意义,需满足
.(用区间表示)
+
-
≥ ,
≥ , ⇒
≥- ,
≤ , ⇒-2≤x≤3,
-
≠
≠
且 x≠ .所以函数的定义域为[-2, )∪( ,3].
答案:[-2, )∪( ,3]
小试身手
1.函数 f(x)=
A.(-∞,3)
-
的定义域是(
探究点四
一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域
[例4] (1)已知函数f(x)=-2x+3的值域为[-5,5],则它的定义域为(
A.[-5,5]
B.[-7,13]
C.[-4,1]
D.[-1,4]
(1)解析:由函数f(x)=-2x+3的值域为[-5,5]可知-5≤3-2x≤5,
解得-1≤x≤4.故选D.
解析:对于A,A中取0,在B中没有0对应,故A错误;
对于B,C,根据函数的定义,B,C正确;
对于D,A不是数集,故D错误.故选BC.
函数y=f(x),x∈A
如果自变量取值a，则由对应法则f确定的值y称为函数
在a处的函数值，记作y=f(a)
例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1
当x=2时y=7可以写成f(2)=7
)
A.A=N,B=N*,对应关系 f:对集合 A 中的元素取绝对值与 B 中元素对应
B.A={-1,1,2,-2},B={1,4},对应关系 f:x→y=x2,x∈A,y∈B
C.A={-1,1,
,-2},B={1,2,4},对应关系 f:x→y=x 2,x∈A,y∈B
函数的概念及表示法ppt课件
(1)对于x的每一个值，y都满足有唯一的值与之对应吗？
不满足
(2)y是x的函数吗？为什么？
不是，因为y的值不是唯一的.
26
26
随堂练习
演练
1. 下面四个关系式：① y ＝ ；② ＝ x ；
③2 x2－ y ＝0；④ y ＝ ( x ＞0).
其中 y 是 x 的函数的是(
D )
27
随堂练习
报酬按16元/时计算. 设小明的哥哥这个月工作的时间为t
小时，应得报酬为m元，填写下表：
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
对于这个函数，当t=5时，把它代入函数表达式，得
m = 16t=16×5=80（元）.
m = 80是当自变量t=5时的函数值.
代入法
19
19
探究新知
函数与函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函
判断一个关系是否是函数关系，根据函数定义，主
要从以下3个方面分析：
(1) 是否在一个变化过程中；
(2) 在该过程中是否有两个变量；
(3) 对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量
是否有唯一确定的值与其对应.
13
13
探究新知
知识点
函数的三种表示法
合作探究
m = 16t
这几个函数用等式来表示，
这种表示函数关系的等式，
16
80
160
240
320
…
t
…
16t
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
5
5
探究新知
合作探究
2.跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s
（米）与助跑的速度v（米/秒）有关. 根据经验，跳
函数的概念与表示法课件(共19张PPT)
( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
函数的概念ppt课件
→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③
函数的概念及其表示法ppt课件
∴2aa＋＝b1＝，－1，
即ab＝ ＝12－，32.
∴f(x)＝12x2－32x＋2.
(3)在 f(x)＝2f1x· x－1 中， 将 x 换成1x，则1x换成 x，
得 f1x＝2f(x)· 1x－1，
由fx＝2f1x· x－1， f1x＝2fx· 1x－1，
解得 f(x)＝23 x＋13.
答案
2 (1)lgx－1(x>1)
解析 (1)f56＝3×56－b＝52－b， 若52－b<1，即 b>32时， 则 ff56＝f52－b＝352－b－b＝4， 解之得 b＝78，不合题意舍去． 若52－b≥1，即 b≤32，则 ＝4，解得 b＝12.
(2)当 x<1 时，ex－1≤2，解得 x≤1＋ln 2， 所以 x<1.
当 x≥1 时， ≤2，解得 x≤8，所以 1≤x≤8.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝2，得 c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1， 则 2ax＋a＋b＝x－1，
2．下列给出的四个对应中： ①A＝B＝N*，对任意的 x∈A，f：x→|x－2|； ②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的 x∈A，f：x→x12； ③A＝B＝R，对任意的 x∈A，f：x→3x＋2； ④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x ＋y. 其中对应为函数的有________(填序号)．
第1讲 函数的概念及其表示法
考试要求 1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B 级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求．
数学 1 3.1.1 函数的概念-课件
D．f：x→y＝x
【解析】 (1)观察图象可知，A，B，C 中任取一个 x 的值，y
有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D 中图象是函
数图象．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只 含有一个元素； ②正确．因为 f(x)＝5，这个数值不随 x 的变化而变化，所以 f(π) ＝5； ③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系． (3)对于 A 中的任意一个元素，在对应关系 f：x→y＝18x；f：x→y ＝14x；f：x→y＝12x 下，在 B 中都有唯一的元素与之对应，故 能构成函数关系．对于 A 中的元素 8，在对应关系 f：x→y＝x 下，在 B 中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．
(－∞，4)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
已知全集 U＝R，A＝{x|1<x≤3}，则∁UA 用区间表示为 ________． 解析：∁UA＝{x|x≤1 或 x>3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3， ＋∞)． 答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
下图中能表示函数关系的是________．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
已知函数 g(x)＝2x2－1，则 g(1)＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选 C.因为 g(x)＝2x2－1，所以 g(1)＝2－1＝1.
函数 f(x)＝ 41－x的定义域是(
)
A．(－∞，4)
B．(－∞，4]
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
解析：选 A.由 4－x>0，解得 x<4，所以此函数的定义域为
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时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
城镇居民恩
格尔系数
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
（﹪）
函数的概念
8
三个实例有什么共同点和不同点？
不同点 实例1是用解析式刻画变量之间的对应关系， 实例2是用图象刻画变量之间的对应关系， 实例3是用表格刻画变量之间的对应关系.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
函数的概念
10
注意
函数概念中的关键词
(1) A、B是非空数集； (2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应； (3)构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系 (f：A→B).
函数的概念
5
2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题 近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.如下图
中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
由图中的曲线可知，时间t的 变化范围是数集A ={t|1979≤ t≤2001}，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B ={S|0≤S <26}.并且，对于数集A中的每 一个时刻t，按照图中的曲线， 在数集B中都有唯一确定的臭氧 层空洞面积S和它对应.
11
函数的概念
例1 已知函数
f (x) x 3 1
(1)求函数的定义域；（2）求 的值x. 2
(3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值
f (3), f ( 2) 3
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如 果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指 能使这个式子有意义的实数的集合.
函数
对应关系 定义域
值域
正比例函数 y kx(k 0)
R
R
反比例函数 一次函数
y k (k 0) x
y kx b (k 0)
二次函数
y ax2 bx c (a 0)
{x | x 0} {y | y 0}
R
R
a 0时,{y | y 4ac b2 }
R
4a
a 0时,{y | y 4ac b2 }
共同点 （1）都有两个非空数集； （2）两个数集之间都有一种确定的对应关系.
9
函数的概念
探究点1 函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
4a
函数的概念
16
y=x与 y是同x一2 函数吗？ x
如何判断两个函数是否为同一函数? 解：不是，定义域不同 提升总结： 1. 两个函数的三要素完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2. 两个函数相等：当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自 变量和函数值的字母无关.
17
函数的概念
解：（1） 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}，
有意义的实数xx的集3合是{x|x≠-2}，所以这个函数的
定义域就是
.
1 x2
{x | x 3, 且x 2}
(2)
f (3) 3 3
1
1;
3 2
f(2) 3
2 3
3
1 22
11 3 3 3 88
33 3
3
（3）因为a>0，所以f(a),f(a-1)有意义.
fa
a 3 a 1 2;
fa 1
a13
1
a1 2
a 2 a 1 1.
已知f(x)=3x－2, x∈{0,1,2,3,5}，
求f(0), f(3)和函数的值域. 解：
f (0) 3 0 2 2, f (3) 3 3 2 7.
值域为 2,1, 4, 7,13.
函数的概念
15
初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么？
探究点2 相等函数
例2 下列函数中哪个与函数y=x相等( )
B
A. y ( xB.)2
y x3
关注函数的三 要素
C. y xD2.
y x2 x
如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数 相等（或为同一函数）
18
函数的概念
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1）y=|x| （2）|y|=x （3）y=x2 （4）y2=x
函数的概念
7
3.“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的 变化关系问题.
国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低, 生活质量越高.如下表所示: “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况. (恩格尔系数=食物支出金额/总支出金额)
表1-1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
二次函数： y ax2 bx c(a 0)
函数的概念
4
观察下列三个实例有什么不同点和共同点？
1.炮弹的射高与时间的变化关系问题 一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标,炮弹的射高为845m,且炮弹
距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律为:h=130t-5t2.
这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},炮弹距地面的 高度h的变化范围是数集B ={h|0≤h≤845}.从问题的实际意义可知，对于 数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h=130t-5t2,在数集B中都有唯一 确定的高度h和它对应.
一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数.其中自变量x的取值的集合 叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值的集合叫做函数的值域.
（从运动变化的观点出发）
3
函数的概念
2.请问：我们在初中学过哪些函数？
正比例函数： 反比例函数： 一次函数：
y kx(k 0) y k (k 0)
x y kx b(k 0)
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
第1课时 函数的概念
函数的概念
1
1.理解函数的概念；(难点） 2.了解构成函数的三要素；（重点） 3.会判断给出的两个函数是否是同一函数; 4.能正确使用区间表示数集.（易混点）
函数的概念
2
思考？
1.初中学习的函数概念是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯