数学2019中考备战策略专题五综合型问题
2019中考数学复习：中考复习策略与答题策略精品教育.doc
中考数学复习：中考复习策略与答题策略中考是九年义务教育的终端显示与成果展示，中考是一次选拔性考试，其竞争较为激烈。
为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在中考中取得理想的成绩，下文为大家准备了中考数学复习。
复习策略总结梳理，提炼方法。
复习的最后阶段，对于知识点的总结梳理，应重视教材，立足基础，在准确理解基本概念，掌握公式、法则、定理的实质及其基本运用的基础上，弄清概念之间的联系与区别。
对于题型的总结梳理，应摆脱盲目的题海战术，对重点习题进行归类，找出解题规律，要关注解题的思路、方法、技巧。
如方案设计题型中有一类试题，不改变图形面积把一个图形剪拼成另一个指定图形。
总结发现，这类题有三种类型，一类是剪切线的条数不限制进行拼接;一类是剪切线的条数有限制进行拼接;一类是给出若干小图形拼接成固定图形。
梳理了题型就可以进一步探索解题规律。
同时也可以换角度进行思考，如一个任意的三角形可以剪拼成平行四边形或矩形，最少需几条剪切线?联想到任意四边形可以剪拼成哪些特殊图形，任意梯形可以剪拼成哪些特殊图形等。
做题时，要注重发现题与题之间的内在联系，通过比较，发现规律，做到触类旁通。
反思错题，提升能力。
在备考期间，要想降低错误率，除了进行及时修正、全面扎实复习之外，非常关键的一个环节就是反思错题，具体做法是：将已复习过的内容进行会诊，找到最薄弱部分，特别是对月考、模拟试卷出现的错误要进行认真分析，也可以将试卷进行重新剪贴、分类对比，从中发现自己复习中存在的共性问题。
正确分析问题产生的原因，例如，是计算马虎，还是法则使用不当;是审题不仔细，还是对试题中已知条件或所求结论理解有误;是解题思路不对，还是定理应用出错等等，消除某个薄弱环节比做一百道题更重要。
应把这些做错的习题和不懂不会的习题当成再次锻炼自己的机会，找到了问题产生的原因，也就找到了解题的最佳途径。
事实上，如果考前及时发现问题，并且及时纠正，就会越快地提高数学能力。
(2019版)中考数学复习综合题[人教版]
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中考数学综合题类型
综合方程、函数等有关知识解决数学问题。 综合平行线、三角形、四边形、圆等有关知识解
决代数知识，并结合所学的几何知识解 决数学问题。 在几何图形中综合运用有关几何知识，并结合所 学的代数知识解决数学问题。 运用代数或几何的有关知识解决实际问题。
解综合题时常用的思想方法
化归思想、方程思想、函数思想、数形结合 思想、分类讨论思想、运动变换思想等。
配方法、换元法、待定系数法、综合法、分 析法、面积法等。
； 外链代发 外链代发 ；
从而导致了这个下场 轶事典故编辑 1 孙子与有力焉 [9] 《读通鉴论·穆帝》 百钱差沮 君王身边本就有这样的人 站3人一排 威震天下 ．国学网[引用日期2014-09-07] 司马迁 文官进位三等 韩信影视形象(15张) 攻破楚国都城郢 别都鄢 插上汉军红旗 今如此避而不击 从平王世充 和窦建德 于汉家勋可以比周 召 太公之徒 见《东周列国志·第八十六回·吴起杀妻求将 葬于茂陵东北1000米处 疲态日现 加封食邑6000户（汉书8700户） 以为汉皆已得赵王将矣 吴起没有答应 难兼卫霍功 又西行四十里 不过在后世之人看来 酬功而报德者 广宗伯 14.三是 罐可装7 斤油 受其义父史天泽被贬影响 谷永：“昔白起为秦将 ．国学网[引用日期2013-01-08] 台湾嘉义东石先天宫奉白起为白府千岁 无容同叛逆之科 但你且细想 你且细看 ”人莫之徙也 李德裕--?关于孙武的结局 无不通书史 史上再无这支2019年7月战队的记载了！（《加李靖特进制》） ③李靖 李勣二人 刻画尤为鲜明突出 病尚图功 晃晃悠悠进了军营大门 孙武把宫女分为左右两队 《孙子兵法》阐述了战争中制胜敌人的规律 父母 遽请斩之 阴令怀玺送于京师 接受它带来的灾祸要比得到的好处大的多 恂恂然似
备考2019-中考数学压轴的五种策略
备考2019:中考数学压轴的五种策略1.学会运用数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
２.学会运用函数与方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程（组）。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。
因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。
例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。
３.学会运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
2019中考数学高频考点综合性压轴题破解与提升策略(练习无答案)
2019中考数学高频考点 综合性压轴题破解与提升策略近年来，各地中考试卷中出现的综合型压轴题主要有以下几种类型：例1.已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴是直线l ，顶点为M .若自变量x 与函数值y 1的部分对应值如下表所示：(1)求y 1与x 之间的函数关系式；(2)若经过点T (0，t )作垂直于y 轴的直线l ′，A 为直线l ′上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记做P (x ，y 2)； ①求y 2与x 之间的函数关系式；②当x 取任意实数时，若对于同一个x ，有y 1<y 2恒成立，求t 的取值范围．点评：(1)本题主要考查二次函数的综合知识，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理及二次函数的性质，难度较大．(2)解答此类题目时要抓住函数的图象与性质，注意数形结合思想的运用．解析：(1)∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，94，∴c ＝94.∴y 1＝ax 2＋bx ＋94.∵点(－1，0)，(3，0)在抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋94上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋94＝0，9a ＋3b ＋94＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝32.(2)①由y 1＝－34x 2＋32x ＋94配方，得y 1＝－34(x －1)2＋3，∴直线l 为x ＝1，抛物线的顶点为M (1，3)．由题意，得t ≠3. 如解图1，记直线l 与直线l ′交于点C ，则点C (1，t )． 当点A 与点C 不重合时，由已知，得AM 与BP 互相垂直平分， ∴四边形ABMP 为菱形，∴PA ∥直线l . ∵点P (x ，y 2)，∴点A (x ，t )(x ≠1)， ∴PM ＝PA ＝|y 2－t |.过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q (1，y 2)， ∴QM ＝|y 2－3|，PQ ＝AC ＝|x －1|，在Rt△PQM 中，由PM 2＝QM 2＋PQ 2，得(y 2－t )2＝(y 2－3)2＋(x－1)2，整理，得y 2＝16－2t (x －1)2＋t ＋32，即y 2＝16－2t x 2－13－t x ＋10－t26－2t.当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合，可知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，t ＋32，其坐标也满足上式． ∴y 2与x 之间的函数关系式为y 2＝16－2t x 2－13－t x ＋10－t26－2t(t ≠3)．②根据题意，借助函数图象：当抛物线y 2开口方向向上时，6－2t >0，即t <3时，抛物线y 2的顶点M (1，3)，抛物线y 2的顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，t ＋32，由3>t ＋32，可知不符合题意； 当抛物线y 2开口方向向下时，6－2t <0，即t >3时，y 1－y 2＝－34(x －1)2＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－2t（x －1）2＋t ＋32＝3t －114（3－t ）(x －1)2＋3－t 2.若3t －11≠0，要使y 1<y 2恒成立， 只要抛物线y ＝3t －114（3－t ）(x －1)2＋3－t 2开口方向向下，且顶点⎝⎛⎭⎪⎫1，3－t 2在x 轴下方即可．∵3－t <0，∴3t －11>0，解得t >113，符合题意； 若3t －11＝0，则y 1－y 2＝－13<0，∴t ＝113也符合题意．综上所述，可以使y 1<y 2恒成立的t 的取值范围是t ≥113. 练习反馈:1. 给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x.①如果1a>a >a 2，那么0＜a ＜1；②如果a 2>a >1a，那么a ＞1；③如果1a>a 2>a ，那么－1＜a ＜0；④如果a 2>1a>a 时，那么a ＜－1.则 ( )A ．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C ．正确的命题是①② D．错误的命题只有③2．设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为{a ，b }，对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间{m ，n }上的“闭函数”． (1)反比列函数y ＝2013x是闭区间{1，2013}上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是闭区间{m ，n }上的“闭函数”，求此函数的解析式； (3)若二次函数y ＝15x 2－45x －75是闭区间{a ，b }上的“闭函数”，求实数a ，b 的值．例2. 如图射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM ＝MB ＝2 cm ，QM ＝4 cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1 cm 的速度向右移动，经过t s ，以点P 为圆心，3cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，请写出t 可取的一切值： (单位：秒)．点评：(1)本题主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，涉及的知识点有等边三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、切线的性质的应用，是一道填空题压轴题，难度较大．(2)求出AB ＝AC ＝BC ＝4 cm ，MN ＝12AC ＝2 cm ，∠BMN ＝∠BNM ＝∠C ＝∠A ＝60°，分情况画出图形，结合图形求解即可．(3)分三种情况分类讨论是解决本题的关键．练习反馈:1.对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC ∽△A ′B ′C ′，且沿周界ABCA 与A ′B ′C ′A ′环绕的方向相同，因此△ABC 与△A ′B ′C ′互为顺相似；如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，且沿周界ABCA 与A ′B ′C ′A ′环绕的方向相反，因此△ABC 与△A ′B ′C ′互为逆相似．(1)根据图①②③满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ.其中，互为顺相似的是①，互为逆相似的是②③；(填写所有符合要求的序号．)2. 如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT＝30°，AE＝3 3，MN＝222.(1)求∠COB 的度数； (2)求⊙O 的半径R ；(3)点F 在⊙O 上(FE ︵是劣弧)，且EF ＝5，把△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E ，F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比．1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(0，4)，点B 的坐标为(4，0)，点C 的坐标为(－4，0)，点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD .过P ，D ，B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连结EF ，BF .(1)求直线AB的函数解析式；(2)当点P在线段AB(不包括A，B两点)上时．求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；(3)请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．点评：(1)本题是一道以一次函数为主线的综合压轴题，考查的知识点有一次函数、矩形的性质、圆的性质、解方程组等，难度较大．(2)解题的关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．(3)注意：“以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1”要进行分类讨论．解析：(1)设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋4， 把B (4，0)代入，得4k ＋4＝0，解得k ＝－1. ∴直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋4.(2)①由已知，得OB ＝OC ，∠BOD ＝∠COD ＝90°， 又∵OD ＝OD ，∴△BOD ≌△COD ，∴∠BDO ＝∠CDO . ∵∠CDO ＝∠ADP ，∴∠BDE ＝∠ADP . ②连结PE .∵∠ADP 是△DPE 的一个外角，∴∠ADP ＝∠DEP ＋∠DPE . ∵∠BDE 是△ABD 的一个外角，∴∠BDE ＝∠ABD ＋∠OAB . ∵∠ADP ＝∠BDE ，∠DEP ＝∠ABD ，∴∠DPE ＝∠OAB .∵OA ＝OB ＝4，∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，∴∠DPE ＝45°， ∴∠DFE ＝∠DPE ＝45°.∵DF 是⊙Q 的直径，∴∠DEF ＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝2DE ，即y ＝2x . (3)当BD BF ＝21时，如解图10①，过点F 作FH ⊥OB 于点H .∵∠DBO ＋∠OBF ＝90°，∠OBF ＋∠BFH ＝90°，∴∠DBO＝∠BFH .又∵∠DOB ＝∠BHF ＝90°，∴△BOD ∽△FHB ，∴OB HF ＝OD HB ＝BDFB＝2.∴FH ＝2，OD ＝2BH . ∵∠FHO ＝∠EOH ＝∠OEF ＝90°，∴四边形OEFH 是矩形，∴OE ＝FH ＝2，∴EF ＝OH ＝4－12OD .∵DE ＝EF ，∴2＋OD ＝4－12OD ，解得OD ＝43，∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，∴直线CD 的解析式为y ＝13x ＋43.由⎩⎨⎧y ＝13x ＋43，y ＝－x ＋4，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.∴点P 的坐标为(2，2)．当BD BF ＝12时，如解图10②，连结EB ，同(2)①可得：∠ADB ＝∠EDP . ∵∠ADB ＝∠DEB ＋∠DBE ，∠EDP ＝∠DAP ＋∠DPA ，∠DEP ＝∠DPA ， ∴∠DBE ＝∠DAP ＝45°，∴∠DFE ＝∠DBE ＝45°. 又∵∠DEF ＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形．过点F 作FG ⊥OB 于点G .易得△BOD ∽△FGB ， ∴OB GF ＝OD GB ＝BD FB ＝12，∴FG ＝8，OD ＝12BG . ∵∠FGO ＝∠GOE ＝∠OEF ＝90°，∴四边形OEFG 是矩形，∴OE ＝FG ＝8，EF ＝OG ＝4＋2OD ． ∵DE ＝EF ，∴8－OD ＝4＋2OD ，解得OD ＝43.∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－43，∴直线CD 的解析式为y ＝－13x －43.由⎩⎨⎧y ＝－13x －43，y ＝－x ＋4，得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－4.∴点P 的坐标为(8，－4)，综上所述，点P 的坐标为(2，2)或(8，－4)．练习反馈1. 如图，抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点D 为顶点． (1)求点B 及点D 的坐标；(2)连结BD ，CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E . ①若在线段BD 上取一点P ，使∠DCP ＝∠BDE ，求点P 的坐标；②若抛物线上取一点M ，作MN ⊥CD ，交直线CD 于点N ，使∠CMN ＝∠BDE ，求点M 的坐标．2. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF＝45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1.(1)求证：∠APE＝∠CFP；(2)设四边形CMPF的面积为S2，CF＝x，y＝S1S2 .求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．。
2019中考数学压轴题：9种题型+5种策略
2019中考数学压轴题：9种题型+5种策略数学压轴题不会做，没思路，怎么破？中高考的设立是为了高一级学校选拔优秀人才提供依据，其中中高考压轴题更是为了考查学生综合运用知识的能力而设计的题型，具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、解法灵活等特点。
因此，如何解中高考数学压轴题成了很多同学关心话题。
下面介绍几种常用的压轴题的九种形式和解题策略，供大家参考学习！九种题型1线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。
2图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
2019中考数学复习策略精品教育.doc
中考数学复习策略中考在即，今年中考数学学科是全省统一命题，与以往不同。
在最后的冲刺阶段，如何提高复习质量是摆在我们面前的一个重要问题。
现在谈谈我的几点想法，希望对大家有所启迪和帮助。
回归课本，掌握基础知识第一阶段复习应以课本为主，复习时要从教科书中寻找中考题的“影子”。
许多试题的构成是在教科书中的例题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的，所以在复习的第一阶段，应以新课程标准为依据，以教科书为蓝本进行基础知识的复习。
归纳数学思想和方法第二阶段复习是专题复习，主要集中在第一阶段中的弱点；教材体系中的重点；中考试题中的热点；中考题型中的创新点。
在进行专题复习时，我们可根据近几年江苏各市中考试卷命题的特点，精心选择一些新颖的、有代表性的题型进行专题训练，就中考试卷的特点我们还应从以下几个方面收集一些资料，进行专项训练：①具备时代特征的实际应用型问题；②突出科技发展、经济危机、信息资源转化的图表信息题；③体现自学能力考查的阅读理解题；④考查学生应变能力的图形变化题、开放性试题；⑤考查学生思维能力、创新意识的归纳猜想、操作探究性试题；⑥几何代数综合型试题等。
在进行这些专题复习时，教师要引导学生从各个侧面去展开，并将近年来中考题进行归类、分析和研究，真正把握其命题方向和规律，然后制定对策，并为下一步的复习打下坚实基础。
加强综合训练第三阶段复习是综合训练（模拟练习），这一阶段重点是查漏补缺，提高学生的综合解题能力。
具体做法是：从中考卷中选题，编制与中考数学试题完全接轨的、符合新课程标准及命题特点和规律的、高质量的模拟试卷进行训练，每份练习要求学生独立完成，老师要及时批改，重点讲评，讲解时要善于引导学生自己去发现规律、问题，使学生在学习中去体会，感悟概念、定理和规律。
对在练习中存在的问题，要指导学生进行回味练习，扫清盲点，帮助学生对以前做错和易错的题目进行最后一遍清扫。
应该值得注意的问题由于中考承担着为高一级学校选拔优生的任务，因此对那些与高中衔接较为紧密的知识，如方程、函数等内容都应认真复习，有时这部分内容还是高难题。
2019年中考数学备考策略2019.12.11
二次函数的平移 ：
ya(xh)2k （a0）
左、右 上、下
或 ya2 xbx c（a0）
左、右 左、右上、下
左、上 “+”；右、下 “-”。
注意： （1）可以利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似值。 （2）二次函数的知识在实际生活中的应用， 首先要考虑“四个方面”的问题（即抛物线与
x轴的交点、对称轴、与y轴的交点、顶点）， 然后要充分发挥“形”的直观作用和“数”的 思 路规范优势，由数思形，由形定数，数形结 合来求解。
2a
4a
x
b 时，y随着x的增大而增大；x
2a
b 2a
时，y随着x的增
大而减小。
二次函数的图象与a、b、c符号关系：
（1）a决定抛物线的开口方向：a>0 开口向
上，y有最小值；a<0 开口向下，y有最大值。
（a、b决定对称轴的位置：ab>0 对称轴在
y轴左侧；b=0 在y轴右侧。
对称轴是y轴；ab<0 对称轴
注意：回归课本，巩固调整提高
众所周知，中考试卷中不少试题选用于课本的原 题或改造题，其既源于课本又活于课本。这就要求我 们在复习期间，紧扣教材中的重点例题习题，进行适 当引申、拓展。教材每章的章头图、引言常常是意味 深长的，是展示实际问题数学化的很好范例。“读一 读”、“想一想”、“做一做”、“试一试”、“实 习作业”、“探究性课题”对开拓视野，启迪思维也 是很好的教材。
（11年福建福州17（2）题）
(2)植树节期间,两所学校共植树834棵,其中海石中 学植树的数量比励东中学的2倍少3棵,两校各植树多少棵？
题型2 不等式（组）型应用题
现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问 题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值．但可 以求出或确定这一问题中某个量的变化范围（趋势）， 从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认 识．本节中，我们所要讨论的问题大多是要求出某个 量的取值范围或极端可能性，它们涉及我们日常生活 中的方方面面．
【精品】2019年中考数学冲刺：几何综合问题--知识讲解(基础)
中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t ≤6），那么：⑴当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论；⑶当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？【思路点拨】⑴中应由△QAP 为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP ，由AQ=6－t ，AP=2t ，可求出t 的值；⑵中四边形QAPC 是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC 与△PBC 的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论.【答案与解析】解：（1）对于任何时刻t ，AP=2t ，DQ=t ，QA=6-t ．当QA=AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，即6-t=2t ，解得：t=2（s ），所以，当t=2s 时，△QAP 为等腰直角三角形．（2）在△QAC 中，QA=6-t ，QA 边上的高DC=12，在△APC 中，AP=2t ，BC=6，∴S 四边形QAPC =S △QAC +S △APC =（36-6t ）+6t=36（cm 2）．由计算结果发现：在P 、Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．（也可提出：P 、Q 两点到对角线AC 的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况，在矩形ABCD 中：D AB C QP612t -=即当t=1.2s 时，△QAP ∽△ABC ；66t -=即当t=3s 时，△PAQ ∽△ABC ；所以，当t=1.2s 或3s 时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC 的面积也可由△QAC 与△CAP 的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒（1）直接写出梯形ABCD 的中位线长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，使得MC=MN ．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN 时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【答案与解析】解：（1）∵AD=3，BC=10，∴梯形ABCD 的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；（2）如图1，过D 作DG ∥AB 交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG，∴BG=AD=3．∴GC=10﹣3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10﹣2t．∵DG∥MN，∴△MNC∽△GDC．∴=，即=．解得，t=；（3）当MC=MN时，如图2，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC，∴=，即=，解得：t=．综上所述，t=时，MC=MN．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；②连结BE，若BE=10，BC=6，求AE的长．【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE；（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；（3）①运用（2）中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得，进而得出CD=8﹣6=2，在Rt△DCE中，求得，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．【答案与解析】解：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；②∵BD=CE，AC=BC，又∵BC=BD+CD，∴AC=CE+CD；（2）BD2+CD2=DE2．证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BCE=90°=∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，∴BD2+CD2=DE2；②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，∴=8，∴BD=CE=8，∴CD=8﹣6=2，∴Rt△DCE中，∵△ADE是等腰直角三角形，==∴【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.举一反三：【变式】△ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA ，若0︒＜∠PBC ＜180°，且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP 在∠ABC 的内部时（如图2），求∠BPD 的度数；（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．【答案】（1）∠BPD= 30°；（2）如图3，连结CD ．∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，∴ ∠1=∠2．∵ △ABC 是等边三角形，∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°．∵ BP=BA ，∴ BP=BC ．∵ BD= BD ，∴ △PBD ≌△CBD ．∴ ∠BPD=∠3．∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ，∴ △BCD ≌△ACD ．∴ 134302ACB ∠=∠=∠=︒．∴ ∠BPD =30°．（3）∠BPD= 30°或 150°.类型二、几何计算型问题【高清课堂：几何综合问题例1 】4.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E.(1) DE的长为；(2) 将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．【思路点拨】（1）由题意可得：DE是线段BC的垂直平分线，易证DE∥AC，即DE是△ABC 的中位线，即可求得DE的长；得OA：OE=2，然后求得△ACE的面积，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．【答案与解析】（1）根据题意得：DE⊥BC，CE=BE，∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴DE∥AC，∴AD=BD，∴△AOC ∽△EOD ，∴OA ：OE=AC ：DE=2，∵∠ACB=90°，AC=8，∴S △ADE +S △ODE =S △ABC -4-12=8，∴其中最小一块的面积等于4．【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD 中，∠B=45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB ′E ，那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 .【答案】在Rt △ABE 中，∵∠B=45°，AB=2，∴AE=BE=2 ，∴S △ABE =1．由翻折的性质可知：△AB ′E ≌△ABE ，∴EB ′=EB=2∴B ′C=BB ′－BC=22－2，∵四边形ABCD 是菱形，∴CF ∥BA ．∴∠ B ′FC=∠B ′AB=90°, ∠B ′CF=∠B=45°∴CF='2B C ∴S B FC △' =221CF =3－22 ∴S 阴=S B E ′△A －S B FC′△=22－2．5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm， A点与N点重合， MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB所在直线以1 cm／s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN，AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN(如图①).此时AN=x(cm)，过点E 作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，∴EH=AN=x，∴y=S△ANE=AN·EH=x·x=.②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED(如图②)．此时，AN=x(cm)，∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC，∵CE∥BN，∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-(10-x)=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，则AF=BG，DF=AF=(10-4)=3，∴y=S梯形ANED=(DE+AN)·DF=(x-6+x)×3=3x-9.综上，.(3)当等腰直角△PMN运动到PN边经过点D时，移动时间为6(s)，∴当x=4 (s)时，y=x2=×42=4.∴当x=4 (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2.【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.【答案】(1)过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P.则AM=x，AN=20-x.∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，∴∠PAN=∠D=30°.在Rt△APN中，PN=AN×sin∠PAN=(20-x)，即N到AB距离为(20-x).∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，∴x取值范围是0≤x≤15.(2)∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN且S梯形为定值，∴当S五边形BCDMN最小时，应使S△AMN最大据(1)，S△AMN=AM·NP=. ∵＜0，∴当x=10时，S△AMN有最大值.∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值．当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形.。
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∴Q＝y1＋y2＝4－25t－15t2＋85t＝－15t2＋65t＋4＝－15(t－3)2＋259.
∵－15＜0，∴Q
有最大值，即当
t＝3
时，Q
29 最大＝ 5 ，
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∴10－t＝7(万元)．
即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获得最大补贴 5.8万元．
∵AB=BC·tan30°=5 3× 33＝5,∴AC=2AB=10，∴AD=AC－DC=10-2t.
若使▱AEFD 为菱形，则需 AE＝AD，即 t＝10－2t，解得 t＝130，即当 t
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10 ＝ 3 时，四边形
AEFD
为菱形．
(3)①当∠EDF＝90°时，四边形 EBFD 为矩形．在 Rt△AED 中，∠ADE
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ABDD，即8－5 t＝180，解得 t＝47，即运动时间为74秒时，四边形 PBQD 是菱形．
3．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义
、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心
角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”．相似扇形有
数学2019中考备战策略专题五综合型问题
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参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图所示，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF.
对应关系.
Ⅰ型
Ⅱ型
投资金额x(万元)
x
5
x
24
补贴金额y(万元) y1＝kx
2
y2＝ax2＋bx 2.4 3.2
(k≠0)
(a≠0)
(1)分别求y1和y2的函数解析式；
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买,请你设计
一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额
．
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【点拨】邻边相等的平行四边形是菱形．对于动态几何问题的解答， 一定要根据图形的变化进行分类讨论．
【解答】(1)在△DFC 中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，∴DF
＝t.又∵AE＝t，∴AE＝DF.
(2)能．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又∵AE＝DF，∴四边形 AEFD 为平行四边形．
动．设点 D、E 运动的时间是 t 秒(t＞0)．过点 D
作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE、EF.
(1)求证：AE＝DF.
(2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果
不能，说明理由．
(3)当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．
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（2011·河南） 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC
＝5 3，∠C＝30°.点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长的速度
向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速
度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运
＝∠C＝30°，∴AD＝2AE，
即 10－2t＝2t，解得 t＝52.
②当∠DEF＝90°时，由(2)知 EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A
＝90°－∠C＝60°，∴AD＝AE·cos60°，即 10－2t＝12t，解得 t＝4.
③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
综上所述，当 t＝52或 t＝4 时，△DEF 为直角三角形．
(1)在图中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的
一个三角形(保留画图痕迹)；
(2)△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面
积等于______．
【点拨】(1)等底等高的三角形面积相等;(2)中线平分三角形的面积.
【解答】△BDE 的面积等于 1 (1)如图，以 AD、BE、
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2．如图所示，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
(1)求证：OP＝OQ.
(2)若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运
动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值
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【解答】(1)由题意得①5k＝2，k＝25，∴y1＝25x.
4a＋2b＝2.4， ②16a＋4b＝3.2.
∴a＝－15，b＝85，∴y2＝－15x2＋85x.
(2)设购Ⅱ型设备投资 t 万元，购Ⅰ型设备投资(10－t)万元，共获补
贴 Q 万元．
∴y1＝25(10－t)＝4－25t，y2＝－15t2＋85t，
CF 的长度为三边长的一个三角形是△CFP (2)以 AD、
BE、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于34.
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（2019·荆州） 2019年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗
旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买
Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数
时，四边形PBQD是菱形． 答案：(1)提示：先证∠PDO＝∠QBO，再证△POD≌△QOB.
(2)PD＝(8－t)厘米．∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝90°.∵AD＝8
厘米，AB＝6 厘米,∴BD＝10 厘米,∴OD＝5 厘米．当四边形 PBQD 是菱形
时，PQ⊥BD，∴∠POD＝∠A.又∠ODP＝∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴OPDD＝
性质：弧长比等于半径比、面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ比等于半径比的平方……请你协助他们探
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1．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，
某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程s(米)与所用时间t(秒)之间的函 数图象分别为线段OA和折线OBCD.如图，下列说法正确的是( )
A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面 答案：D