等差数列前n项求和公式PPT课件
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4221等差数列的前n项和公式课件共45张PPT
知识点二 等差数列的前 n 项和公式 1．等差数列{an}的前 n 项和公式
已知量 首项 a1、末项 an 与项数 n
求和公式
na1＋an Sn＝___与项数 n
Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
2.两个公式的关系：把 an＝a1＋(n－1)d 代入 Sn＝na12＋an中，就可以得到 Sn ＝____n_a_1_＋__n__n_2－__1_d_______
1．已知 Sn 求 an 利用 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2， 可由数列的前 n 项和 Sn 求得数列的通项公式 an. 解题过程通常分为四步：第一步，令 n＝1 得 a1；第二步，令 n≥2 得 an；第三步， 在第二步求得的 an 的表达式中取 n＝1，判断其值是否等于 a1；第四步，写出数列 的通项公式(若第三步中 n＝1 时，an 的表达式的值不等于 a1，则数列的通项公式一 定要分段表示)．
解：(1)因为 Sn＝2n2－30n，所以当 n＝1 时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当 n＝1 时上式成立， 所以 an＝4n－32. (2)由 an＝4n－32，得 an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以 an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．
(3)方法一：设等差数列的首项为 a1，公差为 d， 则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，a1＋2d＝254. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 方法二：由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
等差数列前n项和的公式 PPT
(2)当m+n=p+q时， am+an=ap+aq
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出 这一结果，如何算的呢？
高斯， (1777— 1855） 德国 著名数学家。
我们先看下面的问题。
怎样才能快速 计算出一堆钢管有 多少根呢？
一 二
4+10=14 5+9=14
三 四
6+8=14 7+7=14
1( 2
？首项 + ？尾项 )
？项数
Sn
n(a1 an) 2
以下证明 {an}是等差数列，Sn是前n项和，则
Sn
n(a1 an) 2
证：
Sn= 即Sn=
aa1+n+aa2n-+1+a3an+-2+…+a+a1…ana+-n21+a++na-32++aan-21++aan11
把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
n(n-1)
2
×4 =54
整理得： n 2－6n－27=0
解得： n1=9, n2=－3（舍去）
答： 等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和 是54。
.
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？
多媒体教学课件
等差数列的前n项和ppt课件
工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
一、知识层面
二、能力层面
1、学生已经学习了 1、已经具备一定的观 等差数列的通项公式 察猜想，归纳类比能 及性质，具备了研究 力； 本节内容的知识基础； 2、已经具备了一定的 2、第一次正式接触 逻辑推理能力； 数列求和，缺乏学习 经验；
三、情感层面
1、学习兴趣较高， 但主动探索的难度 较大，需要教师合 适的启发和引导；
1.3 教学目标
工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
知识目标 能力目标 情感目标
掌握等差数列的前n项和公式； 会根据简单的等差数列条件求其前n项和； 能用公式解决简单的实际问题；
感受从特殊到一般再到特殊以及数形结合的研究及学习方法； 培养学生观察猜想归纳类比的数学思维能力； 提升学生在逻辑推理、数学建模等方面的核心素养；
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=5050.
4.3 新课探索
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那你能用他的方法求一下1+2+3+……+n等于多少吗？ 分类讨论
n为偶数，1 2 n (1 n) n ; 2
n为奇数，1 2 n (1 n 1) n 1 n n(n 1) ;
an )
na1
n(n 1) 2
d
例2
↓
堂 练 习 题
教学程序
知三求二（方
程思想）
例3
板书设计
教学效果
教学效果
6.1 教学反思及教学效果
等差数列前n项求和ppt
公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和，其中首项为 a1，公差为d，项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成，反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项， 公差d表示相邻两项的差，项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是第一项，d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值，再利用等差数列的通项公式， 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式，将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2，同样利用等差数列的通 项公式，推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时，等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价，以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中，等差数列求和公式可用于计算工资 总额，以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中，等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。
【课件】等差数列的前n项和公式+课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
解：由于 有正也有负，当 ≥ 0时，| | = ；
当 < 0时，| | = − .当 = 10 − 3 ≥ 0时， ≤
10
.
3
1 + 2 + ⋯ + ( ≤ 3)，
设数列{| |}的前项和为 ，则有 =
1 + 2 + 3 − 4 − 5 − ⋯ − ( ≥ 4)
所以 = 12.
(−1)
，得
2
例析
例7.已知一个等差数列{ }前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确
l
定这个等差数列的首项和公差吗？
解：由题意，知0 = 310，20 = 1220.
把它们代入公式 = 1 +
(−1)
，得
2
101 + 45 = 310，
解法一：由9 = 17 ，∴91 +
9×8
2
= 171 +
17×16
，
2
又1 = 25，∴ = −2.
∴ =
(−1)
1 +
2
= 25 − ( − 1) = −2 + 26 = −( − 13)2 +169，
故当 = 13时， 取得最大值，最大值为169.
∴+2 + =
(+1)
1 +
2
∴数列{ }是等差数列.
= 1 +
(−1)
，
2
(+1)
，
2
(−1)
+ 1 +
2
= 21 + = 2+1 .
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和课件ppt
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=
.
.
.
分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
答案 (1)81 (2)15
(3)-171
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
= 3,
则
3(-1)
Sn=20n+ 2
=
3 2 37
n
+
n.
2
2
令 Sn≤438,即 3n2+37n-876≤0 且 n∈N*,解得 n≤12.
所以最般思路
变式训练 3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟
438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是(
A.10
B.11 C.12 D.13
)
答案 C
解析 设第 n 实验室的建设费用为 an 万元,其中 n∈N*,
设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得
7 -2 = 5 = 15,
解得
3 + 6 = 21 + 7 = 61,
1 = 20,
+5n=70,
2
素养形成
利用Sn与an的关系式求通项公式
典例 已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn= 2+n-4.
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.
分析在等式2Sn= 2 +n-4中,令n取n-1,可得2Sn-1= 2 −1 +n-5.两式相减,利
和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方
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.
8
解：根据题意，从2001 ～ 2010年，该市每年 投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50万元，所以可以建立一个等差数列{an}，表 示从2001年起各年投入的资金，其中
a1=500， d=50．
那么，到2010年(n=10)，投入的资金总额为
s10=10×500+10×(10－1)×50/2=7250（万元）
a1=11,an=23
.
12
小结：Sn实质是一个关于a1 ，n， d或a1 ， an ， d的方程。因此对 于等差数列的相关量a1 ，n，d ， an， Sn，已知其中任意三个量， 根据通项公式与求和公式便可确
定其他量。
.
13
例3：已知数列｛an｝前n项的和 为 sn=n2+(1/2)n求这个数列的通 项公式。这个数列是等差数列吗
4
3
4
3
1 n2 1 (n 1)2 2
4
4
3
n 5
又n2=1时12a1
1 2
5 12
所以 an
.
47 n 1 12
n 5 n 1 2 12
17
思考：已知前n项和Sn如何求通项an？
⑴当n=1时a1=S1 ⑵当n>1时，an=Sn-Sn-1 ⑶如果当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值相 等，那么得到数列an 的通项公式为 an=Sn-Sn-1，
当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值不相等，
那么数列an 的通项公式要分段表示为
an=
S1 n=1 Sn-Sn-1 n>1
.
18
探究
解：由上题思路可得：
P+q+r (n=1) an= 2pn-p+q (n>1)
只有r=0时，数列{an}才是等差数列 首项为：a1=p+q,公差为：d=2p
如果数列{an}的前n项和是常数项为0， 且是关于n的一元二次关系式，那么数 列{an}是等差数列。
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程 的总投入是7250万元。
审题—抽象出数学模型—解答
.
9
例2： 已知一个等差数列｛an｝前 10项的和是310，前二十项的和是
1220。由这些条件能确定这个等差
数列的前n项和的公式吗？
.
10
解：由题意知:
s10=310， s20=1220 将它们代入公式Sn=na1+n(n-1)d/2，得到:
10a1+45d=310 20a1+190d=1220 解这个关于a1与d的方程组，得到： a1=4， d=6 所以Sn=4n+n(n-1)×6/2=3n2+n.
.
11
针对训练
1、等差数列｛an｝中 ⑴a1=20,an=54,sn=999求d及n
d=17/13,n=27
⑵d=1/3,n=37,sn=629 求a1及an
1 2 n1 n n n1 2 1 (n1)(n1) (n1)(n1)
.
4
公式的推导
Sna1a2 an1an Snanan1 a2a1
即 sn = a1 + (a1+d)+…… + [a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d] sn = an + (an-d)+…… + [an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]
？如果是，它的首项与公差分别
是什么？
.
14
解：根据sn=a1+a2+…+an-1+an
与 sn-1=a1+a2+…+an-1（n＞1） 可知，当n＞1时，
an=sn－sn-1 =n2+1/2n－〔（n－1)2+1/2（n－1）〕
=2n－1/2 当n=1时，
……①
a1=s1=12+1/2×1=3/2，
也满足①式。
所以数列｛an｝的通项公式为an=2n－1/2.
由此可知，数列｛an｝是一个首项为3/2，公差 为2的等差数列。
.
15
针对练习
已知数列an的前n项和
为 通Sn
1n2 4
2n3 3
，求这个数列的
项公式。
.
16
解：当n=1时，
S1
a1
47 12
当n>1时
an Sn Sn1
1 n2 2 n 3 [1 (n 1)2 2 (n 1) 3]
sn=604.5
.
7
典型例题
例1： 2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实 施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时 间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算 2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为 了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内， 该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
教学目标
探索并掌握等差数列 的前n项和公式，学会 用公式解决一些实际问 题.
.
1
重点、难点
等差数列前n项公式推导 思路的获得，及对公式的熟 练应用。
.
2
导入
1+2+3+……+100=？
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51） =101×50=5050
.
3
用下面方法计算1,2,3……n的前n项和
.
19
课堂小结
1、学习了等差数列前n项和的求 和方法及公式 2、知道了由Sn如何求an
an= S1
n=1
Sn-Sn-1 n>1
.
20
作业
课本习题2.3A、B组题
.
21
所以 2Snn(a1an)
.
5
公式
公式一：
Sn
n(a1 an) 2
把 ana1(n1)d代入上式可得
n(n1)d 公式二： Sn n1 a 2
.
6
练习：根据下列各题中的条件，求相应的等 差数列｛an｝的前n项和Sn。
⑴a1=－4，a8=－18，n=8
sn= －88
⑵a1=14.5，d=0.7，an=32