《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)
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等差数列的前n项求和公式ppt课件
7
解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项
和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4 设数列的前n项和为54，即Sn=54 根据等差数列的前n项求和公式
n n 1 d 2
S
n
n a1
代入Sn=54，a1=－10，d=4整理得，n2－6n－27=0
解得 n1=9, n2=－3(舍去) 因此，等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.
S
n
n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
等差数列的前n项求和公式
复习
1、等差数列的通项公式
若a1为首项，d为公差，则an=a1+(n-1)d n z
2、等差数列的性质
数列{a}中m+n=p+q，则am+an=ap+aq 当p=q时，m+n=2p，则am+an=2ap，称ap为等差中项
2
引入
问题：1＋2＋3＋……＋100＝？
解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项
和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4 设数列的前n项和为54，即Sn=54 根据等差数列的前n项求和公式
n n 1 d 2
S
n
n a1
代入Sn=54，a1=－10，d=4整理得，n2－6n－27=0
解得 n1=9, n2=－3(舍去) 因此，等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.
S
n
n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
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例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
等差数列的前n项求和公式
复习
1、等差数列的通项公式
若a1为首项，d为公差，则an=a1+(n-1)d n z
2、等差数列的性质
数列{a}中m+n=p+q，则am+an=ap+aq 当p=q时，m+n=2p，则am+an=2ap，称ap为等差中项
2
引入
问题：1＋2＋3＋……＋100＝？
1.2.2等差数列的前n项和 课件 (共15张PPT)
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
情景二 计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组： 中间的一 第一个数与最后一个数一组； 组数是什 首尾 么呢？ 第二个数与倒数第二个数一组； 配对 第三个数与倒数第三个数一组，…… 相加 法 每组数的和均相等，都等于101，50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
Sn 4n n(n 1) 6 3n 2 n 2
例3.等差数列－10，－6， －2，2，…前多少项和是54?
解：∵a1=-10,d=-6－(-10)=4 ∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54 解得n=9，n=-3(舍) ∴前9项的和是54
变式训练：求等差数列13，15，17，…81的各项和 1645
Sn a1 a2 a3 an
其中
a1 an a2 an1 a3 an2 an a1
Sn a1 a2 a3 an
Sn an an13 an2 a1
2Sn a 1 an a 1 an a 1 an a 1 an
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
借助几何图形之 直观性，把这个“全 等三角形”倒置，与 原图补成平行四边形。
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
2 1 21 20 19
3
获得算法：
(1 21) 21 s21 2
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
等差数列前n项和的性质ppt课件
解析： 方法一：设 an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e.
取 n＝1，则ab11＝TS11＝12，所以 b1＝2a1.所Βιβλιοθήκη 以Sn Tn＝
na1＋nn－ 2 1d nb1＋nn－ 2 1e
＝
a1＋n－2 1d b1＋n－2 1e
＝
a1＋n2d－d2 2a1＋n2e－2e
＝
3n2＋n 1，
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求 前110项之和．
由题目可获取以下主要信息： ①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列． 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9 ＝________.
解析： 由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9 ＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.
答案： 24
4．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求 S13. (2)等差数列{an}的公差 d＝12，且 S100＝145， 求 a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8. ∴S13＝13a12＋a13＝13×8＝104. (2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145， 又 d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4，
等差数列的前n项和全国获奖ppt课件
an )
an a1 (n 1)d
公式2
n(n 1) Sn na1 2 d
19
设计说明
一言而蔽之，数学教学应努力做到： 以简驭繁， 平实近人， 返朴归真， 循循善诱， 引人入胜。
20
公式应用
•选用公式 •变用公式 •知三求二
21
公式应用
选用公式
例１ 某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m） 是： 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 这位长跑运动员７天共跑了多少米？
2
一、教材分析
•教材地位、作用 •教学目标 •教学重点、难点
3
教材地位与作用
本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应 用。
在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到 一般的研究方法；2.等差数列的基本元表示 ；3.倒序相加求和。 不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项 和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。
nn整理课件一教材分析二教法分析三学法分析四教学过程五板书设计整理课件?教材地位作用?教学目标?教学重点难点整理课件教材地位与作用本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应在推导等差数列前n项和公式的过程中采用了
等差数列的前n项和 （第一课时）
1
一、教材分析 二、教法分析 三、学法分析 四、教学过程 五、板书设计
26
五、板书设计
课题
公式：
公式(1)
公式(2)
公式
推导 过程
例1、
例2、
例3、
27
谢谢！
28
从特殊到一般，旨在 让学生体验“倒序相 加求和”这一算法的 合理性，从心理上完
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列前N项和的公式PPT课件
有无简单的方法？
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.
5
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，使用熟悉的 几何方法：把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
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.
6
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(121)21 2
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.
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解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
根据等差数列前n项和公式： sn na1 有10n n (n1) 4 54成 立
2 整 理 后 ,得 n 2 6 n2 70
n(n 1)d 2
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
；
用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式， 这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差 数列前n项和的两个公式.
n
.
返回15
例1． 某长跑运动员7天里每天的训 练量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
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21
1
.
7
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
等差数列的前n项和全国讲课比赛一等奖PPT课件
思考：问1+2+3+4+…+n=?
第5页/共19页
一、情境导入
思考：问1+2+3+4+…+n=?
sn = 1 + 2 + … +(n-1)+ n sn = n +（n-1）+ … + 2 + 1
2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1） =n(n+1)
(n 1) n
Sn
2
Sn =？
4a1
4 (4 1)d 2
20
da1
2 2
an 2n
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三、探究深化
例4.在等差数列{an}中，满足a4=7,求S7.
解:
S7
7(a1 2
a7 )
a1 a7 2a4
7 2a4 2
7a4
49
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四、总结反思
1.本节课学到了哪些知识？ 2.你觉得本节课的难点是什么？ 3.高斯的故事对你有什么启发？
Sn=a1+a2+a3…+an-1+an
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二、学导结合 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*), 则 am +an =ap+aq 设等差数列{an}的前n项和为Sn， Sn=a1+a2+a3…+an-1+an .求Sn
Sn = a1 +a2 +a3 +…+an-2 + an-1 + an
第16页/共19页
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一、情境导入
思考：问1+2+3+4+…+n=?
sn = 1 + 2 + … +(n-1)+ n sn = n +（n-1）+ … + 2 + 1
2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1） =n(n+1)
(n 1) n
Sn
2
Sn =？
4a1
4 (4 1)d 2
20
da1
2 2
an 2n
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三、探究深化
例4.在等差数列{an}中，满足a4=7,求S7.
解:
S7
7(a1 2
a7 )
a1 a7 2a4
7 2a4 2
7a4
49
第15页/共19页
四、总结反思
1.本节课学到了哪些知识？ 2.你觉得本节课的难点是什么？ 3.高斯的故事对你有什么启发？
Sn=a1+a2+a3…+an-1+an
第6页/共19页
二、学导结合 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*), 则 am +an =ap+aq 设等差数列{an}的前n项和为Sn， Sn=a1+a2+a3…+an-1+an .求Sn
Sn = a1 +a2 +a3 +…+an-2 + an-1 + an
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等差数列前n项和课件
即Sn=a+n an-1+an-2+…+a3+ a2 +a1,
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).
an = Sn - Sn-1
= n2 + 1 n -[（n - 1）2 + 1（n - 1）]= 2n - 1 .
2
2
2
当n = 1时，
a1
=
S1
=
12
+
1×1 2
=
3 ，也满足上式. 2
所以数列an 的通项公式为an
=
2n
-
1. 2
由此可知，数列an
是一个首项为3 2
，公差为2的等差数列.
技巧方法：
下面来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
+ +++
+ + +加
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1 法
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等差数列前n项和公式
公式1 公式2
n(a1 an ) Sn 2
比较两个公式的异同:
n(n 1) S n na1 d 2
已知a1，an , n, 求Sn时，优先考虑公式 1
知三求一
已知a1， d, n,求Sn时，优先考虑公式 2
三、探究深化
例.1 求S
解:
2 4 6 8 2000
已知
a 1，a n 和 n
，可求Sn.
an a1 (n 1)d
已知a1,d,n,能否求Sn.
公式2:Sn=na1+法理解等差数列的前n项和公式2的推导
n(n 1) 公 式 2：Sn na1 d 2
S S S
n (n 1)d na1 2
倒序相加法 n ( a a ) 1 n 等差数列的求和公式： 公式 1 Sn 2
二、学导结合
几何法理解等差数列的前n项和公式
n(a1 an ) 公式 1 Sn 2
类比梯形面积公式: （上底 下底） 高 S 2
a1
n
an + a1
n(a1 an ) 公式 1 Sn 2
知三求一
方法一：
n(a1 an ) (2 2000 ) 1000 Sn 1001000 2 2
方法二：
n (n 1)d S n na1 1001000 2
三、探究深化
例2.已知等差数列{an}满足a2+ a5=14, a10=20， 求相应等差数列{an}的Sn.
高斯答： 1+2+3+4+…+97+98+99+100=
5050
一、情境导入
思考：问1+2+3+4+…+100=?
s100 = 1 + 2 + 3 +…+100
s100 = 100 + 99 + 98 +…+ 1
2 s100 =（1+ 100）+ （2+ 99） +…+（100+ 1） =100(1+100)=10100
解:
S1 2 S 4 20
a1 2 d 2
a1 2 4 (4 1)d 4a1 20 2
an 2n
三、探究深化
例4.在等差数列{an}中，满足a4=7,求S7.
解:
7( a1 a7 ) S7 2
a1 a7 2a4
2.3.1等差数列的前n项和
授课教师： 刘 伟 授课班级：高一（2）班 时间节次：2014.5.21.第2节.
一、情境导入
一、情境导入
宝石数量： 1+2+3+4+…+98+99+100=？
一、情境导入
5050
德国数学家 高斯 被誉为“世界数学王子”
一、情境导入
老师问：1+2+3+4+…+97+98+99+100=？
7 2 a4 7a4 49 2
四、总结反思
1.本节课学到了哪些知识？ 2.你觉得本节课的难点是什么？ 3.高斯的故事对你有什么启发？
板书设计
§3.3 等差数列前n项和
一、高斯算法 倒序相加法 三、探究深化
二、求和公式推导 1.公式1. 公式2.
四、总结反思
解:
a2 a5 14 a10 20
a1 2 d 2
2a1 5d 14 a1 9d 20
n(n 1)d S n na1 n2 n 2
三、探究深化
例3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn. 且S1=2， S4=20， 求数列{an}的通项an.
Sn
=？
Sn=a1+a2+a3…+an-1+an
二、学导结合
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*), 则 am +an =ap+aq
设等差数列{an}的前n项和为Sn， Sn=a1+a2+a3…+an-1+an .求Sn Sn = a1 +a2 +a3 +…+an-2 + an-1 + an Sn = an +an-1 +an-2 +… +a3 + a2 + a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
s100 =10100/2=5050
思考：问1+2+3+4+…+n=?
一、情境导入
思考：问1+2+3+4+…+n=?
sn = 1 + 2 + … +(n-1)+ n sn = n +（n-1）+ … + 2 + 1
2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1） =n(n+1)
(n 1) n Sn 2