数论问题答案
a 2, b 6, c 8 .
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Hale Waihona Puke 整除问题 答案版 【例 6】 55
20 个 5
5 a 99
20 个 9
9 （其中5 、9 各20个， a 表示一个数字）能被7 整除。那么， a 的值是多少？
【解】 ： 易知111111是7 的倍数，所以原数能被7 整除，即55a99 能被7 整除（弃数法），因此
” 。 当写到某个数 N 时，
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整除问题 答案版 所以 9 | 1 2 3
N 1 N N 1 ； 2
所以 9 | N 或 9 | N 1 。 若 9 | N ，所以 9 | N 10 ，所以 N 10 min 9 ， N min 90 ； 若 9 | N ，所以 9 | N 10 1 ，所以 N 10 min 8 ， N min 80 ； 综上所述， N min 80 。 【例 4】 已知 33 能整除六位数 716 AB2 ，求这个六位数。 【解】 ： 方法一：设该六位数为 716AB2 ，该数能同时被 3 和 11 整除，因此其各位数字和
n个32
321 能被 11 整除，满足条件的 n 最小是多少？
【解】 ： 因为 11| 3232
n个32
321 ；
所以 11| 1 3n 2n n 1 ； 所以 nmin 10 。
【例 3】 将自然数 1 ，2 ，3 ， „， 依次写下去形成一个多位数 “ 123456789101112 所形成的多位数恰好第一次能被 90 整除。请问： N 是多少？ 【解】 ： 因为这个多位数能被 90 整除， 90 9 10 ； 所以这个多位数能分别被 9 和 10 整除。 因为这个多位数能被 10 整除； 所以这个多位数的个位数字是 0 。 因为这个多位数能被 9 整除；
整除问题 答案版
第三讲
整除问题
【例 1】 牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞， 上面只剩下“ 67□8□ ” ，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都 是整数元。请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？ 【解】 ： 设这 45 名工人的总工资是 67 A8 B 元； 因为每名工人的工资都一样，并且都是整数元；所以 45 | 67 A8B ； 因为 45 5 9 ；所以 5 | 67 A8B 且 9 | 67 A8B ； 因为 5 | 67 A8B ，所以 5 | B ， B 0 或 5 ； 因为 9 | 67 A8B ，所以 9 | 6 7 A 8 B A B 21 ， 9 | A B 3 ； 当 B 0 时， 9 | A B 3 A 0 3 A 3 ， A 6 ； 当 B 5 时， 9 | A B 3 A 5 3 A 8 ， A 1 ； 这 45 名工人的总工资有可能是 67680 或 67185 元。 【例 2】 多位数 3232
，
3 91 8
a2 a3 36 28 8
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BA 32,65,98 ，这个六位数可以是 716232,716562,716892。
【例 5】 已知 23! 2585a01b738c849766de000 ，其中 a, b, c, d , e 表示五个互不相同的偶数数字，求
a, b, c, d , e 分别是多少?
【解】 ： 由已知 a, b, c, d , e 分别表示0,2,4,6,8．由于23!中有4 个5 相乘，所以 e 0 ．而且23!中至少有7个2 相乘，这样的话 66d 是8 的倍数，易得 d 4 。又因为23!是11 的倍数，其奇数位为 53 a ，其偶数 位为 30 b c ，它们的差为 23 a b c =11或22．而且 a, b, c 示2,6,8,经7的整除检验
7 1 6 2 A B 16 A B 能被 3 整除，其奇偶位差 7 6 B 1 2 A 10 B A 能被
11 整除，显然 10 B A 最大为 19，最小为 1，所以 10 B A 11，即 B A 1 ，由于 B A 1 是奇数，所以 B A 也应是奇数， B A 可以是 5,11,17，此时 A,B 分别是 2、3 或 5、6 或 8、9，这 个六位数可以是 716232,716562,716892 。 方法二：该六位数为 716 AB2 ，该数能同时被 33 整除，则 33| 71 6 A B2 133 BA ，则
7 | a99 55 a44 ，所以 a 6 。
【例 7】 各位数字均不大于 5 ，且能被 99 整除的六位数共有多少个？ 【解】 ： 设这个六位数为 abcdef ，且能被 99 整除，可以分开成三段， ab, cd , ef ，则 99 | ab cd ef ，由 于 ab, cd , ef 不超过 55 3 165 ，所以 ab cd ef 99 ． 个位上 b d f 5 3 15 ，所以 b d f 9, a c e 9 。 将 9 分成 3 个不大于 5 的数之和有 6 种分法：(5，4，0)；(5，3，1)；(5，2，2)；(4，4，1)； (4，3，2)；(3，3，3)． 如果 b, d , f 为(3，3，3)，只有 1 种排法；如果是(5，2，2)或(4，4，1)，各有 3 种排法； 如果是(5，4，0)、(5，3，1)或(4，3，2)，各有 6 种排法，所以 b 、d 、f 共有 1 3 2 6 3 25 种不同排法； 对于 a, c, e 来说，除了 a 不能为 0 外，其他与 b, d , f 一样，而(5，4，0)中 a 为 0 的情况有 2 种，所 以 a, c, e 满足条件的排法有 25 2 23 种．根据乘法原理，共有 25 23 575 个.
33| 20 A0B9C 33| 2 0 A 0B 9C 33| 92 A B C 31 2 所以 A B C 7 ，下面可以枚举排列，也可以直接运用带 0 插板法，得到 a2 C10 1 C9 36 同理 当 m 3 时， A B C 6 a C 31 C 2 28 ，
137 的倍数是四位数的有 65 个.
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整除问题 答案版 【例 9 】 一个七位数 m0 A0B9C 是 33 的倍数 , 我们计这样的七位数的个数为 am . 比如 a5 表示形如
50 A0B9C 且是 33 的倍数的七位数的个数。则 a2 a3
【解】 ： 整除中，被 33 整除可以将 33 拆分为 3 和 11，更好的办法是从右边开始两位分开做和.
【例 8】 有（ 【解】 ：
）个形如 abcdabcd 的数能被 18769 整除。
18769 | abcdabcd 18769 | abcd 10001 10001 73 137 ，尝试用 73 和 137 去除 18769，得到 18769 137 137 137 137 | abcd 73 137 137 | abcd 73 137 | abcd
数论期末试题及答案
数论期末试题及答案1. 选择题（每题5分，共20题）1）1+2+3+…+99+100的和是多少？A. 4950B. 5000C. 5050D. 5100答案：C. 50502）4的7次方是多少？A. 128B. 256C. 512D. 1024答案：B. 2563）100的倍数能被1和几整除？A. 9B. 10C. 11答案：B. 104）如果a和b都是偶数，那么a-b一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是5）若n是整数，则(3n+1)(3n+2)一定是3的倍数吗？A. 是B. 否答案：B. 否6）小明和小红共有7枚硬币，小明有4枚硬币，小红有几枚？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B. 37）2乘以一个整数，结果是130。
这个整数是多少？A. 60C. 70D. 75答案：B. 658）如果x是奇数，那么x(x+1)一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是9）a和b都是正整数，且满足a/b = 4/9，那么a与b的最大公约数是多少？A. 9B. 4C. 1D. 13答案：C. 110）如果m是正整数，那么m和2m/3的最小公倍数是多少？A. mB. 2mD. 4m答案：B. 2m11）已知1+2+3+...+n=55，那么n是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：C. 912）巧克力块状的，宽度是2 cm，厚度是6 mm，长度是10 mm。
这块巧克力的体积是多少立方厘米？A. 1.2B. 1.2×10⁻³C. 1.2×10⁻⁵D. 1.2×10⁻⁹答案：A. 1.213）a和b都是正整数，且满足1/a + 1/b = 1/12，那么a和b的值分别是多少？A. a=4, b=9B. a=3, b=8C. a=5, b=10D. a=6, b=7答案：A. a=4, b=914）若m是偶数，且n是奇数，那么m²+n²是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是15）如果将一个偶数的两倍再加上6，结果一定是偶数吗？A. 是B. 否答案：A. 是16）abcde ×4 = edcba，其中每个字母代表一个0-9的数字，找出a、b、c、d、e各代表的数字。
数论经典题目
选择题以下哪个数是素数（质数）？A. 15B. 17（正确答案）C. 20D. 22下列哪个等式描述了欧拉函数的性质？A. φ(n) 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（正确答案）B. φ(n) 是小于n的正整数的和C. φ(n) 是n的所有因数的和D. φ(n) 是n的平方根下列哪个数不是完全平方数？A. 36B. 49C. 55（正确答案）D. 81下列哪个定理与费马小定理相关？A. 如果p是一个素数，且a是一个整数，不是p的倍数，则a的p次方减1是p的倍数（正确答案）B. 如果a和b是整数，且a+b是偶数，则a和b都是偶数C. 如果a和b是整数，且ab是偶数，则a和b中至少有一个是偶数D. 如果a是一个整数，则a的平方是正的下列哪个数不是斐波那契数列中的一项？A. 8B. 13C. 21D. 25（正确答案）下列哪个等式描述了模运算的性质？A. (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n（正确答案）B. (a * b) mod n = (a mod n) * nC. (a - b) mod n = (a mod n) - nD. (ab) mod n = (a mod n)b下列哪个是求解同余方程的基本方法？A. 牛顿迭代法B. 中国剩余定理（正确答案）C. 欧拉算法D. 费马小定理下列哪个数是梅森素数？A. 11B. 23C. 31D. 89（正确答案，且是第一个梅森素数M_31）下列哪个等式不是数论中的基本定理？A. 威尔逊定理B. 拉格朗日定理（正确答案）C. 欧拉定理D. 中国剩余定理。
小升初专练-数论问题-数的整除特征通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-数的整除特征【知识点归纳】整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b 的倍数数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．【经典题型】例1：下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（ ）A、AAABAAB、ABABABC、ABBABBD、ABBABA 分析：这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除解：B=0，ABABAB能被2和5整除，A+A+A的和一定是3的倍数，ABABAB也一定能被3整除，故选：B．点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．【常考题型】例2：有一个四位数3AA1能被9整除，A是（）．分析：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．解：根据题意可得：四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意；当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意；所以，A代表7，这个四位数是3771．答：A是7，故答案为：7．点评：本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．一．选择题1．下面四个数都是六位数，N是比10小的自然数，S是0，一定能被3和5整除的数是（ ）A．NNNSNN B．NSNSNS C．NSSNSS D．NSSNSN2．某班有一个小图书馆，共有300多本，从1开始，图书按自然数的顺序编号，即1，2，3…，小光看了这图书馆里都被2，3和8整除的书号，共16本，这个图书馆里至少有（ ）本图书．A．381B．382C．383D．3843．四位数同时是2、3和5的倍数，第一个里最大能填（ ）A．9B．8C．7D．64．用0，3，4，5四个数字组成的所有四位数都能被（ ）整除．A．2B．3C．55．用1～8八个数字组成两个四位数，每个数字只用1次．已知两个四位数都是9的整数倍，则两个四位数的差的最大值为（ ）A．5286B．4184C．7531D．70656．下列各数中是11的倍数的是（ ）A．75087B．117208C．632599D．4563517．从1，2，3，4，5这五个数字中选取四个组成一个四位数，使它能同时被3、5、7整除，这个四位数是（ ）A．1235B．1245C．2415二．填空题8．有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位忘记了，但是这个六位数能被11和13整除，那么这个号码是 。
数论习题详细答案
1 证明：ai,a2 , an 都是m 的倍数。
存在n 个整数P i , P 2 , P n 使a i P i mi® P z m ?, , a n p .m .又q i ,q 2, , q n 是任意n 个整数q2i q ?a 2q .a n(P i q i q ?P 2q n P n )m即q i a iq 2a 2 q n a n 是m 的整数2 证： n(n i)(2 n i) n(n i)( n 2 n i)n(n i)(n 2) (n i)n(n i) 6/n(ni)( n 2),6/( n i)n(n i)证： a,b 不全为0Z ，由带余除法有 ax by (ax °by °)q r,0 r ax ° by 。
(x x o q)a (y y o q)b S ，由ax 0 by 0是S 中的最小整数知r 06/n(n i)(n2) (n i)n(n i) 从而可知6/n （ni)(2 n i)在整数集合Sax by | x, y Z 中存在正整数，因而有形如 ax by 的最小整数ax 0 by 0x, y ax o by 0/ax by 下证P 8第二题 ax oby o / ax by（x,y 为任意整数） ax o by o / a, ax o by o /bax o by o /(a, b). 又有(a,b)/a,(a,b)/b (a,b)/ax ° by o故ax o by o (a,b)证：作序列兄,b 普,则a 必在此序列的某两项之间232即存在一个整数q ， 使a q 1 Mt )成立212(i)当q 为偶数时，若b 0.则令 s-abs a q b ，则有220 a bs ta q 2b aq 2 |b 2 — bt4) 2若b 0则令sq,t a bsa -b ，则冋样有 t1222(ii)当q 为奇数时， 若b0则令sq 3 abs a q 1b ，则有22|b| 口 t abs aq 1b aq 21|b 0 t I —221 12若b 0，则令sq 1,ta bs aq 1 b22则同样有 t综上存在性得证下证唯一性 当b 为奇数时，设a bs tbs 1 t 1则t t 1b(S i s) bt ib矛盾故 s s,t t i当b 为偶数时,s,t 不唯一，举例如下：此时 32 b a bs 1t ibs 2 b 2 ( b),t 1bt 2 > t 2 t 2b t 2，t 1b I2—为整数 2b 2 5.证：令此和数为 从而证明S 不是整数S, 根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数,(1)令 S=1M=2k 1 3 5 7 p 这里k 是使2k大整数, p 是不大于n 的最大奇数。
初等数论期末试题及答案
初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。
解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。
解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。
证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。
我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。
对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。
所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。
而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。
数论练习题答案
1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数n p p p ,,21使n n n m p a m p a m p a ===,,,22211Λ又n q q q ,,,21 是任意n 个整数m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n)1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n从而可知)12)(1(/6++n n n3 证： b a , 不全为0∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而有形如by ax +的最小整数00by ax +Z y x ∈∀,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=rby ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+4 证：作序列 ,23,,2,0,2,,23,b b b b b b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使b q a b q 212+<≤成立)(i 当q 为偶数时，若.0>b 则令b qa bs a t q s 2,2-=-==，则有22220b t b qb q a b q a t bs a <∴<-=-==-≤若0<b 则令b qa bs a t q s 2,2+=-=-=，则同样有2b t < )(ii 当q 为奇数时，若0>b 则令b q a bs a t q s 21,21+-=-=+=，则有 2021212b t b q a b q a bs a t b ≤∴<+-=+-=-=≤-若 0<b ，则令b q a bs a t q s 21,21++=-=+-= 则同样有 2b t ≤综上 存在性得证 下证唯一性当b 为奇数时，设11t bs t bs a +=+=则b s s b t t >-=-)(11 而b t t t t b t b t ≤+≤-∴≤≤1112,2矛盾 故11,t t s s ==当b 为偶数时，t s ,不唯一，举例如下：此时2b为整数 2,2),2(2212311b t b t b b b b b ≤=-+⋅=+⋅=⋅ 2,2,222211bt b t t bs t bs a ≤-=+=+=5.证：令此和数为S ，根据此和数的结构特点，我们可构造一个整数M ，使MS 不是整数，从而证明S 不是整数（1） 令S=n14131211+++++，取M=p k 75321⋅⋅⋅-这里k 是使n k ≤2最大整数，p 是不大于n 的最大奇数。
数论测试题及答案
数论综合检测题说明：全卷满分300分，其中1、2各15分，3题20分，4—8各50分。
时间：约3小时1、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是2、已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为3、已知正整数n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n 的个数是__ _。
4、数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数．5、设n 年是正整数，若212122n ++是整数，求证：该数是完全平方数.6、试求所有的质数对()q p ,，使得).1(++q p q p pq7、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数， [1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．8、对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．数论检测题参考答案1、162、303、64、证明：⑴ a 1＝5，且a n 单调递增．所给式即 (2a n +1－7a n )2＝45a n 2－36⇒a n +12 －7a n +1a n +a n 2+9＝0． ①下标加1： a n +22 －7a n +2a n +1+a n +12 +9＝0． ②相减得： (a n +2－a n )(a n +2－7a n +1+a n )＝0．由a n 单调增，故a n +2－7a n +1+a n ＝0⇒a n +2＝7a n +1－a n ． ③因a 0、a 1为正整数，且a 1＞a 0，故a 2为正整数，由数学归纳法，可知，对任意n ∈N ，a n 为正整数．⑵ 由①：a n +12 +2a n +1a n +a n 2＝9(a n +1a n －1)⇒a n +1a n －1＝(a n +a n +13)2 ④ 由于a n 为正整数，故a n +1a n －1为正整数，从而(a n +a n +13)2为正整数．但a n 、a n +1均为正整数，于是a n +a n +13必为有理数，而有理数的平方为整数时，该有理数必为整数，从而a n +a n +13是整数．即a n +1a n －1是整数的平方，即为完全平方数．故证．5、证明：6、7、解：对于任意n (n 不是完全平方数)，存在k ，满足k 2＜n ＜(k +1)2，则1≤n －k 2≤2k ．此时n ＝k +{n }． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1{n }＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n +k n －k 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k +{n }n －k 2． 由于2k ＜2k +{n }＜2k +1．故2k n －k 2＜2k +{n }n －k 2＜2k +1n －k 2．从而在2k n －k 2与2k +1n －k 2之间没有整数．即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k +{n }n －k 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k n －k 2．若记n －k 2＝i (i ＝1，2，…，2k )，又240＝152+15． 于是，k ＝1∑240f (k )＝k ＝1∑14i ＝1∑2k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i +i ＝1∑15⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×15i ．由于k ＜i ≤2k 时⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝1故i ＝k +1∑2k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝k ．于是k ＝1∑240f (k )＝k ＝1∑15i ＝1∑k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i +k ＝1∑14k ＝(2+6+11+16+22+29+34+42+49+56+63+72+78+87+96)+105＝768．即所求值为768．8、解：⑴ 当n ≥4时，对集合M (m ，n )={m ，m +1，…，m+n －1}，当m 为奇数时，m ，m +1，m +2互质，当m 为偶数时，m +1，m +2，m +3互质．即M 的子集M 中存在3个两两互质的元素，故f (n )存在且f (n )≤n ． ①取集合T n ={t |2|t 或3|t ，t ≤n +1}，则T 为M (2，n )={2，3，…，n +1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f (n )≥card (T )+1．但card(T )=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f (n )≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1． ②由①与②得，f (4)=4，f (5)=5．5≤f (6)≤6，6≤f (7)≤7，7≤f (8)≤8，8≤f (9)≤9． 现计算f (6)，取M={m ，m +1，…，m +5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k ，k +2，k +4(k ≡0(mod 2))时，其中至多有1个被5。
6年级高频考点之4(数论篇)必会20题(答案)
1998 2 3 37 ， 转化为 1998 有多少个大于 10 的约数， 共有 (1+1)× (3+1) × (1+1)=16 个约数，其中 1，2，3，6，9 是比 10 小的约数，所以符合题目条 件的自然数共有 11 个．
3
பைடு நூலகம்
3、 【答案】 401 【分析】由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数． 所以这串数除以 5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3， 2， 0， 2， 2， 4， 1， 0， 1， 1， 2， 3， 0， …… 可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第 五个数是 5 的倍数． 由于 2009 5 4014 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数． 4、 【答案】 31 【分析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现． 而 72 23 32 2 6 6 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的 2 倍， 2 312 由于 2 31 31 1922 2008 2 32 32 2048 ， 所以 2 12 、 ……、 2 22 、 都满足题意，即所求的满足条件的数共有 31 个． 5、 【答案】找不到 【分析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为 A2 、 B 2 ，那么这两个完全平方 数的差为 54 A B A B ，由于 A B 和 A B 的奇偶性质相同，所以
22009 263345 26
334
25 除以 9 的余数为 25 除以 9 的余数，即为 5．
另一方面， 由于 20092009 100002009 108036 ， 所以 20092009 的位数不超过 8036 位， 那么它的各位数字之和不超过 9 8036 72324 ，即 A 72324 ；那么 A 的各位 数字之和 B 9 5 45 ， B 的各位数字之和 C 9 2 18 ， C 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14， C 的各位数字之和为 5，即 D 5 ．
初等数论试题及答案高一
初等数论试题及答案高一一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个数是质数？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A2. 一个数的因数包括它自己吗？A. 是B. 否答案：A3. 一个数的倍数包括它自己吗？A. 是B. 否答案：A4. 两个连续整数的乘积一定是合数吗？A. 是B. 否答案：B5. 一个数的最小倍数是多少？A. 它自己B. 2C. 1D. 0答案：A6. 一个数的最大因数是多少？A. 它自己B. 2C. 1D. 0答案：A7. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 28C. 496D. 8128答案：A8. 一个数的质因数分解中，质因数的个数至少有几个？A. 1B. 2C. 3D. 0答案：A9. 以下哪个数是素数？A. 1B. 2C. 9D. 10答案：B10. 一个数的因数个数是奇数还是偶数？A. 奇数B. 偶数答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的最小质因数是______。
答案：22. 一个数的最小非零因数是______。
答案：13. 一个数的最大因数是______。
答案：它自己4. 一个数的最小倍数是______。
答案：它自己5. 一个数的倍数个数是______。
答案：无限三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：对于任意的正整数n，2n总是偶数。
证明：假设n为任意正整数，那么2n = 2 * n。
因为2是偶数，所以2n也是偶数。
2. 证明：对于任意的正整数n，n^2 - 1是奇数。
证明：假设n为任意正整数，那么n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)。
因为n - 1和n + 1是连续的整数，所以它们中必有一个偶数和一个奇数。
因此，它们的乘积是奇数。
3. 找出100以内的所有质数。
答案：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 974. 证明：如果p是质数，那么p^2 - 1是合数。
初等数论试卷,最全面的答案,包括截图
初等数论试卷,最全⾯的答案,包括截图初等数论考试试卷⼀、单项选择题：（1分/题X 20题=20分）1 ?设x为实数，lx ]为x的整数部分，则（A ）A.[xl X ：：: lx ； E. [x I ::: x Ixl ? 1 ;C. lx I x lx A：；1 ;D. lx I ::: X ：：: Ix.l ? 1 .2.下列命题中不正确的是（B ）A.整数a i,a2,||（,a n的公因数中最⼤的称为最⼤公因数；C.整数a与它的绝对值有相同的倍数D.整数a与它的绝对值有相同的约数3 .设⼆元⼀次不定⽅程ax?by=c （其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有⼀整数解x o,y°,d⼆a,b，则此⽅程的⼀切解可表为（C ）a bA.x =x°t, y ⼆y°t,t =0, _1,_2」H;d da bB.x = X o t, y ⼆y o t,t = 0, —1, _2」H;d db ac. x =X o t, y =y°t,t =0, _1,_2,川；d db aD. x =x°t, y ⼆y o t,t =0, ⼀1,_2,|"；d d4. 下列各组数中不构成勾股数的是（D ）A. 5, 12, 13;B. 7, 24, 25;C.3, 4, 5;D. 8, 16, 175. 下列推导中不正确的是（D ）A.? 三b modm ,a2 三d modm = y a?三b b2modm ;B.Q= b mod m ,a2 = b2 modm = Qa? = bb 2mod m ;c. Q= b mod m = 时2 = ba 2modm ;2 2C. ⼀5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.a1= b1 modm = Q=b modm .6 .模10的⼀个简化剩余系是（D ）A. 0,1,2,川,9;B. 1,2,3川1,10;7. a三b modm的充分必要条件是(A )A. ma —b;B. a —b m;C.m a +b;D. a +b m.&设f x =x42x38x 9，同余式f x三0 mod5的所有解为(C )A. x =1 或-1;B. x =1 或4;C. x 三1 或-1 mod5 ;D.⽆解.9、设f(x)= a n X n JlUII a1x ? a°其中a i是奇数,若x = x0mod p 为f(x) = 0 mod p 的⼀个解, 则:(?)A. 了.三/.: mod p ⼚定为f (x)三0(mod p勺,1的⼀个解B. '三I mod p「，：：1,⼀定为f (x)三0 mod p ：的⼀个解D. 若x三x° mod p -为f (x)三0 mod p -的⼀个解，则有x ：三x° mod p10.设f (x)⼆a n x n|川|) ax a0,其中a i为奇数,a n丞Omodp,n p,则同余式f (x) =0 mod p 的解数：( )A.有时⼤于p但不⼤于n; B .不超过pC.等于p D .等于n11.若2为模p的平⽅剩余，则p只能为下列质数中的:( D )A. 3 B . 11 C . 13 D . 2312.若雅可⽐符号->1，则(C )Im⼃2A. 同余式x三a modm ⼀定有解,B. 当a,m =1时,同余式x2=a mod p有解；C. 当m = p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解；D. 当a⼆p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解.13.若同余式x2三a mod2‘，〉-3, 2, a =1有解,则解数等于(A )C. ⼀5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.18. 若x 对模m 的指数是ab , a >0, ab >0,则a 对模m 的指数是（B ）A. a B . b C . ab D.⽆法确定19. f a , g a 均为可乘函数，则（A ） A. f a g a 为可乘函数； B . f ag （a ）C. f a g a 为可乘函数； D . f a - g a 为可乘函数20. 设丄［a 为茂陛乌斯函数，则有（B ）不成⽴A ⼆ J 1 =1B .空-1 =1C .⼆■-2 = -1D .⼆=9 =0⼆. 填空题：（每⼩题1分，共10分）21.3在45!中的最⾼次n = ________ 21 ___ ; 22. 多元⼀次不定⽅程：a 1x 1 a 2x 2 ?⼁II a n x^ N ,其中a 1 , a 2，…，a n , N 均为整数，n _ 2 ,有整数解的充分必要条件是 _ （ a 1 , a 2 ,…，a n ,） I N_a23.有理数⼀，0cavb , （a,b ）=1，能表成纯循环⼩数的充分必要条件是_ （10, b ） =1__； b- _ 24. 设x 三冷 mod m 为⼀次同余式ax 三b modm , a = 0 mod m 的⼀个解，则它的所有解 A . 414. A . 15. A . B . 3 C 模12的所有可能的指数为：（ 1, 2, 4 B . 1, 2, 4, 6, 若模m 的原根存在，下列数中，2 B .3 C 16. 对于模5，下列式⼦成⽴的是.2 A )12 C . 1, 2, m不可能等于：( D . 12 B ) 3, D 4, 6,12 D ?⽆法确定 )A. in d 32 =2ind 3^=3 C. in d 35 =0ind 310 ⼆ ind 32 ind 35 17. A. 下列函数中不是可乘函数的是：茂陛鸟斯（mobius ）函数w（a ）; B. 欧拉函数■- a ；C. 不超过x 的质数的个数⼆x ；25. ____________________________ 威尔⽣（wilson ）定理： _______________ （P —1）! +1 三0（modp ）, p 为素数 _____________ ；26. 勒让德符号'^03 |= 1 ;訂013⼃27. 若a, p [=1，则a 是模p 的平⽅剩余的充分必要条件是 a 2三1 mod p （欧拉判别条件； 28.在模m 的简化剩余系中，原根的个数是 _讥営m __； 29.设。