数论问题答案

【例 8】 有（ 【解】 ：
）个形如 abcdabcd 的数能被 18769 整除。
18769 | abcdabcd 18769 | abcd 10001 10001 73 137 ，尝试用 73 和 137 去除 18769，得到 18769 137 137 137 137 | abcd 73 137 137 | abcd 73 137 | abcd
n个32
321 能被 11 整除，满足条件的 n 最小是多少？
【解】 ： 因为 11| 3232
n个32
321 ；
所以 11| 1 3n 2n n 1 ； 所以 nmin 10 。
【例 3】 将自然数 1 ，2 ，3 ， „， 依次写下去形成一个多位数 “ 123456789101112 所形成的多位数恰好第一次能被 90 整除。请问： N 是多少？ 【解】 ： 因为这个多位数能被 90 整除， 90 9 10 ； 所以这个多位数能分别被 9 和 10 整除。 因为这个多位数能被 10 整除； 所以这个多位数的个位数字是 0 。 因为这个多位数能被 9 整除；
BA 32,65,98 ，这个六位数可以是 716232,716562,716892。
【例 5】 已知 23! 2585a01b738c849766de000 ，其中 a, b, c, d , e 表示五个互不相同的偶数数字，求
a, b, c, d , e 分别是多少?
【解】 ： 由已知 a, b, c, d , e 分别表示0,2,4,6,8．由于23!中有4 个5 相乘，所以 e 0 ．而且23!中至少有7个2 相乘，这样的话 66d 是8 的倍数，易得 d 4 。又因为23!是11 的倍数，其奇数位为 53 a ，其偶数 位为 30 b c ，它们的差为 23 a b c =11或22．而且 a, b, c 示2,6,8,经7的整除检验
137 的倍数是四位数的有 65 个.
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整除问题 答案版 【例 9 】 一个七位数 m0 A0B9C 是 33 的倍数 , 我们计这样的七位数的个数为 am . 比如 a5 表示形如
50 A0B9C 且是 33 的倍数的七位数的个数。则 a2 a3

【解】 ： 整除中，被 33 整除可以将 33 拆分为 3 和 11，更好的办法是从右边开始两位分开做和.
” 。 当写到某个数 N 时，
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整除问题 答案版 所以 9 | 1 2 3
N 1 N N 1 ； 2
所以 9 | N 或 9 | N 1 。 若 9 | N ，所以 9 | N 10 ，所以 N 10 min 9 ， N min 90 ； 若 9 | N ，所以 9 | N 10 1 ，所以 N 10 min 8 ， N min 80 ； 综上所述， N min 80 。 【例 4】 已知 33 能整除六位数 716 AB2 ，求这个六位数。 【解】 ： 方法一：设该六位数为 716AB2 ，该数能同时被 3 和 11 整除，因此其各位数字和
7 | a99 55 a44 ，所以 a 6 。
【例 7】 各位数字均不大于 5 ，且能被 99 整除的六位数共有多少个？ 【解】 ： 设这个六位数为 abcdef ，且能被 99 整除，可以分开成三段， ab, cd , ef ，则 99 | ab cd ef ，由 于 ab, cd , ef 不超过 55 3 165 ，所以 ab cd ef 99 ． 个位上 b d f 5 3 15 ，所以 b d f 9, a c e 9 。 将 9 分成 3 个不大于 5 的数之和有 6 种分法：(5，4，0)；(5，3，1)；(5，2，2)；(4，4，1)； (4，3，2)；(3，3，3)． 如果 b, d , f 为(3，3，3)，只有 1 种排法；如果是(5，2，2)或(4，4，1)，各有 3 种排法； 如果是(5，4，0)、(5，3，1)或(4，3，2)，各有 6 种排法，所以 b 、d 、f 共有 1 3 2 6 3 25 种不同排法； 对于 a, c, e 来说，除了 a 不能为 0 外，其他与 b, d , f 一样，而(5，4，0)中 a 为 0 的情况有 2 种，所 以 a, c, e 满足条件的排法有 25 2 23 种．根据乘法原理，共有 25 23 575 个.
a 2, b 6, c 8 .
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整除问题 答案版 【例 6】 55
20 个 5
5 a 99
20 个 9
9 （其中5 、9 各20个， a 表示一个数字）能被7 整除。那么， a 的值是多少？
【解】 ： 易知111111是7 的倍数，所以原数能被7 整除，即55a99 能被7 整除（弃数法），因此
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第三讲
整除问题
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【例 1】 牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞， 上面只剩下“ 67□8□ ” ，其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都 是整数元。请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？ 【解】 ： 设这 45 名工人的总工资是 67 A8 B 元； 因为每名工人的工资都一样，并且都是整数元；所以 45 | 67 A8B ； 因为 45 5 9 ；所以 5 | 67 A8B 且 9 | 67 A8B ； 因为 5 | 67 A8B ，所以 5 | B ， B 0 或 5 ； 因为 9 | 67 A8B ，所以 9 | 6 7 A 8 B A B 21 ， 9 | A B 3 ； 当 B 0 时， 9 | A B 3 A 0 3 A 3 ， A 6 ； 当 B 5 时， 9 | A B 3 A 5 3 A 8 ， A 1 ； 这 45 名工人的总工资有可能是 67680 或 67185 元。 【例 2】 多位数 3232
，
3 91 8
a2 a3 36 28 8
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7 1 6 2 A B 16 A B 能被 3 整除，其奇偶位差 7 6 B 1 2 A 10 B A 能被
11 整除，显然 10 B A 最大为 19，最小为 1，所以 10 B A 11，即 B A 1 ，由于 B A 1 是奇数，所以 B A 也应是奇数， B A 可以是 5,11,17，此时 A,B 分别是 2、3 或 5、6 或 8、9，这 个六位数可以是 716232,716562,716892 。 方法二：该六位数为 716 AB2 ，该数能同时被 33 整除，则 33| 71 6 A B2 133 BA ，则
33| 20 A0B9C 33| 2 0 A 0B 9C 33| 92 A B C 31 2 所以 A B C 7 ，下面可以枚举排列，也可以直接运用带 0 插板法，得到 a2 C10 1 C9 36 同理 当 m 3 时， A B C 6 a C 31 C 2 28 ，