小学奥数数论专题知识总结
小学奥数有哪些知识点
小学奥数有哪些知识点小学奥数知识点概览一、数论基础1. 质数与合数：理解质数的定义和性质，识别合数的因数分解。
2. 素因数分解：将一个合数分解为质数的乘积。
3. 最大公约数和最小公倍数：计算两个或多个数的GCD和LCM。
4. 整数的奇偶性：理解奇数和偶数的性质及其在问题解决中的应用。
5. 整数的四则运算：掌握整数加减乘除的规则和技巧。
6. 同余定理：理解同余的概念及其在解决数论问题中的应用。
二、分数与小数1. 分数的基本概念：分数的意义、性质和分类。
2. 分数的四则运算：分数的加、减、乘、除运算规则。
3. 分数的化简与比较：化简分数和比较分数大小的方法。
4. 小数的基本概念：小数的意义和性质。
5. 小数的四则运算：小数的加、减、乘、除运算规则。
6. 分数与小数的互化：分数与小数之间的转换方法。
三、几何知识1. 平面图形的认识：点、线、面的基本性质。
2. 常见平面图形的性质：正方形、长方形、三角形等的性质和计算。
3. 面积和周长的计算：计算各种平面图形的面积和周长。
4. 立体图形的初步认识：立方体、长方体、圆柱、圆锥等的性质。
5. 空间想象能力：通过剖面图、视图等理解三维空间。
四、代数基础1. 变量与常数：理解变量和常数的概念。
2. 简易方程：一元一次方程的建立和解法。
3. 代数表达式的简化：合并同类项、分配律等代数运算。
4. 不等式的概念：理解不等式的意义和基本性质。
5. 简单不等式的解法：解一元一次不等式。
五、逻辑推理1. 合情推理：通过已知信息推断未知信息。
2. 演绎推理：从一般到特殊的逻辑推理过程。
3. 归纳推理：从特殊到一般的推理方法。
4. 逻辑应用题：解决需要逻辑推理的实际问题。
六、组合数学1. 排列与组合：理解排列和组合的概念及其区别。
2. 简单排列组合问题：解决基础的排列组合问题。
3. 二项式定理：理解二项式定理并能够进行简单应用。
4. 容斥原理：解决涉及集合容斥问题的方法。
七、数列与级数1. 等差数列：理解等差数列的定义和性质。
奥数数论知识点总结
奥数数论知识点总结整数的性质整数是自然数、0和负自然数的集合。
整数有许多独特的性质，例如：1. 整数的奇偶性：整数可以划分成奇数和偶数两类。
奇数的特点是能被2整除余1，偶数则能被2整除。
2. 整数的因数和倍数：整数m是整数n的因数，指的是m能够整除n；整数m是整数n的倍数，指的是n是m的整数倍数。
3. 整数的约数：整数的约数是整除该数的正整数。
除法除法是整数学中的一个基本运算，包括整数的除法、最大公约数和最小公倍数等内容。
1. 整数的除法：整数的除法可以分为带余除法和整除两种情况。
带余除法指的是a = bq + r，其中a和b是整数，q和r分别是商和余数。
整除指的是余数等于0的情况。
2. 最大公约数：两个整数a和b的最大公约数是能同时整除它们的最大的正整数。
3. 最小公倍数：两个整数a和b的最小公倍数是它们的公共倍数中最小的一个。
模运算模运算是数论中的一个重要概念，它有许多重要性质和应用。
1. 同余：整数a和b模m同余，记作a ≡ b (mod m)，指的是m能整除a-b。
同余关系具有传递性、对称性和反对称性。
2. 模幂运算：模幂运算是指对一个整数进行多次模运算。
例如，求a^b mod m，即求a的b次幂对m取余的结果。
3. 线性同余方程：线性同余方程指的是形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m是已知的整数，x是未知的整数。
初等数论初等数论是数论的一部分，研究整数的基本性质和定理。
1. 质数：质数是指只有1和自身两个因数的正整数，例如2、3、5、7等。
任意合数都可以唯一地分解成若干个质数的乘积。
2. 费马小定理：费马小定理指的是如果p是一个质数，a是一个整数且a不是p的倍数，那么a^{p-1} ≡ 1 (mod p)。
3. 欧拉函数：欧拉函数是指小于n且与n互质的正整数的个数，记作φ(n)。
对于质数p，φ(p)=p-1；对于两个互质的整数m和n，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
综上所述，奥数数论是数学竞赛中的一个重要内容，它涉及整数的性质、除法、模运算和初等数论等知识点。
202X年小学奥数知识点梳理数论
千里之行，始于足下。
202X年小学奥数知识点梳理数论202X年小学奥数知识点梳理数论数论是数学中的一个重要分支，研究整数的性质与关系。
在小学奥数竞赛中，数论常常是一个重要的考点。
下面是202X年小学奥数的数论知识点梳理。
1. 基本概念- 整数：正整数、负整数和零的总称。
- 偶数与奇数：能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。
- 素数与合数：除了1和自身外，没有其他因数的整数称为素数，否则称为合数。
- 因数与倍数：如果a能够整除b，那么称a是b的因数，b是a的倍数。
2. 最大公约数与最小公倍数- 最大公约数（GCD）：两个数公有的最大因数称为最大公约数。
- 最小公倍数（LCM）：两个数公有的最小倍数称为最小公倍数。
3. 质因数分解- 质因数：一个整数如果除了1和它本身外没有其他因数，那么它是一个质数，否则它是合数。
将一个合数分解成质因数的乘积的形式，称为质因数分解。
- 质因数分解算法：从最小的质数2开始，依次判断是否为这个数的因数，如果是，则除以这个数，继续判断剩下的数是否能被这个质数整除，直到无法整除为止。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
4. 奇数数列与偶数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为奇数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为偶数数列5. 数组与数列- 数组是有序数的集合。
- 数列是数按一定顺序排列起来的表现形式。
6. 公式与规律- 两个偶数的和是偶数，两个奇数的和是偶数，一个偶数和一个奇数的和是奇数。
- 奇数个奇数的积是奇数，偶数个奇数的积是偶数。
- 一组数的和与这组数里所有的数的奇偶性有关。
- 奇数个奇数的和与这组奇数的个数的奇偶性有关，偶数个奇数的和与所有奇数的奇偶性有关。
- 相邻两个数之间的差是固定的。
7. 排列组合- 排列：从n个不同元素中取r个元素（r≤n）按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取r个元素的一个排列。
小学奥数数论位值原理知识点
小学奥数数论位值原理知识点【篇一】1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个"位置值"。
例如"2",写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f.3.解位值一共有三*宝：(1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式(2)利用十进制的展开形式，列等式解答(3)把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答4、位置原理重难点：(1)最简单的应用解数字谜的方法列竖式(2)利用十进制的展开形式，列等式解答(3)把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答【篇二】位置原理例题：例1.a、b、c是1——9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)的多少倍?解答：组成六个数之和为:10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b=22a+22b+22c=22(a+b+c)很显然，是22倍例2.一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍于25之差，求这个数。
解答：设它百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c则100a+10b+c=4(10b+c)化简得5(20a-6b+5)=3c因为c为正整数,所以20a-6b+5是3的倍数又因为0≤c≤9所以0≤3c/5≤5.4所以0≤20a-6b+5=3c/5≤5.4所以3c/5=3即c=5所以20-6b+5=3化简得3b-1=10a按照同样的分析方法,3b-1是10的倍数,解得b=7最后再算出10a=3*7-1=20则a=2所以答案为275。
【篇三】练习题1.有一类三位数,它的各个数位上的数字之和是12,各个数位上的数字之积是30,所有这样的三位数的和是多少2.一个两位数,各位数字的和的5倍比原数大4,求这个两位数.3.一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和,求这个三位数.4.将一个三位数的数字重新排列,在所得到的三位数中,用最大的减去最小的,正好等于原来的三位数,求原来的三位数.5.在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码,这个两位数就变成了三位数,有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数,恰好是原来两位数的9倍.求出所有这样的三位数.6.将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数),新数比原数大8802.求原来的四位数.7.将四位数的数字顺序重新排列后,可以得到一些新的四位数.现有一个四位数码互不相同,且没有0的四位数M,它比新数中最大的小3834,比新数中最小的大4338.求这个四位数.。
奥数数论基础知识
奥数数论基础知识一质数与合数(1)一个数除了1与它本身,不再有别得约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1与它本身,还有别得约数,这个数叫做合数。
(2)自然数除0与1外,按约数得个数分为质数与合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘得形式。
要特别记住:0与1不就是质数,也不就是合数。
(3)最小得质数就是2 ,2就是唯一得偶质数,其她质数都为奇数;最小得合数就是4。
(4)质数就是一个数,就是含有两个约数得自然数。
互质数就是指两个数,就是公约数只有一得两个数,组成互质数得两个数可能就是两个质数(３与５),可能就是一个质数与一个合数(３与４),可能就是两个合数(４与９)或1与另一个自然数。
(５)如果一个质数就是某个数得约数,那么就说这个质数就是这个数得质因数。
把一个合数用质因数相乘得形式表示出来,叫做分解质因数。
(６)１００以内得质数有２５个:２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７.二整除性(１)概念一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得得商c正好就是整数而没有余数(或者说余数就是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。
记作b｜a、否则,称为a不能被b 整除,(或b不能整除a),记作b a。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b得倍数,b就叫做a得约数。
(２)性质性质1:(整除得加减性)如果a、b都能被c整除,那么它们得与与差也能被c整除。
即:如果c｜a,c｜b,那么c｜(a±b)。
例如:如果2｜10,2｜6,那么2｜(10＋6),并且2｜(10—6)。
也就就是说,被除数加上或减去一些除数得倍数不影响除数对它得整除性。
性质2:如果b与c得积能整除a,那么b与c 都能整除a、即:如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。
性质3:(整除得互质可积性)如果b、c都能整除a,且b与c互质,那么b与c得积能整除a。
奥数中的数论
奥数中的数论【引言】数论是数学的一个分支，研究整数及其性质。
作为奥林匹克数学中的一大板块，数论蕴含了深厚的数学思想和技巧，并对计算机科学、密码学等领域产生着深远影响。
【数论基础】1.数的性质自然数、整数、有理数、实数和复数的定义及性质，如奇数和偶数。
2.数的因子正整数a、b，如果存在正整数c使得 a=b×c ，则c是a的因子，a是b 的倍数。
3.最大公约数和最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个数所共有的最大因子，最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个数所共有的最小公倍数。
【数论应用】4.质数质数（Prime Number）是指大于1且只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7等。
质数具有许多神秘和有趣的性质，如证明素数个数无穷大等。
5.同余在模意义下，如果两个整数的差能够被模数整除，那么它们就称为同余，写作a≡b(mod n)。
同余关系具有许多应用，如求解方程、判断整除性等。
6.欧拉函数欧拉函数（E uler’s Totient Function）是指小于n的正整数中与n互质的数的个数。
欧拉函数具有许多重要的性质，如费马小定理、欧拉定理、RSA加密算法等都与欧拉函数有关。
7.数位问题数位问题是指对于一个正整数，它的各个数位数字之间的关系所构成的数学问题。
数位问题包括数字和问题、数字反转问题等。
8.扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是求解两个数的最大公约数和一组解的线性同余方程ax≡b(mod n)的方法之一。
该算法具有广泛的应用，在密码学、编码理论等领域中被广泛使用。
【结语】数论作为数学的一个重要分支，在奥数竞赛中占据非常重要的地位。
掌握数论基础知识，积累数学经验，可以帮助我们提高思维能力，激发数学兴趣，成为数学高手。
小学奥数数论知识点
小学奥数数论知识点一、数的认识1. 自然数：用于计数和排序的数，包括0和正整数。
2. 奇数与偶数：奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数。
3. 质数与合数：质数是只有1和本身两个因数的大于1的自然数，合数是除了1和本身外还有其他因数的自然数。
4. 因数与倍数：如果整数a能被整数b整除，a是b的倍数，b是a的因数。
二、数的运算1. 加法与减法：加法是将两个或多个数合并成一个数的运算，减法是从一个数中去掉另一个数的运算。
2. 乘法与除法：乘法是重复加法的简化，除法是将一个数分成几个相等部分的运算。
3. 余数：在除法中，被除数除以除数后剩下的数称为余数。
三、数的性质1. 唯一分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为质数的乘积。
2. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个或多个整数共有的最大的因数，最小公倍数是这些整数的最小公共倍数。
3. 奇偶性：奇数加奇数得偶数，偶数加偶数得偶数，奇数加偶数得奇数。
四、数的应用1. 约数倍数问题：涉及找出一个数的约数或倍数的问题。
2. 质数问题：涉及质数的分布、判断和性质的问题。
3. 分数的拆分与比较：涉及将分数拆分为不同单位的和，以及比较分数大小的问题。
五、解题技巧1. 枚举法：通过列举所有可能的情况来找到答案。
2. 反证法：假设某个结论是错误的，通过推理得出矛盾，从而证明原结论是正确的。
3. 归纳法：通过观察一系列特殊情况，找出一般规律。
六、例题解析1. 例题一：找出20以内的所有质数。
- 解析：20以内的质数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。
2. 例题二：求36和54的最大公约数。
- 解析：通过辗转相除法，可以求得36和54的最大公约数是18。
七、总结数论是数学的基础分支之一，对于培养逻辑思维和解决问题的能力具有重要作用。
小学奥数数论涉及的知识点广泛，包括数的认识、数的运算、数的性质、数的应用以及解题技巧等。
掌握这些知识点，对于提高学生的数学素养和解决复杂问题的能力至关重要。
小学奥数数论专题知识总结
小学奥数数论专题知识总结小学数学中，数论问题通常起源于除法算式：被除数÷除数＝商……余数。
这里我们将数论基础知识进行总结，包括能整除和不能整除两个方面。
能整除的问题包括整除、因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数、公因数与公倍数、分解质因数等。
不能整除的问题则包括余数、余数的性质与计算、同余问题和物不知数问题。
先来看因数与倍数。
因数与倍数是相互依存的关系，缺一不可。
如果一个整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。
一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
另外，一个数的因数中，最小的是1，第二小的是质数；最大的是它本身，第二大的是原数÷第二小的因数。
完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。
完全平方数的质因数出现次数都是偶数次。
在1000以内，完全平方数的个数是31个，在2000以内是44个，在3000以内是54个。
数的整除（数的倍数）也是因数与倍数的一种。
一般地，三个整数a、b、c，且b≠，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。
如果一个整数a，除以一个整数b（b≠），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
（a≥b）整除还有一些性质，例如如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除；如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除；如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除；如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
最后，我们介绍一些常见数的整除特征，包括末位判别法和截断求和法。
例如，2、5的倍数特征是末位上的数字是2、5的倍数；4、25的倍数特征是末两位上的数字是4、25的倍数；8、125的倍数特征是末三位上的数字是8、125的倍数。
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数论基础知识小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等；2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。
一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。
注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。
（a、b是因数，c是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。
②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个。
（312=961，442=1936，542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：①末位判别法2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。
4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。
8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。
②截断求和法（从右开始截）9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和③截断求差法（从右开始截）11的倍数特征：一位截断求差101的倍数特征：两位截断求差1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差④公倍数法6的倍数特征：2和3的公倍数。
先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。
12的倍数特征：4和3的公倍数。
先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数。
3、奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）（1）定义：奇数：不是2的倍数的数。
在自然数中，最小的奇数是1。
偶数：是2的倍数的数。
在自然数中，最小的偶数是0。
（2）数的奇偶性质：①奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。
②奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；③两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；④若 a、b 为整数，则 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性；⑤n 个奇数的乘积是奇数，n 个偶数的乘积是 2n的倍数；算式中有一个是偶数，则乘积必是偶数。
⑥连续的奇数或偶数差为2。
如，与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。
⑦奇偶分析：奇＋奇＝偶奇－奇＝偶奇×奇＝奇奇＋偶＝奇偶－偶＝偶奇×偶＝偶偶＋偶＝偶奇－偶＝奇偶×偶＝偶4、质数与合数（非0自然数按因数个数分类）（1）定义：质数：只有1和它本身两个因数的数。
（因数个数：2个）合数：除了1和它本身还有其它因数的数。
（因数个数：3个或3个以上）（2）常见质数特征：1既不是质数，也不是合数（1只有1个因数）；2是最小的质数；4是最小的合数；2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2外，其它质数都是奇数）。
（3）100以内质数表（25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（4）分解质因数①唯一分解定理：任何一个大于1的自然数N,如果N不是质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。
②质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
③分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。
如：28＝2×2×7＝2²×7④通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
⑤要求出乘积中末尾0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数，不用考虑其它质因数。
（5）互质数：公因数只有1的两个数为互质数。
常见的互质数：①相邻自然数：8和9②相邻奇数：21和23③2与任意奇数：2和15④不同的两个质数：11和 17⑤1与任意非零自然数：1和4⑥当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3和14⑦公因数只有1的两个合数：6和25⑧如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、75、最大公因数与最小公倍数（1）定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a，b)表示。
最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用[a，b]表示。
（2）最大公因数的性质：①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。
②几个数的最大公因数都是这几个数的因数。
③几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。
④几个数都乘一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。
（3）最小公倍数的性质：①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
②两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
即(a，b)×[a，b]＝a×b（4）求最大公因数的方法：①列举法②短除法③分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
④辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。
（5）求最小公倍数基本方法：①列举法②短除法③分解质因数法（6）分类求最大公因数和最小公倍数：①倍数关系：a是b的倍数，(a，b)＝b，[a，b]＝a②互质关系：a与b互质，(a，b)＝1，[a，b]＝a×b③一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。
(a，b)＝左侧除数连乘积，[a，b]＝除数和商连乘积6、分解质因数的运用：（1）求一个数因数的个数①列举法：2个一组列举②分解质因数法：①分解质因数②所有不同质数出现次数+1连乘积（指数加1再相乘）如：360＝2³×3²×5，360的因数个数：(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24（个）（2）求一个数的所有因数的和步骤：①分解质因数②所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。
如：180＝2²×3²×5，180的所有因数之和：(20＋21＋22)×(30＋31＋32)(50＋51)＝7×13×6＝546二、余数性质与同余问题1、余数的性质(1)余数小于除数。
(2)若a、b除以c的余数相同，则(a-b)或(b-a)可以被c整除。
(3)a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。
（和的余数＝余数的和）(4)a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。
（差的余数＝余数的差）(5)a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
（积的余数＝余数的积）2、余数的计算（求余数）(1)末位判断法：2，5，4，25，8，125(2)数字求和法：3，9各个数位上数字之和除以3或9的余数＝某数除以3或9的余数。
如：234569。
2+3+4+5+6+9＝29，因为29÷9＝3…2，所以234569÷9＝？…2，即234569≡29(mod 9)(3)截断求和法：99，999及其因数99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以99余数，即原数除以99的余数。
999（3、9、27、37、111、333）：三位截断求和，得到的和除以999余数，即原数除以999的余数。
如：12345。
345+12=357,357＜999，所以12345÷999余357。
(4)截断求差法：从右开始截断，奇段和－偶段和。
11，101，1001及其因数7、11、13、77、91、143。
①11：一位截断作差。
从右开始，1位截断，(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)÷11的余数,即为原数÷11的余数；如不够减，求出的负数+11。
如：234569。
奇数位数字之和3+5+9＝17，偶数位数字之和2+4+6＝12，17-12＝5，所以234569÷11余5，即234569≡5(mod 11)如：98，（奇数位8＜偶数位9）8-9＝-1，-1+11=10，则98÷11＝8……10，即98≡10(mod 11)②101：两位截断作差。
从右开始，2位截断，(奇位和)-(偶位和)÷101的余数,即为原数÷101的余数；如不够减，求出的负数+101。
③1001（7、11、13、77、91、143）：三位截断作差。
从右开始，3位截断，(奇位和)-(偶位和)÷1001的余数,即为原数÷1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。
3、费马小定理如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则a p-1≡1(mod p)。
即：假如a是自然数，p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
如：a是自然数2，p是质数5，2和5互质，2（5-1）÷5余1。
a是自然数10，p是质数3，10和3互质，10（3-1）÷3余1。
4、同余问题（求除数）同余的定义：(1)若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
(2)已知三个整数a、b、m，如果m能被(a-b)整除，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数）在一千多年前的《孙子算经》中有著名算题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。