结构力学含剪力静定杆刚架的位移法(精)
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结构力学 位移法
6i
12i
3i
l
l2
l
6i
θ=1
3i
1
0 0
3i
l
3i
l2
A
θ=1
i
B i
i
－i
0
10
§7-2 等截面直杆的刚度方程
四、说明：
⑴杆件的线刚度应为杆件的抗弯刚度EI除以杆件长度l。 ⑵转角位移方程中杆端位移若为负应以负值代入以获得杆端弯矩。 ⑶固端弯矩表在应用时，应随实际杆件所受荷载，其固端弯矩作相应变化。
B
ql2/16
EI l
q
A
EI=C
l
l
A
EI l
B EI
C l 3ql2/32
中点
5
§7-2 等截面直杆的刚度方程
一、两端固定杆件的转角位移方程 ⑴杆端位移和杆端弯矩的正负规定 MAB P
①角位移θA、θB顺时针为正。
②Δ=vB-vA A、B两点的相对侧移，使杆件 产生顺时针方向旋转角βAB=Δ/l 的Δ为正。 ③杆端弯矩规定顺时针为正。 ⑵两端固定杆件的转角位移方程 M1AB
1
A
原结构有两个基本未知量 B
1
14
§7-2 等截面直杆的刚度方程
⑷位移法基本结构的构成。 位移法的附加约束法构造基本结构时，在刚结点角位移处加入附加刚臂， 在结点独立线位移处沿线位移方向加入附加链杆。 Δ1 基本结构 Δ3 Δ2 Δ4 Δ5 Δ6
B
Δ2
Δ1 C
基本结构 A
B
Δ3 C
Δ4
A
3
§7-1 位移法基本概念
三、位移法的基本思路（补充说明） 一给定结构在外因作用下，分析其内力和变形（位移）所采用途径有二：
结构力学(I)结构静力分析篇(位移法)@@
l
EI
正对称
q q q
h
反对称
q
哈工大 土木工程学院
29 / 65
q
q
q
对称结构在对称荷载作 用下内力、反力和变形皆对 称，故取半结构计算。由半 结构特点采用位移法较好。
哈工大 土木工程学院
30 / 65
q
q
q
对称结构在反对称荷载 作用下内力、反力和变形皆 反对称，故取半结构计算。 而此半结构仍具有对称结构 特点。继续分解。
A 2EI
l
B
EI c
l
C
原始结构
C
A
Z1
B c
基本结构 基本体系
k R 0 1Z 11 1 C
哈工大 土木工程学院
基本方程
33 / 65
4i
Z1 1
3i
8i
k 11
3i
8i
12 i l 12 i l
M1
1 2 i l
k i 1111
R 1C
3i l
c
3i l
MC
9i R1C c l
哈工大 土木工程学院
15 / 65
3i
Z1 1
k 11
4i
3i
1 Z1 FPl 56i
2i
1 FPl 8 1 FPl 8
M1
4i k i 117
R1P
1 FPl 8
M Z M M 1 1 P
3 FPl 56 8 FPl 56 9 FPl 56
FP
MP
1 R 1P F Pl 8
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21 / 65
Z1 1
EI
正对称
q q q
h
反对称
q
哈工大 土木工程学院
29 / 65
q
q
q
对称结构在对称荷载作 用下内力、反力和变形皆对 称，故取半结构计算。由半 结构特点采用位移法较好。
哈工大 土木工程学院
30 / 65
q
q
q
对称结构在反对称荷载 作用下内力、反力和变形皆 反对称，故取半结构计算。 而此半结构仍具有对称结构 特点。继续分解。
A 2EI
l
B
EI c
l
C
原始结构
C
A
Z1
B c
基本结构 基本体系
k R 0 1Z 11 1 C
哈工大 土木工程学院
基本方程
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4i
Z1 1
3i
8i
k 11
3i
8i
12 i l 12 i l
M1
1 2 i l
k i 1111
R 1C
3i l
c
3i l
MC
9i R1C c l
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3i
Z1 1
k 11
4i
3i
1 Z1 FPl 56i
2i
1 FPl 8 1 FPl 8
M1
4i k i 117
R1P
1 FPl 8
M Z M M 1 1 P
3 FPl 56 8 FPl 56 9 FPl 56
FP
MP
1 R 1P F Pl 8
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Z1 1
结构力学课后答案第7章位移法
(d)
解：（1）确定基本未知量
两个位移未知量，各种M图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
代入，解得
（4）求最终弯矩图
(e)
解：（1）确定基本未知量
两个角位移未知量，各种M图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
代入，解得
（4）求最终弯矩图
7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？
(a)
解：（1）利用对称性得：
（2）由图可知：
可得：
（3）求最终弯矩图
(b)
解：（1）利用对称性，可得：
（2）由图可知，各系数分别为：
解得：
（3）求最终弯矩图如下
(c)
解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。
D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则 ，得 个单位。
习题
7-1试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。
(a)(b) (c)
1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移
位移3个角位移，2个线位移
(g)(h)(i)
一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移
7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
7-8试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。
(a)
解：（1）画出 图
由图可得：
由图可知：
（2）列方程及解方程组
解：（1）确定基本未知量
两个位移未知量，各种M图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
代入，解得
（4）求最终弯矩图
(e)
解：（1）确定基本未知量
两个角位移未知量，各种M图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
代入，解得
（4）求最终弯矩图
7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？
(a)
解：（1）利用对称性得：
（2）由图可知：
可得：
（3）求最终弯矩图
(b)
解：（1）利用对称性，可得：
（2）由图可知，各系数分别为：
解得：
（3）求最终弯矩图如下
(c)
解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。
D点向上作用1个单位，设B向上移动x个单位，则 ，得 个单位。
习题
7-1试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。
(a)(b) (c)
1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移
位移3个角位移，2个线位移
(g)(h)(i)
一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移
7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
7-8试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。
(a)
解：（1）画出 图
由图可得：
由图可知：
（2）列方程及解方程组
结构力学 位移法典型方程、计算举例
r11 B r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
r21 B r22 CH R2
满足此方程，就消去了施加的2个约束
即，
r11 B r12 CH R1P 0 r21 B r22 CH R2 P 0
4）弯矩图的作法----消去最先附加的刚臂 P R1P R2P + MP图 R2
r
j 1
n
ij
Zj
，为消去该处的约束力，令： R iP
r
j 1
n
ij
Z j =0 即可。写成方程组的形式为：
r11 Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
R1P
R2P
+ +
r11 R A
1
r21R 2A
MP图 +
r12 B
r22 B
或
P
qL2/12
PL/8
4i
2i
q
R1P
R2P
+ A•
r11 8i r21 2i
2i
M 1图
MP图
4i
+
B•
4i r22 11i 2i r12 2i 3i 2i
M 2图
M M P M 1 A M 2 B
叠加右侧2个图，意味着结点B转动 及结点C侧移都发生。
叠加后B处的转角和C处的位移
分别为：B CH 则两处的约 束力必为R1，R2
r12 CH
结构力学第七章位移法
几何不变体系
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
结构力学位移法
× Δ2
Δ2=1
k22
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
n个结点位移的位移法典型方程 k11D1 k12D2 k1nDn F1P 0 k21D1 k22D2 k2nDn F2P 0
kn1D1 kn2D2 knnDn FnP 0
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
4）画M、MP;由平衡求系 数和自由项；
15
B
F1P 9
MP
F1P=15－9=6
4i
Δ1=1
C
5）解方程，求基本未知量； A
D1
F1P k11
6 7i
2i
4i
B
k11 3i
M1
3i k11=4i+3i=7i
6）按 M=∑Mi·Δi+MP16.72
11.57 9
叠加最后弯矩图
30
C
7）校核平衡条件
A
时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约
束1、位2中移产法生方的程约的束力含矩义和：约基束本力；体系在结点位
移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。
F1P F2P
k11
Δ1 Δ1=1
k21
× Δ1
k12
m 41.7k3Ni .m
CB
2i
A 3i B 4i
C
M1 E 1.5i
F
4m 2m
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A 4iI B
5iI
i
i
30I.75 i
Δ2=1
k22
西华大学土木工程学院 舒志乐讲授
n个结点位移的位移法典型方程 k11D1 k12D2 k1nDn F1P 0 k21D1 k22D2 k2nDn F2P 0
kn1D1 kn2D2 knnDn FnP 0
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
4）画M、MP;由平衡求系 数和自由项；
15
B
F1P 9
MP
F1P=15－9=6
4i
Δ1=1
C
5）解方程，求基本未知量； A
D1
F1P k11
6 7i
2i
4i
B
k11 3i
M1
3i k11=4i+3i=7i
6）按 M=∑Mi·Δi+MP16.72
11.57 9
叠加最后弯矩图
30
C
7）校核平衡条件
A
时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约
束1、位2中移产法生方的程约的束力含矩义和：约基束本力；体系在结点位
移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。
F1P F2P
k11
Δ1 Δ1=1
k21
× Δ1
k12
m 41.7k3Ni .m
CB
2i
A 3i B 4i
C
M1 E 1.5i
F
4m 2m
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A 4iI B
5iI
i
i
30I.75 i
结构力学-位移法
DA柱：
MA 0
FQDA
1 4
(M DA
M
AD )
D C
FQDA
MDA
1 4
(3i D
1.5i EH
)
MAD
0.75iD 0.375iEH
A
E
FQEB
MBE
B 28
2kN/m
EB柱 MB 0
FQEB
1 4
M BE
242 4
1 4
(1.5i EH
4)
4
0.375iEH 3
14kN
D C
M BA
3i1 h1
M DC
3i2 h2
M FE
3i3 h3
32
3）建立位移法方程并求解
求各柱剪力。
FQAB
M BA h1
3i1 h12
k1
FQCD
M DC h2
3i2 h22
k2
FQEF
M FE h3
3i3 h32
k3
FP A
h1
E
C
FQAB
FQCD
FQEF
h2 h3
MBA
ql 2 8
M
F AB
ql 2 8
q
BA
B
l
M
F BA
ql 2 8
BB
q
M
F AB
ql 2 8
AA
杆端弯矩顺时针方向为正！
21
§7-3 无侧移刚架的计算
刚架内部结点无线位移，只有角位移。 基本未知量：内部结点的角位移。
8kN/m
Bi
i
A
4m
Di
i
C
4m
结构力学位移法PPT_图文
6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架