结构力学——位移法

结论： 刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。
例5 ：
A B C B D
例6：
A
有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未 知量为： B C
桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个 结点有两个线位移。该结构的未知量为：
D C
超静定结构计算
满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下 内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条 件；位移满足协调条件。
当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取 的方法就是力法；当以某些结点位移作为基本未知量 作为突破口时采取的方法就是位移法。 超静定结构计算的总原则：欲求超静定结构先取一 个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方 面与原结构完全一样。
EA EA 2 FNDA FNDC L 2L 2
杆端力与杆端 位移的关系
由结点平衡：
NDB NDA D Fp NDC
Y 0
2 2 FNDB FNDC FNDA FP 2 2 EA(2 2) FP 2L
建立力的 平衡方程
2 PL 由方程解得： (2 2) EA
3、确定系数与自由项
1 l 2 l l 11 EI 2 3 3EI 3i 1 l 2 l l 22 EI 2 3 3EI 3i
EI 令 i l
1 l 1 l l 12 21 EI 2 3 6 EI 6i
1C
l
2C
l
4、解方程，求杆端弯矩
1 1 X1 X 2 A 3i 6i l
1 1 X 1 X 2 B 6i 3i l
M AB X 1 4i A 2i B 6i l M AB X 2 2i A 4i B 6i l M AB M BA 6i 6i 12i FS AB FS BA A B 2 l l l l
3i
l
B
B
6i
l2
l
A
A
θ=1
3i
1
0
B
3i
l
0
3i
l2
A
B
i
－i
0
由荷载求固端反力
固端弯矩与固端剪力：不同杆件在荷载作用下的杆 端弯矩和杆端剪力。因为它们是只与荷载形式有关 的常数，故又称为载常数
注：1）可在载常数表中查到，（此表由力法计算得到）
2）三类杆件：两端固定的梁 一端固定、另一端简支的梁 一端固定、另一端滑动支撑的梁 3）固端弯矩与固端剪力均以顺时针为正。
MAB
B A
MBA
杆端力和杆端位移的正 负规定：
①杆端转角θ A θ B位移 Δ ，都以顺时针为正。 ②杆端弯矩都以顺时针 为正。
、
三次超静定结构，只能用力法求解，需解除三个约束。
1、确定基本体系
2、确定基本方程
11 X1 12 X 2 Δ1C A
21 X1 22 X 2 Δ2C B
● 位移法是以力法作为基础的。 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。
A
45o B 45o C
结点位移与杆端位移分析 BD伸长：
2 DA伸长： 2 DC伸长： 2 2
杆 端 位 移 分 析
D结点有 一向下的 位移 FP
DLeabharlann 由材料力学可知：FNDB
M AB 4i A M BA 2i A 6i l 6i l
（2）远端为活动支座
M AB X 1 4i A 2i B 6i l M AB X 2 2i A 4i B 6i 6i 6i 12i l
(a)
FS AB A B 2 l l l
此滑动端一般指结构内部杆与杆之间的滑动连接 和与基础连接的滑动端。
q B EI 杆长为：L A EI C
EI BA杆 M BA 4 B L EI M AB 2 B L
3. 建立位移法方程 取B结点，由 M B 0 ,得:
1. 确定未知量
未知量为: B
2. 写出杆端力的表达式 BC杆 M Bc
位移法未知量的确定
● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 ● 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 ● 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 例1： 例2：
● 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。
B C B C
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
B结点有一个转角和水平 位移 B BH
由于MBA=0带入方程(a) 中得
M AB 3i A 3i l
（3）远端为滑动支座
l M AB X 2 2i A 4i B 6i 6i 6i 12i l M AB X 1 4i A 2i B 6i
(a)
FS AB A B 2 l l l
由外荷载单独作用引起的杆端力称为载常数。
单跨超静定梁简图
F M AB
F M BA
F Q AB
F QBA
q
A P a q A A a P B b q B b B
ql 2 12
ql 2 12
ql 2

ql 2
Pab 2 2 l
ql 2 8
Pa 2 b l2
Pa 2 2b Pb2 2a ( 1 ) (1 ) 2 2 l l l l
弯矩的正负规定：绕杆端顺时针旋转为正，逆时 针旋转为负，但对结点与支座，逆时针旋转为正。
剪力与轴力的规定没变。
转角和侧移都是以顺时针为正。
正弯矩：对杆端是顺 时针转的，对结点是 逆时针转的。
下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用 下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。
如下图所示，两端固定的杆AB,发生如图所示的支座 位移，求杆AB的杆端弯矩。
(b)
由于 B 0 , FS AB FSBA 0 带入方程(b)中得
1 A l 2
M AB i A
M BA i A
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图 θ=1 MAB MBA QAB= QBA
A A
θ=1
B
4i
1
2i
l
6i l
6i
12i
例3：
B C
例4：
E
A
D
F
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为：B C BC
D
C
有四个刚结点E、F、D、C，由于忽 略轴向变形，此四点的竖向位移均零， 因此该结构的未知量为：
E F C D EF CD
A
B
位移法
学习内容
1.位移法的基本概念 2.等截面杆件的刚度方程 3.无侧移刚架的内力计算 4.有侧移刚架的内力计算 5.位移法的基本体系 6.对称结构的计算
要求：熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确 定、位移法典型方程的建立及其物理意义、位移法 方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终 弯矩图的绘制。 熟记一些常用的形常数和载常数。 掌握利用对称性简化计算。 掌握荷载作用下超静定结构的计算， 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和直 接平衡方程法。
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FNDB 2 FP 2 2 FNDA FNDC P 2 2
总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式； ③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程； ④ 解方程，得到结点位移； ⑤ 结点位移回代，得到杆端力。
6i F M AB 4i A 2i B M AB l 6i F M BA 2i A 4i B M BA l 6i 6i 12i F Q AB A B 2 Q AB l l l 6i 6i 12i F QBA A B 2 QBA l l l
C D E CH DV
A
B
A
B
对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角 位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位 移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其 变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几 个线位移。
第二节 等截面直杆的转角位移方程
刚架在均布荷载作用下，产 生如图曲线所示的变形。
● 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。
结构
在外因作用下
内力 产生 变形
内力与变形间存在关系
分析超静定结构时，有两种基本方法：
第一种：
以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然 后计算位移——力法。
第二种：
以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再 计算内力——位移法。
第一节 位移法的基本概念
此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有 已知支座转角的固定端。
此铰接一般指结构内部杆与杆之间的铰结和与基 础连接的铰支端。
一端固定一端滑动单元杆端弯矩表达式：
F M AB i A M AB F M BA -i A M BA
此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有 已知支座转角的固定端。
几种不同远端支座的刚度方程 （1）远端为固定支座
l M AB X 2 2i A 4i B 6i 6i 6i 12i l M AB X 1 4i A 2i B 6i
(a)
FS AB A B 2 l l l