结构力学课件位移法原理
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《结构力学》第6章 位移法
结构力学
第6章 位移法
●第6章 位移法方程
● (1)关于内力符号的规定
● 对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩和杆端剪力，
分别称为固端弯矩和固端剪力，用
表示。
图6.1
●(2)关于杆端内力及杆端位移的正负号规定
图6.2 图6.3
表6.1 等截面直杆的杆端弯和剪力 表6.1(续表)
● (2)有侧移刚架的计算 ● 例6.3 用位移法计算图6.19(a)所示的刚架，并作内力图。
图6.19
图6.20
图6.21
●例6.4 计算图6.22(a)所示带 有斜横梁的刚架，绘M图。忽 略横梁的轴向变形。
图6.22
●*例6.5 计算图6.23(a)所示有斜柱的刚架。
图6.23
图6.24
●6.3 位移法的基本原理 ●6.3.1 位移法的基本假定 ●6.3.2 位移法的基本原理
图6.4
图6.5
●6.3.3 位移法的基本未知量和基本结构 ●(1)结点角位移
图6. 6
●(2)独立的结点线位移
图6.7
图6.8 图6.9
图6.10 图6.11
●6.3.4 位移法的典型方程
图6.12
图6. 13
图6.14
图6.15
● 6.4 位移法应用举例 ● 6.4.1 位移法计算步骤 ● 6.4.2 计算示例 ● (1)连续梁及无侧移刚架的计算 ● 例6.1 试用位移法求作图6.16(a)所示连续梁的内力图。
图6.16
●例6.2 求作图6.17(a)所示刚架的弯矩图。
图6.17
图6.25
●(3)有悬臂的处理 ●例6.6 计算图6.26(a)所示结构，绘M图。
图6.26
第6章 位移法
●第6章 位移法方程
● (1)关于内力符号的规定
● 对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩和杆端剪力，
分别称为固端弯矩和固端剪力，用
表示。
图6.1
●(2)关于杆端内力及杆端位移的正负号规定
图6.2 图6.3
表6.1 等截面直杆的杆端弯和剪力 表6.1(续表)
● (2)有侧移刚架的计算 ● 例6.3 用位移法计算图6.19(a)所示的刚架，并作内力图。
图6.19
图6.20
图6.21
●例6.4 计算图6.22(a)所示带 有斜横梁的刚架，绘M图。忽 略横梁的轴向变形。
图6.22
●*例6.5 计算图6.23(a)所示有斜柱的刚架。
图6.23
图6.24
●6.3 位移法的基本原理 ●6.3.1 位移法的基本假定 ●6.3.2 位移法的基本原理
图6.4
图6.5
●6.3.3 位移法的基本未知量和基本结构 ●(1)结点角位移
图6. 6
●(2)独立的结点线位移
图6.7
图6.8 图6.9
图6.10 图6.11
●6.3.4 位移法的典型方程
图6.12
图6. 13
图6.14
图6.15
● 6.4 位移法应用举例 ● 6.4.1 位移法计算步骤 ● 6.4.2 计算示例 ● (1)连续梁及无侧移刚架的计算 ● 例6.1 试用位移法求作图6.16(a)所示连续梁的内力图。
图6.16
●例6.2 求作图6.17(a)所示刚架的弯矩图。
图6.17
图6.25
●(3)有悬臂的处理 ●例6.6 计算图6.26(a)所示结构，绘M图。
图6.26
结构力学 7.位移法
也称“先拆后搭”
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
结构力学中位移法的基本原理
位移法
基本未知量：结点独立位 移 基本结构：无位移超静定 次数更高的结构 作单位和外因内力图 由内力图的结点、隔离体 平衡求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡） K F 0 解方程求独立结点位移 迭加作内力图 用平衡条件进行校核
A
B
位 移 法 中 的
基 本 单 跨 梁
A
B
回顾力法的思路：
（1）解除多余约束代以基本未知力，确 定基本结构、基本体系；
（2）分析基本结构在未知力和“荷载” 共同作用下的变形，消除与原结构 的差别，建立力法典型方程；
（3）求解未知力，将超静定结构化为 静定结构。
核心是化未知为已知
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动 共同作用下
第六章 位移法 Displacement Method
§6-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力 §6-2 位移法基本原理 §6-3 位移法的基本未知量、基本系和 典型方程 §6-4 位移法计算举例
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一.
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
§6-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力
基本未知量
2
3Pl/16
EA
M1
Z1=1
3i/l
3i/l
r11 6i / l 3i / l 2 3i / l 2 R1 P 5 P / 16 r11 Z1 5 Pl 2 / 96i Z1 M M 1 Z1 M P
r
11
Z1
q
EI
EI
Z1
Z1=1
=
Z1
q
Z1
Z1
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
结构力学第五章位移法.ppt
NDA
NDB
2
2
NDC FNDB 2 FNDC 2 FNDA FP
建立力的 平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2) FP
由方程解得： 2PL
(2 2)EA
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FNDB
2FP 2 2
FNDA
FNDC
P 2
发生一个顺时针的转角 A。
A
A EI,L B
由力法求得：
MAB
MBA
M AB
3
EI L
B
3iB
M BA 0
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端
发生一个向下的位移 。
A MAB
EI,L
B
△
由力法求得：
M
AB
3EI L2
3i L
MBA
M BA 0
两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端
弯矩表达式：
M AB
4i A
2iB
6i
L
M
F AB
M BA
4iB
2i A
6i
L
M
F BA
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M AB
3iA
6EI L2
BC
qL2 12
M AB
结构力学(位移计算课件)
解:近似采用直杆的位移计算公式,只考虑弯 矩影响.实际状态中的截面弯矩为
M P = FR sin θ
虚拟状态如图b,截面弯矩为
M = 1 ( R R cos θ ) = R (1 cos θ )
代入位移计算公式,可得
虚拟状态
MM P ds (1 cos α ) 2 FR 3 = (→) ΔBx = ∑ ∫ EI 2 EI 20
2
A′
§6—1 概 1. 变形和位移
述
在荷载或其它因素作用下,结构将产生 变形和位移. 变形:是指结构形状的改变. 位移:是指结构各处位置的移动.
P A
△A
y
△A
□
△Ax
A′
2. 位移的分类
线位移: AA ' (△A) △Ay △Ax 角位移: A 绝对位移 相对位移:
指两点或两截面之间的位置改变量
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
(4)讨论
5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy = (1 + + ) 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl
上式中:第一项为弯矩的影响,第二,三项分别为轴力,剪力的影响. 设:杆件截面为矩形,宽度为b,高度为h,A=bh,I=bh3/12,k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy = [1 + ( ) 2 + ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
12 1 2
2. 变形体的虚功原理:
对于杆件结构(非刚体),在发生变形的过程中,不但各杆件发生位 移,内部材料同时也产生应变,虚功原理可以表述如下:
设结构(包括变形体)在某力系处于平衡,对于结构上产 生的任何微小的虚位移,外力所作的虚功总和等于该结构 各微段上内力所作的变形虚功总和.简单地说,外力虚功 等于变形虚功(或称内力虚功),即
M P = FR sin θ
虚拟状态如图b,截面弯矩为
M = 1 ( R R cos θ ) = R (1 cos θ )
代入位移计算公式,可得
虚拟状态
MM P ds (1 cos α ) 2 FR 3 = (→) ΔBx = ∑ ∫ EI 2 EI 20
2
A′
§6—1 概 1. 变形和位移
述
在荷载或其它因素作用下,结构将产生 变形和位移. 变形:是指结构形状的改变. 位移:是指结构各处位置的移动.
P A
△A
y
△A
□
△Ax
A′
2. 位移的分类
线位移: AA ' (△A) △Ay △Ax 角位移: A 绝对位移 相对位移:
指两点或两截面之间的位置改变量
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
(4)讨论
5 ql 4 8 I 4 kEI ΔAy = (1 + + ) 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl
上式中:第一项为弯矩的影响,第二,三项分别为轴力,剪力的影响. 设:杆件截面为矩形,宽度为b,高度为h,A=bh,I=bh3/12,k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy = [1 + ( ) 2 + ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
12 1 2
2. 变形体的虚功原理:
对于杆件结构(非刚体),在发生变形的过程中,不但各杆件发生位 移,内部材料同时也产生应变,虚功原理可以表述如下:
设结构(包括变形体)在某力系处于平衡,对于结构上产 生的任何微小的虚位移,外力所作的虚功总和等于该结构 各微段上内力所作的变形虚功总和.简单地说,外力虚功 等于变形虚功(或称内力虚功),即
结构力学位移法PPT_图文
6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
结构力学第7章 位移法
第7章 位 移 法
§7-1 位移法的基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算 §7-4 有侧移刚架的计算
§7-5 位移法的基本体系
§7-6 对称性的应用 §7-7 支座移动和温度改变时的计算
§7-8 小结
§7-1
1
位移法的基本概念
关于位移法的简例
■ 对称结构承受对称荷载，结点B只发生竖向位移Δ。
§7-3 无侧移刚架的计算
（3）建立位移法基本方程
结点B力矩平衡：
（4）求出基本未知量
M BA M BC M BE 0
10 B 2C 1.7 0
结点C力矩平衡：
B 1.15, C 4.89
（5）求出各杆最终杆端弯矩：
M BA 3 1.15 40 43.5kN.m M BC 4 1.15 2 4.89 41.7 46.9kN.m
F M BA 3iBA B M BA 3 B 40 F M BC 4iBC B 2iBCC M BC 4 B 2C 41.7 F M CB 2iBC B 4iBCC M CB 2 B 4C 41.7
M CD 3iCDC 3C M BE 4iBE B 3 B , M EB 2iBE B 1.5 B M CF 4iCF C 2C , M FC 2iCF C C
■ 若求出位移Δ，则各杆件的变形和内力都可求出。
■ 取位移Δ作为位移法基本未知量。
§7-1 位移法的基本概念
第一步，从结构中取 出一个杆件 进行分析。 第二步，把各杆综合成结构。 各杆的杆端位移与基本 位置量的关系为
EAi FNi ui li
杆件的刚度方程
§7-1 位移法的基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算 §7-4 有侧移刚架的计算
§7-5 位移法的基本体系
§7-6 对称性的应用 §7-7 支座移动和温度改变时的计算
§7-8 小结
§7-1
1
位移法的基本概念
关于位移法的简例
■ 对称结构承受对称荷载，结点B只发生竖向位移Δ。
§7-3 无侧移刚架的计算
（3）建立位移法基本方程
结点B力矩平衡：
（4）求出基本未知量
M BA M BC M BE 0
10 B 2C 1.7 0
结点C力矩平衡：
B 1.15, C 4.89
（5）求出各杆最终杆端弯矩：
M BA 3 1.15 40 43.5kN.m M BC 4 1.15 2 4.89 41.7 46.9kN.m
F M BA 3iBA B M BA 3 B 40 F M BC 4iBC B 2iBCC M BC 4 B 2C 41.7 F M CB 2iBC B 4iBCC M CB 2 B 4C 41.7
M CD 3iCDC 3C M BE 4iBE B 3 B , M EB 2iBE B 1.5 B M CF 4iCF C 2C , M FC 2iCF C C
■ 若求出位移Δ，则各杆件的变形和内力都可求出。
■ 取位移Δ作为位移法基本未知量。
§7-1 位移法的基本概念
第一步，从结构中取 出一个杆件 进行分析。 第二步，把各杆综合成结构。 各杆的杆端位移与基本 位置量的关系为
EAi FNi ui li
杆件的刚度方程
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2010.8
M M 1 1 M P
4iΔ1
Δ1
A
C
B
12.86
2iΔ2.157
A
M1图9 R13PiΔ1 B
+
C
6
1.28
18 6
24 16 kN
A
MB图（kN∙m）
17.58 C
MP图
15
思考
2kN/m
Δ1
16kN
A
B
C
基本体系1
?
2kN/m
Δ1
16kN
Δ2
A
B
C
基本体系2
4. 与力法比较
两种方法适 用范围是否
叠加原理
R1 = 0
Δ1
FP
Δ1 A
C
基本体系
R1P
FP
R11
B
A
B
Δ1
A
B
Δ1
=
+
C
C
= + 仅有荷载作用
仅有结点位移
叠加原理
M 1 1 M P M
Δ1=1
3i A 4i
C
2i R1P FPl/8
B A
+
FPl 56i
C
FP
FPl/8
FPl/8 B
=
3 A
C
9
14
B
8
FPl 56
第 6 章 位移法
6.1 位移法基本原理
Basic principle of displacement method
1. 位移法的思路
基本未知量Δ1
作图示结构的弯矩图。
A Δ1
FP B
Δ1
A
Δ1
FP B
FPl/8
FP FPl/8
FPl/8
Δ1 + 2iΔ1
EI =常数
l
C
l/2 l/2
Δ1＝？
Δ1
① 仅有荷载作用 —— R1P = ？
R1P FPl/8
A
FP
FPl/8
FPl/8 B
C
MP
R1P
FPl/8
A
0
FPl/8
FPl/8
FP
FPl/8
ΣM A = 0 R1P = 0 - FPl/8 = - FPl/8
② 仅有结点位移 —— R11 = ？
Δ1=1 3i A
r11
1
2i
2i
B
A
4i
3i
4i
4i
1
3i
C
M1
ΣM A = 0 , r11 = 4i + 3i = 7i
设 i ＝ EI／l （线刚度）
R11 = r11∙Δ1
（3）基本方程
位移法的基本方程 平衡方程
R1 = R11 + R1P = 0 R11 = r11∙Δ1
r11∙Δ1 + R1P = 0
ห้องสมุดไป่ตู้
R1P r11
M M 1 1 M P FQ , FN
A
4iΔ1 Δ1
i ＝ EI／l
只考虑微小的弯曲变形， 忽略轴向变形和剪切变形
C
3iΔ1
2. 位移法的基本原理
A Δ1 Δ1
FP B
EI =常数
C
R1
Δ1
FP
A
Δ1
R1=0
C
Δ1
BA
Δ1
A
C
FP B
附加刚臂（ ）：仅限制结 点的转动
（1）基本概念
A
FP
B
A
B
EI=常数
C
原结构
C
基本结构
FP
A
Δ1
相同？
力法
去掉 多余约束
位移
协调
基本结构
基本方程
Xi=?
原结构
原则：选取基本体系，使其在受力方面 和变形方面与原结构完全一样。
Δi=?
位移法
引入 附加约束
基本结构
平衡 条件
基本方程
多余未知力 结构内力 结点位移
5. 需要解决的问题
（1）如何确定基本未知量的数目，并引入相应的附加 约束以形成基本结构？（预习） （2）需预先用力法计算各类超静定单跨梁在杆端位移 或荷载作用下的内力以备查用。（力法已经解决，结果 详见Page168-169） （3）对一般结构应如何建立位移法基本方程，从而求 的基本未知量？
请自己完成 FQ , FN 图。
（4）位移法计算步骤
（1）确定基本未知量，即独立的结点位移（Δ1）； （2）引入附加约束限制结点位移，形成基本结构； （3）利用平衡条件建立基本方程（ r11∙Δ1 + R1P ＝0）； （4）求解基本方程得到基本未知量（Δ1 = - R1P / r11 ） ，从 而求出各杆内力（ M M 1 1 M）P 。
B
C
基本体系
基本结构：在原结构上引入附加约束限制独立的结点位移而 得到的无独立结点位移的结构。
基本体系：基本结构在荷载和未知位移共同作用下的体系。
（2）分析
叠加原理
R1 = 0
Δ1
FP
B
Δ1 A
R1P A
FP
R11
B
Δ1
A
Δ1
B
=
+
C
C
C
基本体系
= + 仅有荷载作用
仅有结点位移
R1 = R1P + R11 = 0
这也就是位移法的基本思路。
3. 例题
用位移法计算图示连续梁（EI=常数）。
2kN/m
16kN
A
B
C
6m
3m
3m
2kN/m
Δ1
16kN
A
B
基本体系
C r11Δ1 + R1P = 0
4i Δ－1 = 1
r11
A
C
4i
3i
B
2i
M1图 3i
6
R1P 18
R1P
6
16 kN
A
B
C6
18
MP图
15
r11 = 7i，R1P = -12 kN∙m，Δ1 = - R1P /r11= 1.714/i