结构力学位移法的计算

3i
ql 2 48i
ql 2 16
,
M BC
3i B
ql 2 8
ql 2 16
ql 2 8
ql 2 。 16
ql 2 16
A B
C
M 图 3ql2 32
6
小结：
1）位移法的基本未知量是结构内部刚结点（不包括 支座结点）的转角位移或结点之间的相对线位移。
2）选取内部结点的位移作为未知量就已经满足了结 构的变形协调条件：位移法的典型方程是力（其中 包括力矩）的平衡方程，满足了结构中力的平衡条 件。
A AB
l
AB
l
B
AB
AB A
B
14
二.等截面直杆的刚度（转角位移）方程
1. 两端固定的梁:( i EI )
l
A
EI
B
A
AB
l B
M AB 4i A M BA 2i A
A
i
B
A
M AB 2iB M BA 4iB
MAB EI
MBA
A
B
A
l B
AB
A
i
B
B
A MAB i MBA B
30
3）建立位移法方程，并求解：
由结点B和结点D的平衡条件，可得：
B
MBD
MDB
D MDE
MBA
MB 0,
MBA MBD 0,
8iB 2iD 10.67 0, 1
MDC
MD 0,
M DB M DC M DE 0,
2iB 8iD 32.00 0，2
B 0.356 / i( )。
点之间的相对线位移。此时产生固端弯矩
M
F。
BC
q
锁A 住
B 0
B
C
q
M
F BA
0,
M
F BC
ql2 。 8
B
M
F BC
C
2）令B结点产生转角
(
B
)。此时AB、BC杆类似
于B端为固端且产生转角 B 的单跨超静定梁。 4
B
A
B
放
i
松
3i B
A
i B
BB
3i B
3）杆端弯矩的表达式:
i
B i
Ci EI l C
的确定：
采用增加附加链杆的方法只确限定制独相立对的线结位点移之间的
相对线位移的基本未知量 Z j KL。
从两个不动点（没有线位移的点）引出的两根无 轴向变形的杆件，其交点没有线位移。
若一个结构须要附加 j 根链杆才能使所有内部的
结点成为不动点（没有任何结点之间的相对线位移发 生），则该结构中独立的结点之间的相对线位移的基
1. 位移法的基本未知量
选取结构内部结点的转角位移或结点之间的相 对线位移作为位移法的基本未知量。
q
A
B
C
EI
B
EI
l
l
如上图所示的连续梁，取结点B的转角位移 B作
为基本未知量，这就保证了AB杆与BC杆在B截面的
转角位移的连续协调( B BL BR )。
3
2. 位移法求解的基本步骤
1）在B结点增加附加转动约束（附加刚臂）( )。 附加转动约束只能阻止刚结点的转动，不能阻止结
R1P 10.67
8kN/m 10.67 R2P
B
i
Di
B 10.67 i
42.67 i
0
MP 图
R1P= 10.67A
C
R2P E 21.33
10.67 D
42.67
0
R2P= 32
34
r11
Z1 B 1
r11
r21 Z2 D 0
2i
B
4i 4i
B
4i
i
D i E 2i
4i
i M1图 i
2）典型方程法：利用位移法的基本体系来建立位移 法的典型方程。
25
例8-3-1 采用位移法求作图示刚架的 M 图，已知各杆 的 EI 相同。
B
i
Di E
i
A
4m
i
C
4m
4m i EI
4
解：
1. 直接列方程法:直接利用结点的力矩平衡条件来建 立位移法的一般方程。
1）确定基本未知量为：θB ( )和 θD ( )
未知量： Z1
B 和
Z2
，选取基本体系如下图所
D
示。
Z1 B 0 Z2 D 0
B
i
基本体系
i
Di E i
A
C
33
2）列出位移法的典型方程：
rr1211ZZ11
r12 Z2 r22 Z2
R1P R2 P
0， 0。
3）计算系数和自由项：
i）作出基本体系的
M P 图，M1图，M
图：
2
R1P
因为：
1）为了减少人工计算时基本未知量的数目； 2) 单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座 可能位移（转角位移，相对线位移）的影响，如下图
所示。
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
,
M
F BA
0。
M
F AB
ql 2 12
,
M
F BA
ql2 。 128
i EI / l
A A
BA
i EI / l B
A
MAB 4iA,
M BA
2i
。
A
M AB 3iA,
MBA 0。
为了减少人工计算时基本未知量的数目，在采用 位移法求解时，确定结构的基本未知量之前，引入如 下的基本假设：对于受弯杆件，忽略其轴向变形和剪 切变形的影响。
亦即假定杆件在轴向是刚性的，杆件在发生弯曲 变形时既不伸长也不缩短。
9
1．刚结点的转角位移的基本未知量 Zi K的确定：
Z4 BH B
A
C
Z5 CH
Z2
B
BH
E A
D
当BD杆： EI无限大
D
？
12
§8-2 等截面直杆的刚度（转角位移）方程
一. 符号规则:
B MBC
MCB C
1．杆端弯矩:
规定杆端弯矩顺时针
MBA
方向为正，逆时针方向为 负。
杆端弯矩具有双重身份： A
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向 为正，逆时针方向为负。
23
四.正确判别固端弯矩的正负号:
q
q
A
l
M
F AB
ql 2 8
q
M
F AB
ql 2 8
BA
B
B
ll
A
A
B
l
M
F BA
ql 2 8
q
M
F AB
ql 2 8
24
§8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算
一. 采用位移法求解无侧移的刚架 有两种建立位移法方程的方法：
1）直接列方程法：直接利用平衡条件建立位移法的 典型方程。
D 3.911/ i( )。
31
4）作弯矩图：
将求得的 θB，θD 代入杆端弯矩表达式，得：
M AB 0.71KN m MBA 1.42KN m MBD 1.42KN m
MDB 27.02KN m MDC 11.73KN m MDE 38.76KN m
MED 25.24KN m
16
2. 一端固定，一端滚轴支座的梁:
A M AB EI
A
l
i EI l
B
AB
A
M AB 3i A
i
B
A
A
i
3i M AB l
B AB
M AB
3i A
3i l
AB ;
MBA 0。
17
3. 一端固定，一端定向滑动支座的梁：
MAB A
A
EI MBA
B
i EI l
M AB i A ,
3i A
3i l
AB
3) A
MAB
i
EI l
MBA B
A
MAB i EI
l
MBA
B
A
A
M AB i A
MBA i A
20
三. 固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为 固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。
1. 两端固定的梁：
q
ql 2 12
A
ql 2 24
l
ql 2 12 FP l 8
3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合 体系。为了顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁 在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
7
二.位移法的基本未知量的确定
位移法的基本未知量是结构内部的刚结点（不
包括支座结点）的转角 i和独立的结点之间的相对
线位移 j 。 不把支座结点的可能位移作为位移法的未知量是
r12 = r21 = 2i，
R2P= 32.00。
4）回代入方程中，求解得：
82iiZZ11
2iZ 8iZ
2 2
10.67 32.00
0, Z1 0。Z2
B D
0.356 / 3.911 /
8kN/m 27.02 38.76
1.42
B 1.78 i
D
i 11.73 i
i
E 25.24
4m
M 图( KN m) A 0.71
C
4m
4m