初中数学一元二次方程随堂练习60
一元二次方程的定义随堂50分练习
编号：001 不到最后不能放弃，即使未来都是艰难险阻，我们也要披荆斩棘基础知识过关（总分50） 姓名： 得分：2.1.1一元二次方程的定义一、选择题（每题2分共计20分）1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.0122=+xx B.02=++c bx ax C.()()121=+-x x D.052322=--y xy x2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）A.012=+xB.12=+x y C.012=+x D.112=+x x3．关于x 的一元二次方程（m+1）12+m x+4x+2=0的解为（ ）（提示可利用配方法）A ．x 1=1，x 2=-1B ．x 1=x 2=1C ．x 1=x 2=-1D ．无解4．关于x 的方程ax 2-3x+3=0是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．a ≠0C ．a=1D ．a ≥05.方程（m+2）mx +3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m=±2 B ．m=2 C ．m=-2 D ．m ≠±26.关于x 的方程（2m -m-2）2x +mx+1=0是一元二次方程的条件是（ ） A ．m ≠-1 B ．m ≠2 C ．m ≠-1或m ≠2 D ．m ≠-1且m ≠2 7.已知k 2x +（k-1）x+2k -5=0是关于x 的一元二次方程，那么k 的取值应该是（ ） A ．k ＞0 B ．k ＜0 C ．k=0 D ．k ≠0 8.方程232xx =-是（ ） A ．一元二次方程 B ．分式方程 C ．无理方程 D ．一元一次方程 9.若方程1)1(2=+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1 B ．m ≥0 C ．m ≥0且m ≠1 D ．m 为任何实数10.把方程x （x+2）=5x 化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是（ ） A ．1，3，5 B ．1，-3，0 C ．-1，0，5 D ．1，3，0 二、填空题（每小题3分共计15分）11.若方程k 2x +x=32x +1是一元二次方程，则k 的取值范围是__________ 12.一元二次方程2x 2+4x-1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为_______13.方程3x 2-5x=2是一元二次方程________．（判断对错）14.关于x 的一元二次方程（n+3）x |n |+1+（n-1）x+3n=0中，则一次项系数是______15.若方程kx 2+2x=2x 2+1是关于x 的一元二次方程，则实数k 应满足的条件是______三、解答题（每小题5分共计15分）16．已知关于x 的方程（m 2-8m+20）x 2+2mx+3=0，求证：无论m 为任何实数，该方程都是一元二次方程。
2020年秋苏科版九年级数学上册随堂练——1.2一元二次方程的解法学情练习【答案】
1.2一元二次方程的解法学情练习一、选择题1.一元二次方程(x−3)2=2的解是（）A.x1=−3+√2,x2=−3−√2B.x1=3−√2,x2=3+√2C.x1=5，x2=1D.x1=−5，x2=−52．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣23.方程2x2−4x+1=0的解是（）A.1±√2B.2±2√2C.1±√22D.2±√24.已知a4−2a2+b2+2a2b+1−2b=0，则a2+b的值为（）A.1B.−1C.±1D.05.将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式为（）A.(x−3)2+11B.(x+3)2−7C.(x+3)2−11D.(x+2)2+46．一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于37.解方程(5x−1)2=(2x+3)2的最适当方法应是（）A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法8.如果代数式x2−7x的值为−6，那么代数式x2−3x+5的值为（）A.3B.23C.3或23D.不能确定9．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能10.若a+b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一根是（）A.1B.−1C.0D.无法判断11．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题12.若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是________（写出一个即可）．13.若x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是________；14.关于x的一元二次方程−x2+(2m+1)x+1−m2=0无实数根，则m的取值范围是________．15．若关于x的方程（3+a）x2﹣5x+1=0有实数根，则整数a的最大值． 16.若实数a、b满足a2+ab+b2=1，且t=ab−a2−b2，则t的取值范围是________．17.用配方法将2x2+4x+1变形为：________．18.将方程5x2+6x−5=0的左边配成完全平方后所得的方程为________．19.方程x2−x+1=0与方程x2−5x−1=0的所有实数根的和是________．三、解答题20．解方程（1）x2﹣36=0（2）x2﹣3x+2=021．已知关于x的一元二次方程（m2﹣4）x2+（2m﹣1）x+1=0．（1）m为何值时，方程有实数根？（2）若x1，x2是方程的两个实数根，S=﹣+﹣++10，求S的取值范围．22.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(3a−1)x+2a2−1=0的两个实数根，其满足(3x1−x2)(x1−3x2)=−80．求实数a的所有可能值．23.已知关于x的一元二次方程x2+7x+11−m=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m为负整数时，求方程的两个根．24.已知方程x2−2x−8=0．解决以下问题：(1)不解方程试判断此方程的根的情况．(2)请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法．(3)①这些方法都是将解________方程转化为解________方程，以达到将方程降次的目的；②尝试解方程：x3+2x2−3x=0．25.关于x的一元二次方程4x2+4(m−1)x+m2=0(1)当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？(2)设方程有两个实数根x1，x2，问m为何值时，x12+x22=17？(3)若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．答案1. B2．C3. C4. A5. B6．D7. A8. C9．C10. A11．D12. 113. 514. m<−5415．316. −3≤t ≤−13 17. 2(x +1)2−118. (x +35)2=342519. 520． 解：（1）∵x 2﹣36=0，∴x 2=36，则x=6或x=﹣6；（2）∵x 2﹣3x+2=0，∴（x ﹣1）（x ﹣2）=0，则x ﹣1=0或x ﹣2=0，解得：x=1或x=2．21． 解：（1）∵关于x 的一元二次方程（m 2﹣4）x 2+（2m ﹣1）x+1=0有实数根，∴， 解得：m≤且m≠±2， ∴当m≤且m≠±2时，方程有实数根．（2）S=﹣+﹣++10=（+﹣3）2+1． ∵x 1、x 2是方程（m 2﹣4）x 2+（2m ﹣1）x+1=0是方程的两个实数根， ∴x 1+x 2=，x 1•x 2=，∴+==1﹣2m ，∴S=（1﹣2m ﹣3）2+1=4（m+1）2+1，∴S=4（m+1）2+1的图象是顶点为（﹣1，1），开口向上的抛物线， ∵当m=2时，S=37，当m=﹣2时，S=5，。
人教版数学九年级上册《实际问题与一元二次方程》(第一课时)同步练习含答案
实际问题与一元二次方程（第一课时）附答案◆随堂检测1、一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1－70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元2、某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A ．2002(1%)a +=148 B ．2002(1%)a -=148 C ．200(12%)a -=148 D ．2002(1%)a -=148 3、某商场的标价比成本高p %，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d %，则d 可用p 表示为（ ） A ．100p p + B ．p C ．1001000p p - D ．100100pp+4、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为m 千克，•第二年的产量为_______千克，第三年的产量为_______千克，三年总产量为_______千克．5、据报道，我国农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，某地区2011年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定该地区每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2013年的利用率提高到60%，求每年的增长率.(≈1.41)◆典例分析某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金×100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．分析:列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审题，（2）设设出未知数，（3）找等量关系列出方程，（4）用适当方法解方程，（5）检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去，（6）答题.要注意各个环节的准确性. 解:◆课下作业 ●拓展提高1、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人. A ．12 B ．10 C ．9 D ．82、县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产%x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ） A ．2)1(x a + B ．2%)1(x a + C ．2%)1(x + D ．2%)(x a a +3、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，则可列出方程为________________________．4、甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．5、某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？（分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是10(1)x +，三月份的营业额应是102(1)x +．）6、上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大?7、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
初中数学一元二次方程的解法_公式法
a 2a
a 2a
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
(x b )2 b2 4ac .
2a
4a2
(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
.
∵a≠0, 4a2>0,
∴当b2－4ac≥0时，
b2
4ac 4a2
0,
∴ x b b2 4ac .
2a
2a
x b
b2 4ac .
2a
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；
当△<0，即
a>
5 4
时，方程无解。
(2008年北京市)已知 :关于 mx2 (3m 2)x 2m 2 0(m 0) 的一元二次方程 (1)求证:方程有两个不相等的实数根；
【解析】⑴ mx2 (3m 2)x 2m 2 0 是关于 x 的一元二次方程，
(3) 当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根.
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0).
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
解：∵ 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0，
b2 4ac 0
又∵ b2 4ac (2)2 4 k 3 = 4-12k
∴ 4-12k ≥0，解得 k 1
∴ 当 k1
人教版九年级上册数学《解一元二次方程》一元二次方程说课复习(配方法)
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
（2）(x-1)2-9=0；
（3）(3y+2)2-16=0．
x1=4，x2=-2
课堂小结 1．直接开平方法解一元二次方程的步骤：
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
变形 开方
将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常 数的形式；
利用平方根的定义，将方程转化为两个一元 一次方程；
求解
解一元一次方程，得出方程的根．
2．两种数学思想：整体思想、转化思想．
对接中考
用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为( A )
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
由此可得 x2=25
即 x1=5，x2=−5． 可以验证，因为棱长不能是负值， 所以盒子的棱长为5 dm．
新知探究 知识点1
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
一元二次方程专题讲解,知识点归纳,典型例题精讲精练
第二章 一元二次方程专题1 一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如02=++c bx ax ，（0≠a ）这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程02=++c bx ax 才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.【例题精选】例1 方程5x 2﹣2＝﹣3x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．5、3、﹣2B ．5、﹣3、﹣2C ．5、3、2D ．5、﹣3、2【分析】直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案．【解答】解：5x 2﹣2＝﹣3x 整理得：5x 2+3x ﹣2＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣2．故选：A ．例2（2019秋•兰州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x＝B．ax2+c＝0C．a2x﹣3x＝x（1﹣x）D．x（x2﹣1）＝0【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；B、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；D、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．例3 （2019秋•襄阳期末）已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣1B．2C．3D．﹣2【分析】将x＝1代入方程可得关于c的方程，解之可得．【解答】解：将x＝1代入方程2x2﹣cx＝0，得：2﹣c＝0，解得c＝2，故选：B．【随堂练习】1．（2021•潜江模拟）下列是一元二次方程的是（）A．﹣5x+2＝1B．2x2﹣y+1＝0C．x2+2x＝0D．x2﹣＝0【解答】解：A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．2．（2020秋•姜堰区期末）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（）A．a≠0B．a≠1C．a＞1D．a≤2【解答】解：∵方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，解得a≠1．故选：B．3．（2021•武汉模拟）方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和2B．3和﹣2C．3和﹣1D．3和1【解答】解：方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为3和﹣2，故选：B．2 直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.【例题精选】例1（2020•颍州区一模）解方程：（x﹣3）2＝4．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±2，∴x＝5或x＝1；例2（2020•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1【随堂练习】1．（2020秋•南京期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5B．x1＝1，x2＝﹣5C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝5【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，故选：A．2．（2020秋•市中区期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝4，x2＝﹣4B．x1＝x2＝2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝4【解答】解：∵x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2，故选：C．3 配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【例题精选】例1（2020•闽侯县模拟）解方程：x2﹣6x﹣8＝0．【分析】利用配方法得到（x﹣3）2＝17，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2‒6x＝8，x2‒6x+9＝17，（x﹣3）2＝17，x﹣3＝±，所以x1＝3+，x2＝3﹣．例2（2019秋•天门期末）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【随堂练习】1．（2021•泸县模拟）将一元二次方程x2﹣2x＝1配方，其正确的结果是（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝2【解答】解：x2﹣2x＝1，配方得：x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2．故选：D．2．（2020秋•郁南县期末）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2【解答】解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．3．（2020秋•兰陵县期末）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．4．（2020秋•费县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝11C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝11【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，∴x2﹣4x+4＝11，∴（x﹣2）2＝11，故选：D．4 公式法1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.【例题精选】例1（2019秋•玉田县期中）一元二次方程ax2+bx+c＝0（c≠0）的求根公式是（）A．B．C．D．【分析】根据求根公式即可求出答案．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x＝，故选：A．例2（2019秋•行唐县期末）解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y＝﹣2或y＝；【随堂练习】1．（2020秋•北海期末）用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．2．（2020秋•普宁市期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：这里a＝3，b＝5，c＝1，∵△＝25﹣12＝13，∴x＝，故选：A．3．（2020秋•市北区期末）解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．【解答】解：△＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，x＝＝，所以x1＝，x2＝．4．（2021春•三水区校级月考）解方程：2x2﹣10x＝3．【解答】解：2x2﹣10x﹣3＝0，△＝（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）＝124，x＝＝，所以x1＝，x2＝．5 因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【例题精选】例1 （2019春•浏阳市期中）计算：选择适当方法解下列方程（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1；（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0或3x+2＝0，所以x1＝1，x2＝﹣．例2（2019秋•罗湖区校级期中）解方程（1）x2+x﹣3＝0（2）（2x+1）2＝3（2x+1）【分析】（1）先写出a，b，c的值，再计算△，然后用公式法求解即可；（2）先将原方程右边的移到左边，然后利用因式分解法进行分解即可．【解答】解：（1）∵x2+x﹣3＝0∴a＝1，b＝1，c＝﹣3∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0∴x＝＝∴x1＝，x2＝．（2）∵（2x+1）2＝3（2x+1）∴（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0∴（2x+1）（2x+1﹣3）＝0∴（2x+1）（2x﹣2）＝0∴2x+1＝0或2x﹣2＝0∴x1＝﹣，x2＝1．【点评】本题考查了利用公式法和因式分解法解一元二次方程，属于基本计算能力的考查，难度不大．【随堂练习】1．（2020秋•南京期末）方程x2﹣x＝0的根为（）A．x1＝x2＝0B．x1＝1，x2＝0C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝0【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，故选：B．2．（2020秋•南充期末）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（）A．1B．2C．1和2D．﹣1和﹣2【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2，故选：C．3．（2020秋•鼓楼区期末）方程x2﹣x＝0的解是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝0，x2＝1【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故选：D．4．（2020秋•濮阳期末）方程x（x+3）＝0的解是（）A．x1＝x2＝﹣3B．x1＝0，x2＝﹣2C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝1，x2＝3【解答】解：∵x（x+3）＝0，∴x＝0或x+3＝0，解得x1＝0，x2＝﹣3，故选：C．综合练习一．选择题（共3小题）1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（）A．﹣2B．0，2C．0，﹣2D．2【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，﹣x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2．故选：B．2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2﹣x﹣＝0C．﹣x2﹣2x+3＝0D．x2﹣2＝0【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；故选：B．3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（）A．a≠5B．a≥1C．a＞1且a≠5D．a≥1且a≠5【解答】解：由题意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，解得：a≥1且a≠5，故选：D．二．解答题（共4小题）4．解方程（1）3x2﹣8x+4＝0；（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，（3x﹣2）（x﹣2）＝0，∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，∴x1＝，x2＝2；（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，∴3x﹣4＝0或x+2＝0，∴x1＝，x2＝﹣2．5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．【解答】解：a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，∴a2﹣2a﹣4＝0，∴a2﹣2a＝4，∴原式＝4﹣2＝2．6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．【解答】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵m是方程的一个实数根，∴m2+（m+3）m+m+1＝0．整理得：2m2+4m+1＝0解得：m＝．7．用适当的方法解方程：（1）3x2﹣2x＝0；（2）（x﹣1）2＝4；（3）x2+2x﹣5＝0；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；分解因式得：x（3x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝；（2）（x﹣1）2＝4；开方得：x﹣1＝±2，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（3）x2+2x﹣5＝0，配方得：x2+2x+1＝6，即（x+1）2＝6，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；方程整理得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣2）（2x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝2.5；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15方程整理得：x2+x﹣3＝0，a＝1，b＝1，c＝﹣3∴b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13，∴x＝；解得：x1＝，x2＝．6 根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 【例题精选】例 1 （2020•鼓楼区一模）已知方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2＝________，x 1x 2＝__________．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x 1+x 2和x 1x 2的值．【解答】解：∵x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3＝0的两根，∴x 1+x 2＝﹣＝﹣2，x 1x 2＝＝﹣．故答案为：﹣2；﹣．例2（2020•泰兴市一模）一元二次方程x 2﹣4x +2＝0根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个正根C ．有一个正根，一个负根D ．有两个负根【分析】先求出“△”的值，再根据根的判别式的内容得出即可．【解答】解：x 2﹣4x +2＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，且x 1+x 2＝4＞0，x 1•x 2＝2＞0，∴有两个正根，故选：B ．【随堂练习】1．（2020秋•鄂州期末）一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．4B．﹣4C．﹣2D．2【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2020秋•遂宁期末）若一元二次方程5x﹣1＝4x2的两根为x1和x2，则x1•x2的值等于（）A．1B．C．D．【解答】解：方程化为4x2﹣5x+1＝0，根据题意得x1•x2＝．故选：B．3．（2020秋•东台市期末）方程x2﹣5x﹣6＝0的两根之和为（）A．﹣6B．5C．﹣5D．1【解答】解：设方程的两根是x1、x2，那么有x1+x2＝﹣＝﹣（﹣5）＝5．故选：B．7增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.) 【例题精选】例1 （2020•铁西区二模）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2018年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率．【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得：（1﹣x ）2＝0.25，解得：x ＝0.5＝50%或x ＝1.5（舍去）答：该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率为50%．【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．例2（2019秋•薛城区期末）某药品原价为100元，连续两次降价a %后，售价为64元，则a 的值为（ ）A ．10B ．20C ．23D ．36【分析】可先用x 表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于x 的方程．【解答】解：当药品第一次降价%时，其售价为100﹣100a %＝100（1﹣a %）；当药品第二次降价x 后，其售价为100（1﹣a %）2．∴100（1﹣a %）2＝64．解得：a ＝20或a ＝﹣180（舍去），故选：B ．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于64即可．【随堂练习】1．（2021•长丰县模拟）一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为x，那么所列方程正确的是（）A．60（1+x）2＝100B．60（1+2x）＝100C．100（1﹣x）2＝60D．100（1﹣2x）＝60【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得100（1﹣x）2＝60．故选：C．2．（2020秋•孟津县期末）某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下面所列方程正确的是（）A．36（1﹣x）2＝48B．36（1+x）2＝48C．36（1﹣x）2＝48﹣36D．48（1﹣x）2＝36【解答】解：依题意得：36（1+x）2＝48．故选：B．3．（2020秋•金台区期末）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（）A．y＝5（1+2x）B．y＝5x2C．y＝5（1+x）2D．y＝5（1+x2）【解答】解：依题意，得y＝5（1+x）2．故选：C．8、利润问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数【例题精选】例1 （2020•谷城县校级模拟）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（20+5x）＝1600解方程得x＝4或x＝36，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x＝36不合题意舍去，答：每件服装应降价4元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．例2 （2019秋•平江县期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现．若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．（1）若每件衬衫降价4元，则每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天盈利1200元．则每件衬衫应降价多少元？【分析】（1）可直接根据每件的利润×销售量＝总利润，求出结果；（2）此题首先根据盈利1200元，列出一元二次方程：（20+2×x）×（40﹣x）＝1200，然后解出即可．【解答】解：（1）（20+2×4）×（40﹣4）＝1008元．答：商场每天销售这种衬衫可以盈利1008元．（2）设每件衬衫降价x元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元，根据题意得：（20+2x）×（40﹣x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，（x﹣10）（x﹣20）＝0，解得：x1＝10，x2＝20，答：每件衬衫降价10元或20元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意找出题中的等量关系每件的利润×销售量＝总利润．【随堂练习】1．（2020秋•福州期末）某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（）A．（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680B．（x﹣12）（360﹣40x）＝1680C．（x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680D．（16+x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680【解答】解：设售价应涨价x元，则：（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680，故选：A．2．（2020秋•宁德期末）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（）A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确，不符合题意；B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确，不符合题意；C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确，不符合题意；D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，符合题意，故选：D．3．（2020秋•鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为．【解答】解：由题意可得，（40﹣x）（20+2x）＝1250，故答案为：（40﹣x）（20+2x）＝1250．4．（2021春•长兴县月考）某商场销售一批衬衣，每件衬衣的进价为80元，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣的售价应为多少元？【解答】解：设每件衬衣降价x元，则每件衬衣的售价为（80+50﹣x）元，每件衬衣盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（30+）＝（30+2x）件，依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，整理得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，又∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝25，∴80+50﹣x＝105（元）．答：每件衬衣的售价应为105元．9 其他问题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).【例题精选】例1 （2019秋•斗门区期末）学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）．（1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽．（2）能否围成面积为35平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由．【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为35平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＜0可得出该方程无解，进而可得出不能围成面积为35平方米的生物园．【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16﹣2x）米，依题意，得：x（16﹣2x）＝30，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，16﹣2x＝10＞8，不合题意，舍去；当x＝5时，16﹣2x＝6．答：生物园的长为6米，宽为5米．（2）不能，理由如下：设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16﹣2y）米，依题意，得：y（16﹣2y）＝35，整理，得：2y2﹣16y+35＝0．∵△＝（﹣16）2﹣4×2×35＝﹣24＜0，∴原方程无解，∴不能围成面积为35平方米的生物园．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．例2 （2020•德阳模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035B．x（x﹣1）＝1035C．x（x+1）＝1035D．x（x﹣1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．【随堂练习】1．（2021春•上城区校级期中）在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000B．（50+2x）（40+2x）＝3000C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000D．（50+x）（40+x）＝3000【解答】解：设边框的宽为xcm，所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm，根据题意，得：（50+2x）（40+2x）＝3000，故选：B．2．（2020秋•大余县期末）如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的宽为（）A．5米B．1米C．2米D．3米【解答】解：设该小道的宽为x米，依题意得（20﹣2x）（15﹣x）＝252，整理得x2﹣25x+24＝0，即：（x﹣24）（x﹣1）＝0，解得x1＝24（舍去），x2＝1．即：该小道的宽为1米．故选：B．3．（2020秋•官渡区期末）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝95B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6【解答】解：设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6．故选：D．综合练习一．解答题（共7小题）1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑感染x台，依题意，得：（1+x）2＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑感染11台．2．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？【解答】解：（1）设甬道的宽为x米，根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解得：x＝34（舍去）或x＝6，答：甬道的宽为6米；（2）设月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元，根据题意得：（200+a）（64﹣）＝14400整理，得a2﹣440a+16000＝0解得：a1＝400（舍去），a2＝40答：每个车位的月租金上涨40元时，停车场的月租金收入为14400元．3．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，解得：x＝10，或x＝190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．4．某公园要在一块长40m，宽30m的长方形空地上建成一个矩形花园，要求在花园中修三条纵向平行和两条横向平行的宽度相同的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为500m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣3x）（30﹣2x）＝500．整理，得3x2﹣85x+350＝0．解得，x1＝5，x2＝．∵＞30（不合题意，舍去），∴x＝5．答：小道进出口的宽度应为5米．5．某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．（1）求平均每年生产成本下降的百分率；（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．【解答】解：（1）设每年生产成本的下降率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．答：每年生产成本的下降率为10%．（2）81×（1﹣10%）＝72.9（万元）．答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．6．如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式．（2）如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？【解答】解：（1）y＝x（30﹣3x），＝﹣3x2+30x；（2）当y＝63时﹣3x2+30x＝63，解得x1＝7，x2＝3，当x＝7时30﹣3x＝9＜15当x＝3时30﹣3x＝21＞15 （不合题意，舍去）答：AB为7m．7．已知长方形硬纸板ABCD的长BC为40cm，宽CD为30cm，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm．（纸板的厚度忽略不计）（1）EF＝（30﹣2x）cm，GH＝（20﹣x）cm；（用含x的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面M的面积为300cm2，求剪掉的小正方形的边长．。
21.3+实际问题与一元二次方程+随堂练习+2024—2025学年人教版数学九年级上册
21.3 实际问题与一元二次方程 随堂练习一、选择题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ）A ．（3+x ）（4﹣0.5x ）＝15B ．（x+3）（4+0.5x ）＝15C ．（x+4）（3﹣0.5x ）＝15D ．（x+1）（4﹣0.5x ）＝152．如图，在高3m ，宽4m 的长方形墙面上有一块长方形装饰板(图中阴影部分)，装饰板的上面和左右两边都留有宽度为()m x 的空白墙面.若长方形装饰板的面积为24m ，则以下方程正确的是（ ）A ．()()344x x --=B ．()()3424x x --=C ．()()3244x x --=D ．()()32424x x --=简称：用主客场赛制(也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛).2022−2023CBA 常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（ ）A ．80个B ．120个C ．15个D ．16个4．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ）A ．（3+x ）（4-0.5x ）=15B ．（x+3）（4+0.5x ）=15C ．（x+4）（3-0.5x ）=15D ．（x+1）（4-0.5x ）=155．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（ ）元．A ．3320B ．3440C ．3450D ．34566．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．()22891256x -=B ．()22561289x -= C ．()28912256x -= D ．()25612289x -= 7.北京时间2月6日，土耳其、叙利亚遭遇严重地震，中国政府在第一时间启动紧急人道主义援助机制，彰显了大国担当．救援物资登机前，救援队临时搭建了长100米、宽80米的存储救援物资的矩形仓库，阴影部分是等宽的人、车通道，若除通道外，设道路宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．（100+x ）（80+2x ）＝7178B ．（100+2x ）（80+x ）＝7178C ．（100﹣x ）（80﹣2x ）＝7178D ．（100﹣2x ）（80﹣x ）＝71788.如图，面积为50m 2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用22m 长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m 宽的门（门的材料另计）（m ），则所列方程正确的是（ ）A ．（22+1﹣x ）x ＝50B ．（22﹣1﹣x ）x ＝50C ．（22+1﹣2x ）x ＝50D ．（22﹣1﹣2x ）x ＝509．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为220m 的矩形空地.设原正方形空地的边长为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．()()x 3x 220--=B ．()()x 3x 220++=C ．2x 3x 2x 20--=D ．2x 3220-⨯=10．如图1，矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，点P 沿BC 从点B 运动到点C ，设B P ，两点间的距离为x PA PE y -=，，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则BC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题 1.电流通过导线时会产生热量，设电流是I(安培)，导线电阻为R(欧姆)，t 秒产生的热量为Q(焦)，根据物理公式Q=I ²Rt ，如果导线的电阻为5欧姆，2秒时间导线产生60焦热量，则电流I 的值是 安培．2．已知直角三角形两条的边长是方程27120x x -+=的两个根，则这个直角三角形的面积为 ．3.有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，若要求出未知数x ，则应列出方程： （列出方程即可，不要解方程）．4.春节期间，某超市举办了“2023年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为a 元的商品降价%x 销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价%x ，此时售价共降低了b 元，则b = ．5.若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x 2−6x +8=0的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．6.某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出 x 个小分支，那么依题意可得方程为 .7.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为2116y x =-，当水面离桥顶的高度OH 为4m 时，水面的宽度AB 为 m ．8.2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A '、B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面 米．三、解答题1.我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的．某非法传销组织现有一名头目计划每人发展若干数目的下线，每个下线再发展同样数目的下线成员．经过两轮发展后，非法传销组织成员共有57人，间每个人计划发展下线多少人？2.已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程210 24mx mx-+-=的两个实数根．(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？3.甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．(1)求甲工程队每小时修的路面长度；(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(25m+)小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．4.甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a万元，且每天多挖1 24a．乙每合格完成1米隧道施工成本增加13a万元，且每天多挖18a米．若最终每天实际总成本比计划多11242a⎛⎫+⎪⎝⎭万元，求a的值．5.某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）（元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求出y与x的函数关系式；（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价，请说明理由．。
一元二次方程100道
一元二次方程100道一元二次方程练习题1. 因式分解并求解：(a) x² - 5x + 6 = 0(b) x² - 8x + 15 = 0(c) x² + 5x - 14 = 0(d) x² - 12x + 32 = 0(e) x² + 7x + 10 = 02. 求解使用二次公式：(a) 2x² - 5x + 2 = 0(b) x² + 4x - 12 = 0(c) 3x² - 7x + 4 = 0(d) 4x² - 9x + 5 = 0(e) 5x² + 10x + 21 = 03. 应用一元二次方程：(a) 一块矩形场地的长为 x 米，宽为 x - 4 米。
该场地的周长为 56 米，求它的长和宽。
(b) 一辆汽车以每小时 x 千米的速度行驶 2 小时，然后再以每小时 (x + 10) 千米的速度行驶 1 小时。
汽车共行驶了 150 千米，求汽车最初的速度 x。
(c) 一个抛物体以每秒 y 米的速度向上投掷。
经过 t 秒后，它的高度为 h 米，h = -yt + 1/2gt² (其中 g 为重力加速度)。
已知 h = 45 米，t = 5 秒，求抛物体的初速度 y。
4. 根与系数的关系：(a) 若一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的两个根为 r 和 s，求：r + s 和 rs。
(b) 若一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根为：±√5，求a、b、c。
5. 判别式与根的性质：(a) 若一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的判别式为 b² -4ac > 0，求其根的性质。
(b) 若一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的判别式为 b² -4ac = 0，求其根的性质。
一元二次方程的应用随堂50分练习
编号：007基础知识过关（总分50）姓名：得分：2.5一元二次方程的应用一、选择题（每题4分共计20分）1.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）A．144（1-x）2=100 B．100（1-x）2=144C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=1442.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．0.5x（x+1）=28 B.0.5x（x-1）=28C．x（x+1）=28 D．x（x-1）=283.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）A．x（5+x）=6 B．x（5-x）=6 C．x（10-x）=6 D．x（10-2x）=64.近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（）A．2016（1-x）2=1500 B．1500（1+x）2=2160C．1500（1-x）2=2160 D．1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=21605.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4-0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3-0.5x）=15 D．（x+1）（4-0.5x）=15二、填空题（每小题3分共计30分）6.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得________________7.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为______________8.海安某青少年素质实践基地2013年接待中小学生约7800人，计划到2015年，接待中小学生达到9100人．设每年平均增长率为x，则可列方程___________9.某种型号的电脑，原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售价为4860元/台．设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程：______________10.为了开封市争创全国卫生城市，某校准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米．设草坪的宽为x米，则可列方程为______________11.2013年12月，有关报告显示近几年江城写字楼价格的增幅远远高于住宅价格增幅，与住宅的价差越来越大，如2011年某写字楼与住宅均价价差为614元/平方米，2013年上升至2401元/平方米．设这两年该写字楼与住宅均价价差的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为_________________12.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程为：__________________13.现代化教学设备实现“班班通”，某市2012年安装“班班通”多媒体设备的经费是144万元，2014年安装“班班通”多媒体设备的经费是300万元．若设这两年安装“班班通”多媒体设备的经费平均增长率为x，可列方程是_______________14..某企业第一季度的产值为a万元，以后每季度的产值增长百分数都为x，则第三季度的产值是__________万元．15..某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是___________________。
【人教版】数学九年级全一册第21章微专题1一元二次方程的解法综合随堂练习(课件版)
2
解：(t＋2) ＝9， ∴t＋2＝±3，即 t1＝1，t2＝－5. ∵t＝ x2＋2x ≥0，∴t＝ x2＋2x ＝1.
2
则有 x2＋2x＝1.配方，得(x＋1) ＝2. 解得 x1＝－1＋ 2 ，x2＝－1－ 2 . 经检验：x1＝－1＋ 2 ， x2＝－1－ 2 是原方程的根．
用适当的方法解一元二次方程
8.(2019·绍兴)x 为何值时，两个代数式 x2＋1，4x＋1 的值相等？
解：由题可知，x2＋1＝4x＋1. ∴x2－4x＝0. ∴x(x－4)＝0.∴x1＝0，x2＝4. 答：当 x＝0 或 x＝4 时， 两个代数式 x2＋1，4x＋1 的值相等．
除了适合用直接开平方法和因式分解法外 的方程，均可用公式法求解 9.(2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
16.(2020·徐州)解方程：2x2－7x＋3＝0.
解：(十字相乘法)∵2x2－7x＋3＝0， ∴(2x－1)(x－3)＝0. ∴2x－1＝0 或 x－3＝0. ∴x1＝1 ，x2＝3.
2
17.(2020·乐山改编)已知 y≠0，且 x2－3xy－4y2＝0，
求x 的值． y
解：∵y≠0，∴两边同除以 y2，
第二十一章 一元二次方程
微专题1 一元二次方程的解法综合 (学会选择最优的解法)
形如“x2＝p(p≥0)或(x＋a)2＝p(p≥0)”的
方程可用直接开平方法 1.方程 16 x2＝1 的解为___x_1_＝_54__，__x_2＝__－__54_____．
25 2.(2020·扬州)方程(x＋1)2＝9 的根是x_1_＝__2_，__x_2＝__－__4．
解：移项，得 x2＋4x＝2. 配方，得(x＋2)2＝6. 开平方，得 x＋2＝± 6 . ∴x1＝－2＋ 6 ，x2＝－2－ 6 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学一元二次方程随堂练习60
一、选择题（共5小题；共25分）
1. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，如
果全组共有名同学，则根据题意列出的方程是
A. B.
C. D.
2. 有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为．如果把十位上的数字与个位上的数
字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数为．设原来的数的个位上的数字是，则可列方程是
A. B.
C. D.
3. 把面值为元的纸币兑换成面值为角或角的硬币，则换法只有种．
A. B. C. D.
4. 关于的一元二次方程和有且只有一个公共根，
则的值为
A. B. C. D.
5. 设，是方程的两个根，则有
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
6. 一元二次方程的根是．
7. 将关于的方程化成一元二次方程的一般形式．
8. 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形（充满）或正三角形（充满），摆成正三角形时比
摆成正方形时每边多两个球，则球的个数为．
9. 某种产品原来售价为元，经过连续两次大幅度降价处理，现按元的售价销售．设平均每
次降价的百分率为，列出方程：．
三、解答题（共4小题；共52分）
10. 不解方程，判断方程的根的情况．
11. 用换元法解方程
12. 某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一个月进馆
人次，此后进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过人次，若进馆人次的月平均增长率不变，到第几个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力，并说明理由．
13. 某商场经销一种成本为每千克元的水产品，经市场分析，若按每千克元销售，一个月能
售出千克；销售单价每涨价元，月销售量就减少千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．
（1）当销售单价定为每千克元，计算月销售量和月销售利润；
（2）商场计划在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应定为多少?
答案
第一部分
1. B 【解析】设全组有名同学，则每名同学所赠的标本为：件，
那么名同学共赠：件，
所以，．
故选：B．
2. A
3. B
4. D
5. B
第二部分
6. ，
【解析】，
，
所以，．
故答案为，．
7.
【解析】，
，
，
．
8.
【解析】设摆成正三角形时，每边球的个数是，根据题意得，解得或（不合题意，舍去），
．
9.
【解析】设降价的百分率为，
则第一次降价后的价格为：，
第二次降价后的价格为：，
所以，可列方程：．
第三部分
10. ，原方程无实数根．
11. ，
设，
原方程为，
，，
当时，
，
当时，
，
算术根非负，此方程无解，
经检验，
都是原方程解，
原方程解为．
12. （1）设进馆人次的月平均增长率为，
根据题意，得：
解得
答：进馆人次的月平均增长率为．
（2）第四个月进馆人数为（人次），第五个月进馆人数为（人次），
由于
答：到第五个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力．13. （1）月销售量为：（千克），
月利润为：（元）．
（2）设单价应定为元，
得：，
解得：，．
当时，月销售成本为元，不合题意舍去．
．
答：销售单价应定为元/千克．。