21一元二次方程专项练习
人教版九年级上第21章《一元二次方程》实际应用题练习含答案
《一元二次方程》实际应用题专项练习（一）1．今年国庆中秋双节同庆，某店推出了莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼两种月饼，其中莲蓉蛋黄月饼每盒成本15.5元售价40元，流心芝士月饼每盒成本18元售价48元．两种月饼均为整盒出售，不售散装．中秋节前，莲蓉蛋黄月饼和流心芝士月饼共销售了400盒，销售总额为17440元．（1）中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了多少盒？（2）为迎接双节，中秋当日该店大促销，莲蓉蛋黄月饼“买一送一”（买一盒送一盒）但销售单价不变，其当日销量（不算赠品）达到中秋前售卖的莲蓉蛋黄月饼总销量的；流心芝士月饼每盒销售单价减少，其当日销量比中秋节前流心芝士月饼总销量增加了5a%．中秋当日两种月饼的销售利润为2736元，求a的值．2．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．经调查发现，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该衬衫每件降价5元，则当天该衬衫的销量为件，当天可获利元；（2）设每件衬衫降价x元，则商场日销售量增加件，每件衬衫盈利元（用含x的代数式表示）；（3）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？3．随着现代互联网技术的广泛应用和快递行业的高速发展，网上购物的人越来越多，“双十一”当天更是成为了全民狂欢的网购节．据统计，某天猫官方旗舰店在2017年和2019年“双十一”当天的订单量分别为20万件和45万件，现假设该旗舰店每年“双十一”当天的订单量增长率相同．（1）求该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率；（2）如果该旗舰店的客服平均每人每天最多可以处理0.2万件订单，那么该旗舰店现有的250名客服能否当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单？如果不能，请问至少还需要增加多少名客服？4．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年3月份的进价如表：普通口罩N95口罩进价（元/包）8 20（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩售价贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．5．“疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米？6．今年某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了促进疫情期间的市民消费，从而扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销．经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，AP＝CQ？（2）经过几秒后，△PBQ的面积等于15cm2？8．10月份，是柚子上市的季节，柚子味酸甜，略带苦味，含有丰富的维生素c和大量的营养元素．有健胃补血，降血糖等功效，百果园大型水果超市的红心柚与沙田柚这两种水果很受欢迎，红心柚售价12元/千克，沙田柚售价9元/千克．（1）若第一周红心柚的销量比沙田柚的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红心柚多少千克？（2）若该水果超市第一周按照（1）中红心柚和沙田柚的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红心柚售价降低了a%，销量比第一周增加了a%，沙田柚的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了%，求a的值．9．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？10．如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD面积为72m2，求AB的长．参考答案1．解：（1）设中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了x盒，则流心芝士月饼卖了（400﹣x）盒，依题意得：40x+48（400﹣x）＝17440，解得：x＝220．答：中秋节前，莲蓉蛋黄月饼卖了220盒．（2）依题意得：（40﹣2×15.5）×220×+[48（1﹣）﹣18]×（400﹣220）（1+5a%）＝2736，整理得：3a2+25a﹣148＝0，解得：a1＝4，a2＝﹣（不合题意，舍去）．答：a的值为4．2．解：（1）30+2×5＝40（件），（50﹣5）×40＝1800（元）．故答案为：40；1800．（2）设每件衬衫降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件衬衫盈利（50﹣x）元．故答案为：2x；（50﹣x）．（3）设衬衫的单价应降m元，则每件衬衫盈利（50﹣m）元，商场日销售量为（30+2m）件，依题意得：（50﹣m）（30+2m）＝2000，整理得：m2﹣35m+250＝0，解得：m1＝10，m2＝25，又∵要尽快减少库存，∴m＝25．答：衬衫的单价应降25元．3．解：（1）设该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率为x，依题意得：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该旗舰店“双十一”当天订单量的年平均增长率为50%．（2）45×（1+50%）＝67.5（万件）．∵0.2×250＝50（万件），50＜67.5，∴该旗舰店现有的250名客服不能当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单． 设需要增加m 名客服，依题意得：0.2×（250+m ）≥67.5，解得：m ≥87，又∵m 为正整数，∴m 的最小值为88．答：该旗舰店现有的250名客服不能当天完成2020年“双十一”网购节的所有订单，至少还需要增加88名客服．4．解：（1）设普通口罩每包的售价为x 元，N 95口罩每包的售价为y 元．依题意得：，解得：． 答：普通口罩每包的售价为12元，N 95口罩每包的售价为28元．（2）设普通口罩每包的售价降低m 元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m ）元，日均销售量为（120+20m ）包．依题意得：（12﹣m ﹣8）（120+20m ）＝320，整理得：m 2+2m ﹣8＝0，解得：m 1＝2，m 2＝﹣4（不合题意，舍去），∴12﹣m ＝10．答：此时普通口罩每包的售价为10元．5．解：设AB ＝x 米，则BC ＝（9+1﹣2x ）米，根据题意可得，x （10﹣2x ）＝12，解得x 1＝3，x 2＝2，当x ＝3时，AD ＝4＜5，当x ＝2时，AD ＝6＞5，∵可利用的围墙长度仅有5米，∴AB 的长为3米．答：AB 的长度为3米．6．解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，解得：x1＝8，x2＝60．∵有利于减少库存，∴x＝60．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．7．解：（1）设经过x秒后，AP＝CQ，则AP＝xcm，CQ＝（10﹣2x）cm，依题意，得：x＝10﹣2x，解得：x＝．答：经过秒后，AP＝CQ．（2）设经过y秒后，△PBQ的面积等于15cm2，则BP＝（8﹣y）cm，BQ＝2ycm，依题意，得：（8﹣y）×2y＝15，化简，得：y2﹣8y+15＝0，解得：y1＝3，y2＝5．答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2．8．解：（1）设第一周销售红心柚x千克．则沙田柚（x﹣200）千克，根据题意得：12x+9（x﹣200）≥6600，解得：x≥400．答：第一周至少销售红心柚400千克；（2）根据题意得：12（1﹣a%）×400（1+a%）+9×200（1+a%）＝6600（1+%），∴a1＝45，a2＝0（舍去）．答：a的值为45．9．解：（1）设每人每轮传染x人，依题意，得：1+x+（1+x）•x＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去），∵8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；（2）81×（1+8）＝729（人），答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．10．解：设AB的长是xm，则BC的长是（18﹣x）m．根据题意，得x（18﹣x）＝72，解这个方程，得x1＝6，x2＝12，当x＝6时，18﹣x＝12＞10（不合题意，舍去）．当x＝12时，18﹣x＝6符合题意．答：AB的长是12m．《一元二次方程》实际应用题专项练习（二）1．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？2．全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．3．万州区某民营企业生产的甲、乙两种产品，已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同，3件甲商品的出厂总价比2件乙商品的出厂总价多150元．（1）求甲、乙商品的出厂单价分别是多少元？（2）为促进万州经济持续健康发展，为商家搭建展示平台，为行业创造交流机会，2019年万州区举办了多场商品展销会．外地一经销商计划购进甲商品200件，购进乙商品的数量是甲的4倍，恰逢展销会期间该企业正在对甲商品进行降价促销活动，甲商品的出厂单价降低了a%，该经销商购进甲的数量比原计划增加了2a%，乙的出厂单价没有改变，该经销商购进乙的数量比原计划减少了，结果该经销商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同，求a的值（a＞0）．4．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长为24m，宽为12m，在温室内，沿前侧内墙保留2m宽的空地，其它三侧内墙各保留等宽的通道．当通道的宽为多少时，蔬菜种植区域的面积是210m2？5．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递总件数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投0.5万件，那么该公司现有的29名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问需要至少增加几名业务员？6．温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加a%，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，A、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了a%，求a的值．7．柚子糖度高、酸味低，有益身体健康，深受大家喜爱．某水果店在去年8月份购进福建蜜柚和泰国青柚共900个，福建蜜柚进价为6元/个，泰国青柚进价为20元个，两种柚子的总进价不超过12400元．（1）该水果店去年8月份购进福建蜜柚最少多少个？（2）今年8月份，该水果店用和去年8月份相同的进价购进两种柚子，福建蜜柚购进数量为去年8月份购进数量的最小值，售价为16元/个．泰国青柚购进数量为去年8月份购进数量的最大值，售价为30元/个，两种柚子全部卖出．今年9月份，该水果店购进与上个月数量相同，进货单价相同的福建蜜柚．为了进一步占领市场份额，水果店对福建蜜柚进行了降价促销，它的售价在上个月的基础上先降价a%，再“买三送一”（每买3个就免费赠送1个，即4个装成一袋，一袋以3个的价格出售，但消费者只能整袋购买）．受各种因素的影响，与上个月相比，泰国青柚的进价下降40%，进货量下降a%，售价上涨2a%．两种柚子卖完后，该水果店今年9月份销售两种柚子的总利润比上个月上涨，求a的值．8．为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2017年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2019年投入资金达到1440万元．（1）从2017年到2019年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少？（2）假设保持这个年平均增长率不变，请预测一下2020年该县将投入多少资金用于教育扶贫？9．草根学堂院内有一块长30m，宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条长方形的矩形小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（注：所有小道宽度相等）10．今年8月双福国际农贸市场某水果批发商用2.2万元购得“象牙芒”和“红富士苹果”共400箱，其中，“象牙芒”、“红富士”的数量比为5：3．已知每箱“象牙芒”的售价是每箱“红富士”的售价的2倍少10元，预计3月可全部销售完．（1）该批发商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱“象牙芒”至少卖多少元？（总利润＝总销售额﹣总成本）（2）实际销售时，受中央“厉行节约”号召的影响，在保持（1）中最低售价的基础上，“象牙芒”的销售下降了%，售价下降了a%；“红富士”的销售量下降了a%，但售价不变．结果导致“象牙芒”、“红富士”的销售总额相等．求a的值．参考答案1．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（22，36），（24，32）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）．故答案为：y＝﹣2x+80（20≤x≤28）．（2）依题意，得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，整理，得：x2﹣60x+875＝0，解得：x1＝25，x2＝35（不合题意，舍去）．答：每本纪念册的销售单价是25元．2．解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万件/天，依题意，得：（1+a）（1500﹣50a）＝15000，化简得：a2﹣29a+270＝0，∵△＝（﹣29）2﹣4×1×270＝﹣239＜0，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件．3．解：（1）设甲商品的出厂单价是x元/件，则乙商品的出厂单价是x元/件，根据题意得：3x﹣2×x＝150，解得：x＝90，∴x ＝60．答：甲、乙商品的出厂单价分别是90、60元．（2）由题意得：， 解得：a 1＝0（舍去），a 2＝15．答：a 的值为15．4．解：设通道的宽为xm ，则蔬菜种植区域为长（24﹣2﹣x ）m ，宽（12﹣2x ）m 的矩形， 依题意，得：（24﹣2﹣x ）（12﹣2x ）＝210，整理，得：x 2﹣28x +27＝0，解得：x 1＝1，x 2＝27（不合题意，舍去）．答：当通道的宽为1m 时，蔬菜种植区域的面积是210m 2．5．解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意，得10（1+x ）2＝14.4解得x 1＝0.2，x 2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%．（2）由（1）得，14.4×1.2＝17.28（万件），29×0.5＝14.5，14.5＜17.28，故不能完成任务．因为（17.28﹣14.5）÷0.5＝5.56，所以还需要至少增加6名业务员．答：需要至少增加6名业务员．6．解：（1）设购进x 台A 型号暖风机，则购进（900﹣x ）台B 型号暖风机， 依题意，得：600x +900（900﹣x ）≥690000，解得：x ≤400．答：至多购进400台A 型号暖风机．（2）依题意，得：600（1﹣a %）×400（1+a %）+900（1﹣a %）×（900﹣400）（1+a %）＝690000（1+a%），整理，得：150a﹣12a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为12.5．7．解：（1）设该水果店去年8月份购进福建蜜柚x个，则购进泰国青柚（900﹣x）个，依题意，得：6x+20（900﹣x）≤12400，解得：x≥400．答：水果店去年8月份购进福建蜜柚最少400个．（2）由（1）可知：今年8月份，该水果店购进福建蜜柚400个、泰国青柚500个．依题意，得：[16（1﹣a%）×﹣6]×400+[30（1+2a%）﹣20×（1﹣40%）]×500（1﹣a%）＝[（16﹣6）×400+（30﹣20）×500]×（1+），整理，得：90a﹣3.6a2＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．8．解：（1）设该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x＝0.2或x＝﹣2.2（舍），答：从2017年到2019年，该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为20%；（2）2020年投入的教育扶贫资金为1440×（1+20%）＝1728万元．9．解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532．整理，得x2﹣35x+34＝0．解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．10．（1）设象牙芒有5x箱，则红富士有3x箱，根据题意得：5x+3x＝400，解得x＝50，则象牙芒有250箱，红富士有150箱．设每箱象牙芒y元，则250（2y﹣10）+150y﹣22000≥8000．解得：y≥50，∴2y﹣10≥90答：每箱“象牙芒”至少卖90元；（2）根据题意得：250（1﹣a%）•90（1﹣a%）＝150（1﹣a%）•50，令t＝a%，整理，得：4t2﹣5t+1＝0，……（7分）解得：t＝1（不合题意，舍去）或t＝0.25，∴a＝25．答：a的值为25．。
人教版九年级数学上学期 第21章 一元二次方程 单元练习
20．2020 年 3 月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这
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一．选择题 1． C． 2． A． 3． A． 4． B． 5． A． 6． D． 7． C． 8． D． 9． D． 10． A． 二．填空题 11．﹣3、16． 12． 4． 13．6． 14． 18 或 21． 15． x（x﹣1）＝21．
参考答案
三．解答题 16．解：（1）∵（x﹣2）2＝9，
（6）
＝1．
17．已知关于 x 的方程 x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0． （1）试判断该方程根的情况，说明理由； （2）若该方程与方程 2x2﹣（k﹣3）x+k﹣6＝0 有且只有一个公共根，求 k 的值．
18．为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工 作.2020 年 3 月，国内某企业口罩出口订单额为 1000 万元，2020 年 5 月该企业口罩出口 订单额为 1440 万元．求该企业 2020 年 3 月到 5 月口罩出口订单额的月平均增长率．
则 x＝
＝
，
即 x1＝
，x2＝
；
（4）∵3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2）， ∴3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）（3x+2）＝0，
解得 x1＝2，x2＝﹣ ；
（5）∵（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0， ∴（x﹣1﹣1）（x﹣1﹣4）＝0，即（x﹣2）（x﹣5）＝0， 则 x﹣2＝0 或 x﹣5＝0， 解得 x1＝2，x2＝5； （6）两边都乘以 x﹣2，得：2x+2＝x﹣2， 解得 x＝﹣4， 检验：当 x＝﹣4 时，x﹣2＝﹣6≠0， ∴分式方程的解为 x＝﹣4． 17．解：（1）方程有两个不相等的实数根，理由如下： △＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4． ∵（k﹣1）2≥0， ∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0， ∴无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）设两个方程的一个公共根为 m，
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案
人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。
人教版九年级上册第21章 《一元二次方程应用》专项练习
《一元二次方程》应用题1．合肥百货大楼服装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价2元，那么平均每天就可多售出4件．若要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？2．某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？3．甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价．已知该商品现价为每件32.4元，（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？4．前阶段国际金价大幅波动，在黄金价格涨至每克360元时，大批被戏称为“中国大妈”的非专业人士凭满腔热情纷纷入场买进黄金，但十分遗憾的是国际金价从此下跌，在经历了二轮大幅下跌后，日前黄金价格已跌至每克291.60元，大批“中国大妈”被套，这件事说明光有热情但不专业也是难办成事的；同学们：你们现在14、15岁，正值学习岁月，务必努力学习．下面请你用你已学的知识计算一下这二轮下跌的平均跌幅和反弹回买进价所需的涨幅．（精确到1%）5．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元．（1）设销售单价为每千克a元，每天平均获利为y元，请解答下列问题：①每天平均销售量可以表示为；②每天平均销售额可以表示为；③每天平均获利可以表示为y＝；（2）该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？6．如图1是一块长为60cm的正方体薄铁片制作的一个长方体盒子，如果要做一个没有盖的长方体盒子，可先在薄铁片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图2），然后把四边折合起来．（1）求做成的盒子底面积y（cm2）与截去小正方形边长x（cm2）之间的函数关系式；（2）当做成的盒子的底面积为900cm2时，试求该盒子的容积．7．如图，有总长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．（1）如果设花圃的宽AB＝x米，则BC长多少米？（用含x的代数式表示）；（2）如果要使花圃的面积为45平方米，那么花圃的宽AB应为多少米？（3）如果要在两个矩形的BC一边各开一个1.5米宽的门（做门材料不占用篱笆），且花圃的总面积为54平方米，那么花圃的宽AB应为多少米？8．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0有两个实数根，第三边BC的长为5．（1）求证：无论k为何值，关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0都有两个不相等的实数根；（2）当k为何值时，△ABC是直角三角形；（3）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．10．经市场调查发现，某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个，某商场计划购进一批这种书包．当商场每月有10000元的销售利润时，（1）书包的售价应为多少元？（2）书包的月销售量为多少个？（3）为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？11．某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元．（直接写出答案）（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？12．某商店经销一种进价为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答一下问题：（1）当销售单价定位每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）商店要使月销售利润为8000元，销售单价应定为多少？13．中秋节来临之前，某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼，第一周以每盒168元的价格销售了300盒，第二周如果单价不变，预计仍可售出300盒，该超市经理为了增加销量，决定降价，据调查，单价每降低1元，可多售出10盒，但最低每盒要赢利30元，第二周结束后，该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖，此时价格为70元/盒．（1）若设第二周单价降低x元，则第二周的单价是，销量是；（2）经两周后还剩余月饼盒；（3）若该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是多元？参考答案1．解：设每件童装应降价x 元，则平均每天可售出（20+）件，依题意，得：（40﹣x ）（20+）＝1200， 整理，得：x 2﹣30x +200＝0，解得：x 1＝10，x 2＝20．∵要求尽快减少库存，∴x ＝20．答：每件童装应降价20元．2．解：（1）依题意有， 解得． 故y 与x 的函数关系式是y ＝﹣10x +80；（2）设该设备的销售单价为x 万元/台，依题意有（x ﹣2）（﹣10x +80）＝80，整理方程，得x 2﹣10x +24＝0．解得x 1＝4，x 2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x 2＝6（舍），所以x ＝4．答：该设备的销售单价是4万元．3．解：（1）设这种商品平均降价率是x ，依题意得：40（1﹣x ）2＝32.4，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（舍去）；故这个降价率为10%；（2）设降价y 元，根据题意得（40﹣20﹣y ）（500+50y ）＝10000解得：y ＝0（舍去）或y ＝10，原售价40元降价10元时，应为：40一10＝30元，∵现价为每件32.4元，∴32.4﹣30＝2.4，答：在现价的基础上，再降低，2.4元．4．解：设平均每次下跌的幅度为x ．则依题意，得360（1﹣x ）2＝291.6，解得x 1＝0.1，x 2＝﹣1.9（不合题意，舍去），取x ＝0.1即平均每次跌幅为10%；360÷291.6≈1.234，即反弹回买进价所需的涨幅约为24%（此处用进一法）答：这二轮下跌的平均跌幅和反弹回买进价所需的涨幅分别是10%、24%．5．解：（1）由题意，得①（1400﹣400a ）千克②（1400﹣400a ）a 元③y ＝（a ﹣2）（1400﹣400a ）﹣24（元）故答案为：（1400﹣400a ）千克，（1400﹣400a ）a 元，（a ﹣2）（1400﹣400a ）﹣24（元）（2）当y ＝200时，（a ﹣2）（1400﹣400a ）﹣24＝200整理得：a 2+5.5a ﹣7.56＝0解得：a 1＝2.7，a 2＝2.8当a ＝2.7时，降价为：3﹣a ＝0.3元当a ＝2.8时，降价为：3﹣a ＝0.2元∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．6．解：（1）由题意可得y ＝（60﹣2x ）2＝4x 2﹣240x +3600（0＜x ＜30）；（2）当y ＝900时，（60﹣2x ）2＝900，解得x ＝15，x ＝45（不合题意舍去）． 因此盒子的容积应该是900×15＝13500（立方厘米）．答：该盒子的容积式13500立方厘米．7．解：（1）（24﹣3x ）（2）由（1）题结合题意得x （24﹣3x ）＝45，解得x 1＝3 x 2＝5当x ＝3时，24﹣3x ＝15＞10（不合，舍去）当x ＝5时，24﹣3x ＝9＜10 符合题意所以AB 的长应为5米（3）依题意得x （24﹣3x +1.5×2）＝54，解得x 1＝3 x 2＝6当x ＝3时，24﹣3x +1.5×2＝18＞10（不合，舍去）当x ＝6时，24﹣3x +1.5×2＝9＜10，符合题意所以这时AB 的长应为6米．8．解：（1）因为△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2k +3）]2﹣4×1×（k 2+3k +2）＝1＞0， 所以方程总有两个不相等的实数根．（2）解：x 2﹣（2k +3）x +k 2+3k +2＝0的解为x ＝，∴x 1＝k +2，x 2＝k +1，设AB ＝k +2，AC ＝k +1，当AB 2+AC 2＝BC 2，即（k +2）2+（k +1）2＝52，解得：k 1＝﹣5，k 2＝2，由于AB ＝k +2＞0，AC ＝k +1＞0，所以k ＝2；当AB 2+BC 2＝AC 2，即（k +2）2+52＝（k +1）2，解得：k ＝﹣14，由于AB ＝k +2＞0，AC ＝k +1＞0，所以k ＝﹣14舍去；当AC 2+BC 2＝AB 2，即（k +1）2+52＝（k +2）2，解得：k ＝11，由于AB ＝k +2＝13，AC ＝12，所以k ＝11，∴k 为2或11时，△ABC 是直角三角形．（3）若AB ＝BC ＝5时，5是方程x 2﹣（2k +3）x +k 2+3k +2＝0的实数根，把x ＝5代入原方程，得k ＝3或k ＝4．由（1）知，无论k 取何值，△＞0，所以AB ≠AC ，故k 只能取3或4．根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB +AC ＝2k +3，当k ＝3时，AB +AC ＝9，则周长是9+5＝14；当k ＝4时，AB +AC ＝8+3＝11．则周长是11+5＝16．9．解：（1）设经过x 秒，△PBQ 的面积等于8cm 2则：BP ＝6﹣x ，BQ ＝2x ，所以S △PBQ ＝×（6﹣x ）×2x ＝8，即x 2﹣6x +8＝0，可得：x ＝2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8cm 2．（2）设经过y 秒，线段PQ 恰好平分△ABC 的面积，△PBQ 的面积等于12cm 2，S △PBQ ＝×（6﹣y ）×2y ＝12，即y 2﹣6y +12＝0，因为△＝b 2﹣4ac ＝36﹣4×12＝﹣12＜0，所以△PBQ 的面积不会等于12cm 2，则线段PQ 不能平分△ABC 的面积．10．解：（1）设书包的售价应定为x 元，则有（x ﹣30）[600﹣10（x ﹣40）]＝10000． 解得x 1＝50，x 2＝80．所以书包的售价应定为50元或80元．（2）当售价为50元时，销售量为500个；当售价为80元，销售量为200个．（3）∵当x ＝50时候，销售量为500个，最多，∴销售价格应定为50元．11．解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x ，y 元， 根据题意得：， 解得：， ∴甲、乙零售单价分别为2元和3元；故答案为：2，3；（2）根据题意得出：即2m2﹣m＝0，解得m＝0.5或m＝0（舍去），答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元．12．解：（1）根据题意得：月销售量是：500﹣（55﹣50）×10＝450（千克）；销售利润：450×（55﹣40）＝450×15＝6750（元）；（2）设销售单价定为每千克x元时，则月销售量为：[500﹣（x﹣50）×10]＝（1000﹣10x）千克，每千克的销售利润是：（x﹣40）元，则（x﹣40）（1000﹣10x）＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．答：月销售利润达到8000元销售单价应定为60元或80元；13．解：（1）由题意得：第二周降价x元，故第二周的售价为（168﹣x）元，销量为（300+10x）盒；（2）第一周的销量为300盒，第二周的销量为（300+10x）盒，故经两周后还剩余月饼：1000﹣300﹣（300+10x）＝（400﹣10x）盒；（3）因为最低每盒要赢利30元，故168﹣x﹣80≥30，解得：x≤58，当0≤x≤58时，获利W＝（168﹣80）×300+（168﹣80﹣x）（300+10x）+（﹣10）×（400﹣10x）＝51360，解得：x1＝4，x2＝64，因为x≤58，故x取4．答：该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是164元．。
第二十一章一元二次方程练习
21.1 一元二次方程1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A.x2+=0B.ax2+bx+c=0C.(x-1)(x+2)=1D.3x2-2xy-5y2=02.若关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程,则( )A.a>0B.a≠0C.a=1D.a≥03.[2013²安顺]已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为( )A.1B.-1C.2D.-24.下列关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的说法正确的有( )①若有一个根为零时,则c=0;②若有一个根为1时,则a+b+c=0;③若有一个根为-1时,则a-b+c=0;④只有一个实数根.A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图21-1-1所示,图形中四个长方形的长比宽多5,围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x,则下列方程不正确的是( )A.x(x+5)=25B.x2+5x=25C.x2+5x-20=0D.x(x+5)-25=06.若方程4x k-1+3x+1=0是关于x的一元二次方程,则k的值为 .7.已知关于x的方程x2-mx+n=0的两个根是0和-3,则m= ,n= .8.当x=时,方程(a2-9)x2+(a+3)x+5=0不是关于a的一元二次方程;当a= 时,方程(a2-9)x2+(a+3)x+5=0是关于x的一元一次方程.9.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”大意是说:已知矩形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如果设门的宽为x尺,那么这个门的高为(x+6.8)尺,根据题意,得,整理、化简,得.10.资料中有一这样的题目:把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、现把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答:(1)下列式子中,有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号).①x2-x-2=0;②-x2+x+2=0;③x2-2x=4;④-x2+2x+4=0;⑤x2-2x-4=0.(2)方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系?11.[2013²黔西南州]已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是 .12.翠湖公园有一块长为32 m,宽为20 m的长方形空地,现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路.如图21-1-2所示,若设道路宽为x m,剩下的空地面积为540 m2,请列出关于x的一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.13.已知m是方程x2-2 013x+1=0的一个根,试求代数式m2-2 012m+的值.答案解析21.1 一元二次方程1. C【解析】 A是分式方程,B中缺a≠0,D中含有两个未知数.2. B【解析】一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0,故选B.3. A【解析】因为x=3是原方程的根,所以将x=3代入原方程,即32-3k-6=0成立,解得k=1.4. C【解析】把x=0代入原方程有a×02+b×0+c=0,得到c=0;把x=1代入原方程有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0;把x=-1代入原方程有a×(-1)2+b×(-1)+c=0,即a-b+c=0,这说明①②③都正确.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以没有实数根,所以④不正确.5. C【解析】大正方形边长为2x+5,则(2x+5)2=125,∴4x2+20x+25=125,∴4x2+20x-100=0,∴x2+5x-25=0,故A、B、D正确,选C.6.3【解析】∵此方程是一元二次方程,∴k-1=2,∴k=3.7.-3 0【解析】由题意得∴8.09.x2+(x+6.8)2=1022x2+13.6x-53.76=010.(1) ①②④⑤(2)解:(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a,常数项为-4a.11.1【解析】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,∴12+a+b=0,∴a+b=-1.∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.12.【解析】为了便于计算图形的面积,通过如答图所示的方式平移. 解:将图形中的“之”字路进行平移得到如答图所示的图形.依题意得(32-x)(20-x)=540,整理,得一般形式为x2-52x+100=0,二次项系数为1,一次项系数为-52,常数项为100.第12题答图13.解:∵m为方程x2-2 013x+1=0的根,∴m2-2 013m+1=0,即m2-2 013m=-1,m2+1=2 013m,∴m2-2 012m+=m2-2 013m+m+=-1+m+.又由m2-2 013m+1=0,两边同除以m得m+=2 013,∴原式=-1+2 013=2 012.21.2 解一元二次方程用直接开平方法解一元二次方程1.方程(x+2)2-3=0的解为( )A.x1=2+,x2=-2- B.x1=2+,x2=-2+ C.x1=2-,x2=2+ D.x1=-2+,x2=-2-2.[2013²威海]已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是( )A. m≥-B. m ≥0C.m≥1D. m≥23.方程4x2+4x+1=0的解是( )A.x1=x2=0.2 B.x1=x2=-2 C.x1=x2= D.x1=x2=-4.若a为一元二次方程(x-)2=100的一个根,b为一元二次方程(y-4)2=17的一个根,且a,b都是正数,则a-b等于( )A.5B.6C.D.10-5.[2013²赣州模拟]一元二次方程4(x-1)2-9=0的解是.6.如果分式的值为零,那么x= .7.若x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根,则a的值为.8.当x= 时,代数式(x-2)2与(2x+5)2的值相等.9.在实数范围内定义运算“☆”,其规则为a☆b=a2-b2,则方程(4☆3)☆x=13的解为x= .10.解下列方程:(1)[2012²永州](x-3)2-9=0; (2)(2x-3)(2x-3)=x2-6x+9; (3)(2x+3)2-(1-)2=0.11.已知等腰三角形的两边长分别是(x-3)2=1的两个解,则这个三角形的周长是( )A.2或4B.8C.10D.8或1012.若关于x的方程(3x-c)2-60=0的两根均为正数,其中c为整数,则c的最小值为( )A.1B.8C.16D.6113.以大约与水平线成45°角的方向,向斜上方抛出标枪,抛出距离s(单位:米)与标枪出手的速度v(单位:米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系:s=+2,如果抛出48米,试求标枪出手时的速度(精确到0.1米/秒).14.已知=,求关于x的方程x2-3m=0的解.15.已知a+b=4n+2,ab=1,若19a2+152ab+19b2的值为2 014,求n.答案解析第1课时用直接开平方法解一元二次方程6. D7. B【解析】 (x+1)2-m=0,整理得(x+1)2=m.∵一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,∴m≥0.8. D【解析】由4x2+4x+1=0得(2x+1)2=0,∴2x+1=0,x=-,∴x1=x2=-.9. B【解析】 (x-)2=100的根为x1=-10+,x2=10+,又因为a为正数所以a=10+.(y-4)2=17的根为y 1=4+,y2=4-,因为b为正数所以b=4+,所以a-b=10+-(4+)=6.10.x1=-12,x2=126.-2【解析】由题意得x2-4=0且x-2≠0,∴x=-2.7. ±【解析】把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得22-2-a2+5=0,即a2=7,所以a=±.8. -7或-1【解析】由(x-2)2=(2x+5)2,得x-2=±(2x+5),即x-2=2x+5或x-2=-2x-5,所以x1=-7,x2=-1.9. ±6【解析】 4☆3=42-32=16-9=7,7☆x=72-x2,10. 解:(1)(x-3)2=9,x-3=±3,∴x1=0,x2=6;(2)原方程可化为(2x-3)2=(x-3)2,两边开平方得2x-3=±(x-3),即2x-3=x-3或2x-3=-(x-3),∴x1=0,x2=2;(3)原方程可化为(2x+3)2=(1-)2,∴2x+3=±(1-).∴2x+3=1-或2x+3=-(1-).∴x1=-1-,x2=-2+.11.C【解析】开方得x-3=±1,即x=4或2,则等腰三角形的三边长只能为4,4,2,则其周长为10.故选C.12.B【解析】原方程可化为(3x-c)2=60,3x-c=±,3x=c±,x=.因为两根均为正数,所以c>>7,所以整数c的最小值为8.故选B.13.解:把s=48代入s=+2,得48=+2,v2=46×9.8,∴v1≈21.2,v2≈-21.2(舍去).答:标枪出手时的速度约为21.2米/秒.14. 解:=,方程两边同时乘m(m-1),得2m=3(m-1),解得m=3.将m=3代入方程x2-3m=0,则x2-9=0,解得x=±3,即关于x的方程x2-3m=0的解为x1=3,x2=-3.15.解:∵19a2+152ab+19b2=19(a+b)2-38ab+152ab =19(a+b)2+114ab,且a+b=4n+2,ab=1,又19a2+152ab+19b2的值为2 014,∴19×(4n+2)2+114×1=2 014,即(4n+2)2=100,∴4n+2=±10,当4n+2=10时,解得n=2;当4n+2=-10时,解得n=-3.故n为2或-3.用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x2-x-4=0时,配方后得( )A.=B.=-C.=D.以上答案都不对2.若一元二次方程x2-2x-3 599=0的两根为a,b,且a>b,则2a-b之值为( )A.-57B.63C.179D.1813.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )A.(x-p)2=5B.(x-p)2=9C.(x-p+2)2=9D.(x-p+2)2=54.用配方法使下列等式成立(1)x2-2x-3=(x- )2+( ); (2)3x2-2x-2=3 (x- )2+( ).5.[2013²吉林]若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .6.当m= 时,x2+mx+36是完全平方式.7.用配方法解一元二次方程:(1)x2-2x=5; (2)2x2+1=3x; (3)2t2-6t+3=0; (4)6x2-x-12=0; (5)2y2-4y=4; (6)x2+3=2x.8.用配方法解方程:(1)[2013²山西](2x-1)2=x(3x+2)-7; (2)5(x2+17)=6(x2+2x).9.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1,则实数p的值是( )A.4B.0或2C.1D.-110.利用配方法比较代数式3x2+4与代数式2x2+4x值的大小.11.已知a,b,c是△ABC三边长,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca.试判断△ABC的形状,并说明理由.答案解析第2课时用配方法解一元二次方程1. C【解析】先把方程化为x2-3x-12=0,再移项得x2-3x=12,配方得=.2. D【解析】x2-2x-3 599=0,移项得x2-2x=3 599,x2-2x+1=3 599+1,即(x-1)2=3 600,x-1=60或x-1=-60,解得x=61或x=-59.∵一元二次方程x2-2x-3 599=0的两根为a,b,且a>b,∴a=61,b=-59,∴2a-b=2×61-(-59)=181.3. A【解析】由x2-6x+q=0,得x2-6x+9-9+q=0,即(x-3)2-9+q=0,∴(x-3)2=9-q.∴q=2,p=3.∴x2-6x+q=2即为x2-6x+2=2,x2-6x=0,x2-6x+9=9,(x-3)2=9,即(x-p)2=9.故选B.4.(1)1 -4(2)13735. 36. ±12【解析】∵x2+mx+36=x2+mx+62是完全平方式, ∴m=±2×1×6,∴m=±12.7.解:(1)配方,得(x-1)2=6,∴x-1=±,∴x 1=1+,x2=1-;(2)移项得2x2-3x=-1,二次项系数化为1得x2-x=-,配方得x2-x+=-+,即=,∴x-=±,解得x1=1,x2=;(3)移项、系数化为1得t2-3t=-,配方得t2-3t+=-+,即=,开方得t-=±,∴t1=,t2=.(4)移项,得6x2-x=12,二次项系数化为1,得x 2-=2,配方,得x2-+=2+,即=,∴x-=±,∴x1=,x2=-;(5)系数化为1,得y2-2y=2,配方,得y2-2y+1=2+1,即(y-1)2=3,∴y-1=±,∴y=1+,y2=1-;(6)移项,得x2-2x=-3,配方,得x2-2x+()2=-3+()2,即(x-)2=0,∴x=x2=.8. 解:(1)(2x-1)2=x(3x+2)-7,整理得x2-6x=-8,配方得(x-3)2=1,∴x-3=±1,∴x1=2,x2=4.(2)5(x2+17)=6(x2+2x),整理得:,x2+12x-85=0,∴x2+12x=85,x2+12x+36=85+36,∴(x+6)2=121,∴x+6=±11,∴x1=5,x2=-17.9.C【解析】把x=1代入原方程有1-5+p2-2p+5=0,即p2-2p+1=0,∴(p-1)2=0,∴p=1.10.解:∵(3x2+4)-(2x2+4x)=3x2+4-2x2-4x=x2-4x+4=(x-2)2≥0,∴3x2+4≥2x2+4x.11.解:△ABC是等边三角形.理由略理由:∵a2+b2+c2=ab+bc+ca,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=0, ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,即a=b=c,∴△ABC是等边三角形.21.2.2 公式法1.[2013²成都]一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.方程x2+x-1=0的一个根是( )A.1-B.C.-1+D.3.[2012²南昌]已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根,则a的值是( )A.1B.-1C.D.-4.方程4y2=5-y化成一般形式后,a= , b= ,c= ,则b2-4ac= ,所以方程的根为 .5.[2013²滨州]一元二次方程2x2-3x+1=0的解为 .6.[2012²上海]如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实数根,那么c的取值范围是.7.不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况:(1)3x2-2x-1=0; (2)2x2-x+1=0; (3)4x-x2=x2+2; (4)3x-1=2x2.8.用公式法解方程:(1)x2=6x+1; (2)2x2-3x=0; (3)0.2x2-0.1=0.4x; (4)x-2=2x2.9.[2012²广安]已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )A.a>2B.a<2C.a<2且a≠1D.a<-210.用适当的方法解一元二次方程:(1)(3x+1)2-9=0; (2)x2+4x-1=0(用两种方法);(3)3x2-2=4x; (4)(y+2)2=1+2y(用两种方法).11.[2013²北京]已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.答案解析21.2.2公式法1. A2. D【解析】用公式法解得x=.3. B【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=0,即22-4(-a)=0,解得a=-1.4. 4 1 -5 81 y1=1,y2=-5.x1=1,x2=6.c>9【解析】∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实数根,∴Δ=(-6)2-4c<0,即36-4c<0,c>9.7.解:(1)Δ>0,方程有两个不相等的实数根;(2)Δ<0,方程没有实数根;(3)Δ=0,方程有两个相等的实数根;(4)Δ>0,方程有两个不相等的实数根.8.解:(1)x1=,x2=; (2)x1=3+,x2=3-; (3)x1=0,x2=; (4)x1=,x2=;(5)x1=,x2=; (6)无解.9.C【解析】Δ=4-4(a-1)=8-4a>0,得a<2.又a-1≠0,∴a<2且a≠1.10.解:(1)x1=,x2=-;(2)x1=-2-,x2=-2+;(3)x1=,x2=;(4)无解.11.解:(1) Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实数根,∴20-8k>0,∴k<.(2)∵k为正整数,∴0<k<(且k为整数),即k为1或2.∴当k=1时,方程x2+2x-2=0的根x=-1±不是整数;当k=2时,方程x2+2x=0的根x 1=-2,x2=0.都是整数,综上所述,k=2.创新专题(一) 配方法与公式法的综合一配方法的运用1.若4x2+k xy+y2表示一个完全平方式,则k的值为( )A.4B.±4C.±8D.82.利用配方法证明:无论x取何实数值,代数式-x2-x-1的值总是负数,并求它的最大值.3.已知a2-4a+b2-+=0,求a2-4的值.二配方法解方程4.[2012²兰州]已知x是一元二次方程x2-2x+1=0的根.求代数式÷(x+2-)的值.5.[2013²杭州]当x满足条件时,求出方程x2-2x-4=0的根.6.[2012²张家界]阅读材料:对于任何实数,我们规定符号的意义是=ad-bc.例如:=1³4-2³3=-2,=(-2)³5-4³3=-22.(1)按照这个规定请你计算的值;(2)当x2-4x+4=0时,按照这个规定请你计算的值.三公式法解方程7.[2012²珠海]已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.(1)当m=3时,判断方程的根的情况;(2)当m=-3时,求方程的根.8.[2013²淄博]关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根.(1)求a的最大整数值;(2)当a取最大整数值时,①求出该方程的根;②求2x2-的值.答案解析创新专题(一) 配方法与公式法的综合1. B2. 证明:-x 2-x -1=-+-1=--.∵-≤0,∴--<0, 即无论x 取何值时,代数式-x 2-x -1的值总是负数. 当x =-时,-x 2-x -1有最大值-.3. 解:∵a 2-4a +b 2-+=0,∴(a 2-4a +4)+=0,即(a -2)2+=0, ∴a-2=0且b -=0,∴a=2,b=,∴a 2-4=22-4=4-4×=2.4. 解:∵x 2-2x +1=0,∴(x -1)2=0,∴x 1=x 2=1.原式=÷=·=.当x =1时,原式=.5. 解:由得2<x <4.解方程x 2-2x -4=0得x 1=1+,x 2=1-. 又∵2<<3,2<x<4, ∴x =1+.6. 解:(1)=5×8-7×6=-2;(2)由x 2-4x +4=0得x=2,==3×1-4×1=-1.7. 解:(1)当m =3时,b 2-4ac =22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m =-3时,x 2+2x -3=0,∵a =1,b =2,c =-3,Δ=b 2-4ac =4-4×1×(-3)=16,∴x ==,∴x 1=-3,x 2=1.7. 解:(1)∵关于x 的一元二次方程(a -6)x 2-8x +9=0有实根,8.∴a-6≠0,Δ=(-8)2-4×(a-6)×9≥0,解得a≤且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a=7时,原一元二次方程变为x2-8x+9=0. ∵a=1,b=-8,c=9,∴Δ=(-8)2-4×1×9=28,∴x =,即x=4±2, ∴x1=4+2,x2=4-2.②∵x是一元二次方程x2-8x+9=0的根, ∴x2-8x=-9.∴2x2-=2x2-=2x2-16x+=2(x2-8x )+=2×(-9)+=-.教材回归(一) 根的判别式的应用(教材P17习题21.2第13题)无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac可以用来判断根的情况,也可以根据一元二次方程根的情况,确定方程中的未知系数.一判断一元二次方程根的情况方程x2+7=8x的根的情况为( )A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.方程没有实数根[2013²滨州]对于任意实数k,关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为( )A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定[2012²孝感]已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根.[2012²绵阳]已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.二确定一元二次方程中字母系数的值关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是( )A.0B.8C.4±D.0或8[2012²广州]已知关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为 .已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,求的值.三确定一元二次方程中字母系数的取值范围[2013²宜宾]若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A.k<1B. k>1C.k=1D. k≥0已知a,b,c分别是△ABC的三条边,其中a=1,c=4,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,试判断关于x的方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0的根的情况.答案解析教材回归(一) 根的判别式的应用解:x2-5x+6-p2=0,Δ=(-5)2-4×1×(6-p2)=25-24+4p2=4p2+1>0,所以方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.AC证明:Δ=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4.∵无论m取何值时,(m+1)2+4的值恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根.【解析】(1)根据关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判别式的符号来证明结论;(2)根据一元二次方程的解的定义求得m的值,然后把m的值代入原方程求得方程的另一根.分类讨论:①当该直角三角形的两直角边是1,3时,由勾股定理得斜边的长度为;②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1,3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;再根据三角形的周长公式进行计算.解:(1)∵b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴方程恒有两个不相等的实数根;(2)把x=1代入方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0中,解得m=2,∴原方程为x2-4x+3=0,解这个方程得x1=1,x2=3,∴方程的另一个根为x=3.①当1,3为直角边长时,斜边长为=,∴直角三角形的周长为1+3+=4+.②当3为斜边长时,另一条直角边长为=2,∴直角三角形的周长为1+3+2=4+2.D【解析】依题意得Δ=(m-2)2-4(m+1)=0,∴m1=0,m2=8.-3【解析】∵关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根,∴Δ=0,即(-2)2-4×(-k)=12+4k=0,解得k=-3.【解析】由于这个方程有两个相等的实数根,因此Δ=b2-4a=0,可得出a、b之间的关系式,然后将化简后,将a、b之间的关系式代入即可求出这个分式的值.解:∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=0,即b2-4a=0.∴=====4.A解:∵关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4b=0,∴b=4.∵c=4,∴b=c,∴△ABC是等腰三角形.解:∵方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,∴m≠0,原方程是关于x的一元二次方程,∴Δ=[-2(m+2)]2-4m(m+5)=4(m2+4m+4-m2-5m)=4(4-m)<0,∴m>4.对于方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0,当m=5时,方程有一个实数根;当m≠5时,Δ=[-2(m-1)]2-4m(m-5)=4(3m+1).∵m>4,∴3m+1>13,∴Δ=4(3m+1)>0,方程有两个不相等的实数根,∴当m=5时,方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0有一个实数根;当m>4且m≠5时,此方程有两个不相等的实数根.21.2.3 因式分解法1.方程(x+1)2=x+1的解是( )=0,x2=-1 C.x1=0,x2=-2 D.x1=1,x2=-1A.x=-1B.x1,x2(x1<x2),则x2-x1= .2.若方程x2-x=0的两根为x13.关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根,那么m= .4.用因式分解法解下列方程:(1)(x-1)2-2(x-1)=0; (2)9x2-4=0; (3)(3x-1)2-4=0; (4)5x(x-3)=(x-3)(x+1).5.[2012²巴中]解方程:2=3x(用不同的方法解方程).6.已知△ABC的两边长分别为2和3,第三边长是方程(x2-2x)-5(x-2)=0的根,求△ABC的周长.7.已知一直角三角形的三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形的三边长及面积.8.[2013²乐山]已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 .(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求k的值.21.2.3 因式分解法1. B 2、1 3、4【解析】 因为方程有两个相等的实数根,所以m 2-4m =0,所以m 1=0,m 2=4.又m ≠0,所以m =4. 4. 解:(1)x 1=3,x 2=1;(2)x 1=-,x 2=;(3)x 1=-,x 2=1;(4)x 1=3,x 2=. 5. 【解析】 可用因式分解法或公式法. 解:解法一(因式分解法):(x -3)(2-3x )=0, x -3=0或2-3x =0, 所以x 1=3,x 2=.解法二(公式法):2x -6=3x 2-9x ,3x 2-11x +6=0,a=3,b =-11,c =6,b 2-4ac =121-72=49,x =,∴x 1=3,x 2=.6.解: 原方程可化为x (x -2)-5(x -2)=0,∴(x -5)(x-2)=0,∴x 1=5,x 2=2.∵三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,∴第三边的长x 的取值范围是1<x <5,∴x =2, ∴△ABC 的周长为2+3+2=7.7. 解:设三角形的三边长为n -2,n,n +2,则由勾股定理,得(n -2)2+n 2=(n +2)2,整理得n 2-8n =0,解得n =0(舍去)或n =8. 当n =8时,n -2=6,n +2=10, 三角形的面积为×6×8=24. 答:这个直角三角形的三边长分别为6,8,10,面积为24.8. 解:(1)证明:∵一元二次方程为x 2-(2k +1)x +k 2+k =0,Δ=[-(2k +1)]2-4 (k 2+k )=1>0, ∴此方程有两个不相等的实数根.(2)∵△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根,由(1)知,AB ≠AC ,△ABC 第三边BC 的长为5,且△ABC 是等腰三角形,∴必然有AB=5或AC=5,即x =5是原方程的一个解.将x=5代入方程x 2-(2k +1)x+k 2+k =0,25-5(2k +1)+k 2+k =0,解得k =4或k =5.当k =4时,原方程为x 2-9x +20=0,解得x 1=5,x 2=4.以5,5,4为边长能构成等腰三角形; 当k =5时,原方程为x 2-11x+30=0,解得x 1=5,x 2=6.以5,5,6为边长能构成等腰三角形. ∴k 的值为4或5.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.已知方程3x 2-5x -7=0的两根为x 1,x 2,则下列各式中正确的是( ) A.x 1+x 2=5,x 1x 2=7 B.x 1+x 2=-5,x 1x 2=-7 C .x 1+x 2=,x 1x 2=- D.x 1+x 2=-,x 1x 2=-2.[2013²包头]已知方程x 2-2x -1=0,则此方程( )A.无实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有一根为-1+3.[2012²攀枝花]已知一元二次方程x 2-3x -1=0的两个根分别是x 1,x 2,则x 2+x 1的值为( ) A.-3 B.3 C.-6 D.64.已知方程x 2-5x +2=0的两个解分别为x 1,x 2,则x 1+x 2-x 1x 2的值为( ) A.-7 B.-3C.7D.35.若x 1,x 2是方程x 2+x -1=0的两个根,则+= .6.[2012²张家界]已知m 和n 是方程2x 2-5x -3=0的两根,则+= .7.已知x 1,x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根,试求下列代数式的值:(1)+; (2)+; (3)(x 1+1)(x 2+1).8.已知2-是关于x 的一元二次方程x 2-4x+c=0的一个根,求方程的另一个根.9.[2013²泸州]设x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根,则+的值为( )A.5B.-5C.1D.-110.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1,x2,且+=7,则(x1-x2)2的值是( )A.1B.12C.13D.2511.设a,b是方程x2+x-2 012=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为( )A.2 009B.2 010C.2 011D.2 01212.[2012²莱芜]已知m,n是方程x2+2x+1=0的两根,则代数式的值为( )A.9B.4C.3D.513.[2012²南充]关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求m的值.14.[2013²荆州]已知关于x的方程kx2-(3k-1)x+2(k-1)=0.(1)求证:无论k为何实数,方程总有实数根;(2)若此方程有两个实数根x1,x2,且│x1-x2│=2,求k的值.答案解析*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.C2.C3.A【解析】∵一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,∴x1+x2=3,x1x2=-1,∴x2+x 1=x1x2(x1+x2)=-1×3=-3.4.D【解析】由根与系数的关系得x1+x2=5,x1x2=2,所以x1+x2-x1x2=5-2=3.5.3【解析】由根与系数的关系得x1+x2=-1,x1x2=-1,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(-1)2-2×(-1)=3.6. -【解析】∵m和n是方程2x2-5x-3=0的两根,∴m+n=-=,mn =-,∴+===-.7. 解:由根与系数的关系得x1+x2=-6,x1x2=3.(1)+=(x1+x2)2-2x1x2=(-6)2-2×3=36-6=30; (2)+===10;(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=3-6+1=-2.8. 解:设方程的另一个根为x1,由x1+2-=4,得x1=2+.9.B10.C【解析】由根与系数的关系知:x1+x2=m,x1x2=2m-1,∴+=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(2m-1)=m2-4m+2,∴m2-4m+2=7,∴m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1.当m=5时,原方程为x2-5x+9=0,Δ=(-5)2-4×1×9=25-36=-11<0,此时方程无实根. 当m=-1时,原方程为x2+x-3=0,方程有实根, ∴当m=-1时,x1+x2=-1,x1x2=-3,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-1)2-4×(-3)=1+12=13,故选C.11.C【解析】∵a是方程x2+x-2 012=0的根,∴a2+a-2 012=0,∴a2+a=2 012.又由根与系数的关系得a+b=-1,∴a2+2a+b=a2+a+(a+b)=2 012-1=2 011,故选C.12.C13. 解:(1)∵原方程有两个实数根,∴Δ=9-4(m-1)≥0,解得m ≤.(2)由根与系数的关系,得x1+x2=-3,x1x2=m-1,∴2×(-3)+(m-1)+10=0,解得m=-3,符合题意.14. 解:(1)证明:当k=0时,x=2,方程有实数根, 当k≠0时,Δ=[-(3k-1)]2-4k·2(k-1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0综上所述无论k为何实数,方程总有实数根; (2)由题意得k≠0,由根与系数关系,得x1+x2=,x1x2=.∵│x1-x2│=2,∴(x1-x2)2=4,即(x1+x2)2-4x1x2=4,故-=4,整理,得3k2-2k-1=0.解得k1=1,k2=-.经检验,k1=1,k2=-都是原分式方程的解,∴k1=1,k2=-.21.3 实际问题与一元二次方程第1课时变化率问题与一元二次方程1.[2013²黔西南]某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )A.50(1+x)2=196B.50+50(1+x)2=196C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+x)+50(1+2x)=1962.在一个QQ群里有n个网友在线,每个网友都向其他网友发出一条信息,共有20条信息,则n为( )A.10B.6C.5D.43.某种植物主干长出若干数目的分支,每个分支长出相同数目的小分支,主干、分支、小分支的总数为241,求每个分支长出多少个小分支?若设主干有x个分支,依题意列方程正确的是( )A.1+x+x(x+1)=241B.1+x+x2=241C.1+(x+1)+(x+1)2=241D.1+(x+1)+x2=2414.[2013²哈尔滨]某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为.5.某人将2 000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1 000元用作购物,剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后得本金和利息共1 320元(均不计利息税),设这种存款方式的年利率为x,则可列方程为.6.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?7.[2012²乐山]菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:方案一:打九折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.8.[2013²绵阳]“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车的进价为1 000元/辆,售价为1 300元/辆.根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?答案解析第1课时变化率问题与一元二次方程1. C2. C【解析】依题意,得n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).3. B【解析】植物有1个主干,1个主干有x个分支,x个分支有x2个小分支,依据题意,得1+x+x2=241.4.20%5.[2 000(1+x)-1 000](1+x)=1 3206.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64.解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去) .答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:将又有448人被传染.7. 解:(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意,得5(1-x)2=3.2,解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8.因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,符合题目要求的是x1=0.2=20%.答:平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠.理由:方案一所需费用为3.2×0.9×5 000=14 400(元),方案二所需费用为3.2×5 000-200×5=15 000(元).∵14 400元<15 000元,∴小华选择方案一购买更优惠.8.解:(1)设自行车销量的月平均增长率为x,根据题意得:64(1+x)2=100,解得x=0.25=25%或x=-2.25(不合题意)四月份的销量为100×(1+25%)=125(辆),答:四月份的销量为125辆.(2)设购进A型车x辆,根据题意得:2×≤x≤2.8×,解得30≤x≤35,∵A型车的利润率大于B型车的利润率,∴当A型车进货量最大时有最大利润.当购进A型车35辆,应购进B型车=12.5辆,不符合实际; 当购进A型车34辆,应购进B型车=13辆,∴应购进A型车34辆,B型车13辆.第2课时几何图形与一元二次方程1.如图21-3-3,在一条长90 m,宽60 m的矩形草地上修三条小路,小路都等宽,除小路外,草地面积为5 192 m2的6个矩形小块,则小路的宽度应为( )A.1 m或104 mB.1 mC.2 mD.1.5 m图21-3-32.[2013²南京]已知如图21-3-4所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出方程:.图21-3-43.在一个正方形的铁板正中间,割去一块小正方形铁板后剩余部分面积为32 cm2,并且已知小正方形的边长为大正方形边长的,则大正方形铁板的边长为cm.4.近期随着国家抑制房价新政策的出台,某楼盘房价连续两次下跌,由原来的每平方米10 000元降至每平方米8 100元,设每次降价的百分率相同,则降价百分率为.5.[2013²连云港]小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2”,他的说法对吗?请说明理由.6.[2012²绍兴改编]把一张边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当地裁剪,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).图21-3-5(1)如图21-3-5,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).答案解析第2课时几何图形与一元二次方程1. B【解析】如答图,将三条小路分别平移到矩形ABCD的最左边和最下边,则剩余部分EFGD也是一个矩形,它的面积=草地的面积.设小路的宽度为x米,则DE为(90-2x) m,DG为(60-x) m.依题意,得(90-2x)(60-x)=5 192,整理,得x2-105x+104=0,解得x1=1,x2=104(不合题意,舍去).故小路的宽度为1 m. 故选B.第1题答图2.答案不唯一,如(x+1)2=253. 64.10%5.解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm ,则另一个正方形的边长为(10-x) cm.由题意得x2+(10-x)2=58,解得x1=3,x2=7.4×3=12,4×7=28.所以小林应把铁丝剪成 12 cm 和 28 cm 的两段.(2)小峰的说法对.理由:假设能围成两个正方形,使它们的面积和为48.由(1)得, x2+(10-x)2=48 .化简得x2 -10x+26=0 .因为b2-4ac=(-10)2-4 ×1×26 =- 4 < 0 ,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.6.解:(1)设剪掉的正方形的边长为x cm,则(40-2x)2=484,即40-2x=±22,解得x1=31(不合题意,舍去),x2=9,∴剪掉的正方形的边长为9 cm.(2)如答图所示的一种裁剪方法,设剪掉的正方形的边长为x cm,2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550,解得x1=-35(不合题意,舍去),x2=15,∴剪掉的正方形的边长为15 cm,此时长方体盒子的长为15 cm,宽为10 cm,高为5 cm.第6题答图本章复习课类型之一一元二次方程的有关概念1.把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A.2、5、10B.2、5、-10C.2、1、5D.2、10、-102.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±23.[2013²荆门]设x,x2是方程x2-x-2 013=0的两实数根,则+2 014x2-2 013= .14.已知是关于x的方程x2-x+a=0的一个根,求a-2-的值.类型之二一元二次方程的解法5.用括号中的方法解下列方程:(1)5(x+1)2=(直接开平方法);(2)9(x-2)2=4(x+1)2(因式分解法);(3)4x2+5=12x(配方法);(4)2x2-3x-1=0(公式法).6.[2013²南充]关于x的一元二次方程为(m-1)x2-2mx+m+1=0(1)求出方程的根;(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?类型之三一元二次方程根的判别式7.[2013²泸州]若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )A.k>-1B.k<1且k≠0C.k≥-1且k≠0D.k>-1且k≠08.[2013²咸宁]关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数根,则整数a的最大值( )A.2B.1C.0D.-19.关于x的一元二次方程x2-(2a-3)x+a-2=0根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.根的情况无法确定10.[2013²郴州]已知关于x的一元二次方程x2+bx+b=0有两个相等的实数根,则b的值是.11.[2012²雅安]若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0无实数解,则m的取值范围是.类型之四一元二次方程根与系数的关系12.[2013²内蒙]已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m 的值是( )A. 3B. 1C. 3 或-1D.-3 或 113.[2013²眉山]已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β,则(α+3)(β+3)= .14.[2013²孝感]已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k使得x1²x2--≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.类型之五一元二次方程的应用15.[2012²广东]据媒体报道,我国2009年公民出境旅游总人数约5 000万人次,2011年公民出境旅游总人数约7 200万人次.若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题:(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次?类型之六一元二次方程的创新应用16.[2013²临沂]对于实数a,b,定义运算“*”:a*b=例如:4*2,因为4>2,所以4*2=42-4³2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,则x1*x2= .17.[2013²绵阳]已知整数k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0,则△ABC的周长是 .答案解析本章复习课1.D2.B【解析】由一元二次方程的定义知即∴m=2.3.2 0144.解:∵是方程x2-x+a=0的根,∴()2-+a=0,∴a=-2.原式=a-2-。
第21章一元二次方程考点练习(有答案)
根是﹣3，1.小明看错了一次项系数 P，得到方程的两个根是 5，﹣4，则原来的方程是（ ） A .x2+2x﹣3＝0 B .x2+2x﹣20＝0 C .x2﹣2x﹣20＝0 D .x2﹣2x﹣3＝0
19.（2021 枣庄）若等腰三角形的一边长是 4，另两边的长是关于 x 的方程 x2﹣6x+n＝0 的两
25.已知关于 x 的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中 a，b，c，分别为△ABC 三
边长. （1）如果 x=－1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
的最大值是（ ）
A .1 B . 2 C . 3 D .2
13.（2020 潍坊）关于 x 的一元二次方程 x2 (k 3)x 1 k 0 根的情况，下列说法正确
的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根
B. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
3
14.（2021 枣庄、泰安）已知关于 x 的一元二次方程 kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0 有两个不相 等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）
个根，则 k 的值为（ ）
A. 3
B. 4 C. 3 或 4
D. 7
5.(2020 张家界) 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 x2-6x+8=0 的两根，则该
等腰三角形的底边长为（
）
A .2 B .4 C .8
D .2 或 4
6.(2021 雅安) 若直角三角形的两边长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根，则该直角三角形的
202111月一元二次方程100道计算题练习(附答案解析)
一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x 5、〔x+5〕2=16 6、2〔2x －1〕－x 〔1－2x 〕=07、x 2=64 8、5x 2- 52=0 9、8〔3 -x 〕2–72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、〔1－3y 〕2+2〔3y －1〕=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=0 14、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=0 17、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =0 20、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=- 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0〔配方法〕 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、〔2x-1〕2+3〔2x-1〕+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3〔x-5〕2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x34、(x －2) 2＝(2x ＋3)235、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+=39、()2231210x --= 40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解以下方程(x －2) 2＝(2x-3)2042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2-23x+3=0 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解以下方程51)12(212=-y 4〔x-3〕2=25 24)23(2=+x三、利用配方法解以下方程25220x x -+= 012632=--x x01072=+-x x四、利用公式法解以下方程－3x 2＋22x －24＝0 2x 〔x －3〕=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解以下方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x2)2)(113(=--x x x 〔x ＋1〕－5x ＝0. 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，假如每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，假设商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.3、如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，如今梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上，假设矩形铁板的面积为5 m2，那么矩形的一边EF长为多少？4、如右图，某小在长32米，区规划宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余局部种草，假设使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售本钱为每千克40元的水产品，据市场分析，假设按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售本钱不超过1万元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998年初投资100万元消费某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？考虑：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，那么a 的值为 。
2021一元二次方程练习题（含答案）
一元二次方程练习题题号一、填空题二、选择题三、多项选择四、简答题五、计算题总分得分一、填空题（每空5分，共30分）1、关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m= ．2、已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．3、已知圆锥底面圆的半径为6cm，它的侧面积为60πcm2，则这个圆锥的高是4、已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是5、若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2= ．6、一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，则= ．二、选择题（每空5 分，共35分）7、下列选项中一元二次方程的是（）A．x=2y﹣3 B．2（x+1）=3 C．2x2+x﹣4 D．5x2+3x﹣4=0 8、一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2B．x1=1，x2=2C．x1=1，x2=﹣2D．x1=0，x2=29、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm10、某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（）A．8%B．18%C．20%D．25%11、如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（）A．1米 B．2米 C．3米 D．4米12、已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的斜边长为( ).A. B.3 C. D.1313、要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）A．x（x+1）=15 B．x（x﹣1）=15 C．x（x+1）=15 D．x（x﹣1）=1514、由一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p、q，则p、q等于（）A.0B.1C.1或-2D.0或1评卷人得分评卷人得分三、多项选择（每空5 分，共5分）15、方程的两根分别为，，且，则的取值范围是．四、简答题（每题10 分，共110 分）16、试求实数（≠1），使得方程的两根都是正整数.17、已知关于的一元二次方程有两个实数根和．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．18、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=cm，点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B；点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C距离的倍？19、某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）20、某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现每盆花的盈利与每盆花中花苗的株数有如下关系：每盆植入花苗4株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株花苗，平均单株盈利就会减少0.5元．要使每盆花的盈利为24元，且尽可能地减少成本，则每盆花应种植花苗多少株？21、一个足球被从地面向上踢出，它距地面高度可以用二次函数刻画，其中表示足球被踢出后经过的时间．（1）解方程，并说明其根的实际意义；（2）求经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？22、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2014年底拥有家庭轿车64辆，2016年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2014年底到2016年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2017年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？23、某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克.评卷人得分评卷人得分(1) 写出月销售利润y(单位：元) 与售价x(单位：元/千克)之间的函数解析式.(2)当售价定为多少时会获得最大利润？求出最大利润.(3) 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？24、.要制作一个如图所示(图中阴影部分为底与盖,且SⅠ=SⅡ)的钢盒子,在钢片的四个角上分别截去两个相同的正方形与两个相同的小长方形,然后折合起来既可,求有盖盒子的高x.25、如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．（1）问：在第6个图中，黑色瓷砖有__________块，白色瓷砖有__________块；（2）某商铺要装修，准备使用边长为1米的正方形白色瓷砖和长为1米、宽为0.5米的长方形黑色瓷砖来铺地面．且该商铺按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好能完成铺设．已知白色瓷砖每块100元，黑色瓷砖每块50元，贴瓷砖的费用每平方米15元．经测算总费用为15180元．请问两种瓷砖各需要买多少块？26、已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于的方程的两个实数根．（1）试说明：无论取何值方程总有两个实数根（2）当为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？五、计算题（每题5分，共35 分）27、用恰当的方法解下列方程：28、解方程：29、x2﹣7x﹣18=0．30、2x2+12x﹣6=031、解方程：．评卷人得分参考答案一、填空题1、﹣2 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将x=0代入方程式即得．【解答】解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．故答案为：m=﹣2．【点评】此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．2、k＜3 ．【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解答】解：∴a=1，b=﹣2，c=k，方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=12﹣4k＞0，∴k＜3．故填：k＜3．3、8 cm．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】设圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则l?2π?6=60π，然后利用勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得l?2π?6=60π，解得l=10，所以圆锥的高==8（cm）．故答案为8．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理．4、4 ．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题．【分析】先根据判别式的意义确定a≤2，再根据根与系数的关系得到m+n=2a，然后利用a的取值范围确定m+n的最大值．【解答】解：根据题意得△=4a2﹣4（a2+a﹣2）≥0，解得a≤2，因为m+n=2a，所以m+n≤4，所以m+n的最大值为4．故答案为4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程根的判别式．5、16 ．【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系可得出α+β和αβ，且α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，代入计算即可．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，∴α+β=﹣2，αβ=﹣6，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=4+12=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，把α2+β2化成（α+β）2﹣2αβ是解题的关键．6、﹣．【考点】根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣m，x1?x2=2m，继而求得答案．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，∴x1+x2=﹣m，x1?x2=2m，∴==﹣．二、选择题7、D【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项错误；B、是一元一次方程，故此选项错误；C、不是方程，故此选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．8、D【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D．9、D【考点】一元二次方程的应用．【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．【解答】解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300，解得x1=16，x2=﹣4（不合题意，舍去）；答：正方形铁皮的边长应是16厘米．故选：D．10、C【分析】设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为200（1﹣x）元，第二次降价后的售价为200（1﹣x）（1﹣x）元，根据第二降价后的售价为128元建立方程求出其解即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得200（1﹣x）2=128，解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）．答：每次降价的百分率为20%．故选C．【点评】本题考查了列一元二次方程解降低率的问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率的数量关系建立方程是关键，检验根是否符合题意是容易忘记的过程．11、C【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程20x+33x﹣x2=20×33﹣510，解方程即可求解．解题过程中要根据实际意义进行x的值的取舍．【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得20x+33x﹣x2=20×33﹣510整理得x2﹣53x+150=0解得x=50（舍去）或x=3所以道路宽为3米．故选C．【点评】本题考查的是一元二次方程的实际运用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．12、C13、B【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=15，把相关数值代入即可．【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=15．故选B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．14、C三、多项选择15、．四、简答题16、解：因式分解得：,………….5分所以或. ………….7分因为,所以，，………….9分因为两根都是正整数，所以，. ………….12分17、解：（1）一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根，∴△=（2m-1）2-4×1×m2=-4m+1≥0，∴m≤；（2）当x12-x22=0时，即（x1+x2）（x1-x2）=0，∴x1-x2=0或x1-x2=0当x1+x2=0，依据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-（2m-1）∴-（2m-1）=0，∴m=又∵由（1）一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根时的取值范围是m≤，∴m=不成立，故m无解；当时x1-x2=0，x1=x2，方程有两个相等的实数根，∴△=（2m-1）2-4×1×m2=-4m+1=0，∴m=综上所述，当x1-x2=0时，m=。
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一元二次方程专项练习
一、选择题
x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是
1.已知x=2是关于x的方程3
2
( )．
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，•
制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是
5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，•那么x满足的方程是( )．（A）x2+130x-1400=0 （B）x2+65x-350=0
（C）x2-130x-1400=0 （D）x2-65x-350=0
3.当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是( )．
（A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4
4.方程（x+1）（x+2）=6的解是( )．
（A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3
5.下列方程属于一元二次方程的是( )．
（A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1
=5 （D）
x x2=0
6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，
•那么这个一元二次方程是( )．
（A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0
7.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，•这两年平均每年绿
地面积的增长率是( )．
（A）19% （B）20% （C）21% （D）22%
8.下列方程中，无实数根的是( )．
（A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0 （C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 9.方程x（x-1）=5（x-1）的解是( )．
（A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解
10.把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为( )．
（A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10
二、填空题
1.已知x2+y2-4x+6y+13=0，x，y为实数，则x y=_________．
2.请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________．
3.方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是
________，常数项是________．
4.已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x2-5x+3=0
的根，则这个三角形的周长为_______．
5.若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______．
6. 已知x 2-2x-3与x+7的值相等，则x 的值是________．
7. 如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b 的值是________．
8. 若-2是关于x 的一元二次方程（k 2-1）x 2+2kx+4=0的一个根，则
k=________．
三、解答题
1. 李先生存入银行1万元，先存一个一年定期，•一年后将本息自动
转存另一个一年定期，两年后共得本息1.0455万元．存款的年利率为多少？（•不考虑利息税）
2. 解方程：
8x 2=24x (x+2)2=3x+6 (7x-1)2=9x 2 （3x-1）2=10 x 2+6x=1
-2x 2+13x-15=0． 22x =- 2211362
x x -=
3. 现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件．•已知
这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个．问为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少件？
4.。