人教版21章一元二次方程知识点总结(可编辑修改word版)

知识点四 数与数字的关系 两位数=(十位数字)×10＋个位数字 三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字 连续的整数：设其中一数为 x，另一数为 x+1；（x-
1，x，x+1）。 连续的奇数：设其中一数为 x，另一数为 x+2；（x-
2，x，x+2）。 连续的偶数：设其中一数为 x，另一数为 x+2；（x-
2、二次根式的性质 1.（1）三个非负性：
2
① a ≥≥0(a 0) ② a a ≥0(a≥ 0) ③ a2 a ≥0( a 为任意实数）．
x a b ， x a b ，当 b<0 时，方程没有实数根。
三种类型：（1） x2 aa 0的解是 x a ； （2） x m2 nn 0的解是 x n m ；
（3） mx n2 cm 0, 且c 0的解是 x c n 。
m
2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2 ，把公式
中的 a 看做未知数 x，并用 x 代替，则有 x2 2bx b2 (x b)2 。
（一）用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤：
（1） 把一元二次方程化成一般形式 （2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这
个数；
（3）把原方程变为 x m2 n 的形式。
五、一元二次方程的应用
知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤
（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。
关键点：找出题中的等量关系。
(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间 的数量关系．这一步是解决问题的基础；
(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就 是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的， 但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元 直接影响着列方程与解方程的难易；
（4）若 n 0 ，用直接开平方法求出 x 的值，若 n﹤0，原方程无解。
（二）用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程
当一元二次方程的形式为 ax2 bx c 0a 0, a 1时，用配方法
解一元二次方程的步骤： （1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为 1：方
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数 项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常 数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如 ax2 bx c 0 不一定是一元二次方程，当且仅当 a 0 时是 一元二次方程。
二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当
x b
b2 2a
4ac
，求出
x1 ,
x2 。
4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法这
种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个
方程中至少有一个等于 0，即若 pq=0 时，则 p=0 或 q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边
知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关的问题
增长率问题的有关公式：
增长数（增长了多少）=基数×增长率
实际数（增长后的值）=基数＋增长数 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：
1. 若基数为 a，增长率 x 为，则一次增长后的值为 a1 x， 两次增长后的值为 a1 x2 ；
2. 若基数为 a，降低率 x 为，则一次降低后的值为 a1 x，
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
用求根公式法解一元二次方程的步骤是：
（1）把方程化为 ax2 bx c 0a 0的形式，确定的值 a,b.c （注意符
号）；
（2）求出 b2 4ac 的值；并判断方程根的情况；
（3）若 b2 4ac 0 ，则把 a,b. 及 b2 4ac 的值代人求根公式
比例为 1：（1+x）】
患者： 第一轮后：共（1+x）个 第二轮后：共 1+ x +（1+x）x =（1+x）•（1+x），即（1+x）2 个 第三轮后： 共（1+x）2 + （1+x）2 • x =（1+x）2 •（1+x），即（1+x）3 个 第 n 轮后：共（1+x）n 个
[注意：上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传 染源为 a，则第 n 轮后患者共为：a（1+X）n 个]
(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中 的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即 方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；
(4)“解”就是求出所列方程的解； (5)检验 应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线 段的长度不能为负数，降低率不能大于 100%等等．因此，解出方程 的根后，一定要进行检验． （6）作答
边为 x+a 或（X-a）则 1 x（x+a）=S 或 1 x（x-a）=S
2
2
斜边 c 一定，两直角边和（和为 a）一定：设其中一边为 x，另一
边为 a-x，则 x2+（a-x）2=c2
④斜边 c 一定，两直角边差（差为 a）一定：设其中一边为 x，另一
边为 x+a 或 x-a 则 x2+（x+a）2=c2 或 x2+（x-a）2=c2 知识点九 赛制循环问题：【单循环比双循环少了一半】
两次降低后的值为 a1 x2 。
两次增长后的总和等于基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值
知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题 与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题
等。与利润相关的常用关系式有： （1）每件利润=销售价-成本价； （2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%； （3）销售额=售价×销售量
知识点六 翻一番即表示为原量的 2 倍，翻两番即表示为原量的 4 倍．
知识点七 银行利率应用题（含利滚利问题）： 年利息＝本金×年利率（年利率为 a%） 存一年的本息和：本金×（1+年利率） ，即本金×（1+ a%） 存两年的本息和：本金×（1+年利率）2， 即本金×（1+a%）2 存三年的本息和：本金×（1+年利率）3， 即本金×（1+a%）3 存 n 年的本息和：本金×（1+年利率）n， 即本金×（1+a%）n
程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方
把原方程化为 x m2 n 的形式；
（4）若 n 0 ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解
一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
知识点八 几何类题：①等积变形，②动态几何问题，③梯子问题，
④航海问题，⑤几何与图表信息，⑥探索存在问题，⑦平分几何图
形的周长与面积积问题，⑧利用图形探索规律
最常见的如：求直角三角形的边。
面积 S 一定，两直角边和（和为 a）一定：设其中一边为 x，另一
边为 a-x，则 1 x（a-x）=S
2
面积 S 一定，两直角边差（差为 a）一定：设其中一边为 x，另一
2，x，x+2）。 和一定的两数（和为 a）：设其中一数为 x，另一数为 a-x 差一定的两数（差为 a）：设其中一数为 x，另一数为 x+a 积一定的两数（积为 a）：设其中一数为 x，另一数为 a/x 商一定的两数（商为 a）：设其中一数为 x，另一数为
ax（x/a）
知识点五 传染问题： 传染源：1 个【 每一轮 1 个可传染给 x 个】【前后轮患者数的
循环的 2 倍。类似于本题其它题型如：相互握手；铁路沿线有 n 个
站点要设计多少种车票；一条线段上有 n 个点（含两个端点），① 该线段上共有 n（n-1）条有向线段，②该线段上共有 1 n（n-1）条
2
线段。
一、二次根式的相关概念
1.平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫 a 的平 方根，其中正的平方根 a 叫做 a 的算术平方根。
化为 0（即化为一般式）；（2）将方程左边分解成两个一次因式的 乘积。（3）令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程。（4）解这 两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为 0（即化为一般式）；（2）熟 练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法 （平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法。
2．二次根式：形如 a a ≥ 0的式子叫做二次根式；
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方 数相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式．
4.最简二次根式： 满足两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被 开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
特别提示：二次根式 a 有意义的条件是 a ≥ 0．
单循环：设参加的球队为 x，则全部比赛共 1 [x（x-1）]场；
2
双循环：设参加的球队为 x，则全部比赛共 x（x-1）场； 注：双循环公式 X(X-1),单循环公式 1 X(X-1)，其实也就可以理
2
解为单循环循环赛就是和每个对手比赛 1 次（对手数量=参赛队数量
-1），而每场比赛有 2 队参加，就得除以 2。双循环比赛场次是单
注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先 考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时， 再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解 题比较麻烦。