选修4-4极坐标与参数方程全套ppt课件
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人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程
=
=
2
,
1+ 2 (t
4
1+ 2
为参
数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极
坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11=0.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
1- 2
解:(1)因为-1<1+ 2
0
参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|0 |,t 可正,
可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=
1
|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数为2(t1+t2).
= + cos,
(2)圆的方程(x-a) +(y-b) =r 的参数方程为
5.曲线的参数方程的
应用
6.极坐标方程的应用
强基础•固本增分
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
' = ·, > 0,
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作
' = ·, > 0
用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,
简称伸缩变换.
化简得ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,
即☉C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,
又由直线 l 的极坐标方程是
π
θ= (ρ∈R),可得直线
4
(2)设点 A,B 的极坐标分别为
高三数学精品课件： 选修4-4 坐标系与参数方程
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小题诊断
重温教材 自查自纠
1．椭圆 C 的参数方程为
x＝5cos φ， y＝3sin φ
(φ
为参数)，过左焦
点
F1
的直线
l
与
C 相交于 18
A，B
两
点，则|AB|min＝___5_____.
由yx＝＝35scions
φ， φ
(φ 为
参数)得，2x52 ＋y92＝1，
将 ∴xy＝＝直 t1－＋2线－1t2＋3＝l t的，2－t参2(，数t 为t方1t参2程＝数代－)，入74曲，y线2＝C4x的，极整坐理标得方4程t2＋为8ρt－sin72＝θ＝0，4cos
θ.设直线 l ∴ |AB| ＝
与－曲3线2＋C 2相2 |t交1 －于t2A| ＝，B1两3 ×点，t则1＋|At2B2|＝－_4_t1_t2_1＝_4_3__1.3
－圆4心sinCθ的相坐交标于为A(1，，B－两2)点，，半若径|ArB＝|＝52，3所，以则圆实心数Ca 到的直值线为
_的_－_距_5_离或__为－__|11_＋__2．＋a|＝ 2
r2－|A2B|2＝ 2，解得 a＝－5 或 a
＝－1.故实数 a 的值为－5 或－1.
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
解析：∵ρsin2α－4cos α＝0，∴ρ2sin2α＝4ρcos α， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝4x. 由xy＝＝22tt，＋1， 消去 t，得 x＝y＋1. ∴直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0. 点 M(1,0)在直线 l 上，
专题七第1讲选修44坐标系与参数方程课件共39张PPT
ρsin
θ＝
3 3 ρcos
θ－4 3 3＋1，
ρsin θ＝－ 33ρcos θ＋433＋1。
2．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ。
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为yx＝＝12＋＋scions
α， α
(α为参数)。
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以|2k－1k＋2＋1－1 4k|＝1，解得k＝± 33，
则这两条切线方程分别为y＝ 33x－433＋1，y＝－ 33x＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为
解 (1)解法一：曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入，得t2＋ t＝0，解得t＝0或t＝－1，根据参数的几何意义可知|AB|＝1。
解法二：直线l的普通方程为y＝ 3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1， 由yx＝ 2＋y32＝x－1，1， 得l与C1的交点坐标为(1,0)，12，－ 23，则|AB|＝1。
(t为参数)。
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P， 求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。
解 (1)由C1的参数方程得，C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)。 由C2的参数方程得x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2，所以x2－y2＝4。 故C2的普通方程为x2－y2＝4。
高中数学选修4-4极坐标与参数方程(人教版共5份)精选教学PPT课件
所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′＝1. (2)将 ①代入 x ＋ y ＝ 4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′2 y′2 ＋ ＝4. 4 16
2 2 x ′ y ′ 所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆 ＋ ＝1. 16 64 2 2
x ′ y′ 答案：(1)x′＋y′＝1 (2) ＋ ＝4 4 16
2
2
5x＇＝x 例 3 在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 曲线 C 变 4y＇＝y，
为曲线 x′2＋y′2＝1，求曲线 C 的方程． 解析：设曲线 C 上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的 坐标为(x′，y′)，
5x′＝x， 由 得 4y′＝y
x y 1 代入 x′ ＋y′ ＝1，得25＋16＝1. y′＝4y.
题型二 伸缩变换
例 2 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过伸缩
x＇＝2x， 变换 后的图形． y′＝4y
(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.
x′＝2x， 解析：由伸缩变换式 得 y′＝4y
1 y＝4y′.
1 x＝ x′， 2
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′ ＋y′＝1.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换 就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换. (2)设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������������(������ > 0), φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������������(������ > 0) 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
人教版高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》1ppt课件
C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，
D2cosπ3＋32π，2sinπ3＋32π， 即 A(1， 3)，B(－ 3，1)，C(－1，－
3)，D(
3，－1)．
(2)设 P(2cos φ，3sin φ)， 令 S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2 则 S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1， 所以 S 的取值范围是[32,52]．
答案 2
[关键要点点拨]
1 ． 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x ， y) 在 伸 缩 变 换
x′＝λ·x，λ>0 y′＝u·y，u>0
的作用下对应到点 P′(x′，y′)．
2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，
特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
• 即x2＋y2－2y－4x＝0.
• 答案 x2＋y2－4x－2y＝0
3
．
在
极
坐
标
系
中
，
以
a2，2π
为
圆
心
，
a 2
为
半
径
的
圆
的
方
程
为
________________．
解析 利用直角三角形的边、角关系可得圆的方程为 ρ＝asin θ.
答案 ρ＝asin θ
4．在极坐标系中，曲线 ρ＝2sin θ 与 ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的交点 的极坐标为________． 解析 由 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝2ρsin θ， 其普通方程为 x2＋y2＝2y， ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1， 联立xx＝ 2＋－y21＝，2y，
优质实用课件精选选修4-4极坐标与参数方程全套课件
7、 , R
6
8、 sin 2 cos 1
4、 2sin 5、 2 cos 6、 2 2 cos 8 0
9、 sin( ) 2
42
10、 sin( ) 1
6
➢ 随堂演练----高考真题
【2018北京卷10】
在极坐标系中，直线cos sin a 与圆 2cos相切，则a _____.
当然，非标准形式下
x y
x0 y0
at 你能推的到吗？ bt
(t1 t2 )2 4t1t2
| AB | a2 b2 (t1 t2 )2 a2 b2 (t1 t2 )2 4t1t2
三种坐标系下的弦长问题----各具优势与特点
直线为参数方程标准形式、曲线为普通方程
非标准形式下弦长公式| AB | a2 b2 (t1 t2 )2 4t1t2
cos s in
(为参
数)，过点(0, 2)且倾斜角为的直线l与圆O交于A, B两点
(1)求的取值范围
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程
近三年高考真题
【2017全国1卷22题】
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为xy
3 c os s in
(为参
数)，直线l的参数方程为xy
a 4t(t为参数) 1t
近三年高考真题
【2018全国1卷22题】
在直角坐标系中，曲线C1的方程为y k | x | 2.以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2
的极坐标方程为 2 2cos 3 0
(1)求C2的直角坐标方程 (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程
近三年高考真题
【2018全国2卷22题】
选修Байду номын сангаас-4极坐标及参数方程
高中数学课件-2015-2016学年人教A版选修4-4 极坐标系 课件(20张)
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.2 极坐标系
坐标法
根据几何对象的特征，选择恰当的坐标系，建立 它的方程，通过方程研究它的性质及其他几何图形的 关系，这就是研究几何问题的坐标法。
坐标法思想是17世纪的数学家笛卡尔、费马提出 的。坐标法思想为牛顿、莱布尼茨创立微积分奠定了 基础，它是近代数学发展的开端，已成为现代数学最 重要的基本思想之一。坐标法是联系几何与代数的桥 梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相 互转化。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B,C的极坐标.
A1，0
B
4，
2
C
5，4
3
例2 请建立适当的极坐标系，表示出A,B,C,D,E的 极坐标。
A
0,
0;
B
60,
0;C
120,
3
D实验楼
C图书馆
D
60
3,
2
;
E
50,
3
4
.
办公 45°
120m
楼E
50m
60° 60m
A教学楼
B体育馆
思考：在极坐标中
4，
6
， 4，6
2
， 4，6
4
，
4，
6
2
表示的点有什么关系？
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示
同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定 0,0 2，那么除极点外，平面内
的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
点的极坐标
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度， 叫做点M的极径
第一章 坐标系
1.1.2 极坐标系
坐标法
根据几何对象的特征，选择恰当的坐标系，建立 它的方程，通过方程研究它的性质及其他几何图形的 关系，这就是研究几何问题的坐标法。
坐标法思想是17世纪的数学家笛卡尔、费马提出 的。坐标法思想为牛顿、莱布尼茨创立微积分奠定了 基础，它是近代数学发展的开端，已成为现代数学最 重要的基本思想之一。坐标法是联系几何与代数的桥 梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相 互转化。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B,C的极坐标.
A1，0
B
4，
2
C
5，4
3
例2 请建立适当的极坐标系，表示出A,B,C,D,E的 极坐标。
A
0,
0;
B
60,
0;C
120,
3
D实验楼
C图书馆
D
60
3,
2
;
E
50,
3
4
.
办公 45°
120m
楼E
50m
60° 60m
A教学楼
B体育馆
思考：在极坐标中
4，
6
， 4，6
2
， 4，6
4
，
4，
6
2
表示的点有什么关系？
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示
同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定 0,0 2，那么除极点外，平面内
的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
点的极坐标
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度， 叫做点M的极径
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
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该方程即为直线参数方程的标准形式
其中，M 0 (x0, y0 )表示直线上的一个已知点，
t表示任意一点到M
的距离，
0
则表示直线的倾斜角，它的范围是[0, )
16
➢ 随堂演练----求直线参数方程标准形式
1、已知直线过A(2,3)，且倾斜角为
4 2、已知直线过B(1,2)，且斜率为2
3、已知直线过C(0,1)，且斜率为 3 2
标准形式
19
➢ 直线参数方程----非标准形式化为标准形式
1、xy
3 2t 1 t
2、xy
1t 5
3t
3、xy
3 t 4 3t
4、xy
3 4t 2t
9、过A(2,4), 斜率k 2
10、过A(1,2),斜率k 2 3
20
圆锥曲线参数方程----约定形式
圆：(x a)2 ( y b)2 r 2
【2017天津，理11】
在极坐标系中，直线4cos( ) 1 0
6
与圆 2sin的公共点个数为：_______
10
➢ 随堂演练----高考真题
【2018江苏卷21C】
在极坐标系中，直线l的方程为 sin( ) 2,
6
曲线C的方程为 4cos，求直线l被曲线C截得的弦长.
11
➢ 随堂演练----高考真题
3
3
3
极坐标下特殊直线与圆的方程
试用极坐标表示下列图形的方程
r2
3
3
过极点的射线
2
圆心在极点的圆
， R
3
过极点的直线
4
➢ 随堂演练----特殊方程
说出下列极坐标方程表示的图像
1、 3
2、
4
3、 7
4、 ， R
4
5
极坐标与直角坐标的转化
M (, )
M（x，y）
极坐标系
特点:直角坐标系下的方程，变量为x,y
x
t
3 2
y t
x t y 2t 3
14
➢ 参数方程与普通方程互化----消参是核心思想
将下列参数方程化为普通方程
1、x 2t 2 1 y t 1
4、xy
sin t 1 cost 3
2、xy
t 1 2t 2
3
5、x
y
t
t
1 t
1 t
选修4-4极坐标及参数方程
——陈俊锋
1
极坐标的定义
极径
o
M
我们如何表示极坐标平 面上的一个点M
极角
极点
极轴
因此M点在极坐 标平面的坐标表
示为M( , )
其中规定：
[0,); R
2
➢ 随堂演练----极坐标认识
在极坐标系中作出下列各点
A(1, ) B(1, ) C(2, 2 )
3
2
3
D(2, ) E(3, 4 ) F (3, 5 )
3、xy
sin t 2 c ost
6、xy
et et
பைடு நூலகம்
et et
15
直线的参数方程----标准形式
直线l 一那般么来说直，已线知几上个的条件任能确意定一一条点直线可以两点表示为：
一点一斜率或倾斜角
t
M(x, y) x x0 t cos y y0 t sin
O
M 0 (x0 , y0 )
7
➢ 随堂演练----线的互化
将下列直角坐标方程转化为极坐标方程
1、y x
6、x2 y2 1
2、y 3x 3、y x 1 4、y 1 5、x 2
7、(x 1)2 y2 1 8、x2 y2 4 y 0 9、x2 ( y 1)2 4
8
➢ 随堂演练----线的互化
将下列极坐标方程转化为直角坐标方程
的坐标x,
y都是某个变数t的函数xy
f (t)并且对于t的 g (t )
每一个允许值，上式所确定的点M (x, y)都在这条曲线
上，则称上式为曲线的参数方程，其中变数t称为参数
13
一般参数方程----认识
x t 2 1
y
2t
2
1
错误
参数方程形式不唯一
y 2x 3
x 2t 1
y
4t
1
普通方程
4、已知直线的普通方程为y 3x 4 5、已知直线普通方程为x 1 6、已知直线普通方程为y 1
17
直线参数方程----标准与非标准形式
x 2 3t y 1 2t
x 2
3t 13
y 1
2
t
13
结论：同比例的改变参数方程 中t的系数不会改变普通方程
1、试求出两个参数方程的普通方程
x 2 3 2x 4 3y 3 y 1 2 即，2x 3y 7 0
18
直线参数方程----非标准形式化为标准形式
b0
x x0 at
y
y0
bt
非标准形式
b0
x x0
y
y0
a t
a2 b2 b t
a2 b2
x x0
a t
a2 b2
y
y0
bt a2 b2
【2018全国一卷】 在直角坐标系中，曲线C1的方程为y k x 2. 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C2的极坐标方程为 2 2 cos 3 0.
(1)求C2的直角坐标方程. (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1方程
12
参数方程的定义
定义：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点
椭 圆 ：x 2 a2
y2 b2
1
x a r cos
y
b
rsin
双 曲 线 ：x 2 a2
y2 b2
1
抛物线：y2 2 px
x
a
cos
y b tan
x a cos y bsin
t2 x 2p
y t
21
➢ 随堂演练----求圆锥曲线参数方程
1、(x 1)2 ( y 2)2 16 3、x2 y2 4x 2 y 0
2、(x 2)2 ( y 4)2 25 4、x2 y2 2 y 0
1、 3 2、 4sin 3、 2cos 4、 2 2cos 3 0
1、x2 y2 1 49
1、 1 2、sin 1 3、cos 1 4、 2sin 5、 2 cos 6、 2 2 cos 8 0
7、 , R
6
8、 sin 2 cos 1
9、 sin( ) 2
42
10、 sin( ) 1
6
9
➢ 随堂演练----高考真题
【2018北京卷10】
在极坐标系中，直线cos sin a 与圆 2cos相切，则a _____.
x cos
y
sin
x2 y2 2
y x
tan
(x
0)
直角坐标系
两个坐标系下坐标有什么关系？
6
➢ 随堂演练----点的互化
1、将下列极坐标转化为直角坐标
A(1， )
3
B(2，3 ) C(4， )
2
6
2、将下列直角坐标转化为极坐标
D(2,0) E(1, 3) F(1,1) G(0,1)