三角形的三线及面积讲义及答案
三角形的三线
03
高线性质与应用
高线定义及性质
性质
直角三角形的高线就是两条直角 边。
定义：从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的 高线，简称为三角形的高。
三角形三条高线交于一点，该点 称为三角形的垂心。
三角形的高线长与面积和底边长 度有关，满足面积公式$S = frac{1}{2} times text{底} times text{高}$。
中线在解题中应用
利用中线性质求三角形面积
01
通过中线将三角形分为两个面积相等的小三角形，可以简化计
算过程。
利用中线性质证明线段相等
02
根据中线性质，可以证明与中线相关的两条线段相等。
利用中线性质解决角度问题
03
中线与三角形的角度之间存在一定的关系，可以通过中线性质
解决与角度相关的问题。
典型例题分析
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180 度。这是三角形的一个基本性质 ，也是解决与三角形相关问题的 关键定理之一。
内角和定理的应用
通过内角和定理，我们可以推导 出三角形外角的性质、多边形的 内角和公式等，为解决复杂的几 何问题提供思路。
三角形外角性质
三角形外角定义
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三条内角平分线的交点，内心到三角形三边 距离相等。
三线长度关系
中线长度
任意三角形的三条中线交于一点 ，该点叫做三角形的重心。且任 意一条中线把原三角形分成两个 面积相等的小三角形，每个小三 角形的面积是原三角形面积的1/4 。
高线长度
从三角形的一个顶点向它的对边 所在的直线做垂线，顶点和垂足 间的线段叫做三角形的高线，简 称为高。
万点千题 解三角形的三线两圆及面积问题
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZZZZZZZZZZZ ZZ ZZ 三角形的三线两圆及面积问题一、必备知识总结(一)中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在ΔABC 中，D 为BC 中点，则AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．证明：在ΔABD 中，cos B =AB 2+BD 2-AD 22AB ⋅BD，在ΔABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC ．∴AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．另外：已知两边及其夹角也可表述为：4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．证明：由AD =12(AB +AC )，⇒AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+14AC 2+12AB ACcos A ，∴4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．(二)角平分线角平分线定理：如图，在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，则AB AC =BDCD．证法1在ΔABD 中，AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAD ，在ΔACD 中，AC sin ∠ADC =CD sin ∠CAD，∴AB AC =BDCD ．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即S ΔABD S ΔACD =AB AC =BDCD ．(三)高高的性质：h 1，h 2，h 3分别为ΔABC 边a ，b ，c 上的高，则h 1:h 2:h 3=1a :1b :1c =1sin A :1sin B :1sin C求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．(四)外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R =a 2sin A =b 2sin B =c2sin C．外接圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =abc4R=(R 为△ABC 外接圆半径)． (五)内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =12(a +b +c )·r (r 为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算r ．二、【题型突破】(一)三线1.△ABC 中，AC =7，BC =2，B =60°，则BC 边上的高等于()A ．32B ．332C ．3+62D ．3+3942.在△ABC 中，若AB =4，AC =7，BC 边的中线AD =72，则BC =．μθημαz ︱e iπ+1=0微信公众号：数学史话3.在△ABC 中，B =120°，AB =2，A 的角平分线AD =3，则AC =．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C =125，a =b =13，BC 边上的中点为D ，则sin ∠BAC =，AD =．5.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，BC 边上的中线长为22，高线长为3，且b tan A =(2c -b )tan B ，则bc 的值为．6.已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为．7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为S ，且a =1，4S =b 2+c 2-1，则△ABC 外接圆的面积为()A ．4πB ．2πC ．πD ．π28.设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为r 与R ，且sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4，则cos C =；当BC=1时，△ABC 的面积为．9.在△ABC 中，D 为边AC 上一点，AB =AC =6，AD =4，若△ABC 的外心恰在线段BD 上，则BC =．10.已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2R (sin 2A -sin 2C )=(2a -b )·sin B ，则△ABC 面积的最大值为．(二)计算三角形的面积三角形面积问题的题型及解题策略三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．1.在△ABC 中，A =60°，AC =4，BC =23，则△ABC 的面积等于．2.△ABC 的内角内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若b =6，a =2c ，B =π3，则△BDC 的面积是．3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sin C +c sin B =4a sin B sin C ，b 2+c 2-a 2=8，则△ABC 的面积为．4.(4)(2017·浙江)已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连接CD ，则△BDC 的面积是，cos ∠BDC =．5.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则△ABC 的面积S =．6.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C =3a cos B -c cos B ，BA ·BC=2，则△ABC 的面积为．7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin (B +A )+sin (B -A )=2sin2A ，且c =6，C =π3，则△ABC 的面积是()A ．3B ．33C ．3或1D ．3或338.已知四边形ABCD 中，AB =2，BC =CD =4，DA =6，且D =60°，试求四边形ABCD 的面积．μθημαz ︱e iπ+1=0微信公众号：数学史话ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZZZZZZZZZZZ ZZ ZZ 三角形的三线两圆及面积问题一、必备知识总结(一)中线中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的2倍．即：如图，在ΔABC 中，D 为BC 中点，则AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．证明：在ΔABD 中，cos B =AB 2+BD 2-AD 22AB ⋅BD，在ΔABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC ．∴AB 2+AC 2=12BC 2+2AD 2．另外：已知两边及其夹角也可表述为：4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．证明：由AD =12(AB +AC )，⇒AD 2=14(AB +AC )2=14AB 2+14AC 2+12AB ACcos A ，∴4AD 2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC ⋅cos A ．(二)角平分线角平分线定理：如图，在ΔABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，则AB AC =BDCD．证法1在ΔABD 中，AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAD ，在ΔACD 中，AC sin ∠ADC =CD sin ∠CAD，∴AB AC =BDCD ．证法2该结论可以由两三角形面积之比得证，即S ΔABD S ΔACD =AB AC =BDCD ．(三)高高的性质：h 1，h 2，h 3分别为ΔABC 边a ，b ，c 上的高，则h 1:h 2:h 3=1a :1b :1c =1sin A :1sin B :1sin C求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．(四)外接圆过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．外接圆半径的计算：R =a 2sin A =b 2sin B =c2sin C．外接圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =abc4R=(R 为△ABC 外接圆半径)． (五)内切圆与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．内切圆半径与三角形面积的关系：S △ABC =12(a +b +c )·r (r 为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算r ．二、【题型突破】1.已知在△ABC 中，c =2b cos B ，C =2π3．(1)求B 的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求BC 边上的中线的长度．①c =2b ；②周长为4+23；③面积为S △ABC =334．2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2=(b 2+c 2-a 2)(1-tan A )．数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯(1)求角C ；(2)若c =210，D 为BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S =4且B >A ，条件②：cos B =255．3.已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x +23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )=2，c =5，cos B =17，求△ABC 中线AD 的长．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2-a 2=bc ．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，求BC 边上的中线AM 的最大值．5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2-a 2=bc ．(1)求角A 的大小；(2)若a =3，求BC 边上的中线AM 的最大值．6.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C +3a sin C -b -c =0．(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B =17，AD =1292，求△ABC 的面积．7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2-(b -c )2=(2-3)bc ，sin A sin B =cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7．(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C +a sin A =b sin B +c sin C ．(1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c =2，AD =13，求a ．9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m =(a +b ，sin A -sin C )，向量n =(c ，sin A -sin B )，且m ∥n ．(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD =3，求a +2c 的最大值及此时△ABC 的面积．10.(2015·全国Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C；(2)若AD =1，DC =22，求BD 和AC 的长．11.如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知BC =1，且cos ∠BCD =-35．(1)若AC 平分∠BCD ，且AB =2，求AC 的长；μθημαz ︱e iπ+1=0(2)若∠CBD =45°，求CD 的长．12.已知f (x )=12sin x +π6 cos x -3，x ∈0，π4．(1)求f (x )的最大值、最小值；(2)CD 为△ABC 的内角平分线，已知AC =f (x )max ，BC =f (x )min ，CD =22，求C ．13.已知函数f (x )=3sin (2018π-x )sin 3π2+x -cos 2x +1．(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )=32，AD =2BD =2，求cos C ．14.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =-17．(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．15.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2=λab ．(1)若λ=6，B =5π6，求sin A ；(2)若λ=4，AB 边上的高为3c6，求C ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a +b )cos C +c cos B =0．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积S =83，其外接圆的半径R =4213，求△ABC 的周长．17.已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B -sin 2A )=(b -c )sin C ，c =3．(1)求A ；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD =192，求△ABC 的面积．18.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足：sin A -sin B +sin C sin C =sin Bsin A +sin B -sin C．(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．19.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列．(1)若1tan A +1tan C =233，求角B 的值；(2)若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．20.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m =(2a -c ，cos C )，n =(b ，cos B )，m ∥n ．(1)求角B 的大小；(2)若b =1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径．数学︱数是万物的本原-毕达哥拉斯。
三角形的三线(一)
三角形的三线（一）引言概述：三线是指三角形内的三条特殊线段，包括中线、角平分线和高线。
这三条线段在三角形的性质和关系研究中具有重要的地位和作用。
本文将就三角形的三线进行详细的阐述，包括各个线段的定义、性质和关系，以及它们在解题和证明中的应用。
正文内容：一、中线（Median）1. 中线的定义：中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
2. 中线的性质：a. 中线的长度：中线的长度等于对边的一半。
b. 中线的交点：三条中线相交于三角形的质心，质心是三条中线的交点。
c. 中线的划分：质心将每条中线分成两段，其中一段是另外两条中线的中线。
d. 中线的平行性：三角形的中线平行于对边。
二、角平分线（Angle Bisector）1. 角平分线的定义：角平分线是从一个三角形内角的顶点出发，将该角平分为两个相等的角的线段。
2. 角平分线的性质：a. 角平分线的交点：三个角平分线的交点称为三角形的内心，内心是内切圆的圆心。
b. 角平分线的相交性：三个角平分线相交于内心，且相交角度相等。
c. 角平分线的垂直性：内心到三边的距离相等，即内心到三边的垂直距离相等。
三、高线（Altitude）1. 高线的定义：高线是从一个三角形的顶点垂直于对边的线段。
2. 高线的性质：a. 高线的交点：三条高线的交点称为三角形的垂心。
b. 垂心与三边的关系：垂心到三边的距离相等，且垂心与对边之间的连线垂直。
四、三线的关系1. 三线的交点关系：三角形的三线的交点在一条直线上，这条直线称为欧拉线。
2. 三线的划分关系：三线将三角形划分成七个小三角形，这些小三角形的面积之比有一定规律。
五、三线在解题和证明中的应用1. 利用三线的性质：在解题中，可以利用三线的性质推导、证明与解答相关的问题。
2. 利用三线的关系：在证明中，可以利用三线的关系简化证明过程或推导出新的结论。
总结：三角形的三线，即中线、角平分线和高线，在三角形的研究中起着重要的作用。
三角形三条重要线段(知识梳理与考点分类讲解)(人教版) (教师版) 24-2025学年八年级数学上册
专题11.3三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形的高（1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高.（2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点；三画：画垂线段。
（3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部.【例1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列四个图形中，线段BE 是ABC ∆的高是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义及画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E ，其中线段BE 是ABC 的高，再结合图形进行判断即可求解，掌握三角形高的定义和画法是解题关键．解：A 、线段BE 不是ABC 的高，不合题意；B 、线段BE 不是ABC 的高，不合题意；C 、线段BE 不是ABC 的高，不合题意；D 、线段BE 是ABC 的高，符合题意；故选：D ．【知识点二】三角形的中线（1）定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线；（2）三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。
【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在ABC 中，17AB =，12AC =，AD 为中线，则ABD △与ACD 的周长之差为（）A ．5B ．3C ．4D ．2【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到BD CD =，再根据三角形周长公式进行求解即可．解：∵AD 为中线，∴BD CD =，∵ABD △的周长AB AD BD =++，ACD 的周长AC AD CD =++，∴ABD △与ACD 的周长之差为5AB AD BD AC AD CD AB AC ++---=-=，故选：A ．【知识点三】三角形的角平分线（1）定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形三线课件
三角形三线课件一、引言三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在三角形中，三条边和三个角的关系密切相关，构成了三角形的基本要素。
本课件将重点介绍三角形的三条重要线段：中线、角平分线和垂线，以及它们在三角形中的应用和作用。
二、三角形的中线1.定义三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
每个三角形有三条中线，分别连接三个顶点和对边的中点。
2.性质（1）中线将对边平分：三角形的中线将对边平分成两个相等的线段。
（2）中线等于对边的一半：三角形的中线的长度等于其对边长度的一半。
3.应用（1）求三角形的中线长度：利用中线等于对边一半的性质，可以通过已知的对边长度求出中线的长度。
（2）证明三角形全等：通过证明两个三角形的中线相等，可以得出这两个三角形全等。
三、三角形的角平分线1.定义三角形的角平分线是从三角形的一个顶点出发，将顶点的角平分成两个相等的角的线段。
每个三角形有三条角平分线，分别从三个顶点出发。
2.性质（1）角平分线将角平分：三角形的角平分线将顶点的角平分成两个相等的角。
（2）角平分线相交于一点：三角形的三个角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心。
3.应用（1）求三角形的角平分线长度：利用角平分线的性质，可以通过已知的角的大小求出角平分线的长度。
（2）证明三角形相似：通过证明两个三角形的角平分线相等，可以得出这两个三角形相似。
四、三角形的垂线1.定义三角形的垂线是从三角形的一个顶点向对边所作的垂直线段。
每个三角形有三条垂线，分别从三个顶点向对边作垂线。
2.性质（1）垂线垂直于对边：三角形的垂线与对边垂直相交。
（2）垂线相交于一点：三角形的三个垂线相交于三角形外部的一点，称为外心。
3.应用（1）求三角形的垂线长度：利用垂线的性质，可以通过已知的对边长度求出垂线的长度。
（2）证明三角形直角：通过证明三角形的两条垂线相等，可以得出这个三角形是直角三角形。
五、总结三角形的三线：中线、角平分线和垂线，在三角形中起着重要的作用。
人教版八年级上册11.1.2 三角形的三线
巩固练习
如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，
则：
A
∠1 = ∠2 ；
12
F
E
∠3 =
1 2
∠ABC
B； 3
D
4
C
∠ACB = 2 ∠4 .
典例分析
如图，AD是△ABC的角平分线，DE//AB，
DF//AC，EF交AD于点O.DO是△DEF的角平分
线吗？请说明理由.
C
E O
A
F
D B
提高练习(1) 如图1，来自D是BC的中点，点E是AD的中点，
若S△CDE=2cm2，则S△ABC=_8_cm2 (2)如图2，在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,
AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S△BEF=_1__cm2.
A
A
E
B
D
C
图1
E
F
B
D 图2
C
提高练习
等腰△ABC中，AB=AC,一腰上的中线将这个三
①任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点.
②三角形的中线是一条线段.
③三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三
角形.
典例分析
如图，根据图形填空：
①若AD是△ABC的中线，
则BD=_C__D_=
1 2
__B_C__.
②若AE=DE，则BE是 △_A__B_D__的中线，CE B 是△_A_C__D__的中线.
角形的角平分线.
A
符号语言：
AD 是AB的 C 角平分线
BAD CAD
B
C
1 BAC
D
2
三角形的角平分线
三角形的三线及面积(二)2024
三角形的三线及面积（二）引言:三角形是高中数学中的基本概念之一，它具有许多特性和性质。
在前一篇文档中，我们已经介绍了三角形的基本知识和一些重要概念。
在本文中，我们将继续探讨三角形的三线及其与面积的关系。
正文:一、三角形的三线1. 欧拉线：欧拉线是连接三角形的重心、外心和垂心的线段。
它具有许多重要的性质，如重心将欧拉线分成两等分部分，垂心到三角形三条边的距离之和等于三角形的周长等。
2. 高线：高线是从三角形的顶点到相对边上的垂线。
每个三角形都有三条高线，它们的交点称为三角形的垂心。
高线具有许多特性，如垂线互相垂直，垂心到三角形三个顶点的距离相等等。
3. 中线：中线是连接三角形两个顶点和中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们的交点称为三角形的重心。
中线具有许多特性，如重心将中线分成两等分部分，重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三个顶点到重心距离的三倍等。
4. 垂径：垂径是从三角形的顶点到相对边上的垂线的长度。
一般情况下，三角形的三个顶点到相对边上的垂径长度是不相等的。
5. 辅助线：辅助线是在三角形内部或外部引入的额外线段，用于研究三角形的性质。
常见的辅助线有角平分线、中垂线等。
二、三角形面积与三线的关系1. 欧拉线与面积关系：三角形的面积等于欧拉线长度乘以外接圆半径的两倍。
2. 高线与面积关系：三角形的面积等于高线长度乘以对应底边的长度的一半。
3. 中线与面积关系：三角形的面积等于中线长度乘以对应底边的长度的四分之一。
4. 垂径与面积关系：三角形的面积等于垂径长度乘以对应底边的长度的一半。
5. 辅助线与面积关系：通过引入合适的辅助线，可以简化计算三角形面积的过程。
常见的方法包括利用角平分线将三角形分成两个形状相同的小三角形，或者利用中垂线将三角形分成两个底边相等的梯形。
总结:在本文中，我们介绍了三角形的三线及其与三角形面积的关系。
这些性质和关系对于解决与三角形相关的问题非常有用。
通过深入理解三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决实际问题，从而提高数学问题解决的能力。
2024年度部编版八年级上册三角形的三线课件
在解决一些与三角形面积相关的问题时，可以通过引入中 线来简化计算过程。例如，已知三角形某一边上的中线和 这边所对的角，可以求出三角形的面积。
中线与面积关系的证明
可以通过作辅助线将三角形划分为两个等底等高的小三角 形，从而证明中线与面积之间的关系。
11
03
三角形高线性质与应用
2024/3/24
求面积
利用角平分线与面积的关 系，可以求出三角形的面 积。
18
角平分线与面积关系探讨
面积公式
三角形的面积可以通过底和高来计算，当底为角平分线时，高就是与角平分线垂直的线段 。
面积关系
角平分线将三角形分为两个小三角形，这两个小三角形的面积之比等于它们底边之比。
2024/3/24
应用
利用角平分线与面积的关系，可以解决一些与三角形面积相关的问题，如求三角形的面积 、证明两个三角形面积相等或比较两个三角形面积的大小等。
等边三角形的高线特点
等边三角形的三条高线长度相等，且 都交于一点（重心），同时每条高线 都是对应边的中线和对应角的平分线 。
2024/3/24
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04
三角形角平分线性质与应用
2024/3/24
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角平分线定义及性质
2024/3/24
01 02 03 04
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的 顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。 性质
2024/3/24
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提高训练：挑战难题，提升能力
2024/3/24
复杂图形中的三线问题
在复杂图形中找出并应用三角形的三线性质解决问题，如求面积 、证明线段相等或平行等。
构造法解题
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三角形的三线及面积讲
义及答案
Revised by Chen Zhen in 2021
三角形的三线及面积（讲义）
一、知识点睛：
1.三角形的三线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．
（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的
高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．
如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．
________即为所求．
2.面积问题：
（1）处理面积问题的思路
①_____________________________；
②_____________________________；
③_____________________________．
（2）处理面积问题方法举例
①利用平行转移面积
如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．
②利用等分点转移面积
两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．
二、精讲精练：
1.如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：
①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中
（）
A．①②都正确B．①②都不正确
C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确2.如图所示，在△ABC中，BC边上的高是_______，AB边上的
高是_______；在△BCE中，BE边上的高是________，EC边上的高是_________；在△ACD中，AC边上的高是
________，CD边上的高是________．
3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那
么这个三角形是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能4.如图，在正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外
角，P是∠DCE的平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于_________．
5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，延长DC到E，使CE=AB，
连接BD，BE．若梯形ABCD的面积为25cm2，则△BDE的面积为__________．
第5题图第6题图
6.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，
点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为____________．
7.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，
A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数是_______个．
第7题图第8题图
8.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方
形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2，则满足条件的格点C的个数是_______个．
9.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，
AE=2DE，若△ABE的面积是4，则△ABC的面积是_______．10.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，
且S△ABC=16，则S△DEF=_____________．
11.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，EC=2BE，点D是AC
的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，
S
，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF S△BEF=（）
△ADF
A．1 B．2 C．3
D．4
12.如图所示，S△ABC=6，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=______．
13.如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，
CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF的面积是______．14.如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和
△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是
_____________．
15.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为20cm2，△CDQ的
面积为35cm2，则阴影四边形EPFQ的面积是_________．16.如图，若梯形ABCD面积为6，E，F为AB的三等分点，M，N
为DC的三等分点，则四边形EFNM的面积是_________．【参考答案】
一、知识点睛
1.（1）线段，在三角形内部，重心．
（2）线段，在三角形内部，内心．
（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．作图略
2.（1）①公式法；②割补法；③转化法．
（2）②对应高，对应底．
二、精讲精练
1. C
2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．
3. C
4. 2
5.25cm2
6.16
7.6
8.5
9.12
10.2
11.B
12.1
13.3，15
14.144 cm2
15.55 cm2
16.2。