高等代数第5章习题参考答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结
果。
1）
4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3；
4)
8x 1x 4 2x 3x 4 2x 2x 3 8x 2x 4 ；
5)
x 1x 2 x 1x 3 x 1x 4 x 2x 3 x 2x 4 x 3x 4
；
解
1 )已知
f x 1,x 2,x 3 4x 1x 2 2x 1x 3 2x 2x 3，
先作非退化线性替换
x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 ( 1)
x 3 y 3
则
f x 1,x 2,x 3 4y 12
4y 22
4y 1y 3
2
2 2 2
4y 1 4y 1 y 3 y 3 y 3
4y 2
2y 1 y 3 3
y 32
4y 22
，
再作非退化线性替换
1
1 y 1
z 1
21
2
y 2 z 2
y 3 z 3
则原二次型的标准形为
最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为
2) x 12 2x 1 x 2 2x 22
4x 2x 3 4x 32
；
3) x 12
3x 22
2x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3；
6) x 12 2x 22 x 42
4x 1x 2 4x 1x 3
2x 1x 4
2x 2x 3 2x 2 x 4 2x 3x 4；
7) x 12 x 22 x 32
2
x 4
2x 1x 2 2x 2x 3
2x
3 x
4 。
x 1,x 2,x 3
2 z
12
4z 22
3)
x 1
x 2
1
2z 1 1 2z 1
z 2
z 2
1 2z 3 1 2z 3
x 3
1 0
1
11 0
2
2 T11
00 1 0
00 10
0 1
且有
10
0 T AT
0 4 0
0 1 2 ）已知
f x 1,x 2,x 3
x
1 2x 1x
2 2
x 22
由配方法可得
f x 1,x 2,x 3 2 x 1
2x 1x 2
2 x 2
2
x 1 x 2
x 2
于是可令 y 1 x 1 x 2
y 2 x 2
2x 3 ，
y 3
x 3
则原二次型的标准形为
f
2 2
x 1,x 2 ,x 3
y 1
y 2
，
且非退化线性替换为 x 1 y 1 y 2 2y 3 x 2 y 2 2y 3
x 3 y 3
于是相应的替换矩阵为 4x 2 x 3
相应的替换矩阵为 2
x 2
2x 3 2
，
2 1 2 0
2，
2
1
， 2，
1
4x 32
，
4x 2x 3 4x 32
0。
1
0 0 11 01 T AT 1 1
0 12
20 2 2 1 02
40
（3）已知 f x 1,x 2 , x 3 2 x 1
3x 2
2
2x 1x 2
由配方法可得
2 f x 1,x 2, x
3 x 1
2x 1x 2
2x 1x 3 2x 2x
x 1
x 2
x 3
2
2x 2 x 3
于是可令 y 1 x 1 x 2 x 3
y 2 2x 2 x 3 y 3 x 3 且有
1 1 0 2x 1x 3
3
则原二次型的标准形为 2
2
y
12
2 x
22
且非退化线性替换为 相应的替换矩阵为 且有 6x 2 x 3 ，
2 x
32
4x 22
4x 2 x 3 x 32
f x 1, x 2, x 3 2 y
22
13 x 1 y 1 2 y 2 2 y 3 11 x 2 2 y 2 2 y 3 ，
x 3 y 3
T AT
1 1 0 1
2 2
3 1
2
2
3 2 1 2 1
1 1 01 1
1 2 01 3
3 0 1
2
1 3
0 0 0
1
3 2 1 2 1
100 0 1 0 。 000
4）已知
f x 1,x 2, x 3,x 4 8x 1x 2 2x 3x 4 2x 2x 3 8x 2x 4，