第三讲_风险厌恶
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风险厌恶 - 维基百科,自由的百科全书
惡
u(c)的曲率越大，就越是風險厭惡。然而，因為期望效用函數不只一種定義（定義只 取決於放射變換），需要一種不變的關於這些變換的衡量方法。衡量風險厭惡程度的 方法之一是絕對風險厭惡的Arrow-Patt測量法(Arrow-Pratt measure of absolute riskaversion (ARA)).這是以經濟學家 Kenneth Arrow 和 John W. Pratt來命名的，也叫做絕 對風險厭惡係數（coefficient of absolute risk aversion）。它的定義如下： A（c）=u(c)/u'(c)
相對風險厭惡
投資組合理論
局限性
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其他用途
參見
風險 效用 風險補償 投資者特徵 聖彼得堡悖論 賭徒強迫,一種對立行為
外部連結
More thorough introduction (/het/essays/uncert/aversion.htm#pratt) Prof. Rabin's homepage (/users/rabin/) A response (2001) by Ariel Rubinstein (http://arielrubinstein.tau.ac.il/papers/rabin3.pdf) Paper about problems with risk aversion (/cgi/viewcontent.cgi?article=1025&context=iber/econ) Economist article on monkey experiments showing behaviours resembling risk aversion (/science/displayStory.cfm?story_id=4102350)
u(c)的曲率越大，就越是風險厭惡。然而，因為期望效用函數不只一種定義（定義只 取決於放射變換），需要一種不變的關於這些變換的衡量方法。衡量風險厭惡程度的 方法之一是絕對風險厭惡的Arrow-Patt測量法(Arrow-Pratt measure of absolute riskaversion (ARA)).這是以經濟學家 Kenneth Arrow 和 John W. Pratt來命名的，也叫做絕 對風險厭惡係數（coefficient of absolute risk aversion）。它的定義如下： A（c）=u(c)/u'(c)
相對風險厭惡
投資組合理論
局限性
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其他用途
參見
風險 效用 風險補償 投資者特徵 聖彼得堡悖論 賭徒強迫,一種對立行為
外部連結
More thorough introduction (/het/essays/uncert/aversion.htm#pratt) Prof. Rabin's homepage (/users/rabin/) A response (2001) by Ariel Rubinstein (http://arielrubinstein.tau.ac.il/papers/rabin3.pdf) Paper about problems with risk aversion (/cgi/viewcontent.cgi?article=1025&context=iber/econ) Economist article on monkey experiments showing behaviours resembling risk aversion (/science/displayStory.cfm?story_id=4102350)
风险厌恶性投资者
则投资者i 比投资者j 更厌恶风险，因为前者要求更高的风险 补偿才能把全部资产投资于风险资产。
二、个体风险厌恶度量 个体风险厌恶度量 风险厌恶
假定所有投资者是厌恶风险的，然而每个 人风险厌恶的程度可能个不相同，因此需 要对风险厌恶程度给出一个度量。 Markowitz risk premium Pratt-Arrow risk premium
命题3 在只存在一个风险很小的风险资产和一 个无风险资产的市场里，投资者对其全部初 始财富W0, 至少投资λW0于风险资产的充分 必要条件是
~ − r ] ≥ − λW0u ' ' (W0 (1 + rf )) E[(~ − r ) 2 ] E[r f r f u ' (W0 (1 + rf ))
定义3：如果投资者对是否参与所有公平的赌博 没有任何差别，则称投资者是风险中性 风险中性型。此时， 风险中性 E[u(w+g)] =E[u(w)] ,∀E[g]=0,or, u(w)=pu(w+h1)+( 1-p) u(w+ h2)， 例如：有人愿意无条件参加这样的一个赌局：硬币 正面朝上可以赢得4000元，反面朝上还要赔 2000元，入局费为1000
问题：如三个投资者拥有初始财富均为100 元，他们投资于风险资产的钱数均为50元， 当他们的财富增加到200元时，其投资于风 险资产的钱数分别增加为80元，100元， 150元，他们的投资行为如何判断？
相对的厌恶风险型 厌恶风险型 于个体效用函数， 它的相对风险厌恶 对于个体效用函数，定义它的相对风险厌恶 系数为 系数为：
Markowitz risk premium
定义： f(W0,H) 是投资者为了避免参与赌博 （一个不确定性）愿意放弃的财富或缴纳罚金 的最大数量，如果它满足下式：
风险厌恶培训资料
风险厌恶培训资料第一部分：风险管理概念1. 什么是风险- 风险定义及分类- 风险与机会的关系- 风险的影响因素2. 风险管理的目标- 风险管理的重要性- 风险管理的目标及原则- 风险管理的步骤第二部分：理解风险厌恶1. 什么是风险厌恶- 风险厌恶的定义及特点- 风险厌恶的原因2. 风险厌恶的影响因素- 个体差异与风险厌恶- 社会文化背景与风险厌恶- 经济环境与风险厌恶第三部分：影响风险厌恶的因素1. 信息不对称- 信息不对称的定义- 信息不对称对风险厌恶的影响- 如何减少信息不对称2. 个人心理因素- 个人认知偏差对风险厌恶的影响- 如何减少个人认知偏差第四部分：风险管理策略1. 风险规避- 风险规避的定义及重要性- 如何识别和评估潜在风险- 如何规避风险2. 风险转移- 风险转移的定义及原理- 风险转移方式及其适用场景- 如何进行风险转移3. 风险减轻- 风险减轻的定义及方法- 如何制定风险减轻策略- 如何评估风险减轻效果第五部分：风险管理案例分析1. 个人风险管理案例- 分析个别个体的风险厌恶情况- 制定个人风险管理策略2. 组织风险管理案例- 分析组织的风险厌恶情况- 制定组织风险管理策略第六部分：风险厌恶培训总结与回顾1. 重点知识回顾- 风险管理的概念与目标- 风险厌恶的定义及影响因素- 影响风险厌恶的因素2. 培训效果评估- 参训者对培训内容的理解与掌握情况- 培训对风险管理能力的提升效果评估以上是一份关于风险厌恶培训资料的大致内容，旨在帮助参训者理解风险管理的概念、风险厌恶的原因以及如何通过风险管理策略降低风险等知识。
通过培训的学习，参训者将能够更好地评估和管理风险，提升个人和组织的抗风险能力。
第一部分：风险管理概念1. 什么是风险风险是指在不确定性环境下可能发生的不利事件或结果。
它不仅包括可能的损失或伤害，还包括错失机会的可能。
风险可以分为内部风险和外部风险，内部风险指的是组织内部的因素，如管理不善、技术问题等，外部风险指的是来自外部环境的因素，如市场波动、法律法规等。
第三讲：风险厌恶ppt课件
utility function is concave, i.e., iff u´´ is
negative. Example: u(w)=ln(w).
9
Jensen inequality
The following two conditions are equivalent: 1. f is concave. 2. X : Ef (X ) f (EX ).
Eu1(w0 X ) Eu2 (w0 X ) dfn
Eu2 (w0 X ) Jensen
u2 (w0 )
u2 ind.
u1 (w0 )
dfn
25
主要结论
定理：下面的命题是等价的： 1、w, A1(w) A2 (w) 2、u1(u21(z)) 是凹的；
x, y,p [0,1] : pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y),
or equivalently, iff
Ef ( X ) f (EX ), f(EX)
with
X (x, p; y,1 p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
3
凹函数的定义
(Ct )1 dt] Xt
spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）
E0[
T et Ct1 (Wt
0
1 2 Vt
)b dt]
34
递归效用 [Epstein 和Zin（1989、1991）]
(1 )Ut {(1 et [Ct St ] (t)
12
风险态度的图象： u(.)
风险厌恶 风险中性 风险偏爱
negative. Example: u(w)=ln(w).
9
Jensen inequality
The following two conditions are equivalent: 1. f is concave. 2. X : Ef (X ) f (EX ).
Eu1(w0 X ) Eu2 (w0 X ) dfn
Eu2 (w0 X ) Jensen
u2 (w0 )
u2 ind.
u1 (w0 )
dfn
25
主要结论
定理：下面的命题是等价的： 1、w, A1(w) A2 (w) 2、u1(u21(z)) 是凹的；
x, y,p [0,1] : pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y),
or equivalently, iff
Ef ( X ) f (EX ), f(EX)
with
X (x, p; y,1 p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
3
凹函数的定义
(Ct )1 dt] Xt
spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）
E0[
T et Ct1 (Wt
0
1 2 Vt
)b dt]
34
递归效用 [Epstein 和Zin（1989、1991）]
(1 )Ut {(1 et [Ct St ] (t)
12
风险态度的图象： u(.)
风险厌恶 风险中性 风险偏爱
风险厌恶与风险资产的配置概论课件
29
6.4 单一风险资产与单一无风险资产的投资组合
风险投资组合的比例为 y，无风险投资组合比例为 1-y，组成的整个投 资组合 C 的收益率 rC 为：
rc yrp (1 y)rf
整个投资组合的收益率期望值为：
E(rc ) yE(rp ) (1 y)rf rf y[E(rp ) rf )] E(rp ) 15%, p 22%, rf 7%,则 风险资产的风险溢价=E(rp ) p 8%。
风险、投机与赌博
赌博可以向投机转化：当参赌者要求有足够的风险 溢价作为参赌的条件，赌博就变成了投机。
貌似投机的赌博 主观认为有两种不同的前景，经济学家称为“异质 预期”。解决方法为交换信息、充分沟通。
6.1 风险与风险厌恶 6.1.1 风险、投机与赌博
风险：不确定性 投机：承担一定风险(considerable risk)，获 取相应报酬(commensurate return) 赌博：为一不确定结果下注
风险、投机与赌博
投机：为获得相应的报酬而承担一定的商业风险。
注意： 1、明确“相应的报酬”和“一定的风险”含义。 “相应的报酬”是指除去无风险收益之后的实际期望收益，它 或者是超额收益或者是风险溢价。--比如，投资者如果选择股 票，他希望获得的是股票期望收益高于国库券期望收益的风险 溢价。 “一定的风险”是指足以影响决策的风险，当增加的收益不足 以补偿所冒的风险时，投资者会放弃产生正的风险溢价的机会。
2、风险厌恶。现代投资组合理论还假设，投资者是 风险厌恶的，即在其他条件相同的情况下，投资者将 选择标准差较小的组合。
3
本章主要内容
投资者的风险态度 投资组合的效用评分方法 单一风险资产与单一无风险资产的投资
组合 资本配置线（CAL） 最优资本配置比例 资本市场线（CML）
第三章 效用函数与风险厌恶
即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量， 而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用） 是递减的。
伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游 戏的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：
E(.)
n1
1 2n
log 2n
1.39
＞0
因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不 可接受的结果。而贝努力提出的用期望效用取代期望收 益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题 提供最终的解决方案。
（1）x y 弱偏好于x，x 至少与y 一样好。
（2）x y 强偏好于x ； x y x y 但， y x 不成立。
（3）x y无差异于x 、y；即：
x yxy 和 y x
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件： （1）完备性（completeness）:
x, y C y x x y x y
中有一种关系成立。 完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。
（2）自返性（reflexivity）：
x C ，则有 x x
自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的 一 贯性。
（3）传递性：
x, y, z C ifx y, y x x z
传递性保证了消费者在不同商品之间偏好 的首尾一贯性。 同理：
0.11(100) 0.89(100) 0.11( 1 (0) 10 (500)) 0.89(100)
11 11
p1
p1
11 (0)10010 (500) 11 11
p4 0.101.(1100)5000.89(0)
p4p1 0.1(05.80901)00 0.9(0)
!?
0.01 0
500 0.1
第三讲：风险厌恶
0 .5 u[E (W )](W E (W ))2 ＋ h.o.t
u [ E （ W ） - ] ＝ u [ E ( W ) ] － u [ E ( W ) ] ＋ h . o . t
＝-1u(W)2
2u(W) W
Arrow-Pratt度量：
＝-12uu((W W))W2
RRA＝-u(W)W ARA＝- u(W)
x,y,p[0,1]: pf(x)(1p)f(y)f(px(1p)y),
or equivalently, iff
Ef(X)f(EX), f(EX)
with
X (x,p;y,1p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
凹函数的定义
• 定义：称函数 f:R→R为凹函数当且仅当
x,y, p [0 ,1 ]:p f(x)(1p)f(y)f(p x(1p)y), o req u iv alen tly ,iff E f(X )f(E X ), w ithX(x,p ;y,1p).
• Chris Starmer.2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for descriptive theory of choice under risk. Journal of Economic
Literature :332-382 • Kahneman，D and Tversky. 1979. Prospect theory: an analysis of
• They all belong to the HARA family:
u(z) z 1 A (z) z 1
➢二次效用函数：
u (W ) a W b W 2
u [ E （ W ） - ] ＝ u [ E ( W ) ] － u [ E ( W ) ] ＋ h . o . t
＝-1u(W)2
2u(W) W
Arrow-Pratt度量：
＝-12uu((W W))W2
RRA＝-u(W)W ARA＝- u(W)
x,y,p[0,1]: pf(x)(1p)f(y)f(px(1p)y),
or equivalently, iff
Ef(X)f(EX), f(EX)
with
X (x,p;y,1p).
Ef(X)
x
px+(1-p)y y
凹函数的定义
• 定义：称函数 f:R→R为凹函数当且仅当
x,y, p [0 ,1 ]:p f(x)(1p)f(y)f(p x(1p)y), o req u iv alen tly ,iff E f(X )f(E X ), w ithX(x,p ;y,1p).
• Chris Starmer.2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for descriptive theory of choice under risk. Journal of Economic
Literature :332-382 • Kahneman，D and Tversky. 1979. Prospect theory: an analysis of
• They all belong to the HARA family:
u(z) z 1 A (z) z 1
➢二次效用函数：
u (W ) a W b W 2
风险厌恶名词解释
风险厌恶名词解释
风险厌恶是指个体或投资者对风险的态度和偏好。
在经济学和金融学中，风险厌恶是指个人或投资者更倾向于避免面临潜在损失的风险，而不愿意承担风险。
风险厌恶的个体或投资者可能会更多地选择低风险和稳定的投资，而不愿意冒险追求高风险高回报的投资。
风险厌恶的个体或投资者往往会更加关注保护资本和保持稳定
的财务状况，他们更注重保守的投资策略，尽量避免可能带来损失的风险。
风险厌恶个体或投资者可能会选择投资在低风险的资产类别，如债券、定期存款或保守型基金，而不愿意冒险投资在高风险的资产类别，如股票、创业投资等。
风险厌恶个体或投资者可能会对风险进行评估和衡量，通过各种风险管理工具来降低风险，如多元化投资、保险等。
他们更倾向于寻求稳定的回报和保守的投资策略，以避免潜在的损失和财务风险。
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• 绝对风险厌恶： 确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所
要求的风险溢价 ，定义为：
E[u(w g)] u(w )
在小风险博弈下泰勒展开得到
绝对风险厌恶：
A(w) u(w) u(w)
• 相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数 的博弈和风险溢价：
• 定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期 望效用函数，那么相应的效用函数u(.)是凹 的
风险厌恶的定义
• 基于公平博弈的定义： 定义：记 g为一个不确定的支付。如果E[g] 0
，则称 g 为一个公平博弈。
风险厌恶：称效用函数u(.) 的参与者是（严 格）风险厌恶的，如果
E[u(w g)] E[u(w)], E[g] 0
风险厌恶
熊和平 2012年秋季
一、风险厌恶的定义
• 风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用 函数定义——给定财富水平和效用函数， 定义风险厌恶。如下述定义：
• 定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即 公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。
• 效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连
定义:凹性
• A function f:R→R is concave iff:
More risk aversion
Eu1 (w0 X ) Eu2 (w0 X ) dfn
Eu2 (w0 X ) Jensen
u2 (w0 )
u2 ind .
u1 (w0 )
dfn
主要结论
• 定理：下面的命题是等价的： 1、w, A1(w) A2 (w)
2、u1(u21(z)) 是凹的；
decision under risk. Econometrica 47: 263-291
谢谢观看！ 2020
定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时， 参与者是（严格）风险厌恶的。
An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001)
zero- mean risk=fair gamble
• This is true if and only if A(w0) is decreasing in w0.
• DARA is equivalent to:
u '''(z) u ''(z) for all z. u ''(z) u '(z)
其他概念
• 绝对风险厌恶递增（IARA）
A(w) 0 • 相对风险厌恶递减(DRRA)
3、f (.), f (.) 0, f (.) 0 使得 u1(w) f [u2 (w)]
4、 1 2 对所有的w和公平博弈成立
递减的绝对风险厌恶【Decreasing absolute risk aversion (DARA)】
• It is widely accepted that is a decreasing function of w0.
x, y,p [0,1]: pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y), or equivalently, iff Ef ( X ) f (EX ), with X (x, p; y,1 p).
• 风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为 凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险 喜好；直线为风险中性。
• Chris Starmer.2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for descriptive theory of choice under risk. Journal of Economic
Literature :332-382 • Kahneman，D and Tversky. 1979. Prospect theory: an analysis of
• 例子：
100元 （概率为3/4）
L
-40元 （概率为1/4）
E(L)=100×3/4+(-40) ×1/4=65元
选L而不是65元
E(u(L))>u(E(L))
选65而不是L
E(u(L))<u(E(L))
对两者的态度相同 E(u(L))=u(E(L))
二、风险厌恶的度量
• 通常我们假设所有经济人为风险厌恶者， 接下来我们希望知道如何量化风险厌恶， 从而能够比较不同参与者或同一参与者在 不同情况时的风险厌恶程度。
＝E(W ) W
风险溢价（risk premium)
具体地：
E[u ( w0＋z )]＝u[w0＋Ce ]
C e C e (w0,u, z）
(w0,u, z）
Arrow-Pratt度量：
E[u(W )]＝u[E（W）- ]
u(W )＝u[E(W )] u[E(W )](W E(W ))＋ 0.5u[E(W )](W E(W ))2＋h.o.t
函数：
u(W ) （ W )1
T (W ) W
ARA(W ) W
0
CRRA
CARA
度量你的风险厌恶程度
• 假定你当前财富为100，面临50%-50%机 会获得或失去财富的 a%.
• 你愿意支付多少来消除该风险?
u[100(1 )] 0.5u[100(1a)] 0.5u[100(1a)]
• 假定 CRRA + estimate from above eq.
•
[100(1 )]1 [100(1 a )]1 [100(1 a )]1
1
2(1 )
2(1 )
Estimation of relative RA
RRA a=10% a=30% =0.5 =0.3% =2.3% =1 =0.5% =4.6% =4 =2.0% =16.0% =10 =4.4% =24.4% =40 =8.4% =28.7%
典型的效用函数(动态)
• 最简单情形：跨时可加
E0[u(C)] E0[ etu(Ct )]或 E0[u(C)] E0[ etu(Ct )dt]
• 跨时依赖： t0
0
habit formation(见Chan&Kogan，2002）
E0[
T et
0
1
1
(Ct )1 dt] Xt
spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）
A(w) a, R(w) aw
• 平方效用函数：u(w) w 1 aw2
2
A(w) a , R(w) aw
1 aw
1 aw
• 幂指数效用函数：
u(w) 1 w1
1
A(w) , R(w)
w
三、风险厌恶的比较
风险厌恶的比较：
• 定义：称u1 比 u2 更加厌恶风险若在任何财富水平
• They all belong to the HARA family:
u(z)
z
1
A( z )
z
1
➢二次效用函数：
u(W ) aW bW 2
➢CARA或指数效用函数：
u(W ) eaW / a
➢CRRA效用函数：
u(W )
[W 1
1] /(1 )
1
lnW
1
➢HARA（hyperbolic absolute risk aversion) 效用
Tu＝-
1 ARAu
两种方法的比较：
例子（Copeland）：
某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策：
（1）
50%
$10
A
50%-$10Fra bibliotek(2) B
80% 20%
-$1,000 -$10,000
Arrow-Pratt度量
A $0.0025 B $324
Markowtz 度量
• 基于效用函数的定义：
• 风险态度的定义：
➢若对于风险投资L投资者满足：
E[u(L)] u[E(L)] E[u(L)] u[E(L)]
风险厌恶 风险偏爱
E[u(L)] u[E(L)]
风险中性
Risk aversion
• An agent is risk-averse if and only if his
下前者不喜欢（dislikes）所有后者觉得无差异的 彩票:
for any X,w0: Eu2(w0+X)=u2(w0) Eu1(w0+X)≤ u1(w0).
NSC:
concave: u1(w) (u2 (w)) w.
Or : u ''1(w) u ''2 (w) w. u '1(w) u '2 (w)
E0[
T et Ct1 (Wt
0
1 2 Vt
)b dt]
• 递归效用 [Epstein 和Zin（1989、1991）]
(1 )Ut {(1 et [Ct St ] (t)
1
et [Et (1 )Utt ]1 }
参考文献：
• Machina ,M.1987. Choice under uncertainty: problems solved and unsolved. Journal of Economic Perspectives 1: 281-296
u[E（W）- ]＝u[E(W )]－u[E(W )]＋h.o.t
＝-
1 2
u(W u(W
) )
2 W
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• 绝对风险厌恶： 确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所
要求的风险溢价 ，定义为：
E[u(w g)] u(w )
在小风险博弈下泰勒展开得到
绝对风险厌恶：
A(w) u(w) u(w)
• 相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数 的博弈和风险溢价：
• 定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期 望效用函数，那么相应的效用函数u(.)是凹 的
风险厌恶的定义
• 基于公平博弈的定义： 定义：记 g为一个不确定的支付。如果E[g] 0
，则称 g 为一个公平博弈。
风险厌恶：称效用函数u(.) 的参与者是（严 格）风险厌恶的，如果
E[u(w g)] E[u(w)], E[g] 0
风险厌恶
熊和平 2012年秋季
一、风险厌恶的定义
• 风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用 函数定义——给定财富水平和效用函数， 定义风险厌恶。如下述定义：
• 定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即 公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。
• 效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连
定义:凹性
• A function f:R→R is concave iff:
More risk aversion
Eu1 (w0 X ) Eu2 (w0 X ) dfn
Eu2 (w0 X ) Jensen
u2 (w0 )
u2 ind .
u1 (w0 )
dfn
主要结论
• 定理：下面的命题是等价的： 1、w, A1(w) A2 (w)
2、u1(u21(z)) 是凹的；
decision under risk. Econometrica 47: 263-291
谢谢观看！ 2020
定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时， 参与者是（严格）风险厌恶的。
An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001)
zero- mean risk=fair gamble
• This is true if and only if A(w0) is decreasing in w0.
• DARA is equivalent to:
u '''(z) u ''(z) for all z. u ''(z) u '(z)
其他概念
• 绝对风险厌恶递增（IARA）
A(w) 0 • 相对风险厌恶递减(DRRA)
3、f (.), f (.) 0, f (.) 0 使得 u1(w) f [u2 (w)]
4、 1 2 对所有的w和公平博弈成立
递减的绝对风险厌恶【Decreasing absolute risk aversion (DARA)】
• It is widely accepted that is a decreasing function of w0.
x, y,p [0,1]: pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y), or equivalently, iff Ef ( X ) f (EX ), with X (x, p; y,1 p).
• 风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为 凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险 喜好；直线为风险中性。
• Chris Starmer.2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for descriptive theory of choice under risk. Journal of Economic
Literature :332-382 • Kahneman，D and Tversky. 1979. Prospect theory: an analysis of
• 例子：
100元 （概率为3/4）
L
-40元 （概率为1/4）
E(L)=100×3/4+(-40) ×1/4=65元
选L而不是65元
E(u(L))>u(E(L))
选65而不是L
E(u(L))<u(E(L))
对两者的态度相同 E(u(L))=u(E(L))
二、风险厌恶的度量
• 通常我们假设所有经济人为风险厌恶者， 接下来我们希望知道如何量化风险厌恶， 从而能够比较不同参与者或同一参与者在 不同情况时的风险厌恶程度。
＝E(W ) W
风险溢价（risk premium)
具体地：
E[u ( w0＋z )]＝u[w0＋Ce ]
C e C e (w0,u, z）
(w0,u, z）
Arrow-Pratt度量：
E[u(W )]＝u[E（W）- ]
u(W )＝u[E(W )] u[E(W )](W E(W ))＋ 0.5u[E(W )](W E(W ))2＋h.o.t
函数：
u(W ) （ W )1
T (W ) W
ARA(W ) W
0
CRRA
CARA
度量你的风险厌恶程度
• 假定你当前财富为100，面临50%-50%机 会获得或失去财富的 a%.
• 你愿意支付多少来消除该风险?
u[100(1 )] 0.5u[100(1a)] 0.5u[100(1a)]
• 假定 CRRA + estimate from above eq.
•
[100(1 )]1 [100(1 a )]1 [100(1 a )]1
1
2(1 )
2(1 )
Estimation of relative RA
RRA a=10% a=30% =0.5 =0.3% =2.3% =1 =0.5% =4.6% =4 =2.0% =16.0% =10 =4.4% =24.4% =40 =8.4% =28.7%
典型的效用函数(动态)
• 最简单情形：跨时可加
E0[u(C)] E0[ etu(Ct )]或 E0[u(C)] E0[ etu(Ct )dt]
• 跨时依赖： t0
0
habit formation(见Chan&Kogan，2002）
E0[
T et
0
1
1
(Ct )1 dt] Xt
spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）
A(w) a, R(w) aw
• 平方效用函数：u(w) w 1 aw2
2
A(w) a , R(w) aw
1 aw
1 aw
• 幂指数效用函数：
u(w) 1 w1
1
A(w) , R(w)
w
三、风险厌恶的比较
风险厌恶的比较：
• 定义：称u1 比 u2 更加厌恶风险若在任何财富水平
• They all belong to the HARA family:
u(z)
z
1
A( z )
z
1
➢二次效用函数：
u(W ) aW bW 2
➢CARA或指数效用函数：
u(W ) eaW / a
➢CRRA效用函数：
u(W )
[W 1
1] /(1 )
1
lnW
1
➢HARA（hyperbolic absolute risk aversion) 效用
Tu＝-
1 ARAu
两种方法的比较：
例子（Copeland）：
某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策：
（1）
50%
$10
A
50%-$10Fra bibliotek(2) B
80% 20%
-$1,000 -$10,000
Arrow-Pratt度量
A $0.0025 B $324
Markowtz 度量
• 基于效用函数的定义：
• 风险态度的定义：
➢若对于风险投资L投资者满足：
E[u(L)] u[E(L)] E[u(L)] u[E(L)]
风险厌恶 风险偏爱
E[u(L)] u[E(L)]
风险中性
Risk aversion
• An agent is risk-averse if and only if his
下前者不喜欢（dislikes）所有后者觉得无差异的 彩票:
for any X,w0: Eu2(w0+X)=u2(w0) Eu1(w0+X)≤ u1(w0).
NSC:
concave: u1(w) (u2 (w)) w.
Or : u ''1(w) u ''2 (w) w. u '1(w) u '2 (w)
E0[
T et Ct1 (Wt
0
1 2 Vt
)b dt]
• 递归效用 [Epstein 和Zin（1989、1991）]
(1 )Ut {(1 et [Ct St ] (t)
1
et [Et (1 )Utt ]1 }
参考文献：
• Machina ,M.1987. Choice under uncertainty: problems solved and unsolved. Journal of Economic Perspectives 1: 281-296
u[E（W）- ]＝u[E(W )]－u[E(W )]＋h.o.t
＝-
1 2
u(W u(W
) )
2 W