洛仑兹坐标变换
洛伦兹变换的详细推导
第三节 洛伦兹变换式教学内容:1。
洛伦兹变换式的推导;2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓; 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求:1。
了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念; 3。
理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异.三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式.1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设,我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的.对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标（x ,y ,z ，t )、(x '，y '，z ’，t ’），因S ’ 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y ， z ’=z .在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S ’系中观察该点，x '=—v t '，即x '+v t ’=0。
因此x =x ’+v t ’。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x ’+v t '），k 是—比例常数.同样地可得到：x '=k ’(x —v t ）= k ’（x +(-v ）t )根据相对性原理，惯性系S 系和S ’系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号)，所以k =k ’。
2。
由光速不变原理可求出常数k设光信号在S 系和S ’系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t （或t ’），光信号到达点在S 系和S ’系中的坐标分别是：x =c t ，x '=c t '，则：t t c x x '='2()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22 ()222v c t t k -'=由由此此得得到到()22211c v v c c k -=-=。
《物理学教学课件》4-4 洛伦兹变换式
x x ut 1 u2 c2ຫໍສະໝຸດ x x2 x1 1 u2 c2
l 1 u2 c2 l0
l l0 1 u2 c2
若棒静止放在地面，则 x2 x1 l0 固有长度
设：在S系中某时刻 t 同时（ t2 t1 t ） 测得棒两端坐标为 x1 、x2 ，则 S系中测得棒 长 l x2 x1， l 与 l0的关系为：
三、例题分析 例1：一长度为100米的火箭以速度 v 0.8c相对 于地面飞行，发现一流星从火箭的头部飞向尾 部，掠过火箭的时间在火箭上测得为 1.0 106s。 试问地上的观察者测量时
(1) 流星掠过火箭的时间是多少？ (2) 该时间内流星飞过的距离是多少？ (3) 流星运动的速度和方向如何？
100)
1.2 106s
2). 由洛伦兹坐标差变换公式
x x v t 1 v2 c2
得地面上测得该时间内流星飞过的距离
v 0.8c x x2 x1 100m t 1.0 106s x 5 ( 100 0.8c 106 ) 3 2.2 102 m
3). 流星飞过的距离 x 和时间 t ，是 S 系 中的测量值，故 S 系测得飞行速度为
长度收缩与时间膨胀仅仅是相对论时 空变换中的两个特例，本节介绍狭义相对 论的时空观下，各惯性系之间更普遍的的 时空变换关系——洛伦兹变换，洛伦兹变 换保证了所有的物理规律在不同惯性系中 具有相同的形式。
4-4 洛仑兹变换
一、 洛伦兹坐标变换式
我们仍取两个相互
作匀速直线运动的惯
性系：地面系和火车
系，火车系以速度u相 对于地面沿正方向匀
在S中：先开枪，后鸟死 在S'中：是否能发生先鸟死，后开枪？ 由因果律联系的两事件的时序是否会颠倒？
洛仑兹坐标变换
A
B
v u v' 1 uv / c
x x x
s'
2
vB vA 1 vA vB / c
2
地球 s
0 . 988 c
15
有
t1 t1 ' u c
2 2
( x', t2 ' )
x'
2
1 u /c
t2
t 2 '
u c
2 2
x'
2
1 u /c
t t 2 t1
t 2 ' t1 ' 1 u /c
2 2
t ' 1 u /c
2 2
10
（2）长度收缩效应 设在S’系中有一杆长：l '
x 2 ' x1 '
x ' x ut
低速时
1
y' y
z' z
t ' (t
u c
2
还原为加利略变换
x)
z' z t' t
（2）揭示了时间、空间与物质运动不可分割的联系
（3）揭示了光速是一切物体运动速度的极限
1
1 u c
2 2
7
例1、设有车厢（S’系）对站台（S系）以速度u运动， 试用洛仑兹变换说明同时的相对性，并计算出不同时 事件的时间差。 （1）在S’系中发生于x1’和x2’两地点的同时事件，在 S系中不同时； （2）在S系中发生于x1和x2两地点的同时事件，在S’ 系中不同时；
洛仑兹变换
洛伦兹变换
11 – 2
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
相对论速度正变换式
说明
当 S 系观察者测得光 信号速度为c时，S测得
ux v u x v 1 2 ux c 2 uy v u y 1 2 v c 1 2 ux c 2 uz v u 1 2 z v c 1 2 ux c
S S
11 – 2
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
例1 在惯性系 S 中，有两个事件同时发生在 x 轴 上相距 1000m 的两点，而在另一惯性系 S（沿 x 轴方 向相对于 S 系运动）中测得这两个系事件发生的地点 相距 2000m。求在 系中测得这两个事件的时间间隔 . 解： 已知 t 0 x 1000 m 正 变 换
v
( x, y, z, t ) y y ' P ( x' , y ' , z ' , t ' ) S S
z
o
z'
o'
x' x
v c
1 1
2Hale Waihona Puke 11 – 2洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
正 变 换
x' ( x vt ) y' y z' z v t ' (t 2 x) c
二
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
洛伦兹速度变换
洛伦兹坐标正变换式
x x vt y y z z v t t 2 c
dx dx vdt dy dy dz dz
v dt dt 2 dx x c dx v ux v d x d t u x dt 1 v dx 1 v u 2 x 2 c c dt
五种洛仑兹变换的推导方法
一、首先来看看爱因斯坦在《狭义与广义相对论浅说》中的推导方法。 有两个坐标系 K 和 K' ，各坐标系内的事件分 别由坐标（x，y，z，t）和（x' ，y'，z' ，t'）表示。 我们把问题分成几部分，首先只考虑 x 轴上 发生的事件。任何一个这样的事件， 对于坐标系 K 是由横坐标 x 和时间 t 来表示， 对于坐标系 K'则由 横坐标 x' 和时间 t'来表示。当给定 x 和 t 时，我们 要求出 x' 和 t'。 约定 t=0 时刻 O 和 O' 重合， K' 有沿 x 正方向 的速度 v。 假设沿着 x 轴正方向有一束光信号从 t=t'=0 时刻射出，则光信号在 K 系中满足
⎧ x ' = ax + bt ⎨ ⎩t ' = dx + et
为了使（5）式满足于（3）式，要求
（5）
x 2 − c 2 t 2 = x ' 2 −c 2t ' 2
于是， （5）式应具有下列形式：
（6）
⎧ x ' = xchθ − ctshθ ⎨ ⎩ct ' = − xshθ + ctchθ
其中，θ为常量，shθ和 chθ为双曲函数，即
x − vt ⎧ ⎪ x' = v2 ⎪ 1− 2 c ⎪ ⎪ y' = y ⎪ ⎨z' = z ⎪ v ⎪ t− 2 x ⎪t ' = c ⎪ v2 1− 2 ⎪ c ⎩
进一步得逆变换式为
x'+vt ' ⎧ ⎪x = v2 ⎪ 1− 2 c ⎪ ⎪ y = y' ⎪ ⎨z = z' ⎪ ⎪ t ' + v x' ⎪t = c2 ⎪ v2 1− 2 ⎪ c ⎩
洛伦兹变换推导过程详细
洛伦兹变换推导过程详细全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中的重要概念，描述了不同惯性参考系之间的时空坐标变换关系。
由荷兰物理学家亨德里克·安杰洛·洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）首先提出，并由爱因斯坦在他的狭义相对论中进一步发展。
洛伦兹变换不仅在相对论中有着广泛的应用，而且也成为了后来爱因斯坦提出的广义相对论中的基础之一。
在这篇文章中，我们将详细推导洛伦兹变换的过程，并探讨其物理意义。
我们从狭义相对论的两个基本假设开始。
第一个假设是等效原理，即在加速度为零的惯性参考系中的物理定律是相同的。
第二个假设是光速不变原理，即光在真空中的传播速度对于所有惯性观察者都是相同的，不受光源或观察者的运动状态的影响。
根据这两个假设，我们可以推导出洛伦兹变换。
假设有两个惯性参考系S和S'，S'相对于S以速度v沿x轴方向匀速运动。
在S参考系中，事件的时空坐标为(x, y, z, t)，而在S'参考系中为(x', y', z', t')。
我们希望通过洛伦兹变换找到这两个参考系之间的坐标变换关系。
首先考虑S'参考系中的时间坐标t'和空间坐标x'之间的变换。
由光速不变原理可知，在S'参考系中静止的光源发出的光信号在空间中传播的速度是恒定不变的，即光速c。
假设光源在S参考系中坐标为(x, t)，在S'参考系中坐标为(x', t')，那么光信号在S参考系中的传播距离为c(t-t')，在S'参考系中的传播距离为c(t'-t)。
根据光速不变原理，这两个传播距离应该相等，即：c(t-t') = c(t'-t)整理得到：t' = γ(t - vx/c^2)其中γ为洛伦兹因子，定义为1/√(1-v^2/c^2)，即：γ = 1/√(1-v^2/c^2)这个式子描述了S'参考系中事件的时间与S参考系中事件的时间之间的关系。
8.2 洛仑兹变换
一、间隔不变性
相对于 在 x 轴 以 v 运动，O与 O重合 时从坐标原点发出一 光讯号。
P
v
P2
O O
P1
P1
P2
, 系
(0,0,0,0)
系： ( x, y, z, t ) '系： ( x' , y' , z ' , t ' ) 系：x2 y2 z 2 c2t 2 ' 系： x2 y2 z2 c2t2
v
(7)
(8)
将(6)式(3)代入，并考虑(7)式得：
2 ( x vt )2 c2 ( t x)2 x2 c2t 2
(8)对任意 x , t 均成立，比较系数得：
2 c 2 2 1 2 2 2 2 2 v c c 2 v c 2 0
x x t ' y y (6) ' z z t ' t x
'
y
y
v
x, x
, , , 是与时间空间、坐标无关的待定常数
z
z
O, O重合 t 0 时，
4
§8.2 洛仑兹变换
O 的位置 x vt 系看， O 的位置 x' 0 系看， vt t 0 代入(6)式第一式得：
② ห้องสมุดไป่ตู้间、空间是均匀的 、各向同性的。
A 只能与 v 有关。 S 2 A(v)S '2 反过来 S 2 A(v)S 2 取 A 1 A2 1
2
§8.2 洛仑兹变换
洛伦兹坐标变换式的推导.
S
y y' u S'
r
O z z' O'
(x,y,z) (x',y',z') P
r
x (x')
x 2 y 2 z 2 c 2t 2 0
对惯性系 S' ，根据光速不变原理，有
x' 2 y' 2 z' 2 c 2t' 2 0
在两个参考系中两 者形式完全相同!
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
2 1
1 β
2
S
假设
t 0
事件1先与事件2发生
S t' 0
1. 两独立事件间的时序
t2 t1 u x2 x1 c 0 2 t2 t1 u x2 x1 c 0 t2 t1 u x2 x1 c 2 0
2 1
1 β 2
S O
3. 因果律事件
v
S
子弹传递速度 (平均速度)
x2 x1 v t2 t1
x1 t1
x2 x t2
t' 0
S
t2 t1 [1 uv t' t ' t '
2 1
c2 ]
1 β 2
v c uc
uv c 2 1
因果律事件间的时序不会颠倒
例如测量空间和时间ss事件1事件21111tzyx1111tzyx2222tzyx2222tzyx时间间隔空间间隔12xyzxyzxyz??????121212xyzxyzxyz??????121212ttt??12ttt??21ytuxx???y?zz?221cxutt???xuzhongfengxianjiaotonguniversity201030universityphysics2当uc洛伦兹变换简化为伽利略变换式utxx?221cu?utxx?在低速情况下相对论时空观可由绝对时空观替代tt3光速是各种物体运动的一个极限速度221cucu??虚数洛伦兹变换失去意义任何物体的运动都不会超过光速如图所示棒ab的b端位于x轴上x0处其与x轴的夹角为
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比较系数可得：
a121
a
2 21
1
(3) X2项的系数是1，t2项的 系数是负1 ，xt交叉项的
a11a12 a21a22 0
(4)
系数是0
a122
a
2 22
1
(5)
§3 洛仑兹坐标变换
由（3）、（5）式可得
a11
1
a
2 21
a22 1 a122
带入（4）可得 a12 a 21
在Σ系，观察Σ’系的原点o’，以速度V运动。 即 x = vt 代入（1）式可得，0 = a11vt+a12ct。 即 a12/a11= -v/c
y y' z z'
t (t ' x ')
c
§3 洛仑兹坐标变换
注意沿正向以速度V运动，两系原点重合时两系 时钟均指零
空间、时间的测量结果相互影响，相互制约
--- 相对论时空观
光速是各种物体运动的一个极限速度。
§3 洛仑兹坐标变换
P2
(
(x2、y2、z2、t2 ) x, 2、y , 2、z , 2、t , 2
§3 洛仑兹坐标变换
例一、在Σ系中，有一事件为△ｘ＝３×１０８ｍ， △ｔ＝0.５s。在Σ，系中△ｔ’＝０，求：△ｘ， 解:
t
'
[t-
v c2
x]
Q t ' 0 v 0.5c
x ' [x vt]= 2 3 [3108m 0.5c 0.5s]
3
2 3 3 3108m= 3 3108m
34
2
§3 洛仑兹坐标变换
在系 x=3108m, t 0.5t
在'系
x'=
3 2
3
108
m,
t' 0
在惯性系Σ中为异地异时事件，在惯性系Σ‘中的同时 异地事件。
§3 洛仑兹坐标变换
例二：证明为了保证因果律不变，物体运动的速度不 会大于光速。
所谓因果律不变，就是当 当 t2 t1 0 亦有 t2 t1 0
t2
t1
[t2
t1
c
x2
x1 ]
t2 t1
v c2
x2
x1
பைடு நூலகம்
c2 v x2 x1 t2 t1
c2 v u
)
P1
(
(x1、y1、z1、t1)
x,1、y,1、z,1、t
, 1
)
§3 洛仑兹坐标变换
x
' 2
x1'
[( x 2
x1)
v(t 2
t1)]
y2' y1' y2 y1 z2' z1' z2 z1
t
' 2
t1'
[(t2
t1
)
c
(x 2
x1)]
x, x y, y z, z t, t
可得
a11 a22
1
1
v2 c2
v
a12 a21
c
1
v2 c2
§3 洛仑兹坐标变换
洛仑兹坐标变换
x ' x vt
1
v2 c2
y' y z' z
t'
t
v c2
x
1
v2 c2
v
c
1
1
v2 c2
逆变换
x ' (x vt)
y' y z' z
t ' (t x)
c
x (x' vt')
(x, t) P (x '，t ')
y y' z z'
1.空间变换应是线性的，四个系数应为常数。
2.考虑到x轴与x’轴，t与t’的正方向相同，11＞0,a22＞ 0.
§3 洛仑兹坐标变换
代入时空间隔可得： (a11x a12ct)2 +y2 +z2 (a 21x a 22ct)2 x2 +y2 +z2 c2t2
uy ,u'y ,uz ,u'z 以此类推
§3 洛仑兹坐标变换
速
ux
ux 1
v
uxv c2
度 叠 加 公
uy
uy
1 v2 / c2
1
uxv c2
式
uz
uz
1 v2 / c2
1
uxv c2
ux
ux 1
v
uxv c2
uy
uy
1 v2 / c2
1
uxv c2
uz
uz
1 v2 / c2
1
uxv c2
垂直于运动方向的速度也发生了变化。
a44tt
式中a14的量纲不统一
1 0 0 v
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
§3 洛仑兹坐标变换
一、由光速不变原理导出洛伦兹变换
事件P在Σ系和Σ’系分别被描述成 (x和, t) (x '，t ')
变换关系是为
x ' a11x a12ct (1) ct' a21x a22ct (2)
§3 洛仑兹坐标变换
1.洛伦兹基于收缩理论导出（用于解释 迈克尔逊实验） 2.爱因斯坦基于光速不变原理导出
§3 洛仑兹坐标变换
回忆伽利略变换写成
x,
a11
x
a 12
y
a13 z
a14t
y,
a21 y
a 22
y
a23 z
a24t
z,
a31 y
a 32
y
a33 z
a34t
t,
a41 y
a 42
y
a43 z
x2
x1
[(x
' 2
x1' )
v(t
' 2
t1' )]
t2
t1
[(t
' 2
t1' )
c
(x
' 2
x1' )]
§3 洛仑兹坐标变换
二、相对论速度叠加公式 由洛仑兹坐变换可得：
dx ' (dx vdt)
dy' dy dz' dz
dt ' (dt dx)
c
定义：u x
dx dt
dx' u'x dt'