高三数学一轮复习讲义三角函数的图像与性质教案新人教A版

三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1 (2π，0)(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数 性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1] R对称性对称轴：__ x ＝k π＋π2(k ∈Z )__ _； 对称中心：_ (k π，0)(k ∈Z )__ _对称轴：x ＝k π(k ∈Z )___；对称中心： _(k π＋π2，0)(k ∈Z )__对称中心：_⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) __周期2π_2ππ单调性单调增区间_[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )___； 单调减区间[2k π＋单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) ____；单调减区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )______单调增区间_(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )___3.都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sinx (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x .热身练习:1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域为( )．A .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π－π4，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋π4，k ∈Z3．函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【解析】令2x ＋π3＝k π＋π2，则x ＝k π2＋π12(k ∈Z )∴当k ＝0时，x ＝π12，选D.4．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0)B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，0解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，∴令x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k ＝－1，x ＝－34π得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.答案 B5．下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是( )A.(0，π)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2πD .⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π26．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对任意x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )【解析】当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，∴f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z∵f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ∴sin φ<0 ∴φ＝2k π－5π6由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π 得x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，选C.7.函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4x ∈R 的最小正周期为___4π_____． 8..y ＝2－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为___5_____，此时x ＝_____34π＋2k π，k ∈Z _________.9．函数y ＝(sin x －a )2＋1，当sin x ＝1时，y 取最大值；当sin x ＝a 时，y 取最小值，则实数－1≤a ≤0.10．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是 .【解析】∵f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12，又π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6. ∴当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )取最大值32.题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝lgsin(cos x )； (2)y ＝sin x －cos x .解 (1)要使函数有意义，必须使sin(cos x )>0. ∵－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0<OM ≤1， ∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为 {x |－π2＋2k π<x <π2＋2k π，k ∈Z}.(2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示. 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π，k ∈Z .变式训练1 (1)求函数y lg(2sin 1)tan 1cos()28x x π-+--=+的定义域；解 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0－tan x －1≥0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π8≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，tan x ≤－1，x 2＋π8≠k π＋π2.图①如图①利用单位圆得：⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k π＋π2<x ≤k π＋3π4，x ≠2k π＋3π4k ∈Z .∴函数的定义域为{x |2k π＋π2<x <2k π＋3π4，k ∈Z }.(2)求函数y 122log tan x x =++的定义域.要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2 k ∈Z .利用数轴可得图②图②∴函数的定义域是{x |0<x <π2或π≤x ≤4}.题型二、三角函数的五点法作图及图象变换例2已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)用五点法作出f (x )在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？【解析】(1)y ＝f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)2x ＋π60 π2 π 3π2 2π x －π122π12 5π12 8π12 11π12 y 02－2∴函数y ＝f (x )在[－π12，11π12]上的图象如图所示．【点评】“五点法作图”应抓住四条：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．题型三 三角函数图象与解析式的相互转化例3函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．【解析】(1)由图可知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3 ∴ω＝32.又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0∴sin(φ－π4)＝0∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4∴φ－π4＝0，即φ＝π4∴f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos 3x ＋π42＝2－2cos(3x ＋π4)∵x ∈[－π6，π3] ∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.【点评】根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②K 的确定：根据图象的最高点和最低点，即K ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.例4若方程3sin x ＋cos x ＝a 在[0,2π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，求a 的取值范围，并求此时x 1＋x 2的值．【解析】∵3sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π6)，x ∈[0,2π]，作出y ＝2sin(x ＋π6)在[0,2π]内的图象如图．由图象可知，当1＜a ＜2或－2＜a ＜1时，直线y ＝a 与y ＝2sin(x ＋π6)有两个交点，故a 的取值范围为a ∈(－2,1)∪(1,2)．当1＜a ＜2时，x 1＋π6＋x 2＋π6＝π.∴x 1＋x 2＝2π3.当－2＜a ＜1时，x 1＋π6＋x 2＋π6＝3π，∴x 1＋x 2＝8π3.【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征．例4已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的解析式，并求满足g (x )≥2且x ∈[0，π]的实数x 的取值范围．【解析】(1)由函数图象的最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2，由x 轴上相邻两个交点间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2ππ＝2.又点M (2π3，－2)在图象上，得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6，又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.综上可得f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)将f (x )＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π12个单位，得到f 1(x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]，即f 1(x )＝2sin2x 的图象，然后将f 1(x )＝2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin(2·2x )，即g (x )＝2sin4x . 由⎩⎨⎧0≤x ≤πg x ＝2sin4x ≥2得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤πsin4x ≥22.则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π2k π＋π4≤4x ≤2k π＋3π4k ∈Z 即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤πk π2＋π16≤x ≤k π2＋3π16k ∈Z .故π16≤x ≤3π16 或 9π16≤x ≤11π16. 题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．【解析】(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0 得cos(π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.(2)由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，ω＝3 ∴f (x )＝sin(3x ＋π4)．设函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )，则g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]＝sin(3x ＋3m ＋π4)g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )即m ＝k π3＋π12(k ∈Z ) ∴最小正实数m ＝π12.题型五 三角函数的单调性与周期性例2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 解 (1)y ＝-sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .最小正周期T ＝2π2＝π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .最小正周期：T ＝π.探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反). (2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间.(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定. 变式训练2 (1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值；(2)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.①求f (x )的最小正周期； ②求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值.解: y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6114sin 44sin 422x x x x =+++sin 442sin(4)3x x x π==+ (1)周期为T=π2 242,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )；3242,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )y max ＝2； y min ＝－2(2) f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－114cos (cos )122x x x =+-2cos 2cos 1x x x =+-2cos 22sin(26)x x x π=+=+x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4,22[,]663x πππ+∈- 最大值为2；最小值为－1题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2已知向量m u r ＝(3sin2x －1，cos x )， n r ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m n ⋅u r r，x ∈R.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间．【解析】(1)f (x )＝m ·n ＝3sin2x －1＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)∴对称轴方程为：2x ＋π6＝k π＋π2，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤k π＋π6∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．【点评】对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)：①若求y ＝f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，求出x ；若求y ＝f (x )的对称中心的横坐标，只零令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求出x ；②若求y ＝f (x )的单调增区间，只需令2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2，求出x ；若求y ＝f (x )的单调减区间，只需令2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2，求出x .题型七 三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________.(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A . π6B.π4C.π3D.π2(1)π6f (x )＝2sin π()3x +， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ()3x πϕ++图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z，即φ＝k π＋π6，k ∈Z，所以当k ＝0时，φ＝π6.(2)A3cos 4(2)3πϕ⨯+＝3cos 2π(2π)3ϕ++＝3cos 2()0,3πϕ+=∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z，∴φ＝k π－π6，k ∈Z， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选探究提高 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可.变式训练3 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是 ( )A.223B.233C.43D.263由题意得f (0)＝f 10()3π，∴a ＝－32－a 2. ∴a ＝－33, g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin 2()3x π+， ∴g (x )max ＝233.(2)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________. (1)B (2)π由题设，有π()4f ω＝±a 2＋b 2，即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b .又()08f π'=，所以a ω(cos sin )88πωπω-＝0，从而tanωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z，即ω＝8k ＋2，k ∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2， 于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin (2)4x π+故f(x)的最小正周期是π.题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用例3(1)求函数y ＝2sin x cos 2x1＋sin x的值域；(2)求函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最值； (3)若函数f (x )＝1cos 24sin()2xx π++－a sin x 2·cos(π－x2)的最大值为2，试确定常数a 的值．【解析】22sin (1sin )11sin x x x-+（）y=＝2sin x (1－sin x )＝2sin x －2sin 2x ＝－2(sin x －12)2＋12.∵1＋sin x ≠0，∴－1＜sin x ≤1.∴－4＜y ≤12.故函数y ＝2sin x cos 2x 1＋sin x 的值域为(－4，12]．(2)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝12(t 2－1)＋t ＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝2＋12.(3)f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2＝12cos x ＋a2sin x＝14＋a 24sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝1a) 由已知得14＋a24＝2，解得a ＝±15.【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法．(1)y ＝a sin x ＋b cos x 型，可引用辅角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝b a)．(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型，可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x ＋C .(3)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型，可换元转化．(5)y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d (或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d)型，可用分离常数法或由|sin x |≤1(或|cos x |≤1)来解决，也可化为真分式去求解．(6)y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d型，可用斜率公式来解决．例4已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且π4是函数y ＝f (x )的一个零点．(1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．【解析】(1)由π4是y ＝f (x )的零点得 f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4＝0，求解a ＝－2，则f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π4]，则－22≤sin(2x －π4)≤1，因此－2≤2sin(2x －π4)－1≤2－1，故当x ＝0时，f (x )取最小值－2，当x ＝3π8时，f (x )取最大值2－1.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2(π2－x )满足f (－π3)＝f (0)，求函数f (x )在[π4，11π24]上的最大值和最小值． 【解析】f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin2x －cos2x由f (－π3)＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3.∴f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)当x ∈[π4，π3]时，2x －π6∈[π3，π2]，f (x )为增函数．当x ∈[π3，11π24]时，2x －π6∈[π2，3π4]，f (x )为减函数．∴f (x )在[π4，11π24]上的最大值为f (π3)＝2 又∵f (π4)＝3，f (11π24)＝ 2∴f (x )在[π4，11π24]上的最小值为f (11π24)＝ 2.题型九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用例题：已知函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a 和b 的值.(2)若 a ＞0，设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．点评 ①求出2x ＋π6的范围，求出sin(2x ＋π6)的值域.②系数a 的正、负影响着f (x )的值，因而要分a >0，a <0两类讨论.③根据a >0或a <0求f (x )的最值，列方程组求解. 解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .三角函数的图象与性质练习一一、选择题1．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 【解析】f (x )＝sin2xf (x )在(π4，π2)上是递减的，A 错； f (x )的最小正周期为π，C 错；f (x )的最大值为1，D 错；选B.2．若α、β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】α、β∈(－π2，π2)，tan x 在此区间上单调递增．当α＜β时，tan α＜tan β；当tan α＜tan β时，α＜β.故选C.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( ) A ．关于点(π12，0)对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点(5π12，0)对称D ．关于直线x ＝π12对称【解析】由已知得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)设平移后的函数为g (x )，则g (x )＝sin(2x ＋π3＋φ)(|φ|<π2)且为奇函数∴φ＝－π3，f (x )＝sin(2x －π3)∴图象关于直线x ＝5π12对称，选B.4．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点(π4，0)对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A ．[π4，3π4]B ．[3π4，7π4]C ．[π2，3π2]D ．[3π4，3π2]【解析】设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点(π4，0)对称的点为(π2－x ，－y )，由题意知该点必在f (x )的图象上．∴－y ＝sin(π2－x )，即g (x )＝－sin(π2－x )＝－cos x ，由已知得sin x ≤－cos x ⇒sin x ＋cos x＝2sin(x ＋π4)≤0又x ∈[0,2π] ∴3π4≤x ≤7π4.5．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)，g (x )＝3cos(ωx ＋φ)，若对任意x ∈R ，都有f (π3＋x )＝f (π3－x )，则g (π3)＝____. 【解析】由f (π3＋x )＝f (π3－x )，知y ＝f (x )关于直线x ＝π3对称，∴sin(ω·π3＋φ)＝±1.∴g (π3)＝3cos(ω·π3＋φ)＝31－sin 2ω·π3＋φ＝0.6．设函数f (x )＝2sin(πx 2＋π5)，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为____.【解析】由“f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立”，可得f (x 1)、f (x 2)分别是f (x )的最小值、最大值．∴|x 2－x 1|的最小值为函数f (x )的半周期，又T ＝2ππ2＝4.∴|x 2－x 1|min ＝2.7．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．【解析】(1)f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2sin(x －π4)∴y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π.(2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝1＋sin2x ＋cos2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π4∈[π4，5π4] ∴sin(2x ＋π4)∈[－22，1]，∴函数F (x )的值域为[0,1＋2]．8．设函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1，将函数f (x )的图象向左平移α个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若0＜α＜π2，且g (x )是偶函数，求α的值．【解析】(1)∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)g (x )＝f (x ＋α)＝2sin[2(x ＋α)＋π4]＝2sin(2x ＋2α＋π4)，g (x )是偶函数，则g (0)＝±2＝2sin(2α＋π4)，∴2α＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .α＝k π2＋π8(k ∈Z )，∵ 0＜α＜π2，∴α＝π8.三角函数的图象与性质练习二1.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可以为( )A.x ＝5π12B.x ＝π3C.x ＝π6D .x ＝π12解析 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x＝π12.本题也可用代入验证法来解．答案 D2.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A.(－π，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，03.函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )A.3π4B.－3π4C.π4D.π2二、填空题4.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为____(2k ,2k ]3πππ+(k ∈Z )_________.5.已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是____32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3___________.4．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43.答案 436.关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称.其中正确命题的序号是___________.②③解析 函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错． 利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝4sin 0＝0， 因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确．答案 ②③ 三、解答题7.设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间. 解 (1)－3π4(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .8.(1)求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (－π6<x <π6)的值域；(2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域.解 (1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为(0,2].(2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. ∴当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1].三角函数的图象与性质练习三一、选择题1.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为 ( )A.－12B.12C.－32D.322.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B .32C.2D.3 3.函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数 二、填空题4.设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为____23_______.5.函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω＝____43_______.解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43.答案 436.给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形.其中正确的序号为___________. 三、解答题7.若函数f (x )＝sin 2ax －sin ax ·cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列. (1)求m 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求点A 的坐标.7.解 (1)f (x )＝12(1－cos 2ax )－12sin 2ax＝－12(sin 2ax ＋cos 2ax )＋12＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ax ＋π4＋12.∵y ＝f (x )的图象与y ＝m 相切， ∴m 为f (x )的最大值或最小值， 即m ＝1＋22或m ＝1－22.(2)∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π2.T ＝2π|2a |＝π2，a >0，∴a ＝2， 即f (x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＋π4＝0，则4x 0＋π4＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π16 (k ∈Z ). 由0≤k π4－π16≤π2(k ∈Z )得k ＝1或2，因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫316π，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫716π，12.三角函数的图象与性质练习四一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．A ．最小正周期为2 π的奇函数B ．最小正周期为2 π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )．A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32C ．2D ．3 解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.答案 A5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C 、D ，∵函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，∴排除B. 答案 A【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )．A ．函数f (x )的最小正周期为2π B．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数． 答案 D二、 填空题7.y =－|sin （x +4π）|的单调增区间为___［k π+π4，k π+3π4］（k ∈Z ）_____. 8.要得到⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象向左平移_8π__单位. 9.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为____. 10函数f(x)02x π≤≤) 的值域是_____[-1,0]___ __.11.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14312、给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是 ．13．若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx ＝cos ωx sin ωx ＝12sin 2ωx ， ∴T ＝2π2ω＝π.∴ω＝1. 答案 114．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是______． 解析 由2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，得：x ＝k π2－π8，k ∈Z ，故交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )15．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．解析 (回顾检验法)据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案π6三、解答题16．已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x . (1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α.∵sin 2α＝13＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α＞0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝233.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.17．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z ，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .18、设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+．（1）求()f x 的最小正周期． （2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．解：（Ⅰ）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--3cos 424x x ππ-sin()43x ππ- 故()f x 的最小正周期为T =24ππ=8(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - . 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max 3g π==解法二：因区间4[0,]3关于x = 1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于 x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值 由（Ⅰ）知()f xsin()43x ππ-当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤ 因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max 6g π==. 19、设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求实数m 的值； （2）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合． (3)求函数的单调区间； (4)函数图象沿向量平移得到x y 2sin 2=的图象,求向量。