导数在解决实际问题中的应用
导数在解决实际问题中的应用
导数在解决实际问题中的应用导数知识是学习高等数学的基础, 它在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用.导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的, 同时, 又促进了生产技术和自然科学的发展, 它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用, 而且在日常生活及经济领域也是逐渐显示出重要的作用.导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、有效的工具之一, 它也给出了我们生活中很多问题的答案.诸如生活中的有关环境问题、工程造价最省、容积最大、边际效益等, 本文将介绍如何将生活中的有关数学问题转化为相关的导数问题来求解, 以此说明如何应用所学数学知识灵活地应用于生活.类型一：环境问题例1 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染, 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比, 而与该烟囱喷出的烟尘量成正比.现有A 、B 两座烟囱相距20km, 其中B 座烟囱喷出的烟尘量是A 的8 倍, 试求出两座烟囱连线上的点C, 使该点的烟尘浓度最低.分析由题意知要确定某点的烟尘浓度最低,显然其烟尘浓度源自这两座烟囱, 与其距离密切相关, 因此可考虑先设出与某个烟囱的距离, 从而表示出相应的烟尘浓度, 再确定其最小值即可.解:不妨设A 烟囱喷出的烟尘量是1, 而B 烟囱喷出的烟尘量为8, 设AC=x ( 其中0<x <20) , 所以BC=20- x , 依题意得点C 处的烟尘浓度22y 8(20)kx k x =+-( 其中k 是比例系数, 且k>0) , '6(350)y k x =-令y ′=0 503x =.因为当50(0,)3x ∈)时, y ′<0; 当50(,20)3x ∈时, y ′>0, 故当50=3x 时, y 取得最小值, 即当C 位于距点A 为503km 时, 使该点的烟尘浓度最低. 评注:在经济高速发展的同时, 人们也越来越关心我们赖以生存的环境质量, 这提示我们不能仅一味地追求经济效益, 同时应当注意保护环境.类型二：工程造价问题例2 如图所示, 某地为了开发旅游资源, 欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路, 点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ( 0°<θ<90°) , 且sin θ= 25, 点P 到平面α的距离PH=0.4( km) .沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用.从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km, 原有公路改建费用为2a 万元/km.当山坡上公路长度为l km( 1≤l ≤2) 时, 其造价为( l2+1) a 万元.已知OA ⊥AB, PB ⊥AB, AB=1.5( km) , OA=3 km.( 1) 在AB 上求一点D, 使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小;( 2) 对于( 1) 中得到的点D, 在DA 上求一点E,使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小;( 3) 在AB 上是否存在两个不同的点D ′、E ′, 使沿折线PD ′E ′O 修建公路的总造价小于( 2) 中得到的最小总造价, 证明你的结论.分析由题意知要求修建公路的总造价最小值, 可以先建立相应的总造价函数关系式, 再确定其最小值即可.解( 1) 如图, PH ⊥α, HB"α, PB ⊥AB,由三垂线定理逆定理知, AB ⊥HB,所以∠PBH 是山坡与α所成二面角的平面角, 则∠PBH=θ, sin PH PB θ==1.设BD=x, 0≤x ≤1.5. 则 PD=2221[1,2]x PB x +=+∈记总造价为()1f x 万元, 据题设有()21112f x PD AD AO a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. 当x= 14, 即BD=14(km) 时, 总造价()1f x 最小; (2) 设AE=y,405y ≤≤, 总造价为()2f y 万元, 根据题设有()22213113224f y PD y y a ⎡⎤⎛⎫=++++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦243=3216y y a a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ .则()'22123y f y a y ⎛⎫ ⎪=- ⎪+⎝⎭ 由 ()'2=0f y , 得y=1; 当y ∈( 0, 1) 时, ()'2fy <0,()'2f y 在( 0, 1) 内是减函数; 当y ∈514⎛⎫ ⎪⎝⎭，时, ()'2f y >0,()'2f y 在514⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数. 故当y=1, 即AE=1 时总造价()2f y 最小, 且最且最小总造价为6716a 万元;( 3) 不存在这样的点D ′、E ′事实上, 在AB 上任取不同的两点D ′、E ′.为使总造价最小, E 显然不能位于D ′与B 之间.故可设E ′位于D ′与A 之间,且'1BD x =, 11AE y =, 11302x y ≤+≤, 总造价为S 万元, 则221111113224x y S x y a ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭.类似于(1) 、(2)讨论知, 2111216x x -≥-, 2113322y y +-≥,当且仅当111,14x y == 同时成立时, 上述两个不等式等号同时成立, 此时BD ′= 14, AE=1, S 取得最小6716a , 点D ′、E ′分别与点D 、E 重合, 所以不存在这样的点D ′、E ′,使沿折线PD ′E ′O 修建公路的总造价小于( 2) 中得到的最小总造价.评注：在经济建设的过程中, 常常涉及成本问题, 人们总是想利用最少的钱、办最多的事, 这就常常要求我们善于将相关的问题恰当地转化为数学问题, 从而利用所学知识解决.类型三：最省钱车速问题例3 统计表明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y( 升) 关于行驶速度x( 千米/小时) 的函数解析式可以表示为:()3138012012800080y x x x =-+<≤ .已知甲、乙两地相距100 千米. ( 1) 当汽车以40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?( 2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少? 最少为多少升?分析：要求确定从甲地到乙地要耗油量, 这就涉及行驶时间与车速, 因此根据题意先写出耗油量 与车速间的关系, 再利用导数知识确定其最小值.解( 1) 当x=40 时, 汽车从甲地到乙地行驶了100=2.540小时, 要耗油31340408 2.5=17.512800080⎛⎫⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭( 升) .所以当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油17.5 升;( 2) 当速度为x 千米/小时时, 汽车从甲地到乙地行驶了100x小时, 设耗油量为()h x 升,依题意得()()3213100180015=801201280008012804h x x x x x x x ⎛⎫-+∙=--<≤ ⎪⎝⎭ ()()33'22800800120640640x x h x x x x -=-=<≤. 令()'h x =0 得x=80. 当x ∈( 0, 80) 时, ()'h x <0, ()h x 是减函数； 当x ∈( 80, 120) 时()'h x >0, ()h x 是增函数. 当x=80 时, ()h x 取到极小值()80h =11.25.因为()h x 在( 0, 120] 上只有一个极值,所以它是最小值.所以当汽车以80 千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少, 最少为11.25 升.评注：随着经济的迅猛发展, 轿车逐渐进入人们的家庭, 因此有关车辆的数学问题也就成为我们所熟悉的背景问题, 常常就涉及到如何使用更省钱的问题, 这个例子给了我们很好的启示.类型四：边际效益问题例四：日常生活中的饮用水通常是经过净化的。
导数在生活中的应用例子
导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。
这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。
2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。
二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。
2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。
三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。
2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。
试述导数在解决实际问题中的应用
试述导数在解决实际问题中的应用在实际生活中，我们经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。
这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决，下面通过具体实例谈谈导数在实际生活中的应用。
一、生活中的优化问题：例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？分析：生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。
例1：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？分析：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。
而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单。
思路：设箱底边长为x cm，则箱高602xh-=cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：23260()(060)2x xr x x h x-==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？二、最大利润问题例2： 已知某商品生产成本C 与常量q 的函数关系式为1004C q =+，价格p 与产量q 的函数关系式1258p q =-。
求产量q 为何值时，利润L 最大。
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格，由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润。
解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭ 利润()212510048L R C q q q ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ ()212110002008q q q =-+-<< '1214L q =-+ 令'0L =，即12104q -+= 求得唯一的极值点84q = 因为L 只有一个极值点，所以它是最大值。
导数与微分在实际问题中的作用
导数与微分在实际问题中的作用导数与微分是微积分的两个基本概念，它们不仅是高等数学中的重要内容，更是应用数学和理工科学习的重要工具。
在实际问题中，导数与微分具有广泛的应用，下面将从几个实际问题中探讨导数与微分的作用。
1. 最优化问题中的应用最优化问题是在给定的条件下寻找最佳解决方案的问题，例如最大化利润、最小化成本等。
导数与微分在最优化问题中发挥关键作用。
通过求解函数的导数可以找到其最大值或最小值的位置，并结合边界条件和约束条件，可以确定最优解。
例如，在经济学中，生产函数的边际产出可以通过导数来计算，而边际成本则可以通过微分来计算，进而确定最大利润的生产量。
2. 运动学问题中的应用导数与微分在运动学分析中扮演重要角色。
运动学研究物体的运动轨迹、速度和加速度等问题。
对于给定的位移函数，通过求导可以得到物体的速度函数，通过再次求导可以得到物体的加速度函数。
这些导数函数可以使我们更好地理解物体的运动规律，并能够解决与运动相关的实际问题，如交通流量研究、车辆行驶路径规划等。
3. 物理学问题中的应用导数与微分在物理学中也有广泛的应用。
物理学研究自然界中物体的运动、力学、能量、电磁学等问题。
在这些研究中，导数和微分的概念是无法忽视的。
例如，在力学中，通过对位移函数和速度函数求导，可以确定物体的加速度，从而研究物体受力和动量的变化。
在电磁学中，通过对电流的微分可以得到电场，进而研究电磁波的传播和电路的特性。
4. 经济学问题中的应用导数与微分在经济学中也有重要应用。
经济学研究资源的分配、供需关系、市场行为等问题。
通过导数和微分，经济学家可以分析价格的变化对需求和供给的影响，并确定市场均衡点。
此外，在经济学中，边际效益和边际成本的概念是基于导数和微分的，它们帮助经济学家决策和优化资源配置。
5. 生物学问题中的应用导数与微分在生物学中也有着广泛的应用。
生物学研究生物体的生命周期、进化、遗传等问题。
如在生物进化研究中，通过微分方程模型可以描述物种的数量变化，通过求解微分方程可以预测物种的演化轨迹。
导数在实际生活中的应用
11
课堂练习
（1）求内接于半径为R的球的圆柱 体积的最大值。
12
（2）已知圆锥的底面半径为R,高为H, 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱 体的高h。
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得 当h=H/3时, 圆柱体的体积最大.
13
S ( x ) 6 x 24 x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
2
2 3 2 3 , x2 2 . 3 3 2 3 32 3 x1 (0,2), 所以当 x 2 . 时, S ( x )max 3 9
32 3 2 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为(2 V 2 3 ( ) 2
3
4V
VV 223 3 2
即
h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
8
例4：
• 请你设计一个帐篷，它的下部的形状是 高为１m的正六棱柱，上部的形状是侧 棱长为３m的正六棱锥，试问：当帐篷 的顶点O到底面中心O1的距离为多少时， O 帐篷的体积最大？
x
V / ( x)
（0，40）
40
（40，60）
+
V ( x)
0 16000
-
答：x=40cm时，箱子最大容积是16 000cm3
5
例2: 如图,在二次函数f(x)= y 2的图象与x轴所 4x-x 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
应用导数解决实际问题
应用导数解决实际问题导数作为微积分的重要概念，广泛应用于解决实际问题中。
它通过研究函数的变化率和极值等特性，为我们提供了解决各种实际问题的有效工具。
本文将通过几个具体问题的探讨，展示导数在实际应用中的重要性。
一、速度、位移和加速度假设我们有一个物体在直线上运动，我们想要计算它在特定时间点的速度。
这时我们可以借助导数的概念来解决这个问题。
设物体在时刻t的位移为s(t)，则物体的速度可以通过求解s(t)的导数来得到。
具体地，我们可以使用以下公式来求解速度：v(t) = s'(t)其中v(t)表示物体在时刻t的速度，s'(t)表示s(t)的导数。
通过对位移函数求导，我们可以得到物体在不同时间点的瞬时速度，从而更好地了解其运动情况。
进一步地，我们还可以通过对速度函数求导，得到物体的加速度。
加速度是速度的变化率，通过它我们可以判断物体是在加速还是减速。
设速度函数为v(t)，加速度函数为a(t)，则加速度可以通过求解v(t)的导数来得到：a(t) = v'(t)通过对速度函数求导，我们可以得到物体在不同时间点的瞬时加速度，进而分析出运动过程中的加速度变化情况。
二、最优问题在实际问题中，我们常常需要寻找优化的解决方案。
这时，我们可以借助导数的概念来找到最优解。
考虑下面一个例子：假设我们要制作一个体积为V的圆形容器，我们想要找到能够最小化表面积的尺寸。
设圆形容器的半径为r，表面积为A，则我们可以通过求解A关于r的导数来得到最优解。
具体地，我们可以使用以下公式来求解表面积的导数：dA/dr = 0通过对表面积函数求导，并令导数等于0，我们可以解得最优解所对应的半径。
这样，我们就能够找到满足实际情况并且表面积最小的容器尺寸。
类似地，我们还可以通过求解函数的导数来解决其他的最优问题。
无论是求职场上的最大收益，还是寻找最短路径，导数都能够帮助我们找到最优解决方案。
三、误差估计在实际测量和计算中，我们难免会遇到误差。
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用（1）学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.二．容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.课堂检测：1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为.3.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?导数在实际生活中的应用（2）学习目标：1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 课前预学：1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为 .2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是 .3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 .4.一边长为48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm 的小正方形,做成一个无盖方盒.求x 多大时,方盒容积最大? 课堂探究：1．如图,等腰梯形ABCD 的三边AB,BC,CD 分别与函数y=-x 2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD 面积的最小值.2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x 是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?3．统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x 3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?课堂检测：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.。
利用导数解决实际问题
利用导数解决实际问题导数是微积分中的重要概念，广泛应用于解决实际问题。
本文将以实例为基础，介绍如何利用导数解决一些实际问题，进一步展示导数在数学和现实生活中的实际应用。
I. 利用导数求函数的极值函数的极值是导数在某点为零时的取值，通过求解导数等于零的方程，可以确定函数的极小值和极大值。
例如，我们考虑一条抛物线的问题。
假设有一条抛物线，其顶点的坐标为（a，b），通过求解该抛物线的导数，可以确定其极值点坐标。
假设抛物线的方程为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
求解导数dy/dx = 2ax + b = 0，可以得到极值点的x坐标为-x = b / (2a)。
将这个x坐标带入抛物线方程，可以确定y坐标，从而得到顶点的坐标。
通过上述方法，我们可以利用导数求解抛物线的顶点坐标，以及其他函数的极值点坐标。
这在实际问题中具有广泛的应用，例如优化问题、最小二乘法等。
II. 利用导数求函数的增减性导数可以判断函数在某个点附近的增减性。
通过导数的正负性，可以确定函数的单调增或单调减的区间。
例如，在经济学中，利润函数与产量函数之间存在一定的关系。
假设利润函数为P(x)，产量函数为Q(x)，则利润函数的增减与产量函数的边际收益有关。
边际收益是指单位产量增加所带来的额外利润。
利润函数的导数就是边际收益函数。
如果边际收益大于零，说明产量的增加会带来利润的增加，此时利润函数是单调增的；如果边际收益小于零，则说明产量的增加会带来利润的减少，此时利润函数是单调减的。
通过以上例子，我们可以看到导数在确定函数的增减性上的实际应用。
利用导数可以帮助我们分析函数的特点，并做出相应的决策。
III. 利用导数求曲线的切线与法线导数可以帮助我们求解曲线的切线和法线方程。
切线是曲线在某点的切线，法线是与切线垂直的直线。
求解曲线的切线和法线方程常常用于解决几何和物理问题，例如求解质点在曲线上的运动轨迹。
假设有一条曲线的方程为y = f(x)，其中f(x)为可导函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数在解决实际问题中的应用
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=
cm ，得箱子容积
2
60)(32
2x x h x x V -== )600(<<x ． 23()602x
V x x '=-
)600(<<x 令23()602x V x x '=-＝0， 解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3
解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积
x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）
由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2
由V=πR 2h ，得2V h R π=，则S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R
+2πR 2 令 22()V s R R
'=-+4πR=0 解得，R=32V π
， 从而h=2V R π=2
3()2V V ππ
=34V π=23V π 即h=2R ， 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S =2Rh π+2
2R π⇒h =R R S ππ222
- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=322
1)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．
例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入211252588
R q p q q q q ⎛
⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，
利润221125(1004)2110088
L R C q q q q q ⎛
⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭ (0100)q << 1214L q '=-+ 令0L '=，即12104
q -+=， 求得唯一的极值点84q =
答：产量为84时，利润L 最大
解决这类应用题一般有四个要点步骤：设--列--解--答 ，用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可，
注意取最值时对应的自变量必须有解。