导数在实际生活中的应用1教案
导数的应用教案
导数的应用教案导数的应用教案导数是微积分中的重要概念，它在解决实际问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍一份导数的应用教案，帮助学生更好地理解导数的应用。
一、引言在学习导数之前，我们首先要明确导数的定义和意义。
导数表示函数在某一点的变化率，它可以帮助我们理解函数的斜率、速度、加速度等概念。
在实际应用中，导数可以用来解决各种问题，如求最值、判断函数的增减性、求曲线的切线等。
二、导数的计算方法在教学中，我们首先要教授学生导数的计算方法。
这包括求常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数。
通过具体的例子和计算过程，学生可以更好地理解导数的计算方法。
三、导数的几何意义导数不仅有计算上的意义，还有几何上的意义。
在这一部分，我们可以通过绘制函数图像，让学生观察导数和函数图像之间的关系。
例如，当导数为正时，函数图像是上升的；当导数为负时，函数图像是下降的。
通过这种方式，学生可以更好地理解导数的几何意义。
四、导数的应用举例在实际应用中，导数有广泛的应用。
在这一部分，我们可以给学生提供一些具体的例子，让他们应用导数解决实际问题。
例如，求函数的最值、判断函数的增减性、求曲线的切线等。
通过实际问题的解决，学生可以更好地理解导数的应用。
五、导数的局限性尽管导数在解决实际问题中有很大的作用，但它也有一定的局限性。
在这一部分，我们可以讨论导数的局限性，并引导学生思考如何克服这些局限性。
例如，当函数不可导时，我们如何处理？当函数存在间断点时，我们如何求导？通过这种思考，学生可以更全面地理解导数的应用。
六、总结与展望在教学结束时，我们要对导数的应用进行总结，并展望其在更高级的数学学科中的应用。
例如，导数在微分学、积分学、微分方程等领域中都有重要的应用。
通过对导数的应用的总结和展望，学生可以更好地理解导数的重要性和广泛性。
以上是一份导数的应用教案的大致内容。
通过这份教案，我们可以帮助学生更好地理解导数的应用，并培养他们运用导数解决实际问题的能力。
导数的实际应用教案
导数的实际应用教案一、教学目标1. 理解导数的基本概念和计算方法。
2. 掌握导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、优化问题等。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 导数的基本概念和计算方法2. 导数在速度和加速度中的应用3. 导数在优化问题中的应用4. 实际案例分析与练习三、教学重点与难点1. 重点：导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 难点：导数在优化问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解导数的基本概念、计算方法和实际应用。
2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用导数解决实际问题。
3. 练习法：通过练习题，巩固所学知识。
五、教学准备1. 教案、PPT、教学用具。
2. 练习题及答案。
3. 实际案例素材。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1.2 导数的计算方法1.3 导数的几何意义第二章：导数在速度和加速度中的应用2.1 速度与加速度的导数关系2.2 匀加速运动的速度与位移2.3 非匀加速运动的速度与位移第三章：导数在优化问题中的应用3.1 优化问题的基本概念3.2 函数的极值与最值3.3 实际优化问题的求解方法第四章：实际案例分析与练习（一）4.1 案例一：物体运动的瞬时速度与加速度4.2 案例二：曲线切割面积的最优化4.3 练习题与解答第五章：实际案例分析与练习（二）5.1 案例一：商品折扣的最优化5.2 案例二：生产成本的最优化5.3 练习题与解答六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数6.2 动力学方程与导数6.3 能量守恒与导数七、导数在经济问题中的应用7.1 边际分析与导数7.2 成本分析与导数7.3 利润最大化与导数八、导数在生物问题中的应用8.1 种群增长与导数8.2 药物浓度与时间的关系8.3 生物酶活性与温度关系九、导数在其他领域中的应用9.1 图像处理中的导数应用9.2 信号处理中的导数应用9.3 气候变化与导数10.1 导数在实际应用中的重要性10.2 导数与其他数学概念的联系10.3 实际应用案例的进一步探讨重点和难点解析六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数：理解牛顿运动定律中的加速度概念，以及如何通过导数表示加速度。
导数的应用的教案
导数的应用的教案标题：导数的应用的教案教案目标：1. 理解导数的概念和计算方法；2. 掌握导数在实际问题中的应用；3. 提高学生的问题解决能力和数学建模能力。
教学重点：1. 导数的概念和计算方法；2. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 如何将导数的概念和计算方法应用到实际问题中；2. 如何培养学生的问题解决能力和数学建模能力。
教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉导数的概念和计算方法；b. 准备相关的实际问题和案例。
2. 学生准备：a. 复习导数的概念和计算方法；b. 准备纸和笔。
教学步骤：步骤一：导入导数的概念（10分钟）1. 复习导数的定义和计算方法；2. 提问学生：导数的概念和计算方法在实际问题中有哪些应用？步骤二：讲解导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在物理、经济和生活中的应用，如速度、加速度、最优化等；2. 通过具体的案例和问题，展示导数在实际问题中的作用和应用方法。
步骤三：引导学生解决实际问题（20分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们运用导数的概念和计算方法进行解决；2. 引导学生分析问题，建立数学模型，并计算出相应的导数；3. 鼓励学生讨论和交流解题思路和方法。
步骤四：总结和拓展（10分钟）1. 总结导数在实际问题中的应用；2. 提出一些拓展问题，让学生进一步思考和探索。
步骤五：作业布置（5分钟）1. 布置相关的作业，要求学生运用导数的概念和方法解决实际问题；2. 强调作业的重要性和实际意义。
教学延伸：1. 鼓励学生自主探究导数在其他领域的应用，如生物学、环境科学等；2. 利用计算机软件或在线工具进行导数的实际应用模拟。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和问题解决能力；2. 批改学生的作业，评估他们对导数应用的理解和掌握程度；3. 组织小组或个人展示，让学生展示他们解决实际问题的过程和结果。
教学反思：1. 教师根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学策略；2. 教师鼓励学生提出问题和意见，促进教学的改进和提高。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 导数在实际生活中的应用教案 新人教A版选修2-2-新人教
导数在实际生活中的应用一、教学目标：1．通过本课的教学，对学生进行函数思想和方法的培养．2．通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3．通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．二、教学重点：运用导数求函数的最值在实际问题中的应用． 教学难点：如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引导求可导函数)(x f 的最大值和最小值的方法和步骤如何？（学生思考回答）2．本课内容引入与分析在日常生活、生产和科研中，常常会遇到一些实际问题，这些问题有的可以转化成求函数最大值和最小值的问题（从而引出例题）．例2 在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例题分析：思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高260x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数： )600(260)(322<<-==x x x h x x r .具体解法见课本． 思路二：设箱底高为x cm ，则箱底边长为)260(x -cm ，则得箱子容积V 是x 的函数)300( )260()(2<<⋅-=x x x x V思路三；对于一用初等方法解答 22)60(2)60(21)60(21)(2x x x x x x x x V ⋅⋅-=⋅⋅-=-=．由40260=⇒=-x x x x x x x x x V 4)260)(260(41)260()(2⋅--=⋅-= 由104260=⇒=-x x x思路四：由一知当x 过小（接近于0）或过大（接近于60）时箱子容积很小，由二知当x 过小（接近于0）或过大（接近于30）时箱子容积很小．以上可导函数x x x V 2)260()(-=或2260)(x x x V ⋅-=在各自定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，即是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．请注意这一点． 思路五：从二求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的61，这个结论是否具有一般性？建议课后完成下列变式题，得出相关的结论．变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：)20( )2()(2a x x a x x V <<-= 答案：6a x =． 例3 （本章章头图中所提出的问题）圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？例题分析分析1：设金属饮料罐高为h ，底面半径为R ，则材料最省即是表面积最小，且表面积是R 和h 的二元函数，222R Rh S ππ+=必须消去一个自变量．由常数（定值）22R V h h R V ππ=⇒=代入前式则得S 是R 的一元函数，RV R R S 22)(2+=π（具体解法见课本）． 分析2：初等数学方法解答，222222)(V RV R V R R V R V R R S πππ=⋅⋅⇒++=（常数），所以当3222ππV R R V R =⇒=，代入R h R V h 22=⇒=π 注意：从解答结果发现，罐高与底面直径相等时，所用材料最省．请量一量日常生活中使用的铁皮菜缸，看是否也有这个结论，想一想这是为什么？变式：当如图所示的圆柱形金属罐的表面积为定值S 时，应怎样制作，才能使其容积最大？提示：222R Rh S ππ+=① RR S h ππ222-=⇒ 322221)2(2122)(R SR R R S R R R S R V πππππ-=-=⋅-= 22603210)(R S R S R V ππ=⇒=-⇒='② ②代入①R h R Rh R 222622=⇒+=⇒πππ3．课堂练习教科书第137页练习第1、2题．4．本课内容小结（1）生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用数学的观点和方法去分析问题；（2）解题时，应该考虑一题多解、方法对比、注意联想，推测有些问题是否有一般性结论；（3）注意总结例题中涉及的知识点、重点和难点．五、布置作业。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
高中数学导数的应用教案
高中数学导数的应用教案
教学目标：学生能够理解导数的概念，掌握导数在实际问题中的应用，并能够运用导数解决相关问题。
教学重点和难点：掌握导数在实际问题中的应用。
教学准备：教师准备课件、实例题目，学生准备笔记本、笔。
教学过程：
一、导入（10分钟）
通过一个生活实例引入导数的概念，让学生初步了解导数在实际中的意义。
二、概念讲解（15分钟）
1. 温故导数的定义和性质；
2. 导数的应用领域；
3. 导数在实际问题中的意义和作用。
三、实例分析（20分钟）
教师通过实例问题，引导学生运用导数进行问题求解，如最值问题、速度问题等。
四、练习（15分钟）
让学生在课堂上进行练习题目，加深对导数应用的理解。
五、总结（10分钟）
通过讨论和总结，让学生掌握导数在实际问题中的应用方法，并复习导数的相关概念。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固所学知识。
教学反思：
通过实例讲解和练习，能够有效帮助学生掌握导数在实际问题中的应用方法。
同时，通过讨论和总结，可以使学生更深入地理解导数的概念和性质。
导数的实际应用教案
1.3.3 导数的实际应用【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 最佳方案 _或最佳策略 ．这些都是最优化问题． 2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型 ．写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值 . 题型一 面积、体积的最值问题 例1 如图所示，现有一块边长为a 的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解 设截下的小正方形边长为x ，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a －2x ，高为x ，于是V(x)＝(a －2x)2x,0<x<a 2.即V(x)＝4x 3－4ax 2＋a 2x,0<x<a 2. 实际问题归结为求V(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点． 在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，V′(x)＝12x 2－8ax ＋a 2.令V′(x)＝0，即令12x 2－8ax ＋a 2＝0.解得x 1＝16a ，x 2＝12a(舍去)． x 1＝16a 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1可能是极值点．且当0<x<x 1时，V′(x)>0；当x 1<x<a 2时，V′(x)<0. 因此x 1是极大值点，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1是唯一的极值点，所以x ＝x 1＝16a 是V(x)的最大值点． 即当截下的正方形边长为16a 时，容积最大． 小结 求几何体的面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解．跟踪训练1 已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．解 如图，设矩形边长AD ＝2x(0<x<2)，则AB ＝y ＝4－x 2(y>0)，则矩形的面积S ＝2x(4－x 2)(0<x<2)，即S ＝8x －2x 3，S′＝8－6x 2，令S′＝0，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)． 当0<x<233时，S′>0；当233<x<2时，S′<0； ∴当x ＝233时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239，即矩形边长分别为433，83时，矩形面积最大． 题型二 强度最大、用料最省问题例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解 如图所示，设断面宽为x ，高为h ，则h 2＝d 2－x 2.横梁的强度函数f(x)＝kxh 2(k 为强度系数，k>0)，所以f(x)＝kx(d 2－x 2)，0<x<d.在开区间(0，d)内，令f′(x)＝d(d 2－3x 2)＝0.解方程d 2－3x 2＝0，得两个根x ＝±33d ，其中负根没有意义，舍去． 当0<x<33d 时，f′(x)>0；当33d<x<d 时，f′(x)<0. 因此，在区间(0，d)内只有一个极大值点x ＝33d.所以f(x)在x ＝33d 取最大值，就是横梁强度的最大值．此时h ＝d 2－x 2＝63d.即当宽为33d ，高为63d 时，横梁的强度最大． 小结 最大流量、最大强度、最大功率等，要注意不同的问题背景，计算式子也会有相应的区别．要结合问题本身的特点，根据题目的条件(或是已知的式子)进行．为了解决问题，可能要引入多个字母，在求导的过程中，一定要分清哪些是变量，哪些是常量，只有这样才能保证有的放矢． 跟踪训练2 挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m 2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？解 如图，设半圆的半径为r ，矩形的高为h ，则截面积S ＝2rh ＋πr 22＝20， 截面周长C ＝2r ＋2h ＋πr＝2r ＋20－πr 22r ＋πr＝2r ＋20r －πr 2＋πr ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，记C(r)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，则C′(r)＝2＋π2－20r 2. 令C′(r)＝0，得r ＝2104＋π时，周长C 最小．即宽为4104＋π时，截面周长最小，用料最省． 题型三 省时高效、费用最低问题例3 如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B 的距离是150 km.在岸边距点B300 km 的点A 处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A 与B 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km ，船时速为30 km ，试在岸边选一点C ，先将军需品用火车送到点C ，再用轮船从点C 运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短？解 设点C 与点B 的距离为x km ，则运输时间T(x)＝1502＋x 230＋300－x 50，0≤x≤300. 因为(1502＋x 2)′＝x 1502＋x 2，所以T′(x)＝x 301502＋x 2－150.令T′(x)＝0，则有5x －31502＋x 2＝0， 5x ＝31502＋x 2，25x 2＝9(1502＋x 2)．解此方程，得x ＝±9×15024＝±3×1504＝±112.5.舍去负值，取x ＝x 0＝112.5. 因为T(0)＝15030＋30050＝11，T(300)≈11.2，T(112.5)＝1502＋112.5230＋187.550＝10，而10是11,11.2和10中的最小者，所以x ＝x 0＝112.5是最小值点．所以点C 选在与点B 的距离为112.5 km 处，运输时间最省．小结 路程最短、运输费用最省问题，实质就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小．本题运算较麻烦，重点训练复合函数的求导法则．跟踪训练3 如图所示，设铁路AB ＝50，BC ＝10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？解 设M 为AB 上的一点，且MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x)，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4100＋x 2(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋4x 100＋x2，令p′(x)＝0，解得x 1＝1033，x 2＝－1033(舍去)． 当x<1033时，p′(x)<0；当x>1033时，p′(x)>0，∴当x ＝1033时，取得最小值． 即当在离点B 距离为1033的点M 处修筑公路至C 时，货物运费最省． 题型四 利润最大问题例4 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x)·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k ＝6，所以f(x)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化状态如下表：故x ＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．小结 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练4 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，所以a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：由上表可得，x ＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.课堂练习：1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( A )A ．4B ．6C ．4.5D ．8解析 设底面边长为x ，高为h ，则V(x)＝x 2·h＝256，∴h＝256x2， ∴S(x)＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S′(x)＝2x －4×256x 2.令S′(x)＝0，解得x ＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为多少？解：依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx －3kx 2.令y′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x<0.032 4时，y′>0；当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0. 所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x≤120)， h′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x2(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x ＝80.因为当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．课堂小结：1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；(2)列模型：列出实际问题的数学模型；(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(4)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(5)比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(6)结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。
导数的应用教案
导数的应用教案教案标题：导数的应用教案教学目标：1. 了解导数在实际生活和各学科中的应用。
2. 掌握导数的应用方法，能够运用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 在实际问题中应用导数解决特定的数学、物理或经济问题。
教学难点：1. 将实际问题转化为数学模型。
2. 运用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学讲义、白板、投影仪、计算器。
2. 学生准备：笔、纸、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，回顾导数的定义和计算方法。
2. 提问学生导数的应用场景，让学生思考导数在实际生活和各学科中的重要性。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍导数在数学中的应用：a. 导数用于求函数的变化率和极值点。
b. 导数可以求切线和法线的斜率。
2. 介绍导数在物理中的应用：a. 导数用于求速度、加速度和力的变化率。
b. 导数可以求曲线的切线和曲率。
3. 介绍导数在经济中的应用：a. 导数用于求边际成本、边际收益、边际利润。
b. 导数可以帮助优化生产和销售策略。
三、案例分析（20分钟）1. 选择一个实际问题，将其转化为数学模型。
2. 引导学生运用导数解决该实际问题。
3. 指导学生自主解决一个类似的实际问题。
四、拓展活动（15分钟）1. 分组讨论：学生分成小组，选择不同学科领域，探讨导数在该领域的应用。
2. 小组报告：每个小组派代表向全班介绍他们在探讨中得出的导数应用案例。
五、总结与反馈（5分钟）1. 教师总结导数的应用领域，并强调导数在不同学科中的重要性。
2. 学生回答教师提出的问题，进行课堂反馈。
六、作业布置（5分钟）1. 要求学生完成作业册上相关题目。
2. 鼓励学生在实际生活中寻找更多的导数应用案例，并写下思考和心得体会。
教学延伸：1. 鼓励学生参与数学建模竞赛，以提升他们在导数应用方面的能力。
2. 引导学生阅读相关经典著作，了解导数的更多应用领域和概念。
教学反思：本节课通过理论讲解和案例分析相结合的方式，使学生能够更深入地理解导数的应用。
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导数在实际生活中的应用1
教学目标
1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
2、提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题
教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题
教学过程
一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
二．新课讲授
1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方
面：
（1）与几何有关的最值问题；
(2)与物理学有关的最值问题；
(3)与利润及其成本有关的最值问题；
(4)效率最值问题。
2、解决优化问题的方法：
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，
通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
3三．例题讲解
4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张
贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的
尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为
128x
dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x
=++-=++> 求导数，得'2512()2S x x
=-。
令'2512()20S x x
=-=，解得16(16x x ==-舍去）。
于是宽为128128816x ==。
当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'
()S x >0.
_x _x _ 60 _ 60 x 建立因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。
所以，当版心高为16dm ，宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。
5、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积
S=2πRh+2πR 2
由V=πR 2
h ，得2
V h R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R
+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，R=32V π，从而h=2V R π=23()2V V ππ
=34V π=23V π 即h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
6、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=
cm ，得箱子容积 2
60)(3
22x x h x x V -== )600(<<x ． 2
3()602x V x x '=- )600(<<x
令 2
3()602
x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3
解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，
则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．
（后面同解法一，略）
由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，
所以最大值出现在极值点处．
事实上，可导函数
2
60)(3
22x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点， 从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
练习：在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益
函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝10005003.010236++--x x x ，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？
(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x ＋10000，产品的单价P ＝100－0.01x ，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，
价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？
分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．
由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588
R q p q q q q ⎛
⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088
L R C q q q q q ⎛
⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214
L q '=-+ 令0L '=，即12104
q -+=，求得唯一的极值点q =答：产量为84时，利润L 最大
四、回顾反思：
1
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
五、板书设计
六、教学反思。