高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 13

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．－2【解析】 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( ) A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3【解析】 ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx .故选D. 【答案】 D3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．81【解析】因为ΔsΔt＝3(3＋Δt)2－3×32Δt＝18Δt＋3(Δt)2Δt＝18＋3Δt，所以limΔt→0ΔsΔt＝18.【答案】 B4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()图3－1－1A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(1)3－1＝1－32＝－1.【答案】 B5．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为() A．0 B．3C．3 2 D．6 2【解析】f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝lim Δx→0[13－8(x0＋Δx)＋2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋2x20)Δx＝limΔx→0－8Δx＋22x0Δx＋2(Δx)2Δx＝limΔx→0(－8＋22x0＋2Δx)＝－8＋22x0＝4，所以x0＝3 2. 【答案】 C二、填空题6．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.【解析】 Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt ＝7Δt ＋14t 0，当lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114.【答案】 1147．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．【解析】 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝2－(2＋Δx )2(2＋Δx )＝－Δx2(2＋Δx )，∴Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx )，即k ＝Δy Δx ＝－12(2＋Δx ).∴当Δx ＝1时，k ＝－12×(2＋1)＝－16.【答案】 －168．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(2)＝________.【解析】 lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝limΔx →0 －Δx2(2＋Δx )Δx＝limΔx →0 －12(2＋Δx )＝－14.【答案】 －14三、解答题9．求y ＝x 2＋1x ＋5在x ＝2处的导数． 【解】 ∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5 ＝4Δx ＋(Δx )2＋－Δx 2(2＋Δx )， ∴Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx， ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋Δx －14＋2Δx ＝4＋0－14＋2×0＝154. 10．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围. 【导学号：26160069】【解】 因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为：Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．[能力提升]1．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . 因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．【答案】 D2．设函数在x ＝1处存在导数，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx＝( ) A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)【解析】 lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13f ′(1)． 【答案】 C3．如图3－1－2是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．图3－1－2【解析】 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为：f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 【答案】 344．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2(s 的单位是：m ，t 的单位是：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2 s 时的瞬时速度；(3)求t ＝0 s 到t ＝2 s 时的平均速度. 【导学号：26160070】【解】 (1)s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt . 当Δt →0时，s (Δt )－s (0)Δt→3， 所以v 0＝3.(2)s (2＋Δt )－s (2)Δt＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)Δt＝－Δt －1. 当Δt →0时，s (2＋Δt )－s (2)Δt→－1， 所以t ＝2时的瞬时速度为－1.(3)v＝s(2)－s(0)2＝6－4－02＝1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？01学习内容的自主性1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。