最新人教版高中数学选修2-2第一章变化率与导数1
人教新课标版数学高二选修2-2讲义 1.1.1变化率问题 导数的概念
1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1函数的平均变化率阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．1．函数的平均变化率(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1所示．图1-1-1【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1(2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) ΔyΔx 2.斜率判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程度．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，ΔsΔt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________________，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0_________.【答案】 1.(1)某一时刻(2)极限2．f′(x0)或y′|x＝x0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(1＋Δx)2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2. 【答案】 2[小组合作型]求函数的平均变化率(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )【导学号：62952001】A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．[再练一题]1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C求瞬时速度(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是_____． 【精彩点拨】 先求出Δs Δt ，再求lim Δt →0Δs Δt .【自主解答】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －12g Δt 2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，∴limΔt→0ΔsΔt＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴ΔsΔt＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6ΔtΔt＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴limΔt→0ΔsΔt＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[再练一题]2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).【导学号：62952002】(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝limΔt→0s(Δt)－s(0)Δt＝lim Δt→03Δt－(Δt)2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝limΔt→0－(Δt)2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.[探究共研型]求函数在某点处的导数探究1试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．【提示】ΔsΔt＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)Δt＝－6－3Δt.探究2当Δt趋近于0时探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？【提示】当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx，∴f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx 的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx；(3)求极限，得导数为f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.简记为：一差、二比、三趋近．[再练一题]3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx ＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝2.1．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为() A．6.5 B．7C．14 D．13【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.【答案】 B2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s【解析】∵ΔsΔt＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】 C3．质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于____．(g＝10 m/s2)【解析】Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt ＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】 25．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔyΔx；(2)f′(1)．【解】(1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.。
人教版高中选修2-2数学1.1变化率与导数教案(4)
§1.1.2 导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.教学过程：一、创设情景(一)平均变化率(二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0(4965(h h =, 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim . 解: (1)法一 定义法(略)法二 222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- (2)x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.六、布置作业 p10。
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
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1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
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【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【核心扫描】
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误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系 【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
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Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式 ＝ ＝ 中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则 ＝0. Δx
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题型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求 常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取 极限．
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高中数学人教A版选修2-2(同步课件)：1.1 变化率与导数1.1.1-1.1.2
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 A.1 C.2
(1)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的 B.－1 D.－2
平均变化率等于( B )
解析
Δy f3－f1 由图知， 函数 y＝f(x)在 A， B 两点间的平均变化率为 ＝ Δx 3－1
Δy fx2－fx1 则平均变化率 Δx＝ 表示割线P1P2的 斜率 . x2－x1
答案
知识点二 瞬时速度
思考1
Hale Waihona Puke 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段
时间内的平均速度.
Δs 答 Δs＝5(1＋Δt) －5＝10Δt＋5(Δt) ， v ＝ ＝10＋5Δt. Δt
答案
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δy fx2－fx1 (1)定义式：Δx＝ . x2－x1
(2)实质： 函数值 的增量与 自变量 增量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，
2 2
思考2
当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一
速度？
答
Δs 当Δt趋近于0时， 趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度. Δt
答案
瞬时速度
(1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度.
(2)一般地，设物体的运动规律是 s＝s(t)，则物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内 Δs st0＋Δt－st0 Δs 的平均速度为 Δt ＝ . 如果 Δ t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 Δt Δt Δs 极限 是 v，这时 v 就是物体 某个常数 v，我们就说当 Δt 趋近于 0 时，Δt 的_____ st0＋Δt－st0 Δs 在时刻 t＝t0 时的瞬时速度，即瞬时速度 v＝ lim ＝ lim . Δt Δx→0 Δt Δx→0
人教版高中数学选修2-2第1讲：变化率与导数(学生版)
D． f ′（x0) ＝b
5．若 f ( x) ＝ x3， f ′（x0) ＝ 3，则 x0 的值是 (
)
A． 1
B．－ 1
C．± 1 二、填空题 6．汽车行驶的路程
D． 3 3 s 和时间 t 之间的函数图象如图
1－ 1－3 所示． 在时间段 [ t 0，t 1] ，[ t 1，t 2 ] ，
[ t 2， t 3] 上的平均速度分别为 v 1， v 2， v 3，其三者的大小关系是 ________．
置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线 .
问题：⑴割线 PPn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？
⑵切线 PT 的斜率 kห้องสมุดไป่ตู้为多少？
容易知道，割线 PPn 的斜率是 kn
f ( xn ) f ( x0 ) ,当点 Pn沿着曲线无限接近点 xn x0
P 时， k n 无限趋近
于切线 PT 的斜率 k ，即 k
:
①求出 P 点的坐标 ;
②求出函数在点 x0 处的变化率 f (x0)
lim f ( x0 x0
x) f ( x0 ) k ，得到曲线在点 ( x0 , f (x0)) 的 x
4
切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程 .
类型一：求函数的平均变化率
例 1、求 y 2 x2 1 在 x0 到 x0
值.
4x 3 平行，求切点坐标与切线方
程
【变式 2】曲线 y x3 在点（ 1 ， 1）处的切线与 x 轴、直线 x 2 所围成的三角形的面积为
________.
【变式 3】曲线 y e2 x cos3 x 在（ 0， 1）处的切线与 l 的距离为 5 ，求 l 的方程 .
人教版高中数学选修2-2《1.1变化率与导数》
吹气球的理想化数学模型
▪随着气球体积的增大，当气球体积增加量相同时， 相应半径的增加量越来越小。
能用数量关系来定量解释这个现象吗？
增量比
你能用数量关系来定量解释这个现象吗？
看图说话
▪随着气球体积的增大，当气球 体积增加量相同时，相应半径 的增加量越来越小。
现实背景：高台跳水问题 问题3：
（1）请你计算，在 0 t 0.5 这段时间内运动员的平均速度； （2）请你计算，在 1 t 2 这段时间内运动员的平均速度.
实际上，导数可以描述任何事物的变化率， 如效率、国内生产总值GDP的增长率，等等.
导数是微积分的核心概念之一
➢微积分是数学中的一门中心学科，是从数学的角度研究变 化，在涉及变化的地方，我们总会发现微积分。
➢历史上有两个伟大的人物牛顿和莱布尼茨对微积分的发展 作出了杰出的贡献。
➢牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧 重于几何学来考虑。
➢牛顿建立了无穷小概念，从而奠定了微积分的基础。
课后作业
➢阅读教材第6页例1 ➢完成教材第10页习题1.1第3题 ➢阅读教材第61页“走进微积分”
➢有兴趣的同学课后可上网查阅有关微积分创建的故事，了 解微积分创建的意义和伟大功绩。
谢谢
Hale Waihona Puke 恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，把笛卡尔 的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分 共同称为十七世纪的三大数学发明.
走进数学史 了解“微积分”
变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见. 函数是描述运动变化规律的重要工具. 如何定量刻画千变万化
的变化现象，是数学研究的重要课题. 17世纪创立的微积分就 源于研究运动物体的变化规律，它是数学发展中的里程碑 .
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
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请计算
o
t
h(t)=-4.9t +6.5t+10
请计 0 t 0.5和 1 t 2时的平均速度v : 算 h 2
o
t
f(x ) f ( x ) 2 1 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
平均变化率定义:
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
微积分主要与四类问题的处理相 关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
练习：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如，
当Δt趋近于0时,平均 t=2时的）瞬时速度？ 速度有什么变化趋势?
通过列表看出平均速度的变化趋势
：
瞬时速度
• 我们用
t 0
lim h(2 t ) h(2) 13.1
t
表示 “当t=2, Δ t趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单 位：秒）存在函数关系 h 2 h(t)=-4.9t +6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
o t
65 计算运动员在0 t 这段时间里的平均速度， 49
65 h( ) h(0) 10 49
h v 0 t
思考下面问题； 1）运动员在这段时间里是静止的吗？
2）你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？
瞬时速度.
• 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.
变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度, 如何描述这种现象呢?
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
3 3V 3 • 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 4
我们来分 析一下:
3V r (V ) 4
3
• 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1)极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
h ( t t ) h ( t ) 0 0 lim t 0 t
导数的定义:
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2－2
1.1. 《变化率与导数》
教学目标
• 了解导数概念的实际背景，体会导数的 思想及其内涵;了解函数的平均变化率; 教学重点： • 函数的平均变化率;导数概念的实际背景， 导数的思想及其内涵;
一、变化率问题
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
y f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x x2 x1
y
Y=f(x)
表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1)
B
直线AB 的斜率
x2-x1=△x x x1 x2
O
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( ) D A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx • 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
1 0 0.62(dm / L)
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) r (1) 显然
2 1 0.16(dm / L)
0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
练习：
1.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+t)中
2
相应的平均速度为( A ) A. 6+t C.3+t 9 B. 6+t+ t D.9+t
• 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直 线运动,求在4s附近的平均变化率.
25 3t
小结：
f ( x ) f(x2 ) f ( x1 ) • 1.函数的平均变化率 x2 x1 x
(1 x )3 13 2 2 k 3 3x ( x ) 3 3 0.1 0.1 3.31 (1 x ) x
二、导数的概念
问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒） 存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?