2015届高考数学总复习第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法教学案(含最新模拟、试题改编)
【三维设计】2015届高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第六章 一元二次不等式及其解法配套课时
课时跟踪检测(三十五) 一元二次不等式及其解法第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·某某模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x≥0，1， x ＜0，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x 的取值X 围是________．2．已知函数f(x)＝x|x ＋1|，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的解集是________． 3．(2014·某某期末)若存在实数x ，使得x2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值X 围是________．4．(2013·某某二模)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a ＞b ，则关于非零实数x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ⊕4≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⊕1x 的解集为________． 5．(2013·某某、某某二模)若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．6．不等式|x(x －2)|>x(x －2)的解集是________．7．在R 上定义运算：x*y ＝x(1－y)．若不等式(x －y)*(x ＋y)<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值X 围是________． 8．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值X 围为________． 9．设函数f(x)＝mx2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值X 围； (2)若对于x ∈[1,3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，函数F(x)＝f(x)－x 的两个零点为m ，n(m ＜n)． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F(x)＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f(x)与m 的大小．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·某某模拟)已知关于x 的不等式x2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值X 围是________．2．(2013·某某高考)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．3．(2013·苏锡常镇调研)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x2a 对一切非负实数x恒成立，则a 的最大值为________．4．(2014·某某质检)设实数a≥1，使得不等式x|x －a|＋32≥a 对任意的实数x ∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a 的取值X 围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧1－x2＞2x ，1－x2＞0，解得－1＜x ＜－1＋ 2. 答案：()－1，－1＋2 2．解析：原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋34＜34，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋34≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34＜34，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋34＜0，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34＜34.②解不等式组①得－34≤x＜34，解不等式组②得x ＜－34.综上所述，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，343．解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b2－12b ＞0即可，解得b ＜0或b ＞34.答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 4．解析：当x≤－1时，因为x ＋4x ＜0，x≤1x ，故原不等式可化为x ＋4x ≥8x，在(－∞，－1]上恒成立；当－1＜x ＜0时，因为x ＋4x ＜0，x ＞1x ，故原不等式可化为x ＋4x ≥8x ，在(－1,0)上恒成立；当0＜x≤1时，因为x ＋4x ＞4，x ＜1x ，故原不等式可化为4≥8x，解得0＜x≤12；当x ＞1时，因为x ＋4x ≥4，x ＞1x ，故原不等式可化为4≥8x，解得x≥2.综上所述，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)．答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 5．解析：若x ＝1，则原不等式恒成立，此时a ∈R ；若x ＞1，则ln x ＞0，于是2ax －1≥0，即a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x max ，所以a≥12；若0＜x ＜1，则ln x ＜0，于是2ax －1≤0，即a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x min ，所以a≤12.综上所述，a ＝12.答案：126．解析：不等式|x(x －2)|>x(x －2)的解集即x(x －2)<0的解集，解得0<x<2. 答案：{x|0<x<2}7．解析：由题意，知(x －y)*(x ＋y)＝(x －y)·[1－(x ＋y)]<1对一切实数x 恒成立，所以－x2＋x ＋y2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y －1)<0， 所以4y2－4y －3<0，解得－12<y<32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 8．解析：∵不等式4x －2x ＋1－a≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x －1)2－1. ∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2， 即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值X 围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]9．解：(1)要使mx2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝m2＋4m<0⇒－4<m<0.所以－4<m≤0.(2)要使f(x)<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max ＝g(3)⇒7m －6<0， 所以m<67，则0<m<67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max ＝g(1)⇒m －6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述：m 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m<67. 法二：因为x2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m(x2－x ＋1)－6<0， 所以m<6x2－x ＋1.因为函数y ＝6x2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67， 所以只需m<67即可．所以，m 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m<67. 10．解：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x ＝a(x －m)(x －n)，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F(x)＞0， 即a(x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F(x)＞0 的解集为 {x|－1＜x ＜2}．(2)f(x)－m ＝a(x －m)(x －n)＋x －m ＝(x －m)(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0. ∴f(x)－m ＜0，即f(x)＜m. 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题意可得：Δ＝a2－8a>0， 得a<0或a>8.当a<0时，对称轴x0＝a2<0，且f(0)＝2a<0.故A 中两个整数只能为－1,0.故f(－1)＝1＋3a<0，f(－2)＝4＋4a≥0，得－1≤a<－13.当a>8时，x0＝a2>4，设A ＝(m ，n)．由于集合A 中恰有两个整数n －m≤3.即a2－8a ≤3，即a2－8a≤9.得8<a≤9 故对称轴4<a2<5，又f(2)＝4>0，f(3)＝9－a≥0 故A 中的两个整数为4和5.故f(4)<0，f(5)<0，f(6)≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧25－3a<016－2a<036－4a≥0，解得253<a≤9.综上a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤253，9. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤253，92．解析：由于f(x)为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋4x ＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x ，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ，x>0，0，x ＝0，－x2－4x ，x<0.由f(x)>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x>x ，x>0或⎩⎪⎨⎪⎧－x2－4x>x ，x<0，解得x>5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)3．解析：法一：设t ＝1＋x ≥1，则x ＝t2－1，原不等式可转化为t≥1＋t2－12－t2－12a ，即t －1≥t2－12－t2－12a .又因为t ＞1，则该不等式可转化为1≥t ＋12－t ＋1t2－1a，即t ＋1t2－1a ≥t －12，即t ＋12a ≥12对t ∈[1，＋∞)恒成立，所以4a ≥12，即a≤8，故a 的最大值为8.法二：当x ＝0时，a ＞0；当x ＞0时， 1a ≥1＋x2－1＋xx2， 所以1a ≥⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋x 2－1＋x x2max.又因为1＋x2－1＋x x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22－()1＋x 2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2＋1＋x＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2＋1＋x ＜14×2.所以1a ≥18，故a 的最大值为8.答案：84．解析：(1)当1≤a≤32时，显然符合题意．(2)当a≥2时，原不等式可化为 x(a －x)≥a－32.取x ＝1，成立． 当x ∈(1,2]时， a≥x2－32x －1＝x ＋1－12x －1. 而函数f(x)＝x ＋1－12x －1在(1,2]上单调递增，故a≥f(2)＝52. (3)当32＜a ＜2时，原不等式可化为①⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤a，x a －x ≥a－32或②⎩⎪⎨⎪⎧a≤x≤2，x x －a ≥a－32.参照(2)的过程解不等式组①得 a≥a＋1－12a －1，解得1＜a≤32，矛盾，舍去；由不等式组②得 a≤x2＋32x ＋1＝x －1＋52x ＋1. 同上可得－1≤a≤32，矛盾，舍去．综上所述，1≤a≤32或a≥52.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞。
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第2节-一元二次不等式及其解法
即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0.
解得－3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3，1]．
第24页，共42页。
[互动探究] 本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1，1)”，求 a 的取值范围．
解析 令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，1)上恒成立，
第38页，共42页。
[体验高考]
1．(2013·江西高考)下列选项中，使不等式 x＜1x＜x2 成立的 x 的取
值范围是
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
()
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
A [原不等式等价于xx＞2＜01，＜x3，①或xx＜ 2＞01，＞x3， ② ①无解，解②得 x＜－1.故选 A.]
【思路导析】 利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析．
第34页，共42页。
【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式，数形结合求出 m 的取 值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知， f(x)＝－（（2x－x－11））x，x，x≤x＞00，. 作出函数 f(x)的图象， 如图所示．
第17页，共42页。
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的 大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行 分类讨论，分类要不重不漏．
第18页，共42页。
1．解下列不等式：
[跟踪训练]
(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.
第26页，共42页。
[跟踪训练] 2．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法学案 文
第二节一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识点一一元二次不等式的解法{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－b2a }{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅1．(2016·新课标全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)． 答案：D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，选A.答案：A3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A ．1 B ．－14C ．4D ．－12解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为 {x |－1<x <2}．所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1,2.所以－1＋2＝－b a，(－1)×2＝1a.所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14.答案：B知识点二 一元二次不等式恒成立的条件 1．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．2．ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．答案1.⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0 2.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<04．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)5．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16， ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)热点一 一元二次不等式的解法 【例1】 解关于x 的不等式： (1)－2x 2＋4x －3>0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )；(3)a x －x －2>1(a >0)．【解】 (1)原不等式可化为2x 2－4x ＋3<0.又判别式Δ＝42－4×2×3<0， ∴原不等式的解集为∅.(2)由12x 2－ax －a 2>0⇒(4x ＋a )(3x －a )>0⇒(x ＋a 4)(x －a3)>0，①当a >0时，－a 4<a 3，解集为{x |x <－a 4或x >a3}；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a 3，解集为{x |x <a 3或x >－a4}． (3)a x －x －2－1>0⇒a －x ＋2－a x －2>0⇒[(a －1)x ＋2－a ](x －2)>0.①当a ＝1时，不等式的解为x >2. ②当a ≠1时，关键是(a －1)的符号和比较a －2a －1与2的大小． ∵a －2a －1－2＝－aa －1，又a >0. ∴当0<a <1时，a －2a －1>2， 不等式的解为2<x <a －2a －1； 当a >1时，a －2a －1<2， 不等式的解为x <a －2a －1或x >2. 综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <a －2a －1}；当a ＝1，原不等式的解集为{x |x >2}；当a >1时，原不等式的解集为{x |x <a －2a －1或x >2}.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)． 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)由x 2－4ax －5a 2>0知(x －5a )(x ＋a )>0. 由于a ≠0故分a >0与a <0讨论． 当a <0时，x <5a 或x >－a ； 当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }；a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }． 热点二 一元二次不等式恒成立问题 考向1 形如f (x )≥0(x ∈R )恒成立问题【例2】 已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m－m ，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .考向2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])恒成立问题【例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】 要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6<0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法1：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0. 所以m <67，则0<m <67.当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0. 所以m <6.所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <67或m <0. 解法2：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <0或0<m <67 . 考向3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])恒成立问题【例4】 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【解】 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零．∴⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零.函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的范围．解析：(1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之得x ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2>2，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a，－a 2>2，7＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6，综上，得－7≤a ≤2.(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h ，h，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解之得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. 答案：(1)[－6,2] (2)[－7,2](3)(－∞，－3－6)∪[－3＋6，＋∞)1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅.3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.。
高三总复习数学优质课件 第六章 不等式 第2节 一元二次不等式及其解法
Δ=b -4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
2
y=ax +bx+c(a>0)的图象
2
ax +bx+c=0(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x>x2或x<x1} .
{x|x1<x<x2}
< ,
≥ ,
所以 f(x)>3⇔
或
- + > 3
+ > 3
≥ ,
< ,
≥ ,
< ,
⇔
或
⇔
或
⇒x>1.
(-)( + ) > - + < 0
< -或 >
∈⌀
所以原不等式的解集为{x|x>1}.
答案:{x|x>1}
6<0},则A∩B等于( B
)
(A)(-2,3)
(B)(1,3)
(C)(3,4)
(D)(-2,4)
解析:由题意知A={x|1<x<4},B={x|-2<x<3},
所以A∩B=(1,3).故选B.
3.不等式2x2-x-3>0的解集为
.
2
解析:由 2x -x-3>0,得(x+1)(2x-3)>0,
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法学案 文
第二节一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识点一一元二次不等式的解法{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－b2a }{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅1．(2016·新课标全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)． 答案：D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，选A.答案：A3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A ．1 B ．－14C ．4D ．－12解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为 {x |－1<x <2}．所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1,2.所以－1＋2＝－b a，(－1)×2＝1a.所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14.答案：B知识点二 一元二次不等式恒成立的条件 1．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．2．ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．答案1.⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0 2.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<04．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)5．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16， ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)热点一 一元二次不等式的解法 【例1】 解关于x 的不等式： (1)－2x 2＋4x －3>0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )；(3)a x －x －2>1(a >0)．【解】 (1)原不等式可化为2x 2－4x ＋3<0.又判别式Δ＝42－4×2×3<0， ∴原不等式的解集为∅.(2)由12x 2－ax －a 2>0⇒(4x ＋a )(3x －a )>0⇒(x ＋a 4)(x －a3)>0，①当a >0时，－a 4<a 3，解集为{x |x <－a 4或x >a3}；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a 3，解集为{x |x <a 3或x >－a4}． (3)a x －x －2－1>0⇒a －x ＋2－a x －2>0⇒[(a －1)x ＋2－a ](x －2)>0.①当a ＝1时，不等式的解为x >2. ②当a ≠1时，关键是(a －1)的符号和比较a －2a －1与2的大小． ∵a －2a －1－2＝－aa －1，又a >0. ∴当0<a <1时，a －2a －1>2， 不等式的解为2<x <a －2a －1； 当a >1时，a －2a －1<2， 不等式的解为x <a －2a －1或x >2. 综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <a －2a －1}；当a ＝1，原不等式的解集为{x |x >2}；当a >1时，原不等式的解集为{x |x <a －2a －1或x >2}.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)． 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)由x 2－4ax －5a 2>0知(x －5a )(x ＋a )>0. 由于a ≠0故分a >0与a <0讨论． 当a <0时，x <5a 或x >－a ； 当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }；a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }． 热点二 一元二次不等式恒成立问题 考向1 形如f (x )≥0(x ∈R )恒成立问题【例2】 已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m－m ，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .考向2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])恒成立问题【例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】 要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6<0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法1：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0. 所以m <67，则0<m <67.当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0. 所以m <6.所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <67或m <0. 解法2：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <0或0<m <67 . 考向3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])恒成立问题【例4】 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【解】 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零．∴⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零.函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的范围．解析：(1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之得x ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2>2，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a，－a 2>2，7＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6，综上，得－7≤a ≤2.(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h ，h，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解之得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. 答案：(1)[－6,2] (2)[－7,2](3)(－∞，－3－6)∪[－3＋6，＋∞)1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅.3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.。
高考数学复习第六章不等式推理与证明一元二次不等式及其解法课件理
【答案】 A
二、双基查验
1．不等式 x(1－2x)>0 的解集是( )
A.－∞，12 C．(－∞，0)∪12，＋∞
B.0，21 D.12，＋∞
• 【答案】 B
2．不等式 2x2－x－1＞0 的解集是( )
A.－12，1
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.－∞，－21∪(1，＋∞) 【解析】 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，
∴x＞1 或 x＜－12，
故原不等式的解集为－∞，－21∪(1，＋∞)。故选 D。 【答案】 D
3．若不等式 ax2＋bx－2＜0 的解集为{x|－2＜x＜14}，则 ab＝(
)
A．－28
B．－26
C．28
D．26
【解析】 ∵x＝－2，14是方程 ax2＋bx－2＝0 的两根，
∴－ －aa2b＝＝－－742，×14＝－12，
计求解的程序框图。 等式的解法)
微知识 小题练
教材回扣 基础自测
• 自|主|排|查 • 1．一元二次不等式的特征 • 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数___不__等_于___0。 • 2．一元二次不等式的解集
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c (a＞0)的图象
{x|x>0}，则 S∩T＝( )
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
2015高中数学第1部分3.2第1课时一元二次不等式及其解法课件新人教A版必修5概要
由根与系数的关系得13－12＝－p， 13×－12＝q，
解得pq＝ ＝16－，16 .
所以不等式 qx2＋px＋1＞0 即为－16x2＋16x＋1＞0，整理得 x2
[活学活用] 1．解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (3)(2－x)(x＋3)<0；
(2)－x2＋7x>6. (4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程 x2－5x－6＝0 的两根为 x1＝－1， x2＝6. 结合二次函数 y＝x2－5x－6 的图象知，原不等式的解集为 {x|x<－1 或 x>6}．
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集 为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为
x|x＝94. (4)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4
＜0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x ＋10 的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
答案：A
3．二次函数 y＝x2－4x＋3 在 y＜0 时 x 的取值范围是________． 解析：由 y＜0 得 x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3 答案：(1,3)
4．若不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为x|－12＜x＜2，则实数 a＝________，实数 b＝________.
解析：由题意可知－12，2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根． 由根与系数的关系得－ －1212＋ ×22＝ ＝2a－，ba， 解得 a＝－2，b＝3.
高考数学(理)总复习备考指导课件：第六章 不等式、推理与证明 第2节 一元二次不等式及其解法
自
高
主
考
落
体
实
验
· 固
第二节 一元二次不等式及其解法
· 明
基
考
础
考纲传真 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不 情
等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次
典
例 函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定
探
究 ·
的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
明 考
础
情
大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系．
典
例 探
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，
究
课
· 要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
提
时 作
知
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自
变式训练 1 解关于 x 的不等式：x2－2ax＋3≥0(a∈R)． 高
【解析】 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，
典
例 探 究 ·
∴x＞1 或 x＜－12.
课 时
提
作
知 能
故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．
业
【答案】 D
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
3．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为－1，13，则 ab
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自
高
主
考
落
体
实 ·
2015届高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课时精练试题 文(含解析)
第二节 一元二次不等式及其解法1．(2012·南昌调研)不等式1x≤1的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：1x ≤1⇔1－1x ＝x －1x≥0，解得x <0或x ≥1.故选C.答案：C2．(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}解析：A ＝[0，＋∞)，B ＝[2,4]，∴A ∩∁R B ＝[0,2)∪(4，＋∞)．故选C. 答案：C3．(2012·青岛模拟)关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大的充要条件是( )A ．－1＜a ＜1B ．a ＜－1或a ＞1C ．－2＜a ＜1D ．a ＜－2或a ＞1解析：设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，由题意知f (1)＜0，∴1＋a 2－1＋a －2＜0. ∴a 2＋a －2＜0.∴－2＜a ＜1.故选C. 答案：C4．(2012·天津六校联考)已知集合M ＝{x |log 2x ≤1}，N ＝{x |x 2－2x ≤0}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为M ＝{x |0<x ≤2}，N ＝{x |0≤x ≤2}，由a ∈M 可推得a ∈N ，但由a ∈N 推不出a ∈M .故选A.答案：A5．(2013·常州质检)已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－35或a ＞1B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ＜1C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1或a ＝－1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立， 故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立， ∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＜0，Δ＝a －2＋a 2－＜0. 解得－35<a <1.综合①②③可知，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35<a ≤1. 答案：D6．设二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，满足f (x ＋3)＝f (3－x )，则使f (x )＞c －8的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)D ．(－∞，2)∪(4，＋∞)解析：∵f (x ＋3)＝f (3－x )， ∴x ＝3是y ＝f (x )的对称轴，∴－b2＝3，解得b ＝－6，∴f (x )＝x 2－6x ＋c ，∴f (x )＞c －8，即x 2－6x ＋8＞0， 解得x ＜2或x ＞4.故选D. 答案：D7．(2013·云南昆明一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x ＜1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)解析：f (x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1.⇔x 0≥1或x 0<－1.答案：B8．(2013·潮州二模)已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相同，则a ＋b 的值为________．解析：不等式|x －2|＞1，得x －2＞1或x －2＜－1，即x ＜1或x ＞3，∴不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞3}，则方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－a ，1×3＝b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3， ∴a ＋b ＝－4＋3＝－1. 答案：－19．(2013·南京师大附中月考)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≤0，x 2－9≥0或x 2－9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ≤－3或x ≥3或x ＝±3，即x ≤－3或x ＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}10．(2013·四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＜5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，x 2＋4x ＜5，得－5<x <0，即f (x )<5的解为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．答案：{x |－7<x <3}11．(2013·珠海一模)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．解析：(1)A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3＝{x |－3＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}；(2)由题意及(1)知－3,1是方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1＝－2，b 2＝－3×1＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.12．已知f (x )是R 上的单调函数，且对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立，若f (－3)＝2.(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式f ⎝⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.解析：(1)f (x )为R 上的减函数．理由如下： ∵对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立， ∴f (x )是R 上的奇函数． ∴f (0)＝0.∵f (x )是R 上的单调函数，f (0)＜f (－3)＝2， ∴f (x )为R 上的减函数．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )＜0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＜－f (m )＝f (－m )， 结合(1)得m －xx＞－m ， 整理得－m x －mx＜0.当m ＞1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞0或x ＜m1－m ； 当m ＝1时，{}x |x ＞0；当0＜m ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜m1－m .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 共 9 页 第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法 第七章 (对应学生用书(文)、(理)84～86页)
考情分析 考点新知 掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用． ① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； ② 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； ③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解程序框图.
1. (必修5P69习题2(2)改编)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________. 答案：－1，43
解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤43. 2. (必修5P71习题1(3)改编)不等式x2＋x－6≤0的解集为________． 答案：[－3，2] 解析：由x2＋x－6≤0，得－3≤x≤2.
3. (必修5P71习题7(4)改编)不等式1－2xx＋1>0的解集是________．
答案：－1，12 解析：不等式1－2xx＋1>0等价于(1－2x)(x＋1)>0，也就是x－12(x＋1)<0，所以－14. (必修5P71习题5(2)改编)已知不等式x2－2x＋k2－3>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是________． 答案：k>2或k<－2 解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.
5. (必修5P71习题6改编)不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是－12，13，则a－b＝________． 答案：－10 解析：由题意可知，－12和13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个实根，
则－12＋13＝－ba，－12·13＝2a， 解得a＝－12b＝－2，所以a－b＝－10. 第 2 页 共 9 页
1. 一元二次不等式的解法 在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)．因此，可以通过y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如下表：
二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 一 般 式 y＝ax2＋bx＋c(a>0) Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0(a＞0) ax2＋bx＋c＞0(a＞0) ax2＋bx＋c＜0(a＞0)
图 象 与 解
Δ>0 x＝x1，x＝x2 xx>x2 x1< x
Δ＝0 x＝x0＝－b2a x≠－b2a
Æ
Δ<0 无解 R Æ 第 3 页 共 9 页
2. 用一个流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程： [备课札记] 第 4 页 共 9 页 题型1 一元二次不等式的解法 例1 已知a＞0，解关于x的不等式x2－a＋1ax＋1＜0.
解：原不等式可化为(x－a)x－1a＜0.由a－1a＝（a＋1）（a－1）a，得①当0＜a＜1时，a＜1a，解集为xa－1)2＜0的解集为 变式训练
已知关于x的不等式：（a＋1）x－3x－1<1. (1) 当a＝1时，解该不等式； (2) 当a>0时，解该不等式．
解：(1) 当a＝1时，不等式化为2x－3x－1<1，化为x－2x－1<0， ∴ 1(2) a>0时，由（a＋1）x－3x－1 <1得ax－2x－1<0，
(ax－2)(x－1)<0，方程(ax－2)(x－1)＝0的两根x1＝2a，x2＝1. ①当2a＝1即a＝2时，解集为； ②当2a>1即0③当2a<1即a>2时，解集为x|2a题型2 由二次不等式的解求参数的值或范围 例2 已知不等式(2＋x)(3－x)≥0的解集为A，函数f(x)＝kx2＋4x＋k＋3(k<0)的定义域为B. (1) 求集合A； (2) 若集合B中仅有一个元素，试求实数k的值； (3) 若BA，试求实数k的取值范围． 解：(1) 由(2＋x)(3－x)≥0，得(2＋x)(x－3)≤0， 解得－2≤x≤3，故A＝[－2，3]． (2) 记g(x)＝kx2＋4x＋k＋3，则g(x)≥0在R上有且仅有一解，而k<0，所以Δ＝0. 由k<0与16－4k(k＋3)＝0，解得k＝－4. (3) 记g(x)＝kx2＋4x＋k＋3，首先g(x)≥0在R上有解，而k<0，所以Δ＝16－4k(k＋3)≥0, 解之得－4≤k<0.① 设g(x)＝0的两个根为x1，x2(x1第 5 页 共 9 页
由BA，得g（－2）≤0，g（3）≤0，－2<－2k<3，即5k－5≤0，10k＋15≤0，－2<－2k<3， ② 由①与②，解得－4≤k≤－32. 备选变式（教师专享） 已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b. (1) 解关于a的不等式f(1)>0； (2) 当不等式f(x)>0的解集为(－1，3)时，求实数a、b的值． 解：(1) f(1)＝ －3＋a(6－a)＋b＝ －a2＋6a＋b－3， ∵ f(1)>0，∴ a2－6a＋3－b<0. ∵Δ＝24＋4b， 当b≤－6时，Δ≤0， ∴此时f(1)>0的解集为； 当b>－6时，3－b＋6
∴ f(1)>0的解集为{a|3－b－6(2) ∵不等式－3x2＋a(6－a)x＋b>0的解集为(－1，3)， ∴f(x)>0与不等式(x＋1)(x－3)<0同解． ∵3x2－a(6－a)x－b<0解集为(－1，3)，
∴2＝a（6－a）3，3＝b3， 解得a＝3±3，b＝9. 题型3 三个二次之间的关系 例3 已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b＝________． 答案：－3 解析：由题意：A＝{x|－1的关系可知：a＝－1，b＝－2，∴ a＋b＝－3. 备选变式（教师专享） 关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是________． 答案：0 解析：方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故填0. 题型4 一元二次不等式的应用 第 6 页 共 9 页
例4 要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？ 解： 设半圆直径为2R, 矩形的高为a， 则2a＋2R＋πR＝L(定值)，
S＝2Ra＋12πR2＝－12π＋2R2＋LR，
当R＝Lπ＋4时S最大，此时Ra＝1， 即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线． 备选变式（教师专享） 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝
－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，10.2，x>5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题．
(1) 要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ 解：依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则
f(x)＝－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，8.2－x，x>5. (1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0， 当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0， 即x2－8x＋7<0，得1∴1当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2， ∴5综上所述，要使工厂赢利，x应满足1820台的范围内． (2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 故当x＝4时，f(x)有最大值3.6； 而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2. 所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．
1. (2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为xx<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为______． 答案：{x|x<－lg2}
解析：由条件得－1<10x<12，即x<－lg2. 2. (2013·四川)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么不等式