高中数学选修本(理科)几种常见函数的导数

几种常见函数的导数●教学目标 (一)教学知识点1.公式1 C ′=0(C 为常数)2.公式2 (x n )′=nx n －1(n ∈Q )3.公式3 (sin x )′=cos x4.公式4 (cos x )′=－sin x5.变化率(二)能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. (三)德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力. ●教学重点四种常见函数的导数C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n －1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ，(cos x )′=－sin x .●教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式由导数定义导出的. ●教学方法 建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.●教学过程 Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数. 1.y =C (C 是常数)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=C ∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0xy ∆∆=0 y ′=C ′=xyx ∆∆→∆0lim=0，∴y ′=0.2.y =x n (n ∈N *)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=x n∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=(x +Δx )n －x n=x n +1C n x n －1Δx +2C n x n －2(Δx )2+…+nn C (Δx )n －x n =1C n x n －1Δx +2C n x n －2(Δx )2+…+n nC ·(Δx )n xy ∆∆=1C n x n －1+2C n x n －2Δx +…+nn C ·(Δx )n －1 ∴y ′=(x n )′=xy x ∆∆→∆0lim=0lim →∆x （1C n x n －1+2C n x n －2Δx +…+n n C (Δx )n －1)=1C n x n －1=nx n －1 ∴y ′=nx n －13.y =x －n (n ∈N *)，求y ′. ［学生板演］解：Δy =(x +Δx )－n－x －n=nn nn n n xx x x x x x x x )()(1)(1∆+∆+-=-∆+ nn nn n n n n n x x x x x x x x )()(C )(C C 22211∆+∆++∆+∆--- nn n n nn n n nxx x x x x x x y )()(C C C 12211∆+∆++∆+-=∆∆--- y ′=])()(C C C [lim lim 1221100n n n n nn n n n x x x x x x x x x x y ∆+∆++∆+-=∆∆---→∆→∆ 111C ----=⋅-=n n n n n nx xx x∴y ′=－nx －n －1※4.y =sin x ，求y ′(叫两位同学做) ［学生板演］［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )－sin x =sin x cos Δx +cos x sin Δx －sin xxx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin ∴y ′=xxx x x x x y x x ∆-∆+∆=∆∆→∆→∆sin sin cos cos sin lim lim00x x xx x xx x x xx xx x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin limsin cos )1(cos sin lim2200200+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=→∆→∆→∆→∆ =－2sin x ·1·0+cos x =cos x ∴y ′=cos x［生乙］Δy =sin(x +Δx )－sin x 2sin )2cos(2x x x ∆∆+= xx x x xy∆∆∆+=∆∆2sin )2cos(2 ∴y ′=22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2limlim000x xx x xx x x x yx x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆→∆→∆→∆x x xx x x x cos 22sinlim )2cos(lim 0=∆∆∆+=→∆→∆ ∴y ′=cos x(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下). ※5.y =cos x ，求y ′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )－cos x =cos x cos Δx －sin x sin Δx －cos xy ′=xx x x x x x y x x ∆-∆-∆=∆∆→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00x x x x x x x x x x x x xx xx x x x x x x x sin sin 01cos 21sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos limsin sin )1(cos cos lim2200200-=-⋅⋅-=⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆∴y ′=－sin x［生乙］解：xx x x x xx x x x ∆∆∆+-=∆-∆+→∆→∆2sin )2sin(2limcos )cos(lim00 x x xx x x sin 22sin )2sin(lim-=∆∆∆+-=→∆. ∴y ′=－sin x .［师］所以由4、5两道题我们可以比较一下.第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2和第3道题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1 C ′=0(C 是常数) 公式2 (x n )′=nx n －1(n ∈R ) 公式3 (sin x )′=cos x 公式4 (cos x )′=－sin x (二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求.(1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′ ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3－1=3x 2 (2)解：(21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3(3)解：xx x x x 212121)()(2112121==='='--(还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下).(三)变化率举例 ［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求，知道运动方程s =s (t )，瞬时速度v =s ′(t ).［板书］物体按s =s (t )做直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s ′(t 0) v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率. ［生］例如角速度、电量等.［师］是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).［学生分析］由变化率的涵义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.解：C =Q ′(T )，即热容量为Q ′(T )J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热，那么上例中，如果物质的质量是v mol ，那么比热怎么表示？［生］比热是v1Q ′(T ) J/(K ·mol)［例2］如图3—11，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针做匀角速运动，角速度1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.解：时刻t 时，∵角速度1 rad/s ，∴∠POA =1·t =t rad∴∠MPO =∠POA =t rad ∴OM =OP ·sin MPO =10·sin t ∴点M 的运动方程为y =10sin t ∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y =x 5 (2)y =x 6 (3)x =sin t (4)u =cos ϕ ［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4 ［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5 ［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t ［生］(4)u ′=(cos ϕ)′=－sin ϕ 2.求下列函数的导数 (1)y =31x(2)y =3x (1)解：y ′=(31x)′=(x －3)′=－3x －3－1=－3x －4(2)解：321313133131)()(--=='='='x x x x y3.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s)，求质点在t =3时的速度. 解：v =s ′=(t 3)′=3t 3－1=3t 2 当t =3时，v =3×32=27 m/s∴质点在t =3时的速度为27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=21gt 2，(s 单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s 2)，求t =3时的速度.解：v =s ′(t )=(21gt 2)′=21g ·2t 2－1=gt . t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s∴t =3时的速度为29.4 m/s.［师］这题也用到求导时系数可提出来根据［Cf (x )′］=Cf ′(x )(C 是常数). 这由极限的知识可以证得［Cf (x )′］=xx Cf x x Cf x ∆-∆+→∆)()(limxx f x x f C x ∆-∆+=→∆)()(lim=Cf ′(x )5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程. 解：y ′=(x 4)′=4x 4－1=4x 3. ∴y ′|x =2=4·23=32∴点P (2，16)处的切线方程为y －16=32(x －2) 即32x －y －48=0. Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课主要学习了四个公式:①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n －1(n ∈R )，③(sin x )′=cos x ，④(cos x )′=－sin x .以及学习了变化率的概念.v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.Ⅴ.课后作业(一)课本，P 118，习题3.2 2，4，5(二)1.预习内容：课本P 120~121和(或差)、积的导数 2.预习提纲：(1)和(或差)的导数 公式、证明过程. (2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.。