人教版高中数学(文科)选修导数的概念及运算教案
高中数学选修导数教案
高中数学选修导数教案教学内容：导数教学目标：1. 掌握导数的定义和性质；2. 熟练计算函数的导数；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和性质；2. 函数的导数计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的概念理解；2. 函数导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
教学过程：一、导数的概念和定义（15分钟）1. 引导学生回顾函数的斜率概念；2. 引入导数的概念，解释导数的意义；3. 定义导数的数学表达式；4. 讲解导数的几何意义。
二、导数的计算方法（25分钟）1. 讲解函数导数的基本计算公式；2. 讲解常见函数的导数计算方法；3. 指导学生进行函数的导数计算练习；4. 引导学生总结导数计算规律。
三、导数的性质（15分钟）1. 讲解导数的加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则；2. 指导学生理解和应用导数的性质；3. 案例分析导数性质的应用。
四、导数在实际问题中的应用（20分钟）1. 引导学生理解导数在实际问题中的应用；2. 分析实际问题中的导数应用案例；3. 引导学生通过导数解决实际问题。
五、导数综合练习（15分钟）1. 组织学生进行导数综合练习；2. 汇总学生练习成果，进行讲解与讨论；3. 引导学生总结导数知识点。
六、导数知识检测（10分钟）1. 组织学生进行导数知识测试；2. 分析学生测试成绩，评价学生学习效果；3. 引导学生订正错误，巩固导数知识。
教学反思：1. 检查学生对导数概念的理解程度，及时纠正错误认识；2. 引导学生在实际问题中运用导数进行分析和解决；3. 整合导数知识，让学生形成系统的导数理论知识体系。
人教版高中数学《导数》全部教案
导数的背景（5月4日）教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题1: 一个小球自由下落, 它在下落3秒时的速度是多少？析: 大家知道, 自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.当时间增量很小时, 从3秒到（3＋）秒这段时间内, 小球下落的快慢变化不大.因此, 可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋）秒这段时间内位移的增量:2)22⨯-=∆s∆+∆+=∆+∆-=s9.4)329(9.44.3(9.4)3(tst3(t)t从而, .从上式可以看出, 越小, 越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时, 无限趋近于29.4米/秒.此时我们说, 当趋向于0时, 的极限是29.4.当趋向于0时, 平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度, 也叫做瞬时速度.一般地, 设物体的运动规律是s＝s（t）, 则物体在t到（t＋）这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时, 无限趋近于某个常数a, 就说当趋向于0时, 的极限为a, 这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题2: P（1,1）是曲线上的一点, Q是曲线上点P附近的一个点, 当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析: 设点Q的横坐标为1＋, 则点Q的纵坐标为（1＋）2, 点Q对于点P 的纵坐标的增量（即函数的增量）,所以, 割线PQ的斜率.由此可知, 当点Q沿曲线逐渐向点P接近时, 变得越来越小, 越来越接近2；当点Q无限接近于点P时, 即无限趋近于0时, 无限趋近于2.这表明, 割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式, 这条切线的方程为: .一般地, 已知函数 的图象是曲线C, P （ ）, Q （ ）是曲线C 上的两点, 当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时, 割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P, 即 趋向于0时, 如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT, 则直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时, 割线PQ 的斜率 无限趋近于切线PT 的斜率k, 也就是说, 当 趋向于0时, 割线PQ 的斜率 的极限为k.3. 边际成本问题3: 设成本为C, 产量为q, 成本与产量的函数关系式为 , 我们来研究当q ＝50时, 产量变化 对成本的影响.在本问题中, 成本的增量为: .产量变化 对成本的影响可用： 来刻划, 越小, 越接近300；当 无限趋近于0时, 无限趋近于300, 我们就说当 趋向于0时, 的极限是300. 我们把qC ∆∆的极限300叫做当q ＝50时103)(2+=q q C 的边际成本. 一般地, 设C 是成本, q 是产量, 成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ）, 当产量为 时, 产量变化 对成本的影响可用增量比 刻划. 如果 无限趋近于0时, 无限趋近于常数A, 经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为 时, 增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）.二、小结瞬时速度是平均速度 当 趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置, 切线的斜率是割线斜率 当 趋近于0时的极限；边际成本是平均成本 当 趋近于0时的极限.三、练习与作业:1. 某物体的运动方程为 （位移单位：m, 时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度.2. 判断曲线 在点P （1,2）处是否有切线, 如果有, 求出切线的方程.3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为 , 求当产量q ＝80时的边际成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下, 测得滚下的垂直距离h （单位: m ）与时间t （单位: s ）之间的函数关系为 , 求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.5. 判断曲线 在（1, ）处是否有切线, 如果有, 求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为 , 求当产量q ＝30时的边际成本.导数的概念（5月4日）教学目标与要求: 理解导数的概念并会运用概念求导数。
人教版高中数学选修2-2第一章导数的概念与计算 同步教案
（二）导数的计算知识梳理1.基本初等函数的导数公式函数 导函数y c ='0y = *()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -= sin y x = 'cos y x =cos y x = 'sin y x =-()x y f x a ==()x y f x e =='x y e = ()log a f x x =()ln f x x ='1()f x x= 2.导数运算法则导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 3. 复合函数的求导法则如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，则(f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ' 或记作 x y '=u y '•x u '注：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
在求导时要由外到内，逐层求导。
教案解读本次课的内容较为简单基础，结合考纲要求系统梳理知识点，让学生正确地把握知识的重难点。
例题由浅入深，逐步加强学生学习数学的自信心，更好的激发学生的学习兴趣；如基本初等函数的导数公式以及导数运算法则的应用到复合函数的求导法则的过渡；求切线方程中，由切点到非切点的应用。
在课后作业的布置，1-5，7-9题较基础简单，适合大部分学生；而第6、10、11题难度较大，针对基础较好的学生布置的。
人教版高中选修1-13.2导数的计算课程设计
人教版高中选修1-13.2导数的计算课程设计一、课程背景本次课程设计是为高中选修1课程中第13章函数的导数部分设计的，其中13.2节内容为导数的计算。
作为高中数学中的重要基础知识点之一，导数的计算在各类数学问题的解决中都扮演着重要角色。
因此，本次课程设计旨在帮助学生深入理解导数的相关概念，并通过练习提高学生的计算能力。
二、教学目的本次课程设计的教学目的主要有以下几点：1.通过导数的概念和推导，使学生了解导数的相关定义和性质。
2.通过导数的计算方法，使学生能够掌握导数的计算技巧。
3.通过练习题目，提高学生的综合运算能力。
三、教学内容本次课程设计的教学内容主要包括以下三个方面：3.1 导数的概念和性质1.导数的定义及其意义。
2.导数的几何意义。
3.函数局部和整体的单调性与导数的关系。
3.2 导数的计算方法1.基本初等函数的导数计算。
2.导数的四则运算法则。
3.高阶导数的计算方法。
3.3 导数的应用1.导数在函数图象的研究中的应用。
2.导数在物理、化学、生物等科学问题中的应用。
四、教学方法本次课程设计采用以下教学方法：1.讲授法：首先通过讲授导数的相关概念和性质，再通过实例展示导数的计算方法。
2.练习法：通过针对不同难度的练习题目，帮助学生巩固所学知识点。
3.探究法：通过让学生分组，让他们自己探究一些有特殊计算方法的导数。
五、教学过程5.1 导数的概念与性质1.导数的定义及其意义：详细讲解导数的定义和意义，让学生掌握导数的相关概念。
2.导数的几何意义：通过几何实例，让学生初步理解导数的几何意义。
3.函数局部和整体的单调性与导数的关系：让学生通过实例掌握函数局部和整体的单调性与导数的关系。
5.2 导数的计算方法1.基本初等函数的导数计算：通过讲解常见的基本初等函数导数的计算方法，让学生掌握导数的计算规律。
2.导数的四则运算法则：通过实例让学生学习导数四则运算法则的计算方法。
3.高阶导数的计算方法：让学生了解高阶导数的概念和计算方法。
人教版高中数学选修(2-2)-1.2《导数的计算》教学设计
1.2 导数的计算一、教学目标 1．核心素养通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力． 2．学习目标（1）1.2.1能根据导数定义，求函数21,,,,y c y x y x y y x===== （2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数． 3．学习重点（1）利用导数的定义求五个函数21,,,,y c y x y x y y x ===== （2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数． 4．学习难点两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P 12－P 14，思考：常用函数的导数是什么？ 是如何计算得到的？ 任务2阅读教材P 14－P 17，思考：导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？2．预习自测 1．函数1y x x=+的导数是____________. 解：211y x =-2．函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A.sin x xB.sin x x -C.cos x xD.cos x x - 解：B3．设()f x =，则'(1)f = .（二）课堂设计 1．知识回顾（1）函数的定义是什么？给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应. （2）函数()f x 在0x x =处的导数是0000()()limlim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数是关于0x 的函数吗？对于函数()f x 来说，给定0x 的取值，则0()f x '是一个确定的值,所以是一个函数. 2．问题探究问题探究一 、几个常用函数（21,,,,y c y x y x y y x===== ●活动一 动手计算，收获几个结论请大家用导数的定义分别推导出函数21,,,,y c y x y x y y x =====. 1．若y c =（c 为常数），则y '=_________； 2．若y x =，则y '=_______________； 3．若2y x =，则y '=___________________； 4．若1y x=，则y '=_______________；5．若y =y '=__________________.●活动二 阅读查表，记忆导数公式1．若()f x c =（c 为常数），则()f x '=_______； 2．若*()()f x x Q αα=∈，则()f x '=_______. 3．若()sin f x x =，则()f x '=________________； 4．若()cos f x x =，则()f x '=_____________.5．若()x f x a =，则()f x '=_________； 特别地：若()x f x e =，则()f x '=_________. 6．若()log a f x x =，则()f x '=_______； 特别地：若()ln f x x =，则()f x '=________.为避免记忆混淆，可将上述公式可分为四类记忆：（1）（2）属于幂函数的导数公式；（3）（4）属于三角函数的导数公式；（5）是指数函数的导数公式；（6）是对数函数的导数公式． 例1求下列函数的导数．(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝5x 3； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x . 【知识点：导数的运算】解：(1)∵a 为常数，∴a 2为常数，∴y ′＝(a 2)′＝0.(2)'32'553'5y x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭(3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5 (4)y ′＝(lg x )′＝1x ln10. 例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【知识点：导数的运算】解：''113122211'()22f x x x x ----⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭∴f ′(1)＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.点拨：熟记导数公式，能够应用导数公式求相应函数的导数. ●活动三 认识规律，熟练掌握法则 导数的四则运算法则是什么？（1）[()()]f x g x '±=___________； （2）[()()]__________________f x g x '⋅=； （3）()[]___________________()f xg x '=. 由积的导数运算法则可推出：[()]()cf x cf x ''=．在积、商的导数运算法则中，要注意：一般情况下，[()()]()()f x g x f x g x '''⋅≠⋅，()()[]()()f x f xg x g x ''≠'，不要与[()()]()()f x g x f x g x '''±=±混淆． ●活动四 应用法则，扩充导数公式请利用初等函数的导数和导数的四则运算法则计算下列函数的导数： 1．若()ln f x x x =，则()f x '=_______； 2．若2()x f x x e =，则()f x '=_______.3．若()tan f x x =，则()f x '=_____________；4．若()ln f x x =，则()f x '=_____________. 例3 求下列函数的导数．(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝x 2sin x ；(4)y ＝2tan x ＋3tan x ；(5)y ＝x ·e x ＋ln x . 【知识点：导数的运算】解： (1)y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)先化简，得y ＝－x 12 ＋x －12 ∴y ′＝－12x －12 －12x －32 ＝－x ＋12x x .(3)y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x.(4)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x cos x ＋3cos x sin x ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＋－3sin 2x －3cos 2xsin 2x ＝2cos 2x －3sin 2x .解法2：y ′＝2ta n′x －3tan′x tan 2x ＝tan′x (2－3tan 2x )＝1cos 2x (2－3cos 2x sin 2x )＝2cos 2x －3sin 2x . (5)y ′＝(x ·e x )′＋(ln x )′＝e x ＋x ·e x ＋1x ＝(1＋x )·e x ＋1x . 点拨：熟记导数公式是求导函数的关键.●活动一 什么是复合函数及复合函数求导法则？（1）一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =． （2）复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数的关系为：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例4求下列函数的导数．(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝3ax 2＋bx ＋c ； (3)ax b y e -+=. 【知识点：导数的运算】 解：(1)y ＝u －4，u ＝1－3x .∴y ′＝y ′u ·u ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4·u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(2)y ＝u 13 ，u ＝ax 2＋bx ＋c .y ′＝y ′u ·u ′x ＝13u －23 ·(2ax ＋b )＝13(ax 2＋bx ＋c ) －23 ·(2ax ＋b )＝(2ax ＋b )3ax 2＋bx ＋c 3(ax 2＋bx ＋c ).(3)y ＝e u ，u =－ax +b .，y ′＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(－ax +b )′＝e u ·(－a )＝ax b ae -+-． 点拨：分清函数由哪些函数复合而成，是求复合函数导数的关键. ●活动二 应用新知，解决典型例题例5 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0.例6已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：设切点为(x 0，y 0)，00013131222x x y x x x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝＝－＝－＝－.∵x 0>0，∴x 0＝2.点拨：求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率．(3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．●活动三 函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系. （1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f (x )的导函数 （3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一． 3．课堂总结 【知识梳理】（1）基本初等函数的导数公式（2①[()()]'f x g x ±= ；②()()'f x g x =⎡⎤⎣⎦ ； ③()[]'()f xg x = [()0].g x ≠ （3）复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .【重难点突破】（1）运用导数的四则运算法则，可推出以下三个常用结论： ①1212[()()()]()()()n n f x f x f x f x f x f x ''''±±±=±±±；②[()()]()()af x bg x af x bg x '''±=±；③2()1()[()]g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． （2）求复合函数导，一般按以下三个步骤进行：①分解：分解复合函数为基本初等函数，注意适当选择中间变量；②层层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；③作积还原：将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的变量． 利用复合函数求导时，要注意选择合适的中间变量.例如，对于函数41(34)y x =+，可令31u x =+，4y u -=；也可令4(31)u x =+，1y u -=，显然前一种形式更有利于求导．（3）应用导数公式与运算法则求导时，应注意以下三点： ①对幂函数求导时，要将根式、分式化为指数式，以便应用公式； ②对较复杂函数求导时，可考虑“先化简，再求导”，以减少运算量. ③根据函数的结构，合理选择求导公式与运算法则. 4．随堂检测1．已知f (x )＝x 2，则(3)f '=（ ） A ．0B ．2xC ．6D ．9【知识点：导数的运算】 解：C2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是（ ） A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x【知识点：导数的运算】 解：D 3．函数y ＝cos x1－x的导数是（ ） A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x【知识点：导数的运算】 解：C4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C. 2D ．a >0【知识点：导数的运算】 解：B5．设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)，则a =_________.【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】 解：12（三）课后作业基础型自主突破1．给出下列命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝1x，则y′＝－12x；④若3y'=，则y＝3x.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点：导数的运算】解：B2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定【知识点：导数的运算；导数的几何意义】解：B3．若2()24lnf x x x x=--，则()0f x'>的解集为（）A．(0,)+∞B．(1,0)(2,)-+∞C．(2,)+∞D．(1,0)-【知识点：导数的运算】解：C4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 【知识点：导数的几何意义】解：C提示：∵y＝ln x的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝12x＋b得b＝ln 2－1.5．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于（）A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点：导数的运算】解：C6．求下列函数的导数（1）3log y x = （2）31x y x e =+- （3）sin(12)y x =+（4）1ln y x x x=+（5） y ＝2sin x 2(1－2sin 2x4)．【知识点：导数的运算】 解：（1）1ln 3y x '=（2）232ln 2x y x '=+⋅（3）()22cos(1)(12)2cos 1y x x x ''=+⋅+=+ （4）211ln y x x'=+-（5）∵y ＝2sin x 2(1－2sin 2x 4)＝2sin x 2cos x2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．能力型 师生共研7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e【知识点：导数的运算】 解： B8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足()()f x g x ''=，则f (x )与g (x )满足（ ）A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数【知识点：导数的运算】 解： B9．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：14 提示：由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12|x ＝14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a14，可得a ＝14，经检验，a＝14满足题意．10．若函数f (x )＝x m＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和S n 是（ ）A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n【知识点：导数的运算】 解： A探究型 多维突破11．已知1()sin cos ()f x x x x R =+∈，记*21321()(),()(),,()()(,2)n n f x f x f x f x f x f x n N n -'''===∈≥，则122014()()()222f f f πππ+++=____________.【知识点：导数的运算】解：0 提示：2()cos sin f x x x =-，3()sin cos f x x x =--，4()cos sin f x x x =-+，5()sin cos f x x x =+，以此类推，可得出4()()n n f x f x +=，又1234()()()()0f x f x f x f x +++=，所以122014123412()()()503[()()()()]()()0222222222f f f f f f f f f πππππππππ+++=+++++=12．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. （1）求C 上斜率最小的切线方程；（2）证明：曲线C 关于斜率最小时切线的切点对称．【知识点：导数的运算】 解：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0. (2)证明：设(x 0，y 0)∈C ，(x ，y )是(x 0，y 0)关于(2，－12)的对称点，则⎩⎨⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .∵(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6， 整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．自助餐1．下列四组函数中导数相等的是（ ）A ．f (x )＝2与g (x )＝2xB ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos xC ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋4【知识点：导数的运算】 解： D2．设函数22()(0)x a f x a x+=>，若0()0f x '=，则x 0＝（ ）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【知识点：导数的运算】 解： B3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为（ ） A.193 B.103C.133D.163【知识点：导数的运算】 解： B4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是（ ）A.2＋xx 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1【知识点：导数的运算】 解： B5．已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．[0,4π)B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 【知识点：导数的运算】解： D6．（1）已知f (x )＝xe x ＋sin x cos x ，则f ′(0)＝________.（2）已知g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则g ′(1)＝________.【知识点：导数的运算】解：（1）2 ；（2） 24提示：(1)f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＋cos2x ，∴f ′(0)＝1＋1＝2.(2)()(1)[(2)(3)(4)(5)](2)(3)(4)(5)g x x x x x x x x x x ''=-----+---- 所以g ′(1)＝(1－2)(1－3)(1－4)(1－5)＝24.7．设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)f '=______________.【知识点：导数的运算】 解：28．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是_____________ ①2()f x x =，②()x f x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =.【知识点：导数的运算】 解：①③提示： ①中，令00()()f x f x '=，可得：00x =或02x =，故存在“巧值点”.②中，令00()()f x f x '=，可得：0x x e e --=-，显然无解，故不存在“巧值点” ③中，令00()()f x f x '=，可得：001ln x x =，由于ln y x =与1y x=的图像有交点，因此方程有解. 故存在“巧值点”.④中，令00()()f x f x '=，可得：0201tan cos x x =，即：00sin cos 1x x =，显然无解. 故不存在“巧值点”9．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x 的距离，则实数a =_______.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：49提示：曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x的距离为d =-==曲线C 1：y =x 2+a 对应函数的导数为2y x '=，令12=x 得21=x ，所以C 1：y =x 2+a 上的点为)41,21(a +，点)41,21(a +到到直线l :y =x 的距离应为2，所以211|4121|22=+--a ，解得49=a 或47-=a （舍去）. 10．已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，则()f x =____________. 【知识点：导数的运算】解：212x e x x -+ 提示：1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f =，即1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=，得：21()2x f x e x x =-+11．已知11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为函数2()2f x x x a =++（0x <，a R ∈）的图像上的两点,且12x x <.若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为___________.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：1 提示：由题知：()22f x x '=+，且12()()1f x f x ''=-，于是可得：12(22)(22)1x x ++=-，化简得：12114(1)x x =--+，从而21221114(1)x x x x -=++≥+.12．已知二次函数()f x 只有一个零点，且()22f x x '=+. （1）求()f x 的表达式； （2）若()()x f x g x e=，求曲线()y g x =在点(0,(0))P g 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形面积S .【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，又()22f x x '=+，所以1,2a b ==. 即2()2f x x x c =++，又()f x 只有一个零点，故1c =，所以2()21f x x x =++.（2）由（1）知2()21()x xf x x xg x e e++==，所以2222(21)(21)1()()x xx xx x e e x x xg xe e'++-++-'==.故(0)1g'=，又(0)1g=，从而切斜l的方程为1y x-=，即10x y-+=，于是切线l与两坐标轴围成的三角形面积111122 S=⨯⨯=.数学视野微积分学是由牛顿和莱布尼茨在总结了诸多数学家的工作之后，分别独立地创立的.牛顿（Newton，1642—1727），英国数学家，物理学家，天文学家和自然哲学家.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分. 17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，运动的瞬时速度，面积、体积、曲线长度、物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算（微积分基本定理）.牛顿的微积分中有一个重要的基本概念“流数”，流数被定义为可借运动描述的连续量——流量（用,,,x y z表示）的变化率（速度），并用在字母上加点来表示，如,,,x y z.牛顿表述流数术的基本问题为：已知流量间的关系，求它们的流数间的关系，以及逆运算. 牛顿创立微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题.莱布尼茨（Leibniz，1646—1716），德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分学的创始人.莱布尼茨终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法.这种努力导致许多数学上的发现，最突出的是微积分学.莱布尼茨创立微积分主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号（如：d,x⎰等）以及微分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响.。
高中数学_导数的概念及运算教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计【教学目标】1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．【重点难点】1.教学重点：①能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;②能利用导数的几何意义求曲线的切线方程。
2.教学难点：理解导数的几何意义；【教学策略与方法】自主学习、学生展示、师生互动法【教学过程】【考纲再现】导数的概念；基本初等函数导数公式；导数的四则运算；导数的几何意义。
【题型分析】题型一 导数的运算题型二 导数的几何意义求切线方程求切点坐标求参数的值【思维升华】1.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解． 2. 求解与切线有关的问题时，要注意分析切点的性质，切点有3个性质：①切点在曲线上；②切点在切线上；③在切点处的导数等于切线的斜率．由此可以建立方程 (组)求解参数的取值问题．【方法与技巧】1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．【课后作业】高考真题学情分析1.学生的情感特点和认知特点：学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础2.已具备的与本节课相联系的知识、生活经验：学生已较好地在物理中学过平均速度、瞬时速度，并学习了一些的关于函数变化率的知识，为本节课学习瞬时变化率、导数做好铺垫。
人教版高中数学(文科)选修导数的概念及运算教案
1 x0=1 或3
∴应填写答案为
1
或
1 3
点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式
(
如
(x
n
)'=n
．
x
n-
1
，
其中
n∈ N*) 是求某些简单函数的导
数的常用工具．
例3
已知抛物线
y=ax
2
+bx+c
通过点
(1， 1)，且在（
2，- 1）处的切线的斜率为
1， 求 a，b，c 的值．
分析 题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定
A ． (6x+1)(2x+3) C． 2(3x 2+x+1)
B ． 2(6x+1) D． 18x+22x+5
分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数．
解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3 ∴ y'=18x 2+22x+5 ，故应选 D
点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式．
cf '(x) ．（C 是
常数）
2．能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数
n
y=x (n∈ N*) 的导数公式，掌握两个函数的和与
差的求导法则及常数与函数的积的求导法则，能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导
数．
【 训练反馈 】
1．函数 y=(2x 2- 1) 2 的导数是
A ． 16x3- 4x2
例 2 设函数 f(x)=x 3- 2x2+x+5 ， 若 f'(x 0)=0，则 x 0=
高中选修三数学导数教案
高中选修三数学导数教案导数的定义和求导法则导数的定义：设函数y=f(x)在点x处连续，当自变量x在x点附近有微小的增量Δx时，相应的函数值的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)与Δx之比在Δx趋近于零时的极限值存在，则称此极限值为函数y=f(x)在点x处的导数，记为f'(x)。
即：f'(x) = lim (Δx→0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx求导法则：1. 常数函数求导：常数函数的导数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数求导：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数求导：对于指数函数y=a^x(a>0,a≠1)，导数为f'(x)=a^x*ln(a)。
4. 对数函数求导：对于对数函数y=log_a(x)(a>0,a≠1)，导数为f'(x)=1/(x*ln(a))。
5. 三角函数求导：对于三角函数y=sin(x)，导数为f'(x)=cos(x)；y=cos(x)，导数为f'(x)=-sin(x)。
综合练习1. 求函数y=x^2+3x-2在点x=2处的导数。
解：根据求导法则，可得到函数的导数为f'(x)=2x+3，代入x=2得到导数值为f'(2)=2*2+3=7。
2. 求函数y=e^x*x^2在点x=1处的导数。
解：根据求导法则，可得到函数的导数为f'(x)=e^x*x^2+2e^x*x，代入x=1得到导数值为f'(1)=e*1^2+2e*1=3e。
3. 求函数y=ln(x^2)在点x=3处的导数。
解：根据求导法则，可得到函数的导数为f'(x)=1/(x^2*ln(a))，代入x=3得到导数值为f'(3)=1/(3^2*ln(10))=1/(9*ln(10))。
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导数的概念及运算
【考点指津】
1．了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义．
2．熟记基本导数公式．掌握两个函数四则运算的求导法则，会求多项式的导数．
【知识在线】
1．函数y =14223++x x 的导数是 ．
2．曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6，则点P 的坐标是 ．
3．设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8，则0
lim →∆x f(x+Δx)-f(x)Δx = ． 4．已知使函数y=x 3+ax 2- 43
a ，若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a ． 【讲练平台】
例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 （ ）
A ． (6x+1)(2x+3)
B ． 2(6x+1)
C ． 2(3x 2+x+1)
D ． 18x+22x+5
分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数．
解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3
∴y'=18x 2+22x+5，故应选D
点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式．
例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5， 若f'(x 0)=0，则x 0= ．
分析 x 0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0
解 f(x)=x 3-2x 2+x+5， 求f'(x)=3x 2-4x+1
由f'(x 0)=0， 得3x 2-4x+1=0
解得x 0=1或13
∴应填写答案为1或13
点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n )'=n ．x n -1， 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导
数的常用工具．
例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点(1，1)，且在（2，-1）处的切线的斜率为1， 求a ，b ，c 的值． 分析 题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a ，b ，c ．
解 ∵y=ax 2+bx+c 分别过（1，1）点和（2，1）点
∴a+b+c=1 (1)
4a+2b+c=-1 (2)
又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1 (3)
由(1)(2)(3)可得，a=3，b=-11，c=9．
点评 函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系．利用导数能解决许多曲线的切线的问题，使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求．
【知能集成】
1．两种常见函数的导数：c'=0 （C 是常数）；(x n )'= nx n -
1(n ∈N *)．
导数和运算法则：若 f(x)，g(x)的导数存在，则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x)， [cf(x)]' = cf '(x)．（C 是常数）
2．能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n (n ∈N*)的导数公式，掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则，能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数．
【训练反馈】
1．函数y=(2x 2-1)2的导数是 （ ）
A ． 16x 3-4x 2
B ． 4x 3-8x
C ． 16x 3-8x
D ． 16x 3-4x
2．曲线y=4x -x 2上两点A(4，0)、B(2，4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是 （ ）
A ． (3，3)
B ． (1，3)
C ． (6，-12)
D ． (2，4)
3．已知f(x)=ax 3+3x+2，若f '(-1)=4，则a 的值是 （ ）
A ．193
B ． 163
C ． 133
D ． 31 4．设f(x)= (x 2-1)2x+1
(x ≠-1)，则)(x f '等于 （ ） A ． 3x 2-2x+1 B ． 3x 2+2x+1
C ． 3x 2-2x -1
D ． x 2-2x -1
5．若抛物线y=x 2-x+c 上一点P 的横坐标是-2，抛物线过点P 的切线恰好过原点，则c= ．
6．与直线y=4x -1平行，且与曲线f(x)=x 3+x -2相切的直线方程为 ．
7．设函数f(x)=(x -a)(x -b)(x -c)，（a 、b 、c 是两两不等的常数）， 则='+'+')
()()(c f c b f b a f a ． 8．设f(x)为可导函数，C 为常数，证明[cf(x)]'=cf'(x) ．
9．已知两曲线y=x 3+ax 和y=x 2+bx+c 都经过P(1，2)，且在P 点处有公切线，试求a 、b 、c 的值．
10．在曲线y=x 3+3x 2+6x -10的切线中，求斜率最小的切线方程．
11．在曲线y=x 3-x 上有两点O(0，0)、A(2，6)，求弧OA 上点P 的坐标，使ΔAOP 的面积最大．
12．一列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后，t 秒间列车的前进距离为
S=27t -0．45t 2米，问这列车在刹车后的时间中前进了多少米才停车？
13．在曲线y=x 3-6x 2-x+6上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线关于该点对称．。