高中导数及其应用教案
中学数学教案导数在函数中的应用
中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标1. 理解导数的定义及其几何意义。
2. 学会求解基本函数的导数。
3. 掌握导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。
4. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义及几何意义2. 基本函数的导数3. 导数的应用a. 单调性b. 极值c. 最值d. 实际问题三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义、基本函数的导数及导数的应用。
2. 难点：导数的计算及运用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义及基本函数的导数。
2. 利用实例演示导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。
3. 引导学生运用导数解决实际问题。
4. 课堂练习与讨论，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性、极值等问题。
2. 讲解导数的定义及几何意义，通过实例演示导数的计算过程。
3. 讲解基本函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
4. 引导学生运用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题。
5. 结合实际问题，讲解导数在实际中的应用，如物体的运动、经济的增长等。
6. 课堂练习：让学生独立完成一些有关导数的练习题，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在函数中的应用及实际意义。
六、教学活动1. 设计课堂活动：通过小组讨论，让学生探究导数在实际问题中的应用，如找出函数在某一点处的切线斜率，模拟函数的增减过程等。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用导数解决具体问题，如优化生产过程、确定最佳路线等。
七、自主学习1. 让学生自主学习教材中关于导数的应用部分，了解导数在函数中的作用。
2. 布置课后作业：让学生结合所学知识，完成有关导数在函数中应用的练习题。
八、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结导数在函数中的应用。
2. 强调导数在实际问题中的重要性。
九、课后反思1. 教师在课后对课堂教学进行反思，分析教学过程中的优点与不足。
高中数学导数及其应用教案
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：老师授课时间：年月日(星期 )x (a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x),称这个函数f(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即y .. f (x x) f (x)f (x) = y = lim 二lim --------- ------ --- --x 0 x x 0 x函数y f (x)在x°处的导数y|xx0就是函数y f (x)在开区间(a,b)(x (a,b))上导数f (x)在x0处的函数值，即y x x° = f (x°).所以函数y f (x)在x0处的导数也记作f (冷).4.可导：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数y f (x)在开区间(a,b) 内可导.5.可导与连续的关系：如果函数y f (x)在点x°处可导，那么函数y f (x)在点x°处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件^6.求函数y f (x)的导数的一般步骤:1求函数的改变量y f(x x) f (x)2求平均变化率—f(x x) f(x).x x3取极限，得导数y f (x)lim yx 0 x7.几种常见函数的导数：C' 0( C为常数)；(x n)' nx n1(n Q)；(sin x)' cosx ；(cos x)'sin x ；11(ln x) ；(log a x)—log a e ,x xx x (e )e ；x x (a ) aln a8.求导法则：前者未必是切点.5对于R 上可导的任意函数 f (x),若满足法则 2： [u(x)v(x)] u (x)v(x) u(x)v(x), [Cu(x)] Cu '(x)法则3 :uvu'v uv'——2——(v 0) v9.复合函数的导数: 设函数u (x)在点x 处有导数u x (x),函数y f (u)在点x 的对应点u处有导数y u fu ，则复合函数y f ( (x))在点x 处也有导数，且y'x y'u u'x 或f x ( (x)) f (u)(x)10.复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤是：分解一一求导一一相乘一一回代12.导数的几何意义是曲线 y f(x)在点(x °, f(x °))处的切线的斜率，即 k f (x °),要注意“过点 A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者 A 必为切点,问题 1. 1 已知 iimf(x 0 2A x) f(x 0)3A x1 ,求 f (x °)2设函数f (x)在点x °处可导，求limh 0f (x 。
高中数学 第一章 导数及其应用教案 苏教版选修22
第一章导数及其应用1．1导数的概念1．1.1 平均变化率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型．2．过程与方法理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．3．情感、态度与价值观感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．●重点难点重点：平均变化率的概念．难点：平均变化率概念的形成过程．为了使得平均变化率概念的引入自然流畅，可创设实际问题情境，如气球吹气时的平均膨胀率、跳板跳水某段起跳后的平均速度，通过具体的实例提出问题；借助天气预报中某天气温的变化曲线，以形助数，让学生有一个直观的认识，然后从数学的角度，描述这种现象就一目了然了．(教师用书独具)●教学建议本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，要注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．●教学流程创设问题情境，提出问题，根据气球的平均膨胀率得出平均变化率的概念.⇒应用平均变化率的概念，完成例1及其变式训练.⇒实际问题中的平均变化率，完成例2及其变式训练.⇒通过例3及其变式训练，进一步理解平均变化率的意义及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.在吹气球时，气球的半径r(单位：dm )与气球空气容量(体积)V(单位：L )之间的函数关系是r(V)＝33V4π.1．当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 【提示】 平均膨胀率为r （1）－r （0）1－0≈0.621＝0.62(dm /L )．2．当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 【提示】 平均膨胀率为r （V 2）－r （V 1）V 2－V 1.一般地，函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，其中Δy＝f(x 2)－f(x 1)是函数值的改变量．如图所示，函数y ＝f(x)图象上四点A ，B ，D ，E.1．由Δy ＝f(x 2)－f(x 1)能否判断曲线在A→B 段的陡峭程度？ 【提示】 不能．2．平均变化率f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1能否近似刻画曲线在A→B 段的陡峭程度？为什么？曲线段AB 与曲线段DE 哪段更陡峭？【提示】 能．因为k AB ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1表示A ，B 两点所在直线的斜率，所以可近似地刻画曲线段AB 的陡峭程度．由于k DE ＞k AB ，知曲线段DE 更加陡峭．从平均变化率的定义知，其几何意义是经过曲线y ＝f(x)上两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)的直线PQ 的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．已知函数f(x)＝x 2＋x ，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]上的平均变化率．【思路探究】 对于给定的三个区间，分别求函数值的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比值ΔyΔx. 【自主解答】 (1)函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为f （3）－f （1）3－1＝32＋3－（12＋1）2＝5.(2)函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为 f （2）－f （1）2－1＝22＋2－（12＋1）1＝4.(3)函数f(x)在区间[1，1.5]上的平均变化率为f （1.5）－f （1）1.5－1＝1.52＋1.5－（12＋1）0.5＝3.5.1．本题主要依据平均变化率的意义代入公式直接计算，解题的关键是弄清自变量与函数值的增量．2．求函数y ＝f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤： (1)作差：求Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)； (2)作商：求Δy Δx ，即f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1的值．求函数y ＝5x 2＋6在区间[2，3]上的平均变化率．【解】 函数在区间[2，3]上的平均变化率为f （3）－f （2）3－2＝5×32＋6－5×22－61＝45－20＝25.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m )与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率；(2)求高度h 在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．【思路探究】 (1)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[0，0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10在区间[1，2]上的平均变化率．【自主解答】 (1)运动员在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为h （0.5）－h （0）0.5－0＝4.05(m /s )．(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h （2）－h （1）2－1＝－8.2(m /s )．1．结合物理知识可知，在第一个0.5 s 内高度h 的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.2．平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．已知某物体运动位移与时间的关系为s(t)＝12gt 2，试分别计算t 从3 s 到3.1 s ，3.001s 各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？【解】 设物体在区间[3，3.1]，[3，3.001]上的平均速度分别为V 1，V 2， 则ΔS 1＝S(3.1)－S(3)＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g(m )． ∴物体从3 s 到3.1 s 时平均速度V 1＝ΔS 13.1－3＝0.305g 0.1＝3.05g(m /s )，同理V 2＝ΔS 23.001－3＝0.003 000 5g 0.001＝3.000 5g(m /s )．通过计算可以发现，随着时间间隔Δt 的变小，平均速度在向3g m /s 靠近，而3g m /s 为物体做自由落体运动时，t ＝3 s 时的瞬时速度．2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－1所示，据图回答：图1－1－1(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？(3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？【思路探究】利用平均变化率的计算公式及其实际意义进行分析．【自主解答】(1)在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)由图形知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率ΔsΔt较大，故小麦受旱面积增幅最大．(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s A3， 在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝s B －s C1＝s B －s C ，显然k BC ＞k AB ，即s B －s C ＞s B －s A3，∴在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．1．本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．2．在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m /s 到0 m /s 花了5 s ，乙车从18 m /s 到0 m /s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能．【解】 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m /s 2)，乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m /s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．实际问题中平均变化率意义不明致误甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图1－1－2中①②所示，试问：图1－1－2(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？【错解】(1)对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为A，B，显然有k OB＞k OA，故乙的平均变化率大于甲的平均变化率，所以乙比甲跑得快．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的时间、路程相同，平均变化率相等，速度相等，所以两人跑得一样快．【错因分析】在(2)中，题意不明，误求甲、乙在[0，t0]上的平均变化率认为是终点附近的平均速度．【防范措施】(1)在实际问题中，理解平均变化率具有的现实意义；(2)弄清题目的要求，区别平均速度与瞬时速度．【正解】(1)同上面解法．(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙的变化率逐渐增大，快到终点时，乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得较快．1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．1．函数y＝2x＋2在[1，2]上的平均变化率是________．【解析】（2×2＋2）－（2×1＋2）2－1＝2.【答案】 22．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________． 【解析】 ∵S＝πr 2， ∴ΔS Δr ＝S （0.3）－S （0.1）0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π. 【答案】 0.4π3．如图1－1－3，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．图1－1－3【解析】 ∵k AB ＝y A －y B x A －x B ＝3－11－3＝－1，由平均变化率的意义知y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率为－1. 【答案】 －14．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)【解】 甲企业生产效益的平均变化率为100－1012×2－0＝154.乙企业生产效益的平均变化率为30－106－0＝103.∵154＞103， ∴甲企业的生产效益较好．一、填空题1．函数f(x)＝1x 在[2，6]上的平均变化率为________．【解析】 f （6）－f （2）6－2＝16－126－2＝－112.【答案】 －1122．函数f(x)＝log 2x 在区间[2，4]上的平均变化率是________． 【解析】 函数的平均变化率是f （4）－f （2）4－2＝2－12＝12.【答案】 123．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t 2(单位：米)，则在1 s 到3 s 这段时间内，该质点的平均速度为________．【解析】 s （3）－s （1）3－1＝5×32－5×122＝20(m /s )．【答案】 20 m /s4．若函数f(x)＝x 2－c 在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m 等于________． 【解析】 由题意得（m 2－c ）－（12－c ）m －1＝3，∴m ＝2(m ＝1舍去)． 【答案】 25．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m /h .【解析】105.1－102.724＝0.1(m /h )．【答案】 0.16．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg /mL )来表示，它是时间t(单位：min )的函数，表示为c ＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．)． 【解析】c （70）－c （30）70－30＝0.90－0.9840＝－0.002 mg /(mL ·min )． 【答案】 －0.0027．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t ＋13t 3，则该物体在时间间隔[1，32]内的平均加速度为________．【解析】 平均加速度Δv Δt ＝32＋13·（32）3－（1＋13）32－1＝3112.【答案】3112图1－1－48．如图1－1－4所示，显示甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度．【解析】 在[0，t 0]内甲、乙的平均速度为s 0t 0，①②错．在[t 0，t 1]上，v 甲＝s 2－s 0t 1－t 0，v乙＝s 1－s 0t 1－t 0. ∵s 2－s 0＞s 1－s 0，且t 1－t 0＞0， ∴v 甲＞v 乙，故③正确，④错误． 【答案】 ③ 二、解答题9．求函数f(x)＝x 2＋1x＋4在区间[1，2]上的平均变化率．【解】 f(x)＝x 2＋1x ＋4在区间[1，2]上的平均变化率为22＋12＋4－（12＋11＋4）2－1＝52.10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c(x)＝x 3－6x 2＋15x(元)，而售出x 台的收入是r(x)＝x 3－3x 2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？【解】 依题意，生产并售出x 台所获得的利润是 L(x)＝r(x)－c(x)＝3x 2－3x(元)， ∴x 取值从10台至20台的平均利润为L （20）－L （10）20－10＝3×202－3×20－（3×102－3×10）10＝87(元)，故所求平均利润为87元．11．(2013·泰安高二检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？图1－1－5【解】 山路从A 到B 高度的平均变化率为 h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多．(教师用书独具)已知气球的体积为V(单位：L )与半径r(单位：dm )之间的函数关系是V(r)＝43πr 3.(1)求半径r 关于体积V 的函数r(V)；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？【自主解答】 ∵V＝43πr 3，∴r 3＝3V 4π，r ＝ 33V 4π，即r(V)＝ 33V4π.(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率约为 r （1）－r （0）1－0＝33×14π－01≈0.62(dm /L )，函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率约为r （2）－r （1）2－1＝ 33×24π－ 33×14π≈0.16(dm /L )．显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．一块正方形的铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热铁板会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm ，a 为常数，试求0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率．【解】 铁板面积S ＝102(1＋at)2， 在区间[0，10]上，S 的平均变化率为S （10）－S （0）10－0＝102（1＋10a ）2－10210＝200a ＋1 000a 2，即0～10 ℃内铁板面积S 的平均变化率为(200a ＋1 000a 2)cm 2/℃.1．1.2 瞬时变化率——导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．2．过程与方法用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣，在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．●重点难点重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数．难点：从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，及函数在开区间内的导函数的理解．为了突出重点、突破难点，在导数概念的教学中，积极创设问题情境，从学生已有的认知入手，例如物理学中的瞬时速度、曲线割线的斜率等，采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，通过反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解导数概念．(教师用书独具)●教学建议新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)——瞬时变化率——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程．因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、观察、分析、类比、抽象、概括，并借助excel及几何画板演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．●教学流程利用割线逼近切线的方法探究曲线上一点处的切线.⇒通过缩小时间间隔，由平均速度得出瞬时速度.⇒会求瞬时速度和瞬时加速度，完成例1与变式训练.⇒利用瞬时变化率得出导数的概念，会求函数在某点处的导数，完成例2及互动探究.⇒根据导数的几何意义，完成例3及其变式训练.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？曲线上在某一点处的切线的含义是什么？【提示】 切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，曲线C 在点P 处的切线l 与曲线C 还有一个公共点Q.曲线上某一点处的切线，其含义是以该点为切点的切线．2．运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？ 【提示】 不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0，并不是速度为0.1．曲线上一点处的切线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C.当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．2．瞬时速度、瞬时加速度(1)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S （t 0＋Δt ）－S （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．(2)如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率v （t 0＋Δt ）－v （t 0）Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．1.导数设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，切线PT 的方程是y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求瞬时速度、瞬时加速度已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求ΔvΔt；(2)求质点M在t＝2时的瞬时加速度．【思路探究】【自主解答】ΔvΔt＝v（t＋Δt）－v（t）Δt＝3（t＋Δt）2＋2－（3t2＋2）Δt＝6t＋3Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，ΔvΔt＝6×2＋3×0.01＝12.03(cm/s2)．(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2时的瞬时加速度为12 cm/s2.1．求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．2．求瞬时加速度：(1)求平均加速度ΔvΔt；(2)令Δt →0，求出瞬时加速度．质点M 按规律s(t)＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s ，求常数a 的值．【解】 ∵Δs ＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a Δt ＋a(Δt)2， ∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt. 当Δt →0时，ΔsΔt→4a. ∵在t ＝2时，瞬时速度为8 m /s ，∴4a ＝8，∴a ＝2.求函数y ＝f(x)＝x －1x在x ＝1处的导数．【思路探究】求Δy ＝f （1＋Δx ）－f （1）―→求Δy Δx→令Δx →0，求ΔyΔx→A 的值 【自主解答】 ∵Δy ＝(1＋Δx)－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx.∴ΔyΔx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx→1＋1＝2. ∴f ′(1)＝2.1．本题是利用定义求f′(1)，解题的关键是求出ΔyΔx并化简，利用定义求解的步骤为：①求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；②求平均变化率ΔyΔx；③当Δx 无限趋近于0时，确定ΔyΔx的无限趋近值． 2．求f′(x 0)也可先求出导函数f′(x)，再将x ＝x 0代入，即求出f′(x)在点x ＝x 0处的函数值．在例题中，若条件改为f′(x 0)＝54，试求x 0的值．【解】 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)－1x 0＋Δx －(x 0－1x 0)＝Δx ＋Δxx 0（x 0＋Δx ）∴Δy Δx ＝1＋1x 0（x 0＋Δx ）当Δx →0时，Δy Δx →1＋1x 20. 又f′(x 0)＝54，则1＋1x 20＝54.∴x 0＝±2.已知抛物线y ＝2x 2，求抛物线在点(1，2)处的切线方程．【思路探究】 根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式即可写出切线方程．【自主解答】 因为点(1，2)在抛物线上，所以抛物线在点(1，2)处的切线斜率为函数y ＝2x 2在x ＝1处的导数f′(1)．因为Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2×12Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋2Δx 无限趋近于4，所以f ′(1)＝4. 所以切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.1．本题是“给出曲线和切点(x 0，f(x 0))求切线方程”，此时切线的斜率就是f′(x 0)，则该点处的切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)．2．若求“过点(x 0，y 0)的切线方程”，此时所给的点有可能不是切点，切线的斜率还用f′(x 0)则可能会出错．此时应先设出切点坐标P(x′0，y ′0)，由已知条件列出切点横坐标的方程，求x′0，然后再求解．曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．【解析】 ∵Δy Δx ＝（x 0＋Δx ）3＋11－x 30－11Δx＝3x 0Δx ＋3x 20＋(Δx)2，∴当x 0＝1，Δx →0时，k ＝f′(1)＝3.∴曲线y ＝x 3＋11在点P(1，12)处的切线为y ＝3x ＋9. ∴当x ＝0时，y ＝9.因此所求切线与y 轴交点的纵坐标为9. 【答案】 9对导数定义理解不透彻致误已知f′(1)＝－2，则当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx→________．【错解】 当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）Δx →－2.【答案】 －2【错因分析】 产生错解的原因是对导数定义的理解不透彻，一味地套用公式．本题分子中自变量的增量是2Δx ，即(1＋2Δx)－1＝2Δx ，而错解中分母中的增量为Δx ，二者不是等量的．【防范措施】 在导数定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但无论如何变化，其实质是分子中的自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．【正解】f （1＋2Δx ）－f （1）Δx ＝2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx当Δx →0时，f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →f ′(1)，∴2·f （1＋2Δx ）－f （1）2Δx →2f ′(1)＝2×(－2)＝－4. 【答案】 －41．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤都是一样的——(1)计算Δy ，(2)求Δy Δx ，(3)看Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于哪个常数．2．准确理解导数的概念，正确求y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数注意两点：(1)Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)不能误认为Δy ＝f(Δx)；(2)求解时不给出Δx 的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率(导数)．3．求过某点曲线的切线方程的类型及求法．(1)若已知点(x 0，y 0)为切点，则先求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．因此求曲线的切线方程一定要明确切点的位置，分清楚是“曲线在某点处的切线”还是“过某点的曲线切线”．1．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________．【解析】 Δs Δt ＝3（3＋Δt ）2－3×32Δt＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 182．已知f(x)＝2x ＋5，则f(x)在x ＝2处的导数为________．【解析】 Δy ＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx ， ∴ΔyΔx＝2，∴f ′(2)＝2. 【答案】 23．抛物线y ＝14x 2在点Q(2，1)处的切线方程为______．【解析】 Δy Δx ＝14（2＋Δx ）2－14×22Δx ＝1＋14Δx.当Δx →0时，ΔyΔx→1，即f′(2)＝1， 由导数的几何意义，点Q 处切线斜率k ＝f′(2)＝1. ∴切线方程为y －1＝1(x －2)即y ＝x －1. 【答案】 y ＝x －14．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数． 【解】 法一 ∵Δy ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1无限趋近于12， ∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.法二Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x， 当Δx →0时，Δy Δx →12x ，所以y′＝12x. 当x ＝1时，y ′＝12.∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.一、填空题1．设函数f(x)在x ＝x 0处可导，当h 无限趋近于0时，对于f （x 0＋h ）－f （x 0）h 的值，以下说法中正确的是________．①与x 0，h 都有关；②仅与x 0有关而与h 无关； ③仅与h 有关而与x 0无关；④与x 0，h 均无关．【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f(x)在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与h 无关．【答案】 ②2．(2013·徐州高二检测)函数f(x)＝x 2在x ＝3处的导数等于________．【解析】 Δy Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx＝6＋Δx ，令Δx →0，得f′(3)＝6. 【答案】 63．(2013·合肥高二检测)函数y ＝f(x)的图象在点P 处的切线方程是y ＝－2x ＋9，若P 点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________．【解析】 由导数的几何意义，f ′(4)＝－2. 又f(4)＝－2×4＋9＝1. 故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1. 【答案】 －14．已知物体的运动方程为s ＝－12t 2＋8t(t 是时间，s 是位移)，则物体在t ＝2时的速度为________．【解析】 Δs ＝－12(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－(8×2－12×22)＝6Δt －12(Δt)2，则Δs Δt ＝6－12Δt ， 当Δt →0时，ΔsΔt→6. 【答案】 65．曲线f(x)＝x 3在x ＝0处的切线方程为________．【解析】 Δy Δx ＝f （0＋Δx ）－f （0）Δx ＝（Δx ）3－0Δx＝(Δx)2.当Δx →0时，ΔyΔx→0. ∴由导数的几何意义，切线的斜率k ＝f′(0)＝0. 因此所求切线方程为y ＝0. 【答案】 y ＝06．若点(0，1)在曲线f(x)＝x 2＋ax ＋b 上，且f′(0)＝1，则a ＋b ＝________． 【解析】 ∵f(0)＝1，∴b ＝1.又Δy Δx ＝f （0＋Δx ）2－f （0）Δx＝Δx ＋a. ∴当Δx →0时，ΔyΔx→a ，则f′(0)＝a ＝1. 所以a ＋b ＝1＋1＝2. 【答案】 27．高台跳水运动员在t 秒时距水面高度h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．【解析】 Δh Δt ＝－4.9（Δt ）2＋6.5·（Δt ）＋10－10Δt＝6.5－4.9Δt∵当Δt 无限趋近于0时，－4.9Δt ＋6.5无限趋近于6.5， ∴该运动员的初速度为6.5米/秒． 【答案】 6.58．(2013·泰州高二检测)已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图1－1－6所示，记k 1＝f′(1)，k 2＝f′(2)，k 3＝f(2)－f(1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．图1－1－6【解析】 k 1表示曲线在x ＝1处的切线的斜率，k 2表示曲线在x ＝2处的切线的斜率， k 3表示两点(1，f(1))，(2，f(2))连线的斜率， 由图可知：k 1＞k 3＞k 2. 【答案】 k 1＞k 3＞k 2 二、解答题9．已知函数f(x)＝2x 2＋4x ，试求f′(3)． 【解】 Δy ＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－30＝2(Δx)2＋16Δx ， ∴ΔyΔx＝2Δx ＋16， 当Δx →0时，ΔyΔx→16. 因此f′(3)＝16.10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s ＝12at 2，如果它的加速度是a ＝5×105m /s 2，子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a(t 0＋Δt)2－12at 20＝at 0(Δt)＋12a(Δt)2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a(Δt)．所以当Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知，a ＝5×105m /s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800(m /s )， 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m /s . 11．已知曲线y ＝1t －x 上两点P(2，－1)，Q(－1，12)． 求：(1)曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 【解】 将P(2，－1)代入y ＝1t －x ，得t ＝1，∴y ＝11－x ，设f(x)＝11－x， ∵f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝11－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝1（1－x －Δx ）（1－x ），∴当Δx →0时，1（1－x －Δx ）（1－x ）→1（1－x ）2.∴f ′(x)＝1（1－x ）2.(1)由导数的几何意义，知曲线在点P 处的切线斜率f′(2)＝1. 曲线在点Q 处的切线斜率f′(－1)＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.(教师用书独具)已知曲线y ＝2x ＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y ＝－2x ＋3垂直，并求切线方程．【自主解答】 设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝2x 0＋Δx ＋1－（2x 0＋1）Δx＝2x 0＋Δx －2x 0Δx ＝2[（x 0＋Δx ）2－（x 0）2]Δx （x 0＋Δx ＋x 0）＝2x 0＋Δx ＋x 0.当Δx →0时，2x 0＋Δx ＋x 0→2x 0＋x 0＝1x 0， 又直线y ＝－2x ＋3的斜率为－2， 所以所求切线的斜率为12，故1x 0＝12.所以x 0＝4，y 0＝5，所以切点坐标为(4，5)， 切线方程为y －5＝12(x －4)，即x －2y ＋6＝0.已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 设切点为P(t ，t 2＋1)．∵Δy Δx ＝（t ＋Δx ）2＋1－（t 2＋1）Δx＝2t ＋Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx→2t. 由导数的几何意义，在点P(t ，t 2＋1)处切线的斜率k ＝f′(t)＝2t ， ∴切线方程为y －(t 2＋1)＝2t(x －t)， 将(1，a)代入，得a －(t 2＋1)＝2t(1－t)， 即t 2－2t ＋(a －1)＝0， 因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)＞0， 解得a ＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．1．2导数的运算1．2.1 常见函数的导数(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．2．过程与方法使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．3．情感、态度与价值观通过本节的学习进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．●重点难点重点：利用导数公式，求简单函数的导数．难点：对导数公式的理解与记忆．在初等函数的求导公式中，对数函数与指数函数的求导公式比较难记忆，要区分公式的结构特征，找出他们之间的差异去记忆．(教师用书独具)●教学建议导数的定义不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法，但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的，因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．●教学流程创设情境，回忆导数的概念与导数的求法.⇒利用导数的定义求y＝x n(n＝1，2，3，。
《导数及其应用》教案
§3.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f三．典例分析例1．已,1(x B -∆+-解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
导数及其应用教案
导数及其应用一.三维目标：1.知识与技能：(1)熟记求导公式与法则、导数的几何意义；(2)能够熟练应用导数解决函数的单调性、函数的极值（最值）等问题。
2.过程与方法：通过2013-2014高考题或各地市模拟题复习旧知识，让学生通过概括、归纳等方法，形成系统的知识网络，熟练解决新问题。
3.情感、态度与价值观：让学生体会导数在解决函数问题中的重要应用,从而激发学生学习的积极性.二.教学重点与难点：1.重点：运用导数的几何意义解决与切线有关的问题；2.难点：应用导数解决函数的单调性、函数的极值（最值）等问题。
三.教学过程：（一）.真题试做：1.(2014·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为_________________．2.（2014·云南模拟）函数()x xx fln=的图象在点()0,1处的切线方程为（）A.01=--yx B.01=+-yx C.0=y D.1=y3.(2014·江西高考)若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．（二）.典例展示：1.考点一导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数就是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(1)根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；(2)根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数．可能出现在导数解答题的第一问，较基础．例1.(2014·高考广东卷)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x 轴，则k＝________.2. 考点二导数与函数的单调性(1)利用导数研究含参函数的单调性问题；(2)由函数的单调性求参数的范围．尤其是含参函数单调性的研究成为高考命题的热点．例2.(2014·高考山东卷改编)已知函数f(x)＝ax2＋x－ln x(a∈R)．设a≥0，求f(x)的单调递增区间．3.考点三导数与函数的极值(最值)(1)由函数的解析式求极值或最值；(2)利用极(最)值求参数的值或范围．常与函数的单调性、方程、不等式及实际应用问题综合，形成知识的交汇问题．例3.(2013·高考福建卷节选)已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值；（三）.课堂练习：强化训练1 (2014·云南省昆明市高三调研测试)若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )A．－1 B．0C．1 D．2强化训练2 (2014·湖北省八校高三第二次联考)已知函数f(x)＝(x＋a)2－7b ln x＋1，其中a，b是常数且a≠0.（1）若b＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；（四）.课堂小结：（五）.课后作业：1.(2014·合肥市高三第二次教学质量检测)函数y＝1x2＋1在x＝1处的切线方程是_______________．2.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；四.教后反思：。
中学数学教案导数在函数中的应用
中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标：1. 理解导数的基本概念和性质。
2. 学会使用导数求解函数的极值、单调性、凹凸性等问题。
3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 导数的基本概念：导数的定义、导数的几何意义。
2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数。
3. 导数在函数中的应用：函数的单调性、极值、凹凸性、实际问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的基本概念、导数的计算方法、导数在函数中的应用。
2. 难点：导数的计算、函数的凹凸性判断、实际问题的解决。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的基本概念和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握导数的计算方法。
3. 利用多媒体课件，直观展示函数的单调性、极值、凹凸性等概念。
4. 结合实际问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾初中阶段学习的函数知识，引导学生思考函数的单调性、极值等问题。
2. 讲解导数的基本概念：介绍导数的定义，解释导数的几何意义。
3. 导数的计算：讲解基本导数公式，示范导数的四则运算，分析复合函数的导数。
4. 导数在函数中的应用：讲解函数的单调性、极值、凹凸性的判断方法，结合实际问题进行演示。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固导数的基本概念和计算方法。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对导数知识的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在解决实际问题时的应用能力，如能否灵活运用导数分析函数的性质。
七、教学拓展：1. 导数在高等数学中的应用：介绍导数在微积分、线性代数等高等数学领域的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 导数与其他学科的联系：探讨导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的知识视野。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
高中数学导数应用问题教案
高中数学导数应用问题教案
主题：导数的应用问题
教学目标：
1.了解导数的定义及其应用；
2.掌握常见的导数应用问题求解方法；
3.能够运用导数解决实际问题。
教学重点：
1.导数的定义及性质；
2.导数在实际问题中的应用。
教学难点：
1.如何将实际问题转化为导数问题求解；
2.如何运用导数解决各类应用问题。
教学准备：
1.教师准备相关教学资料和案例；
2.学生准备笔记和计算工具。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师用一个实际问题引入导数的应用，引导学生思考导数在解决实际问题中的作用。
二、概念讲解（10分钟）
1.复习导数的定义及性质；
2.介绍导数在实际问题中的应用，如最速下降问题、最大最小问题等。
三、案例分析（15分钟）
教师以实际问题为例，分析导数应用问题的解题思路和方法，并带领学生一起解决一些简单的案例。
四、练习与讨论（15分钟）
1.学生进行导数应用问题的练习，教师提供帮助和指导；
2.学生分组讨论解题过程，分享解题方法和经验。
五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调导数在实际问题中的应用重要性。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的导数应用问题作业，希望学生能够独立完成并加强对应用问题的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的应用有了更深入的了解，同时也能够更加灵活地应用导数解决各类实际问题。
希望学生能够在课下多加练习，进一步提高解题能力和运用能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='.
设2
u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x
)2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.
（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。
问题3. 求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。
点拨：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值；
点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。
4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y
即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．
设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2
9
00--=
x y k PQ ， 故002
042
62x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。
即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：
1512,14-=-=x y x y
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1: 导数概念
题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则x
x f x x f x ∆-∆-→∆)
()(lim
000
等于
A ．)('0x f
B ．0'()f x -
C ．0()f x
D ．0()f x - 【解题思路】由定义直接计算 [解析]000000
0()()[()]()
lim
lim ()()
x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B
【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式
00
()()
lim
()x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
考点2.求曲线的切线方程
[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数。