导数在实际生活中的应用 苏教版
苏教版选修2-2高中数学1.4《导数在实际生活中的应用》ppt课件
2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最 大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： (1)与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率高值问题.
【例1】 在边长为60 cm的正方形铁片
(如图题)的型四一角上切面去积边、长容相积等的最正大、最小问题
【例3】 (14分)某集团为了获得更大的收益，每年要投入一
定的资金用于题广型告三促销利．经润调最查大，问每题投入广告费t(百万
元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)． (1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内， 则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最
大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术
答：当箱底边长为40 cm时，箱子容积最大，最大容 积是16000 cm3.
问题的一般步骤：
利用导数解决生活中优化
(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；
(2)列模型：列出实际问题的数学模型；
(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)；
(4)利用导数求最值，最后回到实际问题中去．
【题后反思】 本题用了转化与化归的思想，求费用 最省问题是生活、生产中常见问，解决这类问题 的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，写
出函数关系式，然后利用导数的方法求解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
【变式1】已知矩形的两个顶点
位于x轴上，另两个顶点位 于抛物线y＝4－x2在x轴上
方的曲线上．求这个矩形
苏教版高中数学选修2-2导数在实际生活中的应用2
导数在实际生活中的应用教学目标1．进一步掌握用导数的方法求函数最值的方法；2．会用导数解决有关面积、容积最大问题和用料最省问题的应用题，表达数学的价值．教学重点，难点提高“用导数求函数的极值及最值〞的应用能力．教学过程一．问题情境1．情境：导数在实际生活中有着广泛的应用。
如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决。
2．问题：用导数求函数的最大值和最小值的方法和步骤是什么？二．学生活动：求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值和最小值。
三．数学运用1．例题：例1．用边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去一个边长相等的小正方形，然后把它沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱。
问箱底边的长取多少时，箱子的容积最大，最大容积是多少？解：设箱底边长为xcm ，那么水箱高〔单位：cm 〕为：602xh -=，箱子容积〔单位：3cm 〕为：23260()(060)2x x V V x x h x -===<<， 问题的实际情况来看，如果x 过小，水箱的底面积就很小，容积V 也就很小；如果x 过大，水箱的高就很小，容积V 也就很小；因此，其中必有一适当的x 值，使得容积V 取得最大值．求()V x 的导数，得23()602V x x x '=-，令()0V x '=，即236002x x -=，解得：10x =〔不合题意，舍去〕，240x =当x 在(0,60)内变化时，导数()V x '的正负如下表： x(0,40) 40 (40,60) '()V x ＋ 0 -因此在40x =处，函数()V x 取得极大值，并且这个极大值就是函数()V x 的最大值．最大容积26040(40)40160002V -=⨯=答：箱子底边长取40cm 时，容积最大；最大容积为316000cm ．说明：某某际问题的最大值和最小值的一般步骤：〔1〕建立目标函数：细致分析实际问题的各量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，建立函数关系式()y f x =，根据实际意义确定()y f x =的定义域；〔2〕求'()f x ，解方程'()0f x =得出所有的实根；〔3〕具体判断，得出结果．例2．某种圆柱形的饮料罐的体积一定时，如何确定它的高和底半径，使得所用材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，那么表面积2()22S R Rh R ππ=+又2V R h π=〔定值〕，那么2V h R π=，∴2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+由22()40V S R R R π'=-+=，得R =，∴2V h R π==，即2h R =。
高中数学苏教版选修22第一章 导数在实际生活的应用课件
则利润函数
答 生产1000个单位产品时，边际成本最低； 当产品的单价为75时，利润最大.
用图象来表示有下列3种形式，这就是如何确定生产规 模的一般数学模型.
练习
课堂小结
求解实际应用题的步骤： ①仔细审题. 关注实际生活背景. ②建立数学模型. 建立函数模型，关注定义域. ③求解数学问题. 可以用导数法求解最值问题. ④检验并回答. 作答要符合问题要求.
例2 某种圆柱形饮料罐的容积一定， 如何确定它的高与底半径，才能使它 的用料最省？
答 当罐高与罐底的直径相等时，用料最省.Fra bibliotek解题回顾
1.对于一个实际生活问题，我们需要将其转化为 数学问题，会用图形语言和数学符号语言表达问题.
2.出现两个或两个以上变量时，需要明确哪个字母 是自变量，然后将其它变量用这个自变量表示， 从而问题就转化成了一个单变量函数问题，我们 再用导数法求这个函数的最值.
例1 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去 边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起 (如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边 长是多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解题回顾
1.应用题解题基本步骤 （1）仔细审题，明确题意； （2）建立数学模型； （3）解答数学问题； （4）检验并回答实际问题. 2.本题利用了导数法求解容积最大问题 3.对于开区间内，如果函数只有一个极值， 那么这个极值也是最值.
2.解题时，先仔细审题，准确理解题意， 将实际问题数学化，建立目标函数，然 后用导数法求目标函数的最值，最后回 到实际问题.
例题解析
R
解题回顾
1.本题求解电功率的最大值问题用了导数法， 可见数学是物理研究的工具和手段.
2.解题中，出现多个字母时，要认清哪个是变量， 哪个是常量.
高二数学导数在实际生活中的应用课件 苏教版
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得 h
S(R)
2
R
V
R2
2
V
R2
R2
，则
2V 2
R
R2
令
2V S '(R)
R2
4 R 0
解得，R 3 V
2
，从而
h V V
3 4V 2 3 V
R2 ( 3 V )2
2
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
x
60 x
x x
60
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h 60 x cm，
2
V (x) x2h 60x2 x3 (0 x 60)
2
得箱子容积 V (x) 60x 3x2 2
令 V (x) 60x 3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16000
P78,例3
例3:已知某商品生产成本C与产量q的函数
关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数
关系式为 p 25 1 q 求产量q为何值时，
利润L最大？
8
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量
乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再
用导数求最大利润．
解：收入
R
q
p
Hale Waihona Puke q251 8
q
25q
1 8
q2
(0 q 100)
利润
L
R
C
25q
1 8
q2
(100
4q)
导数在实际生活中的应用 苏教版精品课件
12
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
例: 在如图所示的电路中，已
知电源的内阻为r，电动势为ε，
外电阻R为多大时，才能使电功
率最大？最大电功率是多少？
rε
R
13Βιβλιοθήκη 题：导数的应用我行 我能 我要成功 我能成功
强度分别为a,b的两个点光源A,B，它们 间的距离为d，试问在连接这两个光源 的线段AB上，何处照度最小？试就 a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与 光的强度成正比，与光源距离的平方成 反比）
特务游戏。 到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。
最值是相对函数定义域整体而言的.
2
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值；
(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的 一个为最小值． 注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大 值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数 f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．
答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16 000cm3
6
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
1.4 导数在实际生活中的应用 学案(苏教版高中数学选修2-2)
1.4 导数在实际生活中的应用学案（苏教版高中数学选修2-2）14导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求用料最省.利润最大.效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题2生活中的优化问题都必须利用导数解决3生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBxcm某厂商要求包装盒的容积Vcm3最大，试问x应取何值并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解Vx2x2602x222x2602x22x3602x20x30Vx62x21202x62xx20令Vx0，得x0舍去或x20.当0x0；当20x30时，Vx0.Vx在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值底面边长为2x202cm，高为230x102cm，即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积Scm2最大，试问x应取何值解AEx，HE2x.EF602x，EG22EF22602x230xS 侧4HEEG42x230x8x30x8x2240x8x1528152.当x15时，S侧最大为1800cm2.反思与感悟面积.体积容积最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验跟踪训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案6S3解析设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.hS2r22r，又圆柱的体积Vr2hr2S2r2rS2r32，VrS6r22，令Vr0，得S6r2，h2r，Vr只有一个极值点，当h2r时圆柱的容积最大又rS6，h2S66S3.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6S3.类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为Rx万元，且Rx10.8x230，010.1求年利润W万元关于年产量x千件的函数解析式；2当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值解1当010时，WxRx102.7x9810003x2.7x.所以W8.1xx33010，010.2当0x10时，令W8.1x2100，得x9.所以当0x9时，W单调递增，当9x10时，令W2.710003x20，得x1009，当10x0；当x1009时，W0，所以当x1009时，Wmax3838.6，所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系1利润收入成本2利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y单位千克与销售价格x单位元/千克满足关系式yax310x62，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克1求a 的值；2若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解1因为当x5时，y11，所以a21011，所以a2.2由1可知，该商品每日的销售量为y2x310x62，所以商场每日销售该商品所获得的利润为fxx32x310x62210x3x62，3x6.从而fx10x622x3x630x4x6列表如下.x3,444,6fx0fx极大值f4由上表可得，x4是函数fx在区间3,6内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数fx取得最大值为42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大命题角度2用料.费用最少问题例3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为2xx万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元1试写出y关于x的函数关系式；2当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料.费用最少问题解1设需新建n个桥墩，则n1xm，即nmx1.所以yfx256nn12xx256mx1mx2xx256mxmx2m256.0xm2由1知，fx256mx212m12xm2x232512x令fx0，得32x512，所以x64.当0x64时，fx0，fx在区间0,64上为减函数；当64x0，fx在区间64,640上为增函数，所以fx在x64处取得最小值此时nmx16406419.故当m640米时，需新建9个桥墩才能使y最小反思与感悟1用料最省.成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使fx0时，如果函数在这点有极大小值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大小值跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C单位万元与隔热层厚度x单位cm满足关系Cxk3x50x10，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和1求k的值及fx的表达式；2隔热层修建多厚时，总费用fx达到最小，并求最小值解1由题设知，每年能源消耗费用为Cxk3x5，再由C08，得k40，因此Cx403x5，而建造费用为C1x6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为fx20CxC1x20403x56x8003x56x0x102fx624003x52.令fx0，即24003x526，解得x5，x253舍去当0x5时，fx0；当5x0，故当x5时，fx取到最小值，对应的最小值为f56580015570.所以当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.1方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________答案4解析设底面边长为x，高为h，则Vxx2h256，h256x2.Sxx24xhx24x256x2x24256x，Sx2x4256x2.令Sx0，解得x8，判断知当x8时，Sx取得最小值h256824.2某产品的销售收入y1万元是产品x千台的函数，y117x2；生产总成本y2万元也是x 的函数，y22x3x2x0，为使利润最大，应生产________千台答案6解析构造利润函数yy1y218x22x3x0，y36x6x2，令y0，得x6x0舍去，x6是函数y在0，上唯一的极大值点，也是最大值点3一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入答案1800解析设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数fx100050x50x10050x，fx1600100x，当x16时，fx取最大值，故把月租金定为1800元时收入最大4要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元答案160解析设底面长为xm，由题意得底面宽为4xm.设总造价为y元，则y20x4x1012x24x，即y20x80x80，y2080x2，令y0，得x2.当x2时，ymin160.5将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.答案1004解析设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x.设正方形与圆形的面积之和为S，则正方形的边长a100x4，圆的半径rx2.故Sx22100x420x100因此Sx2252x8x2100x8，令S0，则x1004.由于在0,100内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x1004时，面积之和最小1利用导数解决生活中实际问题的一般步骤1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yfx2求函数的导数fx，解方程fx0.3比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大小者为最大小值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意1合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域2与实际问题相联系3必要时注意分类讨论思想的应用。
2013苏教版选修(1-1)3.4《导数在实际生活中的应用》
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切 去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起， 做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少 时，箱子容积最大？最大容积是多少？ x 60 x
解:设箱底边长为x cm，则箱高 h 箱子容积为V=x2 h
60
2 3
60x x (0 x 60) 2
3.4导数在实际生活中的应用(1)
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.-*如用料最省、利润最大、效率最 高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用 导数来解决 建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解 这类问题常见的解题思路.
在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 32 3 2 3 . ,0) 时,矩形的最大面积是 因此当点B为2
x
V ´=60x－3x² /2 令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000
当x (0,40)时，V ( x） 0;
当x (40,60)时，V ( x） 0.
V (40)为极大值，且为最大值 。
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内
只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
变式:
• 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时, 它的高与底面半径应怎样选取,才能使圆柱 形金属饮料罐容积最大?
苏教版数学高一1.4导数在实际生活中的应用
1．4导数在实际生活中的应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题．(√)2．生活中的优化问题都必须利用导数解决．(×)3．生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解∵V(x)＝(2x)2×(60－2x)×2 2＝2x2×(60－2x)＝－22x3＋602x2(0<x<30)．∴V′(x)＝－62x2＋1202x＝－62x(x－20)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．∴底面边长为2x＝202(cm)，高为2(30－x)＝102(cm)，即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？解∵AE＝x，∴HE＝2x.∵EF＝60－2x，∴EG＝22EF＝22(60－2x)＝2(30－x)．∴S侧＝4×HE×EG＝4×2x×2(30－x)＝8x(30－x)＝－8x2＋240x＝－8(x－15)2＋8×152.∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案6πS 3π解析 设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－x 230，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9.所以当0<x <9时，W 单调递增， 当9<x <10时，W 单调递减， 所以当x ＝9时，W max ＝38.6.当x >10时，令W ′＝－2.7＋1 0003x 2＝0，得x ＝1009，当10<x <1009时，W ′>0；当x >1009时，W ′<0，所以当x ＝1009时，W max ＝38<38.6，所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)． 列表如下.由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值为42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 用料、费用最少问题例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256.(0<x <m )(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m 2x232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)上为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故当m ＝640米时，需新建9个桥墩才能使y 最小．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.所以当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元.1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________． 答案 4解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值． ∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产________千台． 答案 6解析 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入． 答案 1 800解析 设x 套为没有租出去的公寓数，则收入函数f (x )＝(1 000＋50x )(50－x )－100(50－x )，∴f ′(x )＝1 600－100x ，∴当x ＝16时，f (x )取最大值，故把月租金定为1 800元时收入最大． 4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 设底面长为x m ，由题意得底面宽为4x m.设总造价为y 元，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ， 即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160.5．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 答案100π4＋π解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S′＝0，则x＝100π.4＋π由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π时，面积之和最小．4＋π1．利用导数解决生活中实际问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域．(2)与实际问题相联系．(3)必要时注意分类讨论思想的应用．。
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(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)
比较，其中最大的一个为最大值，最小的
一个为最小值．
注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大
值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数
f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．
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课题：导数的应用
新课引入:
的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，
帐篷的体积最大？
O
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O1
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
解:设OO1为x m，则1＜x＜4
由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
32(x1)282xx2
于是底面正六形的面积为（单位：m2）
63(82xx2)233(82xx2)
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
❖ 生产某塑料管的利润函数为
P（n）=-n3+600n2+67500n-1200000,其中n 为工厂每月生产该塑料管的根数，利润P(n) 的单位为元。
（1）求边际利润函数 P（ n）; （2）求使 P（ n）=0的n值；
（3）解释（2）中的n值的实际意义。
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导数在实际生活中的应用
楚水实验学校高二数学备课组2020/5/82
知课题识：导回数的顾应用：
我行 我能 我要成功 我能成功
1、最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函 数f(x)在定义域上的最大值；
P
A
B
X 3-X
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
❖ 在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本 函数，记为C(x);出售x单位产品的收益称为 收益函数，记为R(x); R(x)- C(x)称为利润函 数，记为P(x).
（1）设C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000，生产
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函 数f(x)在定义域上的最小值.
最值是相对函数定义域整体而言的.
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值；
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同学们，再见！
2
V(x)x2h60x2x3 (0x60)
2
得箱子容积 V(x) 60x3x2 2
令 V(x)60x3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时
，箱子容积很小，因此，16000是最大值。
答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
例: 在如图所示的电路中，已
知电源的内阻为r，电动势为ε，
外电阻R为多大时，才能使电功
率最大？最大电功率是多少？
rε
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R
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
❖ 强度分别为a,b的两个点光源A,B，它们 间的距离为d，试问在连接这两个光源 的线段AB上，何处照度最小？试就 a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与 光的强度成正比，与光源距离的平方成 反比）
多少单位产品时，边际成本C(x) 最低?
（2）设C(x)=50x+10000，产品的单价
p=100-0.01x，怎样定价可使利润最大？
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
❖ 某产品制造过程中，次品数y依赖于日 产量x，其函数关系为y=x/(101-x) (x≤100);又该产品售出一件可以盈利a元， 但出一件次品就损失a/3元。为获取最大 利润，日产量应为多少？
000cm3
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
例：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，
它的高与底的半径应怎样选取，才能
使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则
表面积 S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得 h V ，则 R2
S (R ) 2 R V R 2 2 R 22 R V 2 R 2
4
2
帐篷的体积为（单位：m3）
V（x）=
3 3(82xx2)1133(82xx2)(x1)
2
32
2020/5/8 3(1612xx3)
12
2
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
求导数
V`(x)
3(123x2)
2
令V`（x）=0 解得 x=-2 (不合题意,舍去),x=2 当 1＜x＜2 时 V`（x）＞ 0 ，V（x）为增函数 当 2＜x＜4 时 V`（x）＜0 V（x） 为减函数 所以 当 x=2时V（x）最大 答：当OO1为2m时帐篷的体积最大
令 S'(R)2V4R0 解得，R 3 V ，从而
R2
2
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
h V
R2
V
(3 2V)2
3
4V
22 332VV
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
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课题：导数的应用
例：在边长为60 cm的正方形铁片的
四角切去相等的正方形，再把它的边
沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的
方底箱子，箱底的边长是多少时，箱
子的容积最大？最大容积是多少？
x
60
x
x x
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60
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h 6 0 x cm，
我行 我能 我要成功 我能成功
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)
2.物理方面的应用. (功和功率等最值)
3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
我行 我能 我要成功 我能成功
练习
（1）求内接于半径为R的圆的矩形 面积的最大值。
（2）求内接于半径为R的球的圆柱 体积的最大值。
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课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
高考链接（２００６年江苏卷）
❖ 请你设计一个帐篷，它的下部的形状是
高为１m的正六棱柱，上部的形状是侧
棱长为３m的正六棱锥，试问：当帐篷