算法 递推
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法、顺推、逆推是非常重要的概念。
这些概念在算法设计、程序编写等方面都有着广泛的应用。
本文将详细介绍这些概念的含义、应用以及实现方法。
一、递推算法递推算法是一种基于已知的初始条件和递推公式来计算未知项的算法。
在递推算法中，我们需要根据问题的特点，找到递推公式，然后通过递推公式来推导出后续的解。
递推算法通常用于计算数列、矩阵、图形等数学问题，也可以用于解决计算机科学中的一些问题。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推算法问题。
斐波那契数列的递推公式如下：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中，F(0)=0，F(1)=1。
这个递推公式的意思是，斐波那契数列的第n个数等于前两个数之和。
我们可以通过递推公式来计算斐波那契数列的任意一项。
例如，我们可以通过递推公式计算出斐波那契数列的前10项：F(0) = 0F(1) = 1F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34递推算法的优点是简单、易于理解和实现。
但是，递推算法的时间复杂度可能会很高，因为在计算每一项时都需要计算前面的项。
因此，在使用递推算法时，需要注意时间复杂度的问题。
二、顺推和逆推顺推和逆推是递推算法中的两种常见实现方法。
顺推是从已知的初始条件开始，按照递推公式依次计算每一项的值，直到计算出所需的项。
而逆推则是从所需的项开始，倒推出前面的所有项。
顺推通常用于计算数列、矩阵等递推算法问题。
递推法算法
递推法算法递推法算法是一种常用的数学和计算机科学中的算法思想，它通过利用问题中的已知信息，通过递推关系来求解未知信息。
在实际应用中，递推法算法广泛用于解决递推问题、数列问题、动态规划等。
本文将介绍递推法算法的基本原理和应用场景。
一、递推法算法的基本原理递推法算法的基本原理是通过已知信息推导出未知信息的方法。
它利用问题中的递推关系，通过逐步迭代计算，将已知信息不断传递到后续的未知信息中，从而求解整个问题。
在递推法算法中，首先确定初始条件，也就是已知的起始信息。
然后，根据递推关系，计算出下一个未知信息。
接着，将这个未知信息作为已知信息，再次利用递推关系计算下一个未知信息。
如此反复，直到得到问题的最终解。
递推法算法在数学和计算机科学中有广泛的应用场景。
下面分别介绍几个常见的应用场景。
1.递推问题递推问题是指通过前一项或前几项的信息，推导出下一项的信息的问题。
例如斐波那契数列，每一项都是前两项的和。
利用递推法算法，可以通过已知的前两项计算出后续的所有项。
2.数列问题数列问题是指通过已知的数列前几项的信息，推导出数列的通项公式或后续的项。
例如等差数列和等比数列，通过递推法算法可以快速求解出数列的通项公式，从而计算出数列的任意一项。
3.动态规划动态规划是一种通过将一个复杂问题分解为多个子问题来求解的方法。
递推法算法在动态规划中起到了关键的作用。
通过递推法算法，可以将大问题分解为多个小问题，并通过已知的小问题的解来计算出大问题的解。
三、递推法算法的优势递推法算法具有以下几个优势。
1.简单易懂递推法算法的思想简单易懂，适用于各种问题的求解。
只要找到递推关系和初始条件，就可以通过简单的迭代计算得到问题的解。
2.高效快捷递推法算法通过利用已知信息和递推关系，避免了重复计算和不必要的操作，从而提高了计算效率。
在实际应用中，递推法算法常常能够大幅减少计算时间。
3.灵活性强递推法算法的灵活性强，适用于各种形式的问题。
只要能够找到递推关系和初始条件，就可以使用递推法算法来解决问题。
递推算法
☺
课堂小结
递推算法就是指从前面的已知结果推出后面 的未知结果；或由后面的已知结果推出前 面的未知结果。 解决递推问题必须具备两个条件： 1、初始条件 2、递推关系
经典：斐波那契数列
☺ 兔子繁殖问题
假设有一对新生兔子，从第二个月开始它们每个月都生一 对兔子。按此规律，如果所有兔子都不死，那么一年后共 有多少对兔子。人们发现每月的兔子数组成如下数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34，……并把它称为Fibonacci数列
VB递推实现 VB递推实现
Private Sub command1_Click() Dim s As Long, n As Integer s=1 For n = 9 To 1 Step -1 s = 2 * (s + 1) Next n Label1.Caption = s End Sub Private Sub command1_Click() Dim s As Long, n As Integer 若由用户指定是第n s=1 天只剩下一个桃子， For n求第一天的桃子总 = val(text1.text) -1To 1 Step -1 数。 s = 2 * (s + 1) Next n Label1.Caption = s End Sub
干个桃子，当即吃了 一半还觉得不过瘾， 又多吃了一个。第二 天接着吃剩下桃子的 一半，仍觉得不过瘾 又多吃了一个，以后 小猴子都是吃剩下的 桃子一半多一个。
☺用循环结构实现这个算法，需要定义几个 变量，循环体和循环条件?
For 循环变量=初值 to 终值 step 步长值 循环体 Next 循环变量
VB循环结构中的 VB循环结构中的 算法
推算
பைடு நூலகம்
递推算法
引例:Fibonacci数列
• Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名 数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁 殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。
• 问题： 一个数列的第0项为0，第1项为1，以
后每一项都是前两项的和，这个数列就是 著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的 第N项。
cin>>x>>y>>z;a[1]=1; for(i=1;i<=z+1;i++)
for(k=1;k<=z+1;k++) a[i+k*x+2]+=y*a[i];
for(i=1;i<=z+1;i++)sum+=a[i]; cout<<sum<<endl; return 0; }
顺推举例3——杨辉三角1547
迭代举例5——楼梯走法
问题描述：设有一个N级楼梯，某人每步可以走1级、2级、或者 3级，求某人从底层开始走完全部楼梯的走法。
n=1 f(1)=1: 1 n=2 f(2)=2: 1 1; 2 n=3 f(3)=4: 1 1 1 ; 2 1; 1 2; 3 n=4 f(4)=7: 1 1 1 1 ; 2 1 1; 1 2 1; 3 1 ; 1 1 2; 2 2 ; 1 3
• 对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清 楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下 来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复 运算，真正起到“物尽其用”的效果。
递推概念
给定某些项Hi(0<i<n)联系起来， 这样的式子就叫做递推关系。
递推算法
For i:=1 to t do //计算加入跑步选择时的每秒最大距离 begin if f[i]< f[i-1]+17 then f[i]:= f[i-1]+17; if f[i]>=s then begin //刚好离岛，输出 writeln('Yes'); writeln(i); halt; end; end; writeln('No');//不能离岛，输出 writeln(f[t]); end. 本题有多种解决问题的方法，然而，在上述分析中很巧妙地运用了分而治之 的思想，把原来跑步、魔法、休息交错在一起的问题条件分离开，考虑在只有魔 法情况下每秒最远距离，此时，很容易用上问题的贪心条件，能用魔法尽量用上 魔法，求只有魔法情况下每秒最远距离的递推式写起来也很简单。接着，考虑跑 步的情况，当前秒的跑步距离由上一秒加17递推得到，每秒最远距离为跑步距离 和魔法距离中的最大值。这是一道很好的题，建议大家用不同方法解决之，然后， 从中体会分解问题的方法和技巧。
【样例输出】 10 【注意】 测试数据规模： 保证100%的数据n<=1000。 问题分析：
求最小路径得分，比较容易想到的是： 1．如果知道从第1行走到第n行各数字上的最小得分， 那么，从中取最小值即可； 2．第n行是从n-1行走下来的，如果知道第n-1层各数字 位置上的最小得分值，那么根据规则每步只能沿左斜线 向下或沿右斜线向下，要使第n层的各数字位上得到最 小得分值，只能从左上和右上两个得分值中取小的一个 与当前位的数字相加； 3．同理，第n-1层各数位上的最小得分可以从第n-2层 推出；
递推算法
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。 思想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若 干重复的简单运算，以充分发挥计算机善长于 重复处理的特点。
递推算法分析
3. 递推的实施步骤
（1）确定递推变量 递推变量可以是简单变量，也可以是一维或多维数组。 （2）建立递推关系 递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。 （3）确定初始（边界）条件 根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界） 值，这是递推的基础。 （4）对递推过程进行控制 递推过程控制：递推在什么时候结束，满足什么条件结束。
i=1;k=1.0;y[1]=k;
while(i<=5)
{ i++;y[i]=(4*y[i-1]-1)/5;
if(y[i]!=（int）y[i])
{ k=k+1.0;y[1]=k;i=1;}
}
x=5*y[1]+1;
printf("原有椰子至少有：%6.0f个.\n",x);
习题3: 1, 2, 3, 5, 6, 7
首先y(1)赋初值k(取值从1开始递增)后推出y(2)， 由y(2)推出y(3)，…，依此经5次递推得y(6)。如 果某一次推出的不是整数，则中止继续往后推，返 回k增1后赋值给y(1)，从头开始。如果5次递推都 是整数，则输出原有椰子数5*y(1)+1后结束。
2. 算法描述
int i; double k,x,y[7];
1. 递推的概念
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。思 想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若干个重 复的简单运算，以充分发挥计算机善长重复处理的 特点
2. 递推关系
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项之间的 关系，即递推关系。 递推关系是一种高效的数学模型，是递推应用的 核心。 递推关系不仅在各数学分支中发挥着重要的作用， 由它所体现出来的递推思想在各学科领域中更是显 示出其独特的魅力。
c++递推算法详解
有2行n列的长方形方格，要求用n个1*2的骨牌铺满。有多少种铺法？ 如n=3时有以下3种覆盖方法：
方法一
状态：f[i]表示铺满2*i的长方形的方案数 找规律,手工或搜索求出i=1,2,3,4,5的方案数分别为1，2，3，5，8,容易发现 f[i]=f[i-1]+f[i-2](i>=3) 边界条件：f[1]=1,f[2]=2 递推关系式 1 i=1 f[i]= 2 i=2 f[i-1]+f[i-2] i>=3 答案为f[n]，时间复杂度为O(n)。
方法一
根据二项式定理可知： (ax+by)k= = 取i=n,xnym的系数为 其中an和bm可以用快速幂来计算，在lg(n)+lg(m)内完成。 计算 可以用递推来求解。 状态：f[i,j]表示从i个数中选j个数的方案数。f[k,n]就是答案。 根据第i数选还是不选来进行分析： 1.选择第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j-1个数的方案数即f[i-1,j-1]; 2.不选第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j个数的方案数即f[i-1,j] 所以f[i,j]=f[i-1,j-1]+f[i-1,j] 边界条件：f[i,0]=1,f[i,i]=1。 计
【问题描述】 栈是常用的一种数据结构，有n个元素在栈顶端一侧等待进栈，栈顶端另一侧是出栈序列。你已经知道栈的操作有两种：push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出序列。请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。 【输入】 【输出】 就一个数n(1≤n≤1000)。 一个数，即可能输出序列的总数目。 【样例】 stack.in stack.out 3 5
基本算法2-递推法实例
一般地，设原来的符合题意的n-1条直线把这平面分成 个区域，再增加一条直线l，就变成n条直线，按题设条 件，这l必须与原有的n-1条直线各有一个交点, 且这n-1个交点 及原有的交点互不重合。这n-1个交点把l划分成n个区间，每 个区间把所在的原来区域一分为二，所以就相应比原来另增 了n个区域，即：
const max=100; var
f1,f2,s:array[1..max] of longint; i,j,k,l,n:longint; begin readln(n); f1[max]:=0 ; f1[max-1]:=1; {F0=10} for i:= 1 to n do
begin f2:=f1; k:=0; { ×7 } for j:= max downto 1 do begin k:=k+f1[j]*7; f1[j]:=k mod 10; k:=k div 10; end;
end.
var a,b:array[1..100] of longint; i,j,n:longint;
begin readln(n); a[100]:=4 ; b[100]:=1; for i:= 2 to n do begin for j:= 100 downto 1 do b[j]:=b[j]*2; for j:= 100 downto 2 do if b[j]>=10 then begin b[j-1]:=b[j-1]+b[j] div 10 ; b[j]:=b[j] mod 10; end; for j:= 100 downto 1 do begin a[j]:=a[j]+b[j]; if a[j]>=10 then begin a[j-1]:=a[j-1]+a[j] div 10 ; a[j]:=a[j] mod 10; end; end; end; j:=1; while a[j]=0 do j:=j+1; for i:= j to 100 do write(a[i]) ;
循环累加算法递推算法
product = 1 product = 2 product = 6 product = 24
productin=t1i2, 0n;
product = 120
productin=t7p2r0oduct; productp=ri5n0t4f(0"input n: \n"); pprroodduucctts==ca4360n23f82(08"0%d", &n) ; productp=ro3d62u8c8t0=01;
for语句
程序段
for (i = 1; i <= n ; i++) {
item= ? ; sum = sum + item ; }
for语句
例 输入一个正整数n，求 1+2+……+n。假设n=100
for (i = 1; i <= n ; i++)
{
item= ?i
;
sum = sum + item ;
for(i=1; i<=n; i++) product =product*i;
for语句
连续累加的算式： sum=sum+i；或sum=sum+item；
要求和变量sum的初始值为0
sum=0; for(i=1; i<=n; i++)
sum=sum+i;
sum=0; for(i=1; i<=n; i++)
productp=ri1n9t3f2(0"5p35r0o4duct = %d\n", pprroodduuctc=t )1;932053504
递推算法知识总结
递推算法知识总结1. 什么是递推算法？递推算法（Recursion）是一种解决问题的方法，其中问题由一个或多个基本的解决方案定义。
通常，递推算法在一个或多个基本案例（base case）上定义，并且是通过将问题分解为规模较小的相似子问题而递归地求解的。
2. 递推算法的特点递推算法具有以下几个特点：•递推算法是一种直接或间接调用自身的算法；•递推算法具有基本案例，即能直接求解的问题情形；•递推算法将一个规模较大的问题转化为一个规模较小的相似子问题，并通过递归调用求解；•递推算法的递归调用必须在某种方式下收敛，即必须能够到达基本案例。
3. 递推算法的应用场景递推算法在计算机科学和数学中有着广泛的应用，特别适合解决以下问题：•计算斐波那契数列；•数值累加或累乘计算；•深度优先搜索；•解决汉诺塔问题；•求解图的连通性或最短路径；•解决一些数学问题，如八皇后问题等。
4. 递推算法的实现方式递推算法可以通过编程语言中的函数调用机制来实现。
以下是递推算法的一般框架：def recursion(n):if n == base_case:return base_solutionelse:# 将问题分解为较小的子问题subproblems = decompose(n)# 递归调用results = [recursion(subproblem) for subproblem in subproblems]# 组合子问题的结果return combine(results)在上述实现中，base_case表示基本案例，是问题的直接解决方案。
当问题规模缩小到基本案例时，递归将不再继续，直接返回基本案例的解决方案。
decompose函数将问题分解为更小的相似子问题。
可以根据具体问题的特点设计合适的分解方式。
combine函数将子问题的结果合并为原问题的解决方案。
5. 递推算法的优缺点递推算法具有以下优点：•递推算法能够将问题转化为更小的相似子问题，降低了问题的复杂度；•递推算法能够利用相似子问题的解决方案，减少了计算量。
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算法递推
什么是递推算法？
递推算法，也称为递归算法，是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决复杂问题的方法。
在递推算法中，问题的解决方法依赖于对其更小的子问题的解决方法。
通过不断地将问题分解为更小的子问题，并将子问题的解决方法合并起来，递推算法能够有效地解决复杂的问题。
递推算法通常使用递归函数来实现。
递归函数是一种调用自身的函数，它通过不断地调用自身来解决问题。
递推算法的核心思想是将复杂问题分解为更小的子问题，并通过递归函数来解决这些子问题。
递推算法的特点
递推算法具有以下几个特点：
1.分解问题：递推算法通过将复杂问题分解为更小的子问题来解决问题。
这种
分解的过程可以使问题的解决方法更加清晰和简单。
2.自相似性：递推算法的解决方法具有自相似性。
也就是说，问题的解决方法
可以通过对更小的子问题的解决方法进行递归调用来得到。
3.递归调用：递推算法使用递归函数来解决问题。
递归函数是一种调用自身的
函数，通过不断地调用自身来解决子问题。
4.终止条件：递推算法需要定义终止条件，以避免无限递归。
当满足终止条件
时，递归函数将停止递归调用，并返回结果。
递推算法的应用
递推算法在计算机科学和数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的递推算法应用场景：
1.斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递推数列，它的定义是：第n个
数等于前两个数的和。
斐波那契数列可以用递推算法来计算。
2.阶乘计算：阶乘是一个常见的数学运算，表示从1到n的连续整数的乘积。
阶乘计算可以使用递推算法来实现。
3.图的遍历：图是一种常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
图的遍历
是指按照一定的规则遍历图中的所有节点。
图的遍历可以使用递推算法来实现。
4.排列组合：排列组合是一种数学运算，用于计算从n个元素中选择k个元素
的不同方式的数量。
排列组合可以使用递推算法来计算。
以上只是递推算法的一些常见应用场景，实际上递推算法在解决各种复杂问题时都有着广泛的应用。
递推算法的实现
递推算法的实现通常使用递归函数来完成。
递归函数是一种调用自身的函数，通过不断地调用自身来解决问题。
以下是一个使用递推算法计算斐波那契数列的示例代码：
def fibonacci(n):
if n <= 0:
return 0
elif n == 1:
return 1
else:
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
n = 10
result = fibonacci(n)
print("第{}个斐波那契数是：{}".format(n, result))
在上述代码中，fibonacci函数通过递归调用来计算斐波那契数列的第n个数。
当n小于等于0时，返回0；当n等于1时，返回1；否则，返回前两个数的和。
通过递归调用，fibonacci函数能够计算出斐波那契数列的任意项。
递推算法的优化
递推算法虽然能够解决复杂的问题，但在某些情况下可能会出现性能问题。
递推算法的性能问题主要体现在重复计算的情况上。
由于递推算法是通过不断地调用自身来解决问题，可能会导致重复计算相同的子问题，从而降低算法的效率。
为了提高递推算法的效率，可以使用一种称为记忆化搜索的技术。
记忆化搜索是一种通过保存已经计算过的结果来避免重复计算的方法。
通过使用记忆化搜索，可以大大提高递推算法的效率。
以下是一个使用记忆化搜索优化斐波那契数列计算的示例代码：
def fibonacci(n, memo={}):
if n in memo:
return memo[n]
elif n <= 0:
memo[n] = 0
return 0
elif n == 1:
memo[n] = 1
return 1
else:
memo[n] = fibonacci(n-1, memo) + fibonacci(n-2, memo)
return memo[n]
n = 10
result = fibonacci(n)
print("第{}个斐波那契数是：{}".format(n, result))
在上述代码中，使用了一个字典memo来保存已经计算过的结果。
在每次计算斐波
那契数列的第n个数之前，首先检查它是否已经在memo中存在。
如果存在，直接
返回保存的结果；否则，通过递归调用计算并保存结果。
通过使用记忆化搜索，可以避免重复计算相同的子问题，从而提高算法的效率。
总结
递推算法是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。
递推算法使用递归函数来实现，并具有分解问题、自相似性、递归调用和终止条件等特点。
递推算法广泛应用于计算机科学和数学中，可以用于解决斐波那契数列、阶乘计算、图的遍历、排列组合等问题。
为了提高递推算法的效率，可以使用记忆化搜索来避免重复计算。
递推算法是一种强大而灵活的算法思想，掌握递推算法对于解决复杂问题具有重要意义。