江苏高考数学试卷

江苏高考数学试卷 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相．．．．
应的位置上．．．．．.
1. 设集合{}3,1,1-=A ，{}4,22++=a a B ，{}3=⋂B A ，则实数a 的值为 .
2. 设复数z 满足i i z 46)32(+=-（其中i 为虚数单位），则z 的模为 .
3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .
4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 . 根在棉花纤维的长度小于20mm.
5. 设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则实数
a = .
6. 平面直角坐标系xOy 中，双曲线
112
42
2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标
是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 .
7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .
8. 函数)0(2>=x x y 的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为
a k+1,k 为正
整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5= .
9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线
0512=+-c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围是 .
10. 定义在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交
点为P ， 过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与x sin =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的
长为 .
11. 已知函数21,0
()1,
x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 .
（第4题
（第7题
12. 设实数y x ,满足94,8322
≤≤≤≤y x xy ，则43
y
x 的最大值是 . 13. 在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a
C a b
+=，则
tan tan tan tan C C
A B
+
= .. 14. 将边长为m 1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯
形，记2
(S =梯形的周长）
梯形的面积
,则S 的最小值是 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应
写出文字说明、证明或演算步骤. 15.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1). （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值. 16. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900.
（1）求证：PC ⊥BC ；
（2）求点A 到平面PBC 的距离. 17. （本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度m h 4=，仰角 ∠ABE=α，∠ADE=β. （1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=，tan β=，请据此算出H 的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单
位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？
18. （本小题满分16分）
（第17题图）
在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15
92
2=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TB TA ,与椭圆分别交于点M ),(11y x ，
),(22y x N ，其中0>m ,0,021<>y y .
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；
（2）设3
1
,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点.（其坐标与m 无关）
19.（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n
S 是公
差为d 的等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）
（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式
k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为
2
9. 20.（本小题满分16分）
设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数
)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则
称函数)(x f 具有性质)(a P . （1）设函数)(x f )1(1
2
)(>+++
=x x b x h ，其中b 为实数 （ⅰ）求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； （ⅱ）求函数)(x f 的单调区间； （2）已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定
为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且
1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围.
【理科附加题】
21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分） (1)几何证明选讲
（第18题图）
AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于C ，若DA=DC ，求证AB=2BC (2)矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，
M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1,B 1,C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值 (3)参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值 (4)不等式证明选讲
已知实数a,b ≥0，求证：)b a (ab b a 2233+≥+
22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产
乙产品，一等品90%，二等品10%。

生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。

设生产各种产品相互独立
（1）记x （单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x 的分布
列
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 23、（10分）已知△ABC 的三边长为有理数 （1）求证cosA 是有理数
（2）对任意正整数n ，求证cosnA 也是有理数。