备战中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．

(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；

(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA

=，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；

(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2

3

DG，PO=5，求EF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．

【解析】

【分析】

（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；

（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；

（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出

EH∥DG，求出OM=1

2

AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=

2

3

DG，DG=3a，

求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝

1

2

MO

BM

=，tanP=

1

2

CO

PO

=,设

OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】

（1）证明：连接OC，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∵AD⊥PC，

∴OC∥AD，

∴∠OCA=∠DAC，

∵OC=OA，

∴∠PAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠PAC；

（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，

∵FG∥AD，

∴∠FGD+∠D=180°，

∵∠D=90°，

∴∠FGD=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠BEA=90°，

∴∠BED=90°，

∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，

∴四边形HGDE是矩形，

∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，

∵BF AF

=，

∴∠HEF=∠FEA=1

2

∠BEA=190

2

o

⨯=45°，

∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，

∴∠HEF=∠HFE，

∴FH=EH，

∴FG=FH+GH=DE+DG；

（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，

∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，

∴△FHO≌△EHO，

∴∠FHO=∠EHO=45°，

∵四边形GHED是矩形，

∴EH∥DG，

∴∠OMH=∠OCP=90°，

∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，∴∠HOM=∠OHM，

∴HM=MO，

∵OM⊥BE，

∴BM=ME，

∴OM=1

2 AE，

设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=2

3

DG，DG=3a，

∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，∴四边形GHMC是矩形，

∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，∵DG=HE，GC=HM，

∴ME=CD=2a，BM=2a，

在Rt△BOM中，tan∠MBO=

1

22 MO a

BM a

==，

∵EH∥DP，

∴∠P=∠MBO，

tanP=

1

2 CO

PO

=，

设OC=k，则PC=2k，

在Rt△POC中，，

解得：

在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，

a=1，

∴HE=3a=3，

在Rt△HFE中，∠HEF=45°，

∴

．

【点睛】

考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．

2．如图1，已知扇形MON，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.

（1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ；

（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.

【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=

+y x 02<≤x 1422

=x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122

x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD

==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．

详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°．

∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ．

∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ，

∴AC =AM ．

（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ．

∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ．

∵DE ∥AB ，∴

DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =122x （）． ∵DE ∥AB ，∴

2OA OC DM OE OD OD ==， ∴22

DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜ （3）（i ） 当OA =OC 时．∵111222DM BM OC x =

==．在Rt △ODM 中，222124

OD OM DM x =-=-．