整式的乘除知识点归纳
初中整式乘除知识点总结

初中整式乘除知识点总结一、整式的定义整式是由字母和数字(称为系数)以及加法、减法、乘法运算符号组成的,满足代数性质的式子。
其中,整式可以是单项式、多项式或者是已知系数的表达式。
1. 单项式单项式是只有一个项的代数式,如3x、-5y、2a²b等。
2. 多项式多项式是由若干个单项式相加(减)而成的代数式,或者说多项式是由多个单项式通过加法和减法连接得到的表达式,例如3x²+2x-5、-4a³-6a²b+8ab²-2b³等。
3. 已知系数的表达式已知系数的表达式可以像一般的多项式一样运算,只不过它们代表的是系数是有限个数且确定的。
二、整式的加减运算整式的加减运算是指将同类项进行相加或相减。
同类项是指: 同一变量的幂相同的几项。
1. 加法a. 直接相加: 将各同类项的系数累加,而变量和幂不变。
b. 化简: 当几个整式相加时,将同类项相加,并按照数字的大小规则化简。
2. 减法a. 减法等于加法的逆运算: 减去一个数a等价于加上一个数-a。
b. 减法的性质: 同类项相减的结果等于同类项的系数相减,变量和幂不变。
三、整式的乘法运算1. 单项式与单项式的乘法两个单项式相乘,直接将它们的系数相乘,变量相乘后写成原来变量的乘方。
2. 单项式与多项式的乘法将单项式的每一项与多项式相乘,再将所得的各项相加。
3. 多项式的乘法多项式的乘法可以看做一种按分配律的运算。
先将多项式乘数的各项与被乘数的各项分别相乘,再将乘积相加。
四、整式的除法运算1. 同一或者不等式除: 当含有同一变量的各同类项可以整除时,将它们的系数分别相除,再将变量合并。
2. 非同类项之间的除法在含有多项式的各项中,当各项不能整除时,可以将它有理地展开,再进行系数相除,变量幂相减。
所以,非同类项之间的除法基本是按高斯位别定理——整除法则。
以上是关于初中整式乘除的知识点总结,希望能对同学们的学习起到一定的帮助。
整式的乘除知识点归纳

整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式,包含了整数、变量和基本运算符(加、减、乘、除)。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积,也可以包含指数。
例如,3x^2是一个单项式,其中3和x表示系数和变量,2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如,2x^2 + 3xy + 5是一个多项式,其中2x^2,3xy和5分别是单项式,+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则:1.乘积的交换法则:a×b=b×a,即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则:(a×b)×c=a×(b×c),即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则:a×(b+c)=(a×b)+(a×c),即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时,要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如,(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中,被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则:1.除法的整除法则:若a能被b整除,则a/b为整数。
例如,6除以3得到22.除法的商式法则:若x为任意非零数,则x/x=1、例如,2x^2/2x^2=13.除法的零律:任何数除以0都是没有意义的,即不可除以0。
例如,5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时,要注意约分和消去的原则。
例如,(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时,需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下:1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式,可以通过以下步骤进行因式分解:1.先提取其中的公因式。
整式的乘除知识点

整式的乘除知识点整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的运算。
整式的除法运算是指对一个整式除以另一个整式的运算。
整式的乘除运算是代数学中的基本运算,它在代数方程的解法、因式分解等应用中起着重要作用。
一、整式的乘法运算整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的运算,其规则如下:1.单项式相乘:两个单项式相乘时,按照数字相乘,字母相乘,再将相同字母的指数相加的原则进行运算。
例如:(3x^2)(-2xy)=-6x^3y2.整式相乘:将一个整式中的每一项与另一个整式中的每一项进行相乘,然后将所得的结果相加。
例如:(x+5)(x-3)=x^2-x(3)+5(x)-15=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-153.公式相乘:根据一些常见公式和特殊公式,可以通过整式的乘法运算简化计算。
例如:(a+b)(a-b)=a^2-(b)^2=a^2-b^2二、整式的除法运算整式的除法是指对一个整式除以另一个整式的运算,其规则如下:1.简单整式的除法:当被除式是单项式,除式也是单项式,并且除式不为零时,可以进行简单整式的除法运算。
例如:12x^3/4x=x^32.整式长除法:当被除式是一个整式,除式也是一个整式,并且除式不为零时,可以进行整式长除法运算。
例如:(3x^3-2x^2+4x-6)/(x+2)=3x^2-8x+20余-463.分式的除法:分式的除法可以利用倒数的概念进行处理,将除法问题转化为乘法问题。
例如:(a/b)÷(c/d)=(a/b)×(d/c)=(ad)/(bc)三、整式乘除运算的性质和应用1.乘法交换律:整式的乘法满足交换律,即a×b=b×a。
这个性质可以简化计算,使得整式的乘法更加灵活。
2.乘法结合律:整式的乘法满足结合律,即(a×b)×c=a×(b×c)。
这个性质可以改变运算次序,简化计算过程。
3.乘法分配律:整式的乘法满足分配律,即a×(b+c)=a×b+a×c。
整式乘除知识点

整式乘除知识点整式是由常数和变量按照代数运算的规则经过加、减、乘、除等基本运算得到的式子。
整式乘除是代数学中的重要内容,掌握整式乘除的知识点对于解决代数问题和化简式子非常有帮助。
下面将介绍整式乘法和整式除法的要点和方法。
一、整式乘法整式乘法是指将两个整式相乘得到一个新的整式。
整式乘法的基本思想是利用分配律和合并同类项的原则进行运算。
1. 分配律分配律是整式乘法的基本运算定律,即对于任意的整式a、b、c来说,有:a × (b + c) = a × b + a × c这个定律表示乘法可以分别作用于加减运算中的每一项。
2. 合并同类项在整式乘法中,对于相同的字母次幂,只需要将系数相乘即可。
例如:3x × 4x = 12x²,3a² × 2a² = 6a^4。
二、整式除法整式除法是指将一个整式除以另一个整式,得到商和余数的运算过程。
整式除法的基本思想是通过长除法的方式进行计算。
整式除法的步骤如下:1. 对除数和被除数的次数进行降幂排列,确保被除数和除数的次数次幂之间存在对应关系。
2. 从被除数中选择一个项作为被除数,与除数的首项进行除法运算,得到一个商和余数。
3. 将商乘以除数,并减去这个乘积。
4. 重复步骤2和步骤3,直到被除数的次数次幂小于除数的次数次幂为止。
5. 将所有的商相加,并将余数放在最后。
例如,计算整式 (3x³ - 2x² + 5x - 1) ÷ (x - 2) 的步骤如下:(3x³ - 2x² + 5x - 1) ÷ (x - 2) = 3x² + 4x + 13 + 25/(x - 2)通过以上步骤,我们可以得到商和余数。
三、整式乘除综合运算在实际应用中,整式的乘法和除法常常需要综合运算。
在进行整式乘除综合运算时,需要根据分配律以及合并同类项的原则,进行逐步计算。
整式乘除知识点总结

整式乘除知识点总结为了让大家更好的迎接中考,那么,整式的知识点是必不可少的。
下面是小编与大家分享的整式乘除知识点总结,欢迎大家参考借鉴!整式乘除知识点总结(一)1.单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:①积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆;②相同字母相乘,运用同底数的乘法法则;③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
2.单项式与多项式相乘单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点:①单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;③在混合运算时,要注意运算顺序。
3.多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点:①多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;②多项式相乘的结果应注意合并同类项;③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积。
对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到整式乘除知识点总结(二)单项式相乘,它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:a)积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。
整式的乘除与因式分解知识点

整式的乘除与因式分解基本知识点一、整式的乘除:1、合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.例如:_______3=-a a ;________22=+a a ;________8253=+-+b a b a__________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x2、同底数幂的乘法法则:a m ·a n =a m+n (m ,n 是正整数).同底数幂相乘,底数不变,指数相加.例如:________3=⋅a a ;________32=⋅⋅a a a注:此性质可以逆用,即a m +n =a m ×a n 。
如:已知2a =5,2b =7,则2a +b =2a 2b =5×7=35。
另外三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即a m ·a n ·a p =a m +n +p (m 、n 、p 都是正整数)3、幂的乘方法则:(a m )n =a mn (m ,n 是正整数).幂的乘方,底数不变,指数相乘.例如:_________)(32=a ;_________)(25=x ;()334)()(a a = 注:注意不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆,前者是指数相乘,后者是指数相加。
还要注意逆向运用。
4、积的乘方的法则:(ab)m =a m b m (m 是正整数).积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.例如:________)(3=ab ;________)2(32=-b a ;________)5(223=-b a注:在积的乘方运算中很容易将底数中某一项或几项不乘方而出现错误,所以在进行积的乘方运算时应先确定底数有几项,然后将这几项全都乘方,再将结果相乘。
还要注意逆向运用。
例如:。
5、同底数幂的除法法则:a m ÷a n =a m-n (a ≠0,m ,n 都是正整数,并且m >n).同底数幂相除,底数不变,指数相减. 规定:10=a 例如:________3=÷a a ;________210=÷a a ;________55=÷a a注:根据同底数幂除法的运算性质a m ÷a n =a m -n (a ≠0, m,n 为正整数,并且m >n),当指数相同时,则有a n ÷a n =a n -n =a 0=1,从而诠释了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”的道理,同时,又将同底数幂除法的运算性质中m >n 的条件扩大为m ≥n ;而当m <n 时,仍然使用a m ÷a n =a m -n ,则m -n <0,便出现了负指数幂a -p = ( a ≠0, p 为正整数);至此,同底数幂除法的运算性质a m ÷a n =a m -n 的适用范围已不必再过分的强调m 、n 之间的大小关系,m 、n 的值也由正整数扩大到全体整数了.6、单项式乘法法则单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的因式。
整式乘除知识点总结归纳

整式乘除知识点总结归纳一、整式的基本定义1. 整式的定义:整式是由多项式相加(减)得到的式子。
多项式是一个或多个单项式的和。
整式可以包含有限个数的变量,并且变量的次数为非负整数。
2. 整式的分类:整式可以根据变量的次数和系数的种类进行分类,分为一元整式和多元整式;再细分为单项式、多项式和混合式。
二、整式的乘法整式的乘法是代数学中的基本运算之一,它涉及到多项式之间的相乘。
在进行整式的乘法时,主要需要掌握以下几个要点:1. 单项式相乘:同底数的单项式相乘,指数相加;不同底数的单项式相乘,底数相乘,指数相加。
2. 多项式相乘:多项式相乘时,需要用分配律(乘法分配律)进行展开,然后对每一对单项式进行乘法运算。
3. 多项式的乘法规则:多项式相乘的规则与单项式相乘的规则一致,同底数指数相加,底数相乘。
需要注意的是,展开乘法时,需要对每一对单项式进行乘法运算,并将得到的结果进行合并。
例题:(1)计算:(3x+4y)*(2x-5y)解:按照乘法分配律,展开得到:6x^2-15xy+8xy-20y^2合并同类项,得到最终结果:6x^2-7xy-20y^2三、整式的除法整式的除法是代数学中的难点之一,它涉及到多项式之间的相除。
在进行整式的除法时,主要需要掌握以下几个要点:1. 用辅助线将被除式和除数进行排列,然后进行长除法计算。
2. 长除法计算过程:(1)确定被除式中的最高次项,选择一个除数,使得除数的最高次项与被除式中的最高次项相同。
(2)将除数乘以一个常数倍数,使得乘积的最高次项与被除式中最高次项的系数相同。
(3)将得到的乘积与被除式相减,得到一个新的多项式。
(4)重复以上步骤,直至新的多项式的次数小于除数的次数。
(5)最终得到商式和余数。
例题:(2x^2+7xy-3y^2)÷(x-2y)解:按照长除法步骤,得到商式和余数为:2x+11y-5 和 -21y+12所以,商式为2x+11y-5,余式为-21y+12。
初中数学整式的乘除与分解因式知识点

初中数学整式的乘除与分解因式知识点
整式的乘法与除法是初中数学中的重点内容之一。
下面是一些相关的知识点:
1. 整式的乘法:整式的乘法要注意项的乘法和系数的乘法。
将每一项的系数分别相乘,并将指数分别相加,得到乘积的系数和指数。
例如:(3x+2)(4x-1)
首先扩展,得到12x^2 + 5x - 2。
2. 整式的除法:整式的除法是通过“乘除消数”的方法来完成的。
将除数乘以一个适
当的式子,使得结果与被除式的某个部分相等或尽量接近。
然后将乘积减去被除式,
重复之前的步骤,直到无法再减少为止。
例如:(2x^2 + 5x + 3) ÷ (x + 1)
首先将被除式分解为(x + 1)(2x + 3),然后进行乘法,得到2x^2 + 5x + 3。
然后将乘积减去被除式,得到0。
所以结果为2x + 3。
3. 因式的分解:整式的因式分解是将一个整式写成几个因式的乘积的形式。
例如:6x^2 + 11x + 3的因式分解为(2x + 1)(3x + 3)。
这些知识点在初中数学中是比较基础的内容,掌握了整式的乘除与分解因式的方法,
将有助于解决更复杂的数学问题。
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整式的乘除
知识点归纳:
1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数,所有字母指数和叫单项式的次数。
如:2a2bc的系数为2,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。
如:a2 2ab x 1,项有a2、2ab、x、1,二次项为a2、2ab,一次项为x,常数项为1,
各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,-2,1,1,叫二次四项式。
3、整式:单项式和多项式统称整式。
注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升(降旬幂排列:
如:x3 2x2y2 xy2y31
按x的升幕排列:12y3 c 2 2 3
xy 2x y x
按x的降幕排列:x32x2y2xy 2y31
5、同底数幕的乘法法则: m a?a n a m n( m, n都是正整数)
同底数幕相乘,底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如:(a b)2?(a b)3 (a b)5
6、幕的乘方法则:(a m)n a mn( m,n都是正整数)
幕的乘方,底数不变,指数相乘。
如:(35)2 310
幕的乘方法则可以逆用:即a mn (a m)n (a n)m
如: 46 (42 )3 (43)2已知:2a3,32b6,求23a 10b的值;
7、积的乘方法则:(ab)n a n b n( n是正整数)
积的乘方,等于各因数乘方的积。
如: ( 2x3y2z)5=( 2)5 ?(x3)5 ?( y2)5 ?z532x15y10z5
8同底数幕的除法法则:a m a n a m n( a 0,m, n都是正整数,且m n)
9、零指数和负指数;
a 0 1,即任何不等于零的数的零次方等于
1。
(2)
10、科学记数法:如:0.00000721=7.21 10 6 (第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方) 11、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单 项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
注意:
① 积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。
② 相同字母相乘,运用同底数幕的乘法法则。
③ 只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 ④ 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤ 单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
如: 2x 2y 3z?3xy 12、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加, 即 m(a b c) ma mb mc (m,a,b,c 都是单项式 )
① 积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
② 运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
③ 在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。
]
如:2x(2x 3y) 3y(x y) 13、多项式与多项式相乘的法则;
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
如:1 (3a
2b)(a 3b) 2、(x 5)( x 6)
14、平方差公式: 2 2 ...................................
(a b)(a b) a b 注意平方差公式展开只有两项
公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边 是相同项的平方减去相反项的平方。
如:(a+b — 1) (a - b+1) = ______________ 。
计算(2x+y-z+5)(2 x-y+z+5)
同底数幕相除,底数不变,指数相减。
如:
4
3 3 3
(ab) (ab) (ab) a b
0, p 是正整数),即一个不等于零的数的
p 次方等于这个数的 p 次方的倒数。
如:
2 2 2
15、完全平方公式:(a b ) a 2ab b
公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方, 而另一项是左边二项式中两项乘积的
2倍。
2 ,2
a b
⑵、已知(a b ) 16,ab 4,求3与(a b )的值.
16、 三项式的完全平方公式:
2 2 2 2
(a b c ) a b c 2ab 2ac 2bc
17、 单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幕分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它 的指数作为商的一个因式。
注意:首先确定结果的系数(即系数相除) ,然后同底数幕相除,如果只在被除式里含有的字母,则
连同它的指数作为商的一个因式
2 4
2
如: 7a b m 49a b 18、 多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即: (am bm cm ) m am m bm m cm m a b c
方法总结:①乘法与除法互为逆运算。
②被除式=除式X 商式+余式
例如:已知一个多项式除以多项式 a 2 4a 3所得的商式是2a 1,余式是2a 8,求这 个多项式。
(a
b 2
(a
b)2 (a
b)2
b)2
2
b) 2ab
b)2
4ab 2
(a b)] (a b)]2
(a (a
2
b) 2ab
b)2
b 2 2
b
2
2ab b 2 b 2 2. a b )2
尾平方,加上首尾乘积白a
如:⑴、试说明不论x,y 取何值,代数式x 2
4y 2
a
(a 2ab
完全平方公式的口诀:首平方, 2 a 2 b 2
b 2 倍a b
6b 24y a l5的值总是正数。
怎样熟练运用公式:
(一)、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:符号左边是两个二项式相乘,
且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且
是相同项的平方减去相反项的平方•明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式•理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式•如计算( x+2y —3z) 2,若视x+2y
为公式中的a,3z为b,则就可用(a—b) 2=a2—2ab+b2来解了。
(三)、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化女口(3x+5y) (5y —3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化如(—2m-7n) (2m- 7n)变为—(2m+7n) (2m-7n)后就可用平方差公式求
解了(思考:不变或不这样变,可以吗?)
3、数字变化如98X 102, 9纟,912等分别变为(100—2) (100+2,(100—1) 2,
(90+1) 2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化女口(4R+丄)(2m- n)变为2 (2m+E ) (2m--)后即可用平方差公
2 4 4 4
式进行计算了.
5、项数变化女口( x+3y+2z) (x —3y+6z)变为(x+3y+4z—2z) (x —3y+4z+2z )后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a2+1) 2•( a2—1) 2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,贝U非常简便.即原式=[(a2+1) (a2—1) ]2= (a4—1) 2=a8—2a4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左) 运用.如计算(1 —g ) ( 1 —丄)(1 —g )•••( 1 ——2 ) ( 1 —丄),若分别算出各因式的
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值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.。