优化问题的数学模型
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
多目标最优化数学模型
第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
最优化问题的建模与解法
最优化问题的建模与解法最优化问题（optimization problem）是指在一组可能的解中寻找最优解的问题。
最优化问题在实际生活中有广泛的应用，例如在工程、经济学、物流等领域中，我们经常需要通过数学模型来描述问题，并利用优化算法来求解最优解。
本文将介绍最优化问题的建模和解法，并通过几个实例来说明具体的应用。
一、最优化问题的数学建模最优化问题的数学建模包括目标函数的定义、约束条件的确定以及变量范围的设定。
1. 目标函数的定义目标函数是一个表达式，用来衡量问题的解的优劣。
例如，对于一个最大化问题，我们可以定义目标函数为：max f(x)其中，f(x)是一个关于变量x的函数，表示问题的解与x的关系。
类似地，对于最小化问题，我们可以定义目标函数为：min f(x)2. 约束条件的确定约束条件是对变量x的一组限制条件，用来定义问题的可行解集合。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为：g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
最优化问题的解必须满足所有的约束条件，即：g(x) ≤ 0, h(x) = 03. 变量范围的设定对于某些变量，可能需要限定其取值的范围。
例如，对于一个实数变量x，可能需要设定其上下界限。
变量范围的设定可以通过添加额外的不等式约束来实现。
二、最优化问题的解法最优化问题的解法包括数学方法和计算方法两种，常见的数学方法有最优性条件、拉格朗日乘子法等，而计算方法主要是通过计算机来求解。
1. 数学方法数学方法是通过数学分析来求解最优化问题。
其中，常见的数学方法包括：（1）最优性条件：例如，对于一些特殊的最优化问题，可以通过最优性条件来判断最优解的存在性和性质。
最优性条件包括可导条件、凸性条件等。
（2）拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束最优化问题，从而求解最优解。
2. 计算方法计算方法是通过计算机来求解最优化问题。
多目标优化数学模型
多目标优化数学模型是指在优化问题中存在多个目标函数的情况下，通过数学建模来求解最优解。
多目标优化问题可以形式化为如下形式：
$$
\begin{align*}
\text{minimize} \quad f_1(x) \\
\text{subject to} \quad f_2(x) \leq 0 \\
\quad f_3(x) \leq 0 \\
\quad \vdots \\
\quad f_m(x) \leq 0 \\
\end{align*}
$$
其中，$x$是决策变量，$f_1(x), f_2(x), \ldots, f_m(x)$是目标函数，$m$是目标函数的个数。
在多目标优化中，通常存在多个不同的最优解，这些最优解构成了一个被称为Pareto前沿（Pareto front）的集合。
Pareto前沿是指在所有满足约束条件的解中，无法通过改变一个目标函数的值而使其他目标函数的值变得更好的解。
求解多目标优化问题的常用方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退
火算法等。
这些算法通过在解空间中搜索，逐步逼近Pareto前沿，从而得到一组近似最优解。
多目标优化数学模型的应用非常广泛，例如在工程设计中，可以通过多目标优化来平衡不同的设计目标，如成本、性能、可靠性等；在金融投资中，可以通过多目标优化来平衡风险和收益等。
最优化方法及其应用课后答案
1 2( ( ⎨最优化方法部分课后习题解答1.一直优化问题的数学模型为：习题一min f (x ) = (x − 3)2 + (x − 4)2⎧g (x ) = x − x − 5 ≥ 0 ⎪ 11 2 2 ⎪试用图解法求出：s .t . ⎨g 2 (x ) = −x 1 − x 2 + 5 ≥ 0 ⎪g (x ) = x ≥ 0 ⎪ 3 1 ⎪⎩g 4 (x ) = x 2 ≥ 0（1） 无约束最优点，并求出最优值。
（2） 约束最优点，并求出其最优值。
（3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 −x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ *解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0（2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点 (x 1 ,x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当 x *=15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。
4 4⎧g (x ) = x −x − 5 = 0⎧ 15 ⎪x 1 = 其中：点为 g 1 (x) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ⎪ 1 1 2 ⎨2 求解得到： ⎨ 45即最优点为 x *= ⎪⎩g 2 (x ) = −x 1 −x 2 + 5 = 015 , 5 ) ：最优值为： f(x * ) = 65 ⎪x =⎪⎩ 2 44 48（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为：max f (x ) = x 1x 2 x 3⎧x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S ⎪ s .t . ⎪x 1 > 0⎪x 2 > 0 ⎪⎩x 3 > 0该优化问题属于三维的优化问题。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
优化问题的数学模型
优化问题的数学模型优化问题是现代数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，寻找一个最优解。
优化问题可以应用于各种领域，例如经济学、管理学、工程学、计算机科学等。
在这些领域中，优化问题的解法可以帮助我们做出更明智的决策，提高效率和效益。
优化问题的数学模型是描述优化问题的基础。
在建立数学模型时，我们需要确定优化问题的目标函数和约束条件。
目标函数是我们要优化的量，它通常是一个数学表达式，可以是最大化或最小化。
约束条件是限制问题的解必须满足的条件，例如资源的限制、技术的要求等。
在数学模型中，我们需要将目标函数和约束条件用数学符号表示出来，以便进行计算和分析。
最常见的优化问题是线性规划问题。
线性规划问题是指目标函数和约束条件都是线性的优化问题。
它的数学模型可以表示为：Maximize C^T xSubject to: Ax ≤ bx ≥ 0其中，C是一个n维列向量，x是一个n维列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维列向量。
这个模型中的目标函数是C^T x，它表示我们要最大化的量。
约束条件分为两部分：Ax ≤ b表示我们的决策变量必须满足的条件，x ≥ 0表示决策变量必须非负。
这个模型可以用线性规划算法求解，得到最优解。
除了线性规划问题，还有非线性规划问题、整数规划问题、混合整数规划问题等。
这些问题的数学模型都有不同的形式，但都可以用优化算法求解。
优化算法可以分为两类：确定性算法和随机算法。
确定性算法是指算法的运行结果是确定的，例如单纯形法、内点法等。
随机算法是指算法的运行结果是随机的，例如遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法都有各自的优缺点，在实际应用中需要根据问题的特点选择合适的算法。
优化问题的数学模型和算法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以用线性规划模型来确定最优的生产方案，以最大化利润或最小化成本。
在交通规划中，我们可以用非线性规划模型来确定最优的交通流量分配方案，以减少拥堵和污染。
数学模型中的优化问题
数学模型中的优化问题一、引言在实际生活和工作中，我们经常会遇到一些需要优化的问题，比如如何利用有限资源提高效率，如何设计一个最优的方案等等。
而数学模型在解决这些问题中起到了非常重要的作用。
本节将介绍数学模型中的优化问题，并探讨其中的数学原理和解题方法。
二、优化问题的基本概念优化问题是指在给定的条件下，寻找使目标函数值达到最大或最小的一组决策变量的取值。
其中，目标函数一般是已知的，而决策变量则是需要求解的结果。
三、线性规划与最优解1. 线性规划的基本形式线性规划是一类特殊的优化问题，它的目标函数和约束条件都是线性的。
一般而言，线性规划可以表示为如下形式：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. A₁₁x₁ + A₁₂x₂ + ... + A₁ₙxₙ ≤ b₁A₂₁x₁ + A₂₂x₂ + ... + A₂ₙxₙ ≤ b₂...Aₙ₁x₁ + Aₙ₂x₂ + ... + Aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ≥ 0.```其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，Aᵢₙ、bₙ分别为约束条件的系数和常数。
2. 最优解的求解方法线性规划的最优解一般可以通过单纯形法进行求解。
单纯形法通过不断迭代改进解向的方式，最终找到目标函数的最优解。
四、非线性规划与最优解1. 非线性规划的基本形式非线性规划是相对于线性规划而言的。
它的目标函数和约束条件可以包含非线性的数学表达式。
一般而言，非线性规划可以表示为如下形式：```max/min Z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)s.t. g₁(x₁, x₂, ..., xₙ) ≤ 0g₂(x₁, x₂, ..., xₙ) ≤ 0...gₙ(x₁, x₂, ..., xₙ) ≤ 0h₁(x₁, x₂, ..., xₙ) = 0h₂(x₁, x₂, ..., xₙ) = 0...hₙ(x₁, x₂, ..., xₙ) = 0```其中，f(x₁, x₂, ..., xₙ)为目标函数，gᵢ(x₁, x₂, ..., xₙ)和hₙ(x₁,x₂, ..., xₙ)分别为约束条件中不等式和等式的表达式。
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图1-4 人字架优化设计的图解
目标函数
约束条件
1）曲柄与机架共线位置的传动角
最大传动角≦1350
最小传动角≧450
为最小
2）曲柄存在条件
x2 x1 x3 x1 x4 x1 x2 x3 x1 x4 x4 x1 x2 x3
优化设计
优化设计就 设计方案。
（1）将实际问题加以数学描述， 形成数学模型；
（2）选用适当的一种最优化数 值方法和计算程序运算求解。
优化问题的数学模型
教学对象：本科三年级 教材：机械优化设计 第六版 哈尔滨工业大学
例1-1 平面四连杆机构的优化设计
（a）体积要求 （b）长度要求
数学模型 设计参数： x1, x2 , x3
设计目标： min S x1x2 2(x2 x3 x1x3 )
约束条件： g1 x1 5 g2 x2 0 g3 x3 0 h1 x1x2 x3 100
例1-3 直齿圆柱齿轮副的优化设计
数学模型
设计参数： m, z1, b
设计目标：
maxW
4
b[(mz1)2
(miz1)2 ]
约束条件： F1 [ ]F1 0
F 2 [ ]F 2 0
H [ ]H1 0 b d mz1 0(d 齿宽系数)
17 z1 0
小结
1.分析优化对象 2. 确定设计的原始参数、设计常数和设计变量 3. 确定并构建目标函数和相应的约束条件 4.必要时对数学模型进行规范化
3）边界约束 当x1=1.0时，若给定x4，则可求出x2和x3的边界值
当x4=5.0时： x2 x3 6 0 4 x2 x3 0 即
1 x2 7 1 x3 7
例1-2 货箱的优化设计
现用薄板制造一体积为100m3，长度不小于5m的无上盖的立方体货箱， 要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽、高尺寸。 分析： （1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。 （2）设计参数确定：长x1 、宽x2 、高x3； （3）设计约束条件：
已知：传动比i，转速n，传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副， 使其重量最轻。
分析： （1）目标：圆柱齿轮的体积V或重量w最小； （2）设计参数确定：模数m、齿宽b、齿数z1 （3）设计约束条件： （a）大、小齿轮满足弯曲强度要求； （b）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （c）齿宽系数要求； （d）最小齿数要求
思考题 试写出二级圆柱齿轮减速器优化设计的数学模型。
感谢聆听